第20讲　同角三角函数的基本关系式与诱导公式高考数学一轮复习讲义练习

这是一份第20讲　同角三角函数的基本关系式与诱导公式高考数学一轮复习讲义练习，共9页。试卷主要包含了 已知α为第二象限角，化简等内容，欢迎下载使用。

激活思维
1. (人A必一P194习题T5)已知sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,2)＋α))＝ eq \f(3,5)，那么cs α＝( )
A. － eq \f(4,5)B. － eq \f(3,5)
C. eq \f(3,5)D. eq \f(4,5)
2. 若α为第二象限角，且sin α＝ eq \f(1,3)，则tan α＝( )
A. 2 eq \r(2)B. －2 eq \r(2)
C. eq \f(\r(2),4)D. － eq \f(\r(2),4)
3. (人A 必一P195习题T8)已知sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))＝ eq \f(1,3)，且0＜x＜ eq \f(π,2)，则sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋x))＝______________，cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋x))＝______________．
4. (人A 必一P186习题T16)已知α为第二象限角，化简： eq \r(\f(1＋sin α,1－sin α))－ eq \r(\f(1－sin α,1＋sin α))＝_____________．
5. (人A 必一P255复习参考题T17改编)已知sin α－cs α＝ eq \f(1,5)，0≤α≤π，则sin 2α＝______________，cs 2α＝______________．
1．同角三角函数的基本关系
2. 三角函数的诱导公式
3. 常见的互余和互补的几组角
研题型 素养养成
举题说法
同角关系式的基本应用
视角1 知一求二
例 1-1 若α＋β＝ eq \f(π,2)， eq \r(2)sin α＋sin β＝ eq \r(3)，则tan α＝( )
A. eq \f(\r(2),2)B. eq \r(2)
C. 1D. eq \r(3)
视角2 齐次式的计算
例 1-2 已知tan α＝－ eq \f(1,3).
(1) 求 eq \f(sin α－2cs α,3sin α＋4cs α)的值；
(2) 求sin2α－3sinαcs α＋1的值．
视角3 和积转换
例1-3 已知sin x＋cs x＝a(a∈[－ eq \r(2)， eq \r(2)]，a≠±1)，求值：
(1) sin x cs x；
(2) sin3x＋cs3x；
(3)tan x.
同角三角函数基本关系式的应用技巧
变式 1-3 (1) 已知sin α，cs α是关于x的一元二次方程2x2＋x－2m＝0的两根，则实数m的值为______________；若0＜α＜π，则sin α－cs α＝_____________．
(2) (2021·新高考Ⅰ卷)若tan θ＝－2，则 eq \f(sin θ(1＋sin 2θ),sin θ＋cs θ)＝( )
A. － eq \f(6,5)B. － eq \f(2,5)
C. eq \f(2,5)D. eq \f(6,5)
诱导公式的应用
例2 (1) 化简：
eq \f(cs (π＋α)cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11π,2)－α)),cs (π－α)sin (－π－α)sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9π,2)＋α)))＝_____________．
(2) 已知cs (75°＋α)＝ eq \f(1,3)，则cs (105°－α)＋sin (15°－α)＝______________．
诱导公式的两个应用：
(1) 求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．
(2) 化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
变式2 (1) (2025·黄冈期初)若sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2)))＋3cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))＝0，则tan 2α＝( )
A. － eq \f(4,3)B. eq \f(4,3)
C. － eq \f(3,4)D. eq \f(3,4)
(2) 已知sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－x))＝ eq \f(1,3)，则cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＝( )
A. － eq \f(2\r(2),3) B. － eq \f(1,3) C. eq \f(1,3) D. eq \f(2\r(2),3)
三角函数的化简与证明
例3 求证： eq \f(2sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(3π,2)))cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,2)))－1,1－2sin2(π＋θ))＝ eq \f(tan(9π＋θ)＋1,tan (π＋θ)－1).
(1) 熟练掌握三角函数的诱导公式和同角三角函数间基本关系式，是解决此类问题的关键；
(2) 利用同角三角函数的关系和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．
随堂内化
1. (2024·衡水、承德二模)已知tan α＝2，则 eq \f(sin 3α,sin α＋cs α)＝( )
A. － eq \f(2,15)B. eq \f(2,15)
C. － eq \f(7,9)D. eq \f(7,9)
2.(2025·苏州期中)若对于任意的实数x∈R都有cs (x－θ)＝sin x cs θ＋cs x sin θ成立，则θ的值可能是( )
A. eq \f(π,4)B. － eq \f(π,2)
C. － eq \f(π,4)D. 0
3. (2024·衡阳二联)已知α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(3π,2)))＝ eq \f(8,17)，则tan α＝( )
A. eq \f(1,4)B. eq \f(1,2)
C. 2D. 4
4. (2024·岳阳二模)已知n∈Z，sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(nπ,2)＋α))＋cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(nπ,2)－α))＝ eq \f(1,3)，则( )
A. cs α＋sin α＝ eq \f(1,3)
B. cs α＋sin α＝－ eq \f(1,3)
C. sin 2α＝－ eq \f(8,9)
D. sin 2α＝ eq \f(8,9)
配套精练
A组 夯基精练
一、 单项选择题
1. (2024·泰安三模)若tan α＝2，则 eq \f(sin 2α,cs 2α－sin2α)＝( )
A．－ eq \f(4,7) B. eq \f(2,3)
C. eq \f(4,9) D. eq \f(4,7)
2.(2021·全国甲卷)若α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，tan 2α＝ eq \f(cs α,2－sin α)，则tan α＝( )
A. eq \f(\r(15),15) B. eq \f(\r(5),5)
C. eq \f(\r(5),3) D. eq \f(\r(15),3)
3. (2024·运城期中)已知α∈(0，π)，若sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(2 025π,2)))＝ eq \f(2＋\r(3),4)，则sin α＝( )
A. eq \f(\r(3)－1,8) B. eq \f(\r(3)－1,4)
C. eq \f(\r(3)＋1,8) D. eq \f(\r(3)＋1,4)
4. 已知tan α＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0＜α＜\f(π,2)))，则 eq \f(\r(1＋sin 2α)＋\r(1－sin 2α),sin α＋cs α)＝( )
A. eq \f(2,3) B. － eq \f(2,3)
C. eq \f(4,3) D. － eq \f(4,3)
二、 多项选择题
5. (2024·常州期中)已知α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，且3cs 2α＋sin α＝1，则下列结论不正确的是( )
A. sin (π－α)＝ eq \f(2,3) B. cs (π－α)＝－ eq \f(2,3)
C. sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－ eq \f(\r(5),3) D. cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－ eq \f(\r(5),3)
6. 已知sin (α－π)＋2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＝0，则下列结论正确的有( )
A. tan α＝2
B. sin α－cs α＝ eq \f(\r(5),5)
C. sin αcs α＋cs2α＝ eq \f(3,5)
D． eq \f(sin α＋cs α,sin α－cs α)＝ eq \f(1,3)
7. 已知θ∈(0，π)，sin θ＋cs θ＝ eq \f(1,5)，则下列结论正确的是( )
A. sin θ－cs θ＝－ eq \f(7,5) B. cs θ＝－ eq \f(3,5)
C. tan θ＝－ eq \f(3,4) D. sin4θ－cs4θ＝ eq \f(7,25)
三、 填空题
8. (2023·全国乙卷文)若θ∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，tan θ＝ eq \f(1,2)，则sin θ－cs θ＝______________．
9. 已知sin α＝ eq \f(2m－3,m＋2)，cs α＝－ eq \f(m＋1,m＋2)，且α为第二象限角，则 eq \f(sin (α＋2 024π)＋cs (α＋2 025π),cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(2 023π,2))))＝_____________．
10. (2024·武汉5月训练)若 eq \f(1＋tan α,1－tan α)＝ eq \r(3)，则sin4α＋cs4α＝_____________．
四、解答题
11. 已知 eq \f(π,2)＜α＜π，tan α－ eq \f(1,tan α)＝－ eq \f(3,2).
(1) 求tan α的值；
(2) 求 eq \f(cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))－cs (π－α),sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)))的值．
12. (1) 已知角α的终边经过点P(－4，3)，先化简，再求值： eq \f(1－cs2α,sinα－cs α)－ eq \f(sin α＋cs α,tan 2α－1).
(2) 计算 eq \f(\r(1－2sin 40°cs 40°),cs 40°－\r(1－sin250°))的值．
13. 在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，角α的终边OA与单位圆的交点坐标为A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，－\f(1,2)))(m＜0)，射线OA绕点O按逆时针方向旋转θ弧度后交单位圆于点B，点B的纵坐标y关于θ的函数为y＝f(θ).
(第13题)
(1) 求函数y＝f(θ)的解析式，并求f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)))的值；
(2) 若f(θ)＝ eq \f(\r(3),4)，θ∈(0，π)，求tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))的值．
B组 能力提升练
14. (2025·邯郸期中)已知α∈(0，π)，且3tan α＝10cs 2α，则cs α的值可能为( )
A. － eq \f(\r(10),10) B. － eq \f(\r(5),5) C. eq \f(\r(10),10) D. eq \f(\r(5),5)
15. 若f(x)＝ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3π,7))))) eq \s\up12(2)＋ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\r(3)＋cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,14))))) eq \s\up12(2)，则f(x)的最大值为____________，f(x)的最小值为_____________．
基本关系
常用变形
平方
关系
____________
sin2α＝1－cs2α＝(1＋csα)(1－cs α)，
cs2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sin α)
商数
关系
tan α＝_____________
sin α＝tan αcs α eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))
角
2kπ＋α
(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
eq \f(π,2)－α
eq \f(π,2)＋α
正弦
sin α
－sin α
－sin α
sin α
cs α
_cs α_
余弦
cs α
－cs α
cs α
_－cs α_
sin α
－sin α
正切
tan α
tan α
－tan α
_－tan α_
记忆规
律及
解释
奇变偶不变，符号看象限
“奇”“偶”指的是“k· eq \f(π,2)＋α(k∈Z)”中的k是奇数还是偶数；
“变”与“不变”是指函数的名称的变化；
“符号看象限”指的是在“k· eq \f(π,2)＋α(k∈Z)”中，将α看成锐角时，“k· eq \f(π,2)＋α(k∈Z)”的终边所在的象限
互余的角
eq \f(π,3)－α与 eq \f(π,6)＋α； eq \f(π,3)＋α与 eq \f(π,6)－α； eq \f(π,4)＋α与 eq \f(π,4)－α等
互补的角
eq \f(π,3)＋θ与 eq \f(2π,3)－θ； eq \f(π,4)＋θ与 eq \f(3π,4)－θ等
技巧
解读
适合题型
切弦
互化
利用公式tan θ＝ eq \f(sin θ,cs θ)化成正弦、余弦，或利用公式 eq \f(sin θ,cs θ)＝tan θ化成正切
表达式中含有sin θ，cs θ 与tan θ，知一求二(方程思想)
“1”的
变换
1＝sin2θ＋cs2θ＝cs2θ(1＋tan2θ)＝(sinθ±cs θ)2∓2sin θcs θ＝tan eq \f(π,4)
表达式中需要利用“1”转化
和积
转换
利用关系式(sin θ±cs θ)2＝1±2sin θ·cs θ进行变形、转化
表达式中含有sin θ±cs θ 或sin θcs θ