第20讲　同角三角函数的基本关系式与诱导公式高考数学一轮复习讲义练习

这是一份第20讲　同角三角函数的基本关系式与诱导公式高考数学一轮复习讲义练习，共13页。试卷主要包含了 已知α为第二象限角，化简等内容，欢迎下载使用。

激活思维
1. (人A必一P194习题T5)已知sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,2)＋α))＝ eq \f(3,5)，那么cs α＝( B )
A. － eq \f(4,5)B. － eq \f(3,5)
C. eq \f(3,5)D. eq \f(4,5)
【解析】 因为sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,2)＋α))＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4π－\f(π,2)＋α))＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋α))＝－sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝－cs α＝ eq \f(3,5)，所以cs α＝－ eq \f(3,5).
2. 若α为第二象限角，且sin α＝ eq \f(1,3)，则tan α＝( D )
A. 2 eq \r(2)B. －2 eq \r(2)
C. eq \f(\r(2),4)D. － eq \f(\r(2),4)
【解析】 因为α为第二象限角，sin α＝ eq \f(1,3)，所以cs α＝－ eq \r(1－sin2α)＝－ eq \f(2\r(2),3)，则tanα＝ eq \f(sin α,cs α)＝－ eq \f(\r(2),4).
3. (人A 必一P195习题T8)已知sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))＝ eq \f(1,3)，且0＜x＜ eq \f(π,2)，则sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋x))＝_ eq \f(2\r(2),3)_，cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋x))＝_－ eq \f(2\r(2),3)_．
【解析】 因为0＜x＜ eq \f(π,2)，所以－ eq \f(π,6)＜ eq \f(π,3)－x＜ eq \f(π,3)，又sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))＝ eq \f(1,3)＞0，所以0＜ eq \f(π,3)－x＜ eq \f(π,3)，所以cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))＝ eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x)))＝ eq \f(2\r(2),3).sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋x))＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))))＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))＝ eq \f(2\r(2),3)；cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋x))＝cs eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))))＝－cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))＝－ eq \f(2\r(2),3).
4. (人A 必一P186习题T16)已知α为第二象限角，化简： eq \r(\f(1＋sin α,1－sin α))－ eq \r(\f(1－sin α,1＋sin α))＝_－2tan α_．
【解析】 因为α为第二象限角，所以sin α＞0，cs α＜0， eq \r(\f(1＋sin α,1－sin α))－ eq \r(\f(1－sin α,1＋sin α))＝ eq \r(\f((1＋sin α)2,(1－sin α)(1＋sin α)))－ eq \r(\f((1－sin α)2,(1＋sin α)(1－sin α)))＝ eq \r(\f((1＋sin α)2,cs2α))－ eq \r(\f((1－sinα)2,cs2α))＝－ eq \f(1＋sinα,cs α)＋ eq \f(1－sin α,cs α)＝－2tan α.
5. (人A 必一P255复习参考题T17改编)已知sin α－cs α＝ eq \f(1,5)，0≤α≤π，则sin 2α＝_ eq \f(24,25)_，cs 2α＝_－ eq \f(7,25)_．
【解析】 将sin α－cs α＝ eq \f(1,5)两边平方得1－2sin αcs α＝ eq \f(1,25)，所以2sin αcs α＝ eq \f(24,25)，又0≤α≤π，所以α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以(sin α＋cs α)2＝1＋2sin αcs α＝1＋ eq \f(24,25)＝ eq \f(49,25)，从而sin α＋cs α＝ eq \f(7,5).联立 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin α－cs α＝\f(1,5)，,sin α＋cs α＝\f(7,5)，))得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin α＝\f(4,5)，,cs α＝\f(3,5)，))所以sin 2α＝2sin αcs α＝ eq \f(24,25)，cs 2α＝cs2α－sin2α＝－ eq \f(7,25).
聚焦知识
1．同角三角函数的基本关系
2. 三角函数的诱导公式
3. 常见的互余和互补的几组角
研题型 素养养成
举题说法
同角关系式的基本应用
视角1 知一求二
例 1-1 若α＋β＝ eq \f(π,2)， eq \r(2)sin α＋sin β＝ eq \r(3)，则tan α＝( B )
A. eq \f(\r(2),2)B. eq \r(2)
C. 1D. eq \r(3)
【解析】 因为α＋β＝ eq \f(π,2)，所以β＝ eq \f(π,2)－α，所以 eq \r(2)sin α＋sin β＝ eq \r(2)sin α＋sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝ eq \r(2)sin α＋cs α＝ eq \r(3).联立 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1( eq \r(2)sin α＋cs α＝ eq \r(3)，, sin2α＋cs2α＝1，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin α＝\f(\r(6),3)，,cs α＝\f(\r(3),3)，))因此tan α＝ eq \f(sin α,cs α)＝ eq \r(2).
视角2 齐次式的计算
例 1-2 已知tan α＝－ eq \f(1,3).
(1) 求 eq \f(sin α－2cs α,3sin α＋4cs α)的值；
【解答】 eq \f(sin α－2cs α,3sin α＋4cs α)＝ eq \f(\f(sin α－2cs α,cs α),\f(3sin α＋4cs α,cs α))＝ eq \f(tan α－2,3tan α＋4)＝ eq \f(－\f(1,3)－2,3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＋4)＝－ eq \f(7,9).
(2) 求sin2α－3sinαcs α＋1的值．
【解答】 sin2α－3sinαcs α＋1＝sin2α－3sinαcs α＋(sin2α＋cs2α)＝ eq \f(2sin2α－3sinαcs α＋cs2α,sin2α＋cs2α)＝ eq \f(2tan2α－3tanα＋1,tan2α＋1)＝ eq \f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))\s\up12(2)－3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＋1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))\s\up12(2)＋1)＝ eq \f(\f(2,9)＋1＋1,\f(1,9)＋1)＝2.
视角3 和积转换
例1-3 已知sin x＋cs x＝a(a∈[－ eq \r(2)， eq \r(2)]，a≠±1)，求值：
(1) sin x cs x；
【解答】 由sin x＋cs x＝a(a∈[－ eq \r(2)， eq \r(2)]，a≠±1)，可得(sin x＋cs x)2＝a2，即1＋2sin x cs x＝a2，所以sin x cs x＝ eq \f(a2－1,2).
(2) sin3x＋cs3x；
【解答】sin3x＋cs3x＝(sinx＋cs x)(sin2x－sinx cs x＋cs2x)＝a eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(a2－1,2)))＝ eq \f(a(3－a2),2).
(3)tan x.
【解答】 由于sin x cs x＝ eq \f(a2－1,2)，故 eq \f(sin x cs x,sin2x＋cs2x)＝ eq \f(a2－1,2)，所以 eq \f(tanx,tan 2x＋1)＝ eq \f(a2－1,2)，即(a2－1)tan 2x－2tan x＋a2－1＝0.由于a∈[－ eq \r(2)， eq \r(2)]，a≠±1，故Δ＝4－4(a2－1)2＝4a2(2－a2)≥0，故tan x＝ eq \f(2±\r(4a2(2－a2)),2(a2－1))＝ eq \f(1±\r(a2(2－a2)),a2－1)＝ eq \f(1±a\r(2－a2),a2－1).
同角三角函数基本关系式的应用技巧
变式 1-3 (1) 已知sin α，cs α是关于x的一元二次方程2x2＋x－2m＝0的两根，则实数m的值为_ eq \f(3,8)_；若0＜α＜π，则sin α－cs α＝_ eq \f(\r(7),2)_．
【解析】 由已知得sin α＋cs α＝－ eq \f(1,2)①，sin αcs α＝－m②，将①两边同时平方得sin2α＋cs2α＋2sinαcs α＝ eq \f(1,4)，则sin αcs α＝－ eq \f(3,8)，所以m＝ eq \f(3,8).又0＜α＜π，sin α＋cs α＝－ eq \f(1,2)，sin αcs α＝－ eq \f(3,8)，所以sin α＞0，cs α＜0，所以sin α－cs α＞0，sin α－cs α＝ eq \r((sin α－cs α)2)＝ eq \r(1－2sin αcs α)＝ eq \r(1－2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,8))))＝ eq \f(\r(7),2).
(2) (2021·新高考Ⅰ卷)若tan θ＝－2，则 eq \f(sin θ(1＋sin 2θ),sin θ＋cs θ)＝( C )
A. － eq \f(6,5)B. － eq \f(2,5)
C. eq \f(2,5)D. eq \f(6,5)
【解析】 eq \f(sin θ(1＋sin 2θ),sin θ＋cs θ)＝ eq \f(sin θ(sin 2θ＋cs 2θ＋2sin θcs θ),sin θ＋cs θ)＝sin θ(sin θ＋cs θ)＝ eq \f(sin θ(sin θ＋cs θ),sin 2θ＋cs 2θ)＝ eq \f(tan 2θ＋tan θ,1＋tan 2θ)＝ eq \f(4－2,1＋4)＝ eq \f(2,5).
诱导公式的应用
例2 (1) 化简：
eq \f(cs (π＋α)cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11π,2)－α)),cs (π－α)sin (－π－α)sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9π,2)＋α)))＝_tan α_．
【解析】 由诱导公式得，原式＝ eq \f(－cs α(－sin α)cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α)),－cs αsin αsin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)))＝ eq \f(sin2α(－csα),－sin αcs2α)＝tanα.
(2) 已知cs (75°＋α)＝ eq \f(1,3)，则cs (105°－α)＋sin (15°－α)＝_0_．
【解析】 因为(105°－α)＋(75°＋α)＝180°，(15°－α)＋(α＋75°)＝90°，所以cs (105°－α)＝cs [180°－(75°＋α)]＝－cs (75°＋α)＝－ eq \f(1,3)，sin (15°－α)＝sin [90°－(α＋75°)]＝cs (75°＋α)＝ eq \f(1,3).故cs (105°－α)＋sin (15°－α)＝－ eq \f(1,3)＋ eq \f(1,3)＝0.
诱导公式的两个应用：
(1) 求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．
(2) 化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
变式2 (1) (2025·黄冈期初)若sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2)))＋3cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))＝0，则tan 2α＝( D )
A. － eq \f(4,3)B. eq \f(4,3)
C. － eq \f(3,4)D. eq \f(3,4)
【解析】 原方程可化为－cs α＋3sin α＝0⇒tan α＝ eq \f(1,3)，故tan 2α＝ eq \f(2tan α,1－tan 2α)＝ eq \f(\f(2,3),1－\f(1,9))＝ eq \f(3,4).
(2) 已知sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－x))＝ eq \f(1,3)，则cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＝( C )
A. － eq \f(2\r(2),3) B. － eq \f(1,3) C. eq \f(1,3) D. eq \f(2\r(2),3)
【解析】 cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))))＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－x))＝ eq \f(1,3).
三角函数的化简与证明
例3 求证： eq \f(2sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(3π,2)))cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,2)))－1,1－2sin2(π＋θ))＝ eq \f(tan(9π＋θ)＋1,tan (π＋θ)－1).
【解答】 左边＝ eq \f(2sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,2)))(－sin θ)－1,1－2sin2θ)＝ eq \f(－2sinθcs θ－1,1－2sin2θ)＝ eq \f(－2sinθcs θ－(sin2θ＋cs2θ),sin2θ＋cs2θ－2sin2θ)＝ eq \f(－(sinθ＋cs θ)2,(cs θ＋sin θ)(cs θ－sin θ))＝ eq \f(sin θ＋cs θ,sin θ－cs θ)，右边＝ eq \f(tan θ＋1,tan θ－1)＝ eq \f(\f(sin θ,cs θ)＋1,\f(sin θ,cs θ)－1)＝ eq \f(sin θ＋cs θ,sin θ－cs θ)，所以左边＝右边，即得证．
(1) 熟练掌握三角函数的诱导公式和同角三角函数间基本关系式，是解决此类问题的关键；
(2) 利用同角三角函数的关系和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．
随堂内化
1. (2024·衡水、承德二模)已知tan α＝2，则 eq \f(sin 3α,sin α＋cs α)＝( A )
A. － eq \f(2,15)B. eq \f(2,15)
C. － eq \f(7,9)D. eq \f(7,9)
【解析】 eq \f(sin 3α,sin α＋cs α)＝ eq \f(sin αcs 2α＋cs αsin 2α,sin α＋cs α)＝ eq \f(tan αcs 2α＋sin 2α,tan α＋1)＝ eq \f(2cs 2α＋sin 2α,3)＝ eq \f(2(cs2α－sin2α)＋2sinαcs α,3(sin2α＋cs2α))＝ eq \f(2(1－tan2α)＋2tanα,3(tan2α＋1))＝－ eq \f(2,15).
2.(2025·苏州期中)若对于任意的实数x∈R都有cs (x－θ)＝sin x cs θ＋cs x sin θ成立，则θ的值可能是( A )
A. eq \f(π,4)B. － eq \f(π,2)
C. － eq \f(π,4)D. 0
【解析】 cs (x－θ)＝sin x cs θ＋cs x sin θ＝sin (x＋θ)＝sin (x－θ＋2θ)，故2θ＝ eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，即θ＝ eq \f(π,4)＋kπ，k∈Z，当k＝0时，θ＝ eq \f(π,4)，经检验，只有A满足题意．
3. (2024·衡阳二联)已知α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(3π,2)))＝ eq \f(8,17)，则tan α＝( A )
A. eq \f(1,4)B. eq \f(1,2)
C. 2D. 4
【解析】 由cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(3π,2)))＝ eq \f(8,17)，得sin 2α＝ eq \f(8,17)，所以2sin αcs α＝ eq \f(8,17)⇒ eq \f(2sin αcs α,sin 2α＋cs 2α)＝ eq \f(8,17)⇒ eq \f(2tan α,1＋tan 2α)＝ eq \f(8,17)⇒tan α＝4或tan α＝ eq \f(1,4).又α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，所以0＜tan α＜1，所以tan α＝ eq \f(1,4).
4. (2024·岳阳二模)已知n∈Z，sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(nπ,2)＋α))＋cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(nπ,2)－α))＝ eq \f(1,3)，则( C )
A. cs α＋sin α＝ eq \f(1,3)
B. cs α＋sin α＝－ eq \f(1,3)
C. sin 2α＝－ eq \f(8,9)
D. sin 2α＝ eq \f(8,9)
【解析】 设k∈Z，当n＝4k时，sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(nπ,2)＋α))＋cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(nπ,2)－α))＝sin (2kπ＋α)＋cs (2kπ－α)＝sin α＋cs α＝ eq \f(1,3).当n＝4k＋1时，sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(nπ,2)＋α))＋cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(nπ,2)－α))＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)＋α))＋cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)－α))＝cs α＋sin α＝ eq \f(1,3).当n＝4k＋2时，sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(nπ,2)＋α))＋cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(nπ,2)－α))＝sin (2kπ＋π＋α)＋cs (2kπ＋π－α)＝－sin α－cs α＝ eq \f(1,3)，此时cs α＋sin α＝－ eq \f(1,3).当n＝4k＋3时，sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(nπ,2)＋α))＋cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(nπ,2)－α))＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(3π,2)＋α))＋cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(3π,2)－α))＝－sin α－cs α＝ eq \f(1,3)，此时cs α＋sin α＝－ eq \f(1,3).综上，cs α＋sin α＝± eq \f(1,3)，(sin α＋cs α)2＝sin2α＋cs2α＋2sinαcs α＝sin2α＋cs2α＋sin2α＝1＋sin 2α＝ eq \f(1,9)，所以sin 2α＝－ eq \f(8,9).
练案❶ 趁热打铁，事半功倍．请老师布置同学们及时完成《配套精练》．
练案❷ 1. 补不足、提能力，老师可增加训练《抓分题·高考夯基固本天天练》(提高版)对应内容，成书可向当地发行咨询购买．
2. 为提高高考答卷速度及综合应考能力，老师可适时安排《一年好卷》或《抓分卷·高考增分提速天天练》(提高版)，成书可向当地发行咨询购买．
配套精练
A组 夯基精练
一、 单项选择题
1. (2024·泰安三模)若tan α＝2，则 eq \f(sin 2α,cs 2α－sin2α)＝( A )
A．－ eq \f(4,7) B. eq \f(2,3)
C. eq \f(4,9) D. eq \f(4,7)
【解析】 eq \f(sin 2α,cs 2α－sin2α)＝ eq \f(2sinαcs α,cs2α－2sin2α)＝ eq \f(2tanα,1－2tan2α)＝ eq \f(4,1－8)＝－ eq \f(4,7).
2.(2021·全国甲卷)若α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，tan 2α＝ eq \f(cs α,2－sin α)，则tan α＝( A )
A. eq \f(\r(15),15) B. eq \f(\r(5),5)
C. eq \f(\r(5),3) D. eq \f(\r(15),3)
【解析】 因为tan 2α＝ eq \f(cs α,2－sin α)，所以tan 2α＝ eq \f(sin 2α,cs 2α)＝ eq \f(2sin αcs α,1－2sin2α)＝ eq \f(csα,2－sin α)，因为α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以cs α≠0，所以 eq \f(2sin α,1－2sin2α)＝ eq \f(1,2－sinα)，解得sin α＝ eq \f(1,4)，所以cs α＝ eq \r(1－sin2α)＝ eq \f(\r(15),4)，所以tanα＝ eq \f(sin α,cs α)＝ eq \f(\r(15),15).
3. (2024·运城期中)已知α∈(0，π)，若sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(2 025π,2)))＝ eq \f(2＋\r(3),4)，则sin α＝( B )
A. eq \f(\r(3)－1,8) B. eq \f(\r(3)－1,4)
C. eq \f(\r(3)＋1,8) D. eq \f(\r(3)＋1,4)
【解析】 sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(2 025π,2)))＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋1 012π＋\f(π,2)))＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,2)))＝cs 2α，若sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(2 025π,2)))＝ eq \f(2＋\r(3),4)，则cs 2α＝1－2sin2α＝ eq \f(2＋\r(3),4)，所以sin2α＝ eq \f(2－\r(3),8)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)－1,4))) eq \s\up12(2).又因为α∈(0，π)，则sinα＞0，所以sin α＝ eq \f(\r(3)－1,4).
4. 已知tan α＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0＜α＜\f(π,2)))，则 eq \f(\r(1＋sin 2α)＋\r(1－sin 2α),sin α＋cs α)＝( C )
A. eq \f(2,3) B. － eq \f(2,3)
C. eq \f(4,3) D. － eq \f(4,3)
【解析】 因为 eq \r(1＋sin 2α)＋ eq \r(1－sin 2α)＝ eq \r((sin α＋cs α)2)＋ eq \r((sin α－cs α)2)，tan α＝ eq \f(sin α,cs α)＜1 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0＜α＜\f(π,2)))，所以0＜α＜ eq \f(π,4)，0＜sin α＜cs α，sin α＋cs α＞0，sin α－cs α＜0，则 eq \r(1＋sin 2α)＋ eq \r(1－sin 2α)＝sin α＋cs α＋cs α－sin α＝2cs α.所以 eq \f(\r(1＋sin 2α)＋\r(1－sin 2α),sin α＋cs α)＝ eq \f(2cs α,sin α＋cs α)＝ eq \f(2,tan α＋1)＝ eq \f(4,3).
二、 多项选择题
5. (2024·常州期中)已知α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，且3cs 2α＋sin α＝1，则下列结论不正确的是( BCD )
A. sin (π－α)＝ eq \f(2,3) B. cs (π－α)＝－ eq \f(2,3)
C. sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－ eq \f(\r(5),3) D. cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－ eq \f(\r(5),3)
【解析】 因为3cs 2α＋sin α＝1，α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以3(1－2sin2α)＋sinα＝1，即6sin2α－sinα－2＝0，所以sin α＝ eq \f(2,3)或sin α＝－ eq \f(1,2)(舍去)，所以cs α＝ eq \f(\r(5),3)，sin (π－α)＝sin α＝ eq \f(2,3)，cs (π－α)＝－cs α＝－ eq \f(\r(5),3)，sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝cs α＝ eq \f(\r(5),3)，cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－sin α＝－ eq \f(2,3).
6. 已知sin (α－π)＋2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＝0，则下列结论正确的有( AC )
A. tan α＝2
B. sin α－cs α＝ eq \f(\r(5),5)
C. sin αcs α＋cs2α＝ eq \f(3,5)
D． eq \f(sin α＋cs α,sin α－cs α)＝ eq \f(1,3)
【解析】 由sin (α－π)＋2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＝0，得－sin α＋2cs α＝0⇒tan α＝2，故A正确．sin αcs α＋cs2α＝ eq \f(sinαcs α＋cs2α,cs2α＋sin2α)＝ eq \f(tanα＋1,1＋tan2α)＝ eq \f(2＋1,1＋4)＝ eq \f(3,5)，故C正确． eq \f(sinα＋cs α,sin α－cs α)＝ eq \f(tan α＋1,tan α－1)＝ eq \f(2＋1,2－1)＝3，故D错误．因为tan α＝2＞0，所以α为第一或第三象限角．若α为第一象限角，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin2α＋cs2α＝1，,\f(sinα,cs α)＝2，,sin α＞0，cs α＞0))⇒ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin α＝\f(2\r(5),5)，,cs α＝\f(\r(5),5)，))所以sin α－cs α＝ eq \f(\r(5),5)；若α为第三象限角，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin2α＋cs2α＝1，,\f(sinα,cs α)＝2，,sin α＜0，cs α＜0))⇒ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin α＝－\f(2\r(5),5)，,cs α＝－\f(\r(5),5)，))所以sin α－cs α＝－ eq \f(\r(5),5)，故B错误．
7. 已知θ∈(0，π)，sin θ＋cs θ＝ eq \f(1,5)，则下列结论正确的是( BD )
A. sin θ－cs θ＝－ eq \f(7,5) B. cs θ＝－ eq \f(3,5)
C. tan θ＝－ eq \f(3,4) D. sin4θ－cs4θ＝ eq \f(7,25)
【解析】因为sin θ＋cs θ＝ eq \f(1,5)①，所以(sin θ＋cs θ)2＝1＋2sin θcs θ＝ eq \f(1,25)，则2sin θcs θ＝－ eq \f(24,25).因为θ∈(0，π)，所以sin θ＞0，cs θ＜0，所以θ∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，所以(sin θ－cs θ)2＝1－2sin θcs θ＝ eq \f(49,25)，所以sin θ－cs θ＝ eq \f(7,5)②，故A错误；联立①②可得sin θ＝ eq \f(4,5)，cs θ＝－ eq \f(3,5)，故B正确；tan θ＝ eq \f(sin θ,cs θ)＝－ eq \f(4,3)，故C错误；sin4θ－cs4θ＝(sin2θ－cs2θ)(sin2θ＋cs2θ)＝(sinθ－cs θ)(sin θ＋cs θ)＝ eq \f(7,25)，故D正确．
三、 填空题
8. (2023·全国乙卷文)若θ∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，tan θ＝ eq \f(1,2)，则sin θ－cs θ＝_－ eq \f(\r(5),5)_．
【解析】 因为θ∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以sin θ＞0，cs θ＞0.又因为tan θ＝ eq \f(sin θ,cs θ)＝ eq \f(1,2)，所以cs θ＝2sin θ，且cs2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1，解得sinθ＝ eq \f(\r(5),5)或sin θ＝－ eq \f(\r(5),5)(舍去)，所以sin θ－cs θ＝sin θ－2sin θ＝－sin θ＝－ eq \f(\r(5),5).
9. 已知sin α＝ eq \f(2m－3,m＋2)，cs α＝－ eq \f(m＋1,m＋2)，且α为第二象限角，则 eq \f(sin (α＋2 024π)＋cs (α＋2 025π),cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(2 023π,2))))＝_ eq \f(7,3)_．
【解析】 因为sin α＝ eq \f(2m－3,m＋2)，cs α＝－ eq \f(m＋1,m＋2)，且α为第二象限角，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2m－3,m＋2)＞0，,－\f(m＋1,m＋2)＜0，))解得m＜－2或m＞ eq \f(3,2).因为sin2α＋cs2α＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2m－3,m＋2))) eq \s\up12(2)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(m＋1,m＋2))) eq \s\up12(2)＝ eq \f(5m2－10m＋10,m2＋4m＋4)＝1，整理可得2m2－7m＋3＝0，即(2m－1)(m－3)＝0，解得m＝ eq \f(1,2)(舍去)或m＝3，所以sinα＝ eq \f(2m－3,m＋2)＝ eq \f(3,5)，cs α＝－ eq \f(m＋1,m＋2)＝－ eq \f(4,5)，所以tan α＝ eq \f(sin α,cs α)＝－ eq \f(3,4)，因此 eq \f(sin (α＋2 024π)＋cs (α＋2 025π),cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(2 023π,2))))＝ eq \f(sin α－cs α,sin α)＝1－ eq \f(1,tan α)＝1＋ eq \f(4,3)＝ eq \f(7,3).
10. (2024·武汉5月训练)若 eq \f(1＋tan α,1－tan α)＝ eq \r(3)，则sin4α＋cs4α＝_ eq \f(7,8)_．
【解析】由 eq \f(1＋tan α,1－tan α)＝ eq \r(3)得 eq \f(cs α＋sin α,cs α－sin α)＝ eq \r(3)，两边同时平方得 eq \f(1＋2cs αsin α,1－2cs αsin α)＝3，故cs αsin α＝ eq \f(1,4)，则sin4α＋cs4α＝(sin2α＋cs2α)2－2sin2αcs2α＝1－2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4))) eq \s\up12(2)＝ eq \f(7,8).
四、解答题
11. 已知 eq \f(π,2)＜α＜π，tan α－ eq \f(1,tan α)＝－ eq \f(3,2).
(1) 求tan α的值；
【解答】 令tan α＝x，则x－ eq \f(1,x)＝－ eq \f(3,2)，整理得2x2＋3x－2＝0，解得x＝ eq \f(1,2)或x＝－2.因为 eq \f(π,2)＜α＜π，所以tan α＜0，故tan α＝－2.
(2) 求 eq \f(cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))－cs (π－α),sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)))的值．
【解答】 eq \f(cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))－cs (π－α),sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)))＝ eq \f(sin α＋cs α,cs α)＝tan α＋1＝－2＋1＝－1.
12. (1) 已知角α的终边经过点P(－4，3)，先化简，再求值： eq \f(1－cs2α,sinα－cs α)－ eq \f(sin α＋cs α,tan 2α－1).
【解答】 由题意知sin α＝ eq \f(3,5)，cs α＝－ eq \f(4,5).原式＝ eq \f(sin2α,sinα－cs α)－ eq \f(sin α＋cs α,\f(sin2α,cs2α)－1)＝ eq \f(sin2α,sinα－cs α)－ eq \f(sin α＋cs α,\f(sin2α－cs2α,cs2α))＝ eq \f(sin2α,sinα－cs α)－ eq \f(cs2α(sinα＋cs α),sin2α－cs2α)＝ eq \f(sin2α,sinα－cs α)－ eq \f(cs2α,sinα－cs α)＝ eq \f(sin2α－cs2α,sinα－cs α)＝sin α＋cs α＝ eq \f(3,5)－ eq \f(4,5)＝－ eq \f(1,5).
(2) 计算 eq \f(\r(1－2sin 40°cs 40°),cs 40°－\r(1－sin250°))的值．
【解答】原式＝ eq \f(\r((sin 40°－cs 40°)2),cs 40°－\r(cs250°))＝ eq \f(|sin40°－cs 40°|,cs 40°－cs 50°)＝ eq \f(cs 40°－sin 40°,cs 40°－sin 40°)＝1.
13. 在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，角α的终边OA与单位圆的交点坐标为A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，－\f(1,2)))(m＜0)，射线OA绕点O按逆时针方向旋转θ弧度后交单位圆于点B，点B的纵坐标y关于θ的函数为y＝f(θ).
(第13题)
(1) 求函数y＝f(θ)的解析式，并求f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)))的值；
【解答】 因为点A在单位圆上，所以由三角函数的定义可得sin α＝－ eq \f(1,2).又因为m＜0，所以α＝ eq \f(7π,6)，所以f(θ)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(7π,6)))，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)))＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋\f(7π,6)))＝sin eq \f(2π,3)＝ eq \f(\r(3),2).
(2) 若f(θ)＝ eq \f(\r(3),4)，θ∈(0，π)，求tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))的值．
【解答】 由f(θ)＝ eq \f(\r(3),4)可得sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(7π,6)))＝－sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))＝ eq \f(\r(3),4)，即sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))＝－ eq \f(\r(3),4).由θ∈(0，π)，得θ＋ eq \f(π,6)∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(7π,6)))，又sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))＜0，所以cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))＜0，从而cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))＝－ eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6))))＝－ eq \f(\r(13),4)，所以tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))＝ eq \f(sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6))),cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6))))＝ eq \f(\r(39),13).
B组 能力提升练
14. (2025·邯郸期中)已知α∈(0，π)，且3tan α＝10cs 2α，则cs α的值可能为( B )
A. － eq \f(\r(10),10) B. － eq \f(\r(5),5)
C. eq \f(\r(10),10) D. eq \f(\r(5),5)
【解析】 由3tan α＝10cs 2α，得3tan α＝10(cs2α－sin2α)，所以3tanα＝10× eq \f(cs2α－sin2α,cs2α＋sin2α)，所以3tanα＝10× eq \f(1－tan2α,1＋tan2α)，整理得3tan3α＋10tan2α＋3tanα－10＝0，即(tan α＋2)(3tan2α＋4tanα－5)＝0，所以tan α＋2＝0或3tan2α＋4tanα－5＝0，解得tan α＝－2或tan α＝ eq \f(－2±\r(19),3).①当tan α＝－2时， eq \f(sin α,cs α)＝－2，α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，因为sin2α＋cs2α＝1，所以5cs2α＝1，所以csα＝－ eq \f(\r(5),5).②当tan α＝ eq \f(－2＋\r(19),3)时， eq \f(sin α,cs α)＝ eq \f(－2＋\r(19),3)，α∈(0，π)，因为sin2α＋cs2α＝1，所以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(19)－2,3)csα)) eq \s\up12(2)＋cs2α＝1，解得csα＝ eq \r(\f(9,32－4\r(19))).③当tan α＝ eq \f(－2－\r(19),3)时， eq \f(sin α,cs α)＝ eq \f(－2－\r(19),3)，α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，因为sin2α＋cs2α＝1，所以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－\r(19)－2,3)csα)) eq \s\up12(2)＋cs2α＝1，解得csα＝－ eq \r(\f(9,32＋4\r(19))).综上，cs α＝－ eq \f(\r(5),5)或cs α＝ eq \r(\f(9,32－4\r(19)))或cs α＝－ eq \r(\f(9,32＋4\r(19))).
15. 若f(x)＝ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3π,7))))) eq \s\up12(2)＋ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\r(3)＋cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,14))))) eq \s\up12(2)，则f(x)的最大值为_9_，f(x)的最小值为_1_．
【解析】 因为cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,14)))＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x－\f(π,14)))＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,7)－x))＝－sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3π,7)))，所以 eq \r(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3π,7)))))\s\up12(2)＋\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\r(3)＋cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,14)))))\s\up12(2))＝ eq \r(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3π,7)))))\s\up12(2)＋\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\r(3)－sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3π,7)))))\s\up12(2))，此式可看作点(1， eq \r(3))到点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3π,7)))，sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3π,7)))))的距离．而点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3π,7)))，sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3π,7)))))的轨迹可看作圆m2＋n2＝1.又点(1， eq \r(3))到圆心(0，0)的距离为2，所以f(x)max＝(2＋1)2＝9，f(x)min＝(2－1)2＝1.
基本关系
常用变形
平方
关系
_sin2α＋cs2α＝1_
sin2α＝1－cs2α＝(1＋csα)(1－cs α)，
cs2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sin α)
商数
关系
tan α＝_ eq \f(sin α,cs α) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))_
sin α＝tan αcs α eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))
角
2kπ＋α
(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
eq \f(π,2)－α
eq \f(π,2)＋α
正弦
sin α
－sin α
－sin α
sin α
cs α
_cs α_
余弦
cs α
－cs α
cs α
_－cs α_
sin α
－sin α
正切
tan α
tan α
－tan α
_－tan α_
记忆规
律及
解释
奇变偶不变，符号看象限
“奇”“偶”指的是“k· eq \f(π,2)＋α(k∈Z)”中的k是奇数还是偶数；
“变”与“不变”是指函数的名称的变化；
“符号看象限”指的是在“k· eq \f(π,2)＋α(k∈Z)”中，将α看成锐角时，“k· eq \f(π,2)＋α(k∈Z)”的终边所在的象限
互余的角
eq \f(π,3)－α与 eq \f(π,6)＋α； eq \f(π,3)＋α与 eq \f(π,6)－α； eq \f(π,4)＋α与 eq \f(π,4)－α等
互补的角
eq \f(π,3)＋θ与 eq \f(2π,3)－θ； eq \f(π,4)＋θ与 eq \f(3π,4)－θ等
技巧
解读
适合题型
切弦
互化
利用公式tan θ＝ eq \f(sin θ,cs θ)化成正弦、余弦，或利用公式 eq \f(sin θ,cs θ)＝tan θ化成正切
表达式中含有sin θ，cs θ 与tan θ，知一求二(方程思想)
“1”的
变换
1＝sin2θ＋cs2θ＝cs2θ(1＋tan2θ)＝(sinθ±cs θ)2∓2sin θcs θ＝tan eq \f(π,4)
表达式中需要利用“1”转化
和积
转换
利用关系式(sin θ±cs θ)2＝1±2sin θ·cs θ进行变形、转化
表达式中含有sin θ±cs θ 或sin θcs θ