安徽省芜湖市第一中学2024-2025学年高二上学期1月期末数学试题（解析版）-A4

这是一份安徽省芜湖市第一中学2024-2025学年高二上学期1月期末数学试题（解析版）-A4，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时间：120分钟；满分：150分
第I卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若，，则（ ）
A. B. C. 5D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】先求出,再利用向量的模长计算公式即可
【详解】因为
所以
故选:A
2. 空间四边形中，，，，且，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据空间向量的线性运算解决即可.
【详解】由题知，空间四边形中，，，，且，，
如图，
所以，
所以，
故选：D
3. 过点作直线的垂线，垂足为，则到直线距离的最小值为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由直线恒过可得点轨迹为圆，由圆上点到直线距离的最小值的求法可求得结果.
【详解】恒过点，，
点轨迹是以为直径的圆，圆心为，半径，
到直线的距离的最小值为.
故选：.
【点睛】本题考查圆上的点到直线距离的最小值的求解，关键是能够根据垂直关系求得动点的轨迹为圆，进而利用圆上的点到直线距离的最小值为求得结果.
4. 已知等差数列满足，则（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知可得，然后由下标和性质可得.
【详解】，
.
故选：B．
5. 若直线经过点，且点，到它的距离相等，则的方程为（ ）
A. B.
C. x=1或D. 或x=1
【答案】C
【解析】
【分析】分类讨论，满足条件的直线有两条，一条是过这两点的中点，另一条是平行于这两点的直线，然后利用直线方程的知识求解即可.
【详解】根据题意，分情况讨论可得：
当两个点，在所求直线的异侧时，
即过线段的中点．由于直线又经过，
此时直线的斜率不存在，即满足题意的直线方程为；
当，在所求直线同侧时，
直线与所求的直线平行，
又因为，
所以所求的直线斜率为，由于直线又经过，
直线方程为，
化简得：，
综上，满足条件的直线为或，
故选：C．
6. 与圆关于直线对称的圆的方程为，则等于（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】先利用两个圆的一般方程得到各自的圆心，通过题意可得两个圆心关于直线对称，即可得到答案
【详解】解：由可得，所以圆心为，
由可得，所以圆心为，
因为与圆关于直线对称的圆的方程为，
所以关于直线对称的点为，且半径相等，
所以与的中点在上，即解得，满足题意，
故选：C
7. 如图，、是椭圆：与双曲线：的公共焦点，A、B分别是、在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由椭圆方程求出，再在焦点中，由椭圆和双曲线的定义及勾股定理得，即可求出的离心率．
【详解】双曲线：，可得，所以，
解得，所以，，，
，，
在中，，
，即，
，.
故选：C.
8. 已知曲线，则下列结论中错误的是（ ）
A. 曲线E与直线无公共点
B. 曲线E上的点到直线的最大距离是2
C. 曲线E关于直线对称
D. 曲线E与圆有三个公共点
【答案】D
【解析】
【分析】联立方程组即可判断A，根据点到平面距离结合圆的半径即可判断B，将点代入曲线判断C，应用分象限讨论得出曲线E得出与圆的交点个数判断D.
【详解】对于A选项，联立，
将代入，得，所以曲线E与直线无公共点，A选项正确;
对于B选项，曲线E上的点到直线的最大距离是2，即圆弧的半径，所以B选项正确.
对于C选项，点满足直线对称的对称点是，将点代入
得，整理得，所以曲线E关于直线对称，C选项正确;
曲线，曲线E是双曲线一部分和圆的一部分构成的图象，圆的圆心为，半径是3，
当，时，曲线方程可化为，与圆一个交点；
当，时，曲线方程可化为，无轨迹；
当，时，曲线方程可化为，与圆无交点；
当，时，曲线方程可化为，与圆一个交点；
对于D选项，可知曲线E与圆有两个公共点，D选项错误;
故选：D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ）
A. 若非零向量，，满足，，则有
B. 任意向量，，满足
C. 若，，是空间的一组基底，且，则四点共面
D. 已知向量，，若，则为锐角
【答案】CD
【解析】
【分析】根据空间向量的平行和垂直关系判断A；根据空间向量的数量积运算判断B；根据空间向量基本定理，及四点共面问题判断C；根据空间向量的夹角判断D．
【详解】对于A：若非零向量，，满足，，则，不一定平行，故A错误；
对于B：∵，不一定共线，则不一定成立，故B错误；
对于C：若、、是空间的一组基底，且，
则，即，
则四点共面，故C正确；
对于D：∵，
若，则，可得，
若共线，则，解得，
即当时，不共线，
∴为锐角，故D正确；
故选：CD.
【点睛】本题考查了空间向量基本定理，空间向量平行及四点共面问题以及空间向量的夹角 ，属于基础题．
10. 已知曲线，则下列结论正确的是（ ）
A. 若曲线C是椭圆，则其长轴长为B. 若，则曲线C表示双曲线
C. 曲线C可能表示一个圆D. 若，则曲线C中过焦点的最短弦长为
【答案】BD
【解析】
【分析】因为恒成立，所以，曲线C不可能为圆，可判断选项C错误，当时为椭圆，且焦点在轴上，可判断选项A错误，时为双曲线，所以选项B正切，时，曲线方程确定，需要用弦长公式求解弦长的最小值
【详解】解：由题意，若曲线C是椭圆，则，因为恒成立，所以椭圆的焦点在x轴上，所以其长轴长为，故A错误；
若，根据双曲线的定义可知曲线C表示双曲线，故B正确；
因为对任意的m恒成立，所以曲线C不可能表示一个圆，故C错误；
若，则曲线C为椭圆，方程为，焦点坐标为，
若过焦点的直线斜率为0时，此时该直线截椭圆C的弦长为；
若过焦点的直线斜率不为0时，不妨设该直线过椭圆C的右焦点，方程为，与椭圆C的两个交点分别为，
由，可得，
则有
，
当时，上式不等式可取等号，即
综上，可知椭圆中过焦点的最短弦长为，故D正确；
故选：BD
11. 如图，在棱长为的正方体中，分别为棱的中点，点为线段上的一点，则下列说法正确的是（ ）
A. 平面平面
B. 直线与所成角的余弦值为
C. 平面与平面夹角的余弦值为
D. 点到直线的距离的最小值为
【答案】AC
【解析】
【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据面面垂直、异面直线成角、面面角和点线距离的向量求法依次判断各个选项即可.
【详解】以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立如图空间直角坐标系，
则，，，，，，，，；
对于A，，，，
，，，，
又，平面，平面，
平面，平面平面，A正确；
对于B，，，，
即直线与所成角的余弦值为，B错误；
对于C，，，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，，
平面，平面的一个法向量为，
，
平面与平面所成角的余弦值为，C正确；
对于D，，设，则，
，又，
，
到直线的距离，
当时，，
即点到直线距离的最小值为，D错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 过点且与圆相切的直线方程为________.
【答案】或
【解析】
【分析】
分斜率存在和不存在两种情况进行讨论，利用圆心到直线的距离等于半径求切线方程.
【详解】解：当时，，所以在圆外，
由标准方程可知，圆心为，半径为，当所求切线斜率不存在时，方程为，
圆心到该直线距离为和半径相等，所以是所求切线；
当所求切线斜率存在时，设斜率为，则切线方程为，
即，圆心到直线的距离，解得，
所以切线方程为，
综上所述，切线方程为或.
故答案为: 或.
【点睛】本题考查了圆切线方程的求解，属于基础题.本题的易错点是未讨论全面.
13. 已知正项数列中，，，，则数列的前60项和______．
【答案】5
【解析】
【分析】由条件可知，数列是等差数列，求出，采用裂项相消法求出数列的前60项和.
【详解】由条件可知，数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，又，所以，
所以，
所以数列的前项和，
所以．
故答案为：5
【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，考查了裂项相消法求和，考查了学生的运算求解能力.
14. 如图，已知矩形中，，，现将沿对角线折成二面角，使，则异面直线和所成角___________.
【答案】
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用异面直线所成角的向量求法计算即可.
【详解】取中点M，连接
，，，
取中点H，，，.
分别以M为原点，，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示.
则，，，，
则，，
故，
又因为两异面直线的夹角范围是，
故异面直线和所成角为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 如图，四棱锥的底面为平行四边形，且，是的中点．
（1）若，求的值；
（2）求线段的长．
【答案】（1）0 （2）
【解析】
【分析】小问1利用空间向量的线性运算即可，小问2运用空间向量线性运算结合中点的条件，建立方程，求解即可.
【小问1详解】
，
【小问2详解】
，
．
16. 已知斜率且过点的直线与直线：相交于点．
（1）求以点为圆心且过点的圆的标准方程；
（2）求过点且与（1）中的圆相切的直线方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）联立直线与直线的方程求出点的坐标，再由在圆上，求出半径，进而求出圆的标准方程；
（2）设出切线方程，利用圆心到切线的距离等于半径即可求解.
【小问1详解】
解：：
即，：；
由，得，即．
因为在圆上，所以圆的半径；所以圆的方程为：；
【小问2详解】
解：由（1）知，圆的方程为：
因为，
所以
所以点在圆上
设过点圆切线方程为
当切线的斜率不存在时，切线方程为：
此时圆心到切线的距离为：，不符合题意
所以切线的斜率存在
设切线的斜率为，则的方程为即，
点到直线的距离为，即，
即所求直线的方程为，
所以过点圆的切线方程为方程．
17. 如图1，在边长为2的菱形ABCD中，于点，将沿DE折起到的位置，使，如图2．
（1）求证：平面BCDE；
（2）求二面角的余弦值；
（3）在线段BD上是否存在点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明见详解；
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）根据线面垂直判定证平面，再由线面垂直性质有，最后由线面垂直判定证结论；
（2）建立空间直角坐标系，应用向量法求二面角余弦值；
（3）令，,根据面面垂直及相关面的法向量列方程求参数，即可得答案.
【小问1详解】
因为，即,
又,平面，
所以平面，平面，所以.
又,平面，所以平面.
【小问2详解】
因为平面，，以为原点，为轴，建立空间直角坐标系，
则，所以,
设平面的法向量，由，得，
因为平面，所以平面的法向量，所以.
因为所求二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.
【小问3详解】
假设在线段上存在一点，使得平面平面,
设，，则.
所以，设平面的法向量，
由，令，得，
因为平面平面，所以，解得，
所以在线段上存在点，使得平面平面，且.
18. 已知椭圆C：的离心率为，其四个顶点构成的四边形面积为
（1）求椭圆C标准方程；
（2）若P是C上异于A，B的一点，不垂直于x轴的直线l交椭圆C于M，N两点，
①证明：定值；
②的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由．
【答案】（1）
（2）①证明见解析；②是，
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的四个顶点构成的四边形面积为，结合圆心率即可求解；
（2）①求出点和的坐标，设，代入椭圆的方程，求出，根据，即可求解；②设直线，，，联立直线和椭圆的方程写出韦达定理，根据求出和的关系式，根据求出，求出点到直线l的距离，求出的面积.
【小问1详解】
由题意可知椭圆的四个顶点构成的四边形面积为，且，
所以，，
椭圆的方程是；
【小问2详解】
①由题意可得，，
设，可得，
即，则，
因为，，
则；
②易知直线l的斜率存在，设直线，，，
联立直线和，可得，
可得，，
，
由，
可得，由弦长公式可得
，
点到直线l的距离为，
所以，
综上可知，的面积为定值
【点睛】关键点点睛：本题（2）①关键在于根据，求出.
19. “外观数列”(设各位上的数字均不为是指以下特点的整数序列：它以正整数开始，逐项地描述前一项的外观，将描述结果作为下一项．比如外观数列为：
第一项：
第二项：描述第一项为个
第三项：描述第二项为个个
第四项：描述第三项为个个个
第五项：描述第四项个个个．
（1）求“外观数列”的第三项和第五项；
（2）若从“外观数列”中随机选取一个数列，求该数列第二项小于第一项的概率；
（3）证明：当是六位数时，“外观数列”从首项开始最多连续项单调递减．
【答案】（1）第三项为第五项为
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据外观数列的定义，逐步分析前一项数字的组成并进行描述得到下一项.
（2）需要先找出所有可能的数列的第一项和第二项的情况，再根据概率的定义计算.
（3）证明当m是六位数时，“m - 外观数列”从首项开始最多连续4项单调递减，需要根据外观数列的定义和六位数的特征进行分析推理.
【小问1详解】
根据“外观数列”的定义得到，第三项为第五项为；
【小问2详解】
为一位数时，第项为两位数，不符合；
为两位数时，即为时，第二项为当大于时第二项小于第一项，此时有个符合.当由两种不同的数字构成时，第二项为四位数，不符合；
为三位数时，即为时，第二项为第二项小于第一项，此时有个符合.当由两种或三种数字构成时，第二项为四位数或六位数，不符合．
综上，总共有个数列符合，在所有数列中含的数有个，故总数为个，故第二项小于第一项的概率为．
【小问3详解】
证明：定义一个数列中连续相同若干个数字为一个数字串，数列中第项为．
若只有一个数字串，即则.若则为位数若则两种都不存在连续项单调递减．
若只有两个数字串，即则
若则至少三个数字串至少是位数不存在连续项单调递减
若此时同理或否则
若则当时
当时两种都不存在连续项单调递减
若则
若则不符合题意
若则此时存在连续项单调递减
若只有三个数字串，即
若则至少四个数字串不存在连续项单调递减；
当时，同理或或；
若则同理或又时矛盾，
若与矛盾.若则
同理或又时矛盾，若则不存在连续项单调递减.同理可得和不存在连续项单调递减．
若有四个以上数字串，则不存在连续项单调递减所以当是六位数时，“外观数列”从首项开始最多连续项单调递减．
【点睛】方法点睛：新定义问题的求解过程可以模型化，一般解题步骤如下：
第一步：提取信息 — 对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号，
第二步：加工信息 — 细细品味新定义的概念、法则，对所提取的信息进行加工，探求解决方法，有时可以用学过的或熟悉的相近知识进行类比，明确它们的共同点和不同点
第三步：迁移转化 — 如果是新定义的运算法则，直接按照运算法则计算即可，如果是新定义的性质，一般需要理解和转化性质的含义，得到性质的等价条件（如等量关系、图形的位置关系等）
第四步：计算，得结论 — 结合题意进行严密的逻辑推理、计算，得结论