第21讲　第1课时　两角和与差的三角函数、二倍角公式高考数学一轮复习讲义练习

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举题说法
和、差、倍角公式的直接应用
例1 (1) (2023·新高考 Ⅰ 卷)已知sin (α－β)＝ eq \f(1,3)，cs αsin β＝ eq \f(1,6)，则cs (2α＋2β)＝( )
A. eq \f(7,9)B. eq \f(1,9)
C. － eq \f(1,9)D. － eq \f(7,9)
(2)(多选)下列等式正确的是( )
A. cs 82°sin 52°－sin 82°cs 52°＝ eq \f(1,2)
B. sin 15°sin 30°sin 75°＝ eq \f(1,8)
C. eq \f(tan 48°＋tan 72°,1－tan 48°tan 72°)＝ eq \r(3)
D. cs215°－sin215°＝ eq \f(\r(3),2)
应用和、差、倍角公式化简求值的策略：
(1) 首先要记住公式的结构特征和符号变化规律，例如两角和与差的余弦公式可简记为“同名相乘，符号相反”；
(2) 注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用；
(3) 注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．
1. (2024·保定二模)已知tan α＝ eq \f(3cs α,sin α＋11)，则cs 2α＝( )
A. － eq \f(7,8)B. eq \f(7,8)
C. eq \f(7,9)D. － eq \f(7,9)
2.(2024·新高考Ⅰ卷)已知cs (α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cs (α－β)＝( )
A. －3m B. － eq \f(m,3) C. eq \f(m,3)D. 3m
3. 已知α，β，γ∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，sin α＋sin γ＝sin β，cs β＋cs γ＝cs α，则β－α＝____________．
4. (2025·德州期中)设f(x)＝2sin x cs x－2sin2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))，当x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,2)))时，f(x)＝－ eq \f(1,3)，则cs2x＝_－_____________．
拆、配角问题
例2 (1) (2024·济宁期中)已知cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,12)))＝ eq \f(1,5)，则sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))＝_____________．
(2)(2024·扬州期末)已知0＜β＜α＜ eq \f(π,2)，sin αsin β＝ eq \f(1,10)，cs αcs β＝ eq \f(7,10)，则cs 2α＝( )
A. 0B. eq \f(7,25)
C. eq \f(24,25)D. 1
(1) 解决三角函数求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
(2) 常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝ eq \f(α＋β,2)－ eq \f(α－β,2)，α＝ eq \f(α＋β,2)＋ eq \f(α－β,2)， eq \f(α－β,2)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(β,2)))－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)＋β))等．
1. (2025·泉州期初)若 sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)＋α))＝ eq \f(4,5)，则cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(5π,6)))＝( )
A. － eq \f(12,25)B. － eq \f(7,25)
C. eq \f(7,25)D. eq \f(12,25)
2.(2024·徐州期中)已知sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,3)))＝ eq \f(4,5)，－ eq \f(π,3)＜θ＜ eq \f(π,6)，则tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,6)))＝( )
A. － eq \f(24,25)B. eq \f(24,25)
C. eq \f(7,24)D. － eq \f(7,24)
3. (2024·湘潭质检) eq \f((sin 50°＋sin 70°)2,1＋cs 20°)＝( )
A. 1B. eq \f(1,2)
C. eq \f(3,2)D. 2
4.(2024·南昌二模)已知2cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,12)))cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))－cs 3x＝ eq \f(1,4)，则sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－2x))＝( )
A. eq \f(1,2)B. － eq \f(1,2)
C. eq \f(7,8)D. － eq \f(7,8)
随堂内化
1.(2020·全国Ⅰ卷理)已知α∈(0，π)，且3cs 2α－8cs α＝5，则sin α＝( )
A. eq \f(\r(5),3)B. eq \f(2,3)
C. eq \f(1,3)D. eq \f(\r(5),9)
2.(2025·南京、盐城期末)若函数f(x)＝x2－2x sin α＋1有零点，则cs 2α的取值集合为( )
A. {－1，1}B. {0}
C. {1}D. {－1}
3. (2024·惠州一模)已知sin (2α＋β)＝ eq \f(2,3)，cs αcs (α＋β)＝ eq \f(1,2)，则tan α＋tan (α＋β)＝( )
A. eq \f(3,2)B. eq \f(2,3)
C. eq \f(3,4)D. eq \f(4,3)
4. (2024·新高考Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝ eq \r(2)＋1，则sin (α＋β)＝______________．
配套精练
A组 夯基精练
一、 单项选择题
1. (2024·宁波二模)若α为锐角，sin α＝ eq \f(4,5)，则sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝( )
A. eq \f(4＋3\r(3),10) B. eq \f(4－3\r(3),10)
C. eq \f(3＋4\r(3),10) D. eq \f(3－4\r(3),10)
2. (2024·全国甲卷)已知 eq \f(cs α,cs α－sin α)＝ eq \r(3)，则tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝( )
A. 2 eq \r(3)＋1 B. 2 eq \r(3)－1
C. eq \f(\r(3),2) D. 1－ eq \r(3)
3. (2023·新高考Ⅱ卷)已知α为锐角，cs α＝ eq \f(\r(5)＋1,4)，则sin eq \f(α,2)＝( )
A. eq \f(3－\r(5),8) B. eq \f(－1＋\r(5),8)
C. eq \f(3－\r(5),4) D. eq \f(－1＋\r(5),4)
4. (2025·常州期中)已知α，β∈(0，π)，且cs α＝ eq \f(\r(5),5)，sin (α＋β)＝ eq \f(\r(2),10)，则cs β＝( )
A. eq \f(\r(10),10) B. － eq \f(\r(10),10)
C. eq \f(9\r(10),50) D. － eq \f(9\r(10),50)
二、 多项选择题
5. 已知0＜α＜ eq \f(π,2)＜β＜π，sin α＝ eq \f(1,3)，cs (α＋β)＝－ eq \f(2\r(2),3)，则下列选项正确的有( )
A. sin (α＋β)＝± eq \f(1,3) B. cs β＝－ eq \f(7,9)
C. cs 2β＝－ eq \f(17,81) D. sin (α－β)＝－ eq \f(23,27)
6. 下列等式正确的是( )
A. eq \f(sin 24°cs 6°－sin 66°sin 6°,sin 21°cs 39°－cs 21°sin 39°)＝－1
B. 已知cs 2α＝ eq \f(1,2)，则sin4α－cs4α＝ eq \f(1,2)
C．若tan α＝3，则sin 2α＝ eq \f(3,5)
D. tan 23°＋tan 37°＋ eq \r(3)tan 23°tan 37°＝－ eq \r(3)
7. (2025·扬州期中)已知角α，β满足sin α＝－ eq \f(1,4)，cs (α＋β)sin β＝ eq \f(1,3)，则下列结论正确的有( )
A. cs 2α＝ eq \f(7,8)
B. sin (α＋β)cs β＝ eq \f(1,12)
C. tan (α＋β)＝4tan β
D. sin (α＋2β)＝ eq \f(5,12)
三、 填空题
8. (2024·揭阳二模)已知sin2α＝sin2α，则tan α＝______________，tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝_____________．
9. (2024·鹰潭二模)已知cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝ eq \f(3,5)，且α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，则cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝______________．
10. (2024·晋城二模)已知tan α＝2tan β，sin (α＋β)＝ eq \f(1,4)，则sin (β－α)＝_____________．
四、 解答题
11. 已知α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，sin α＝ eq \f(\r(5),5)，且tan (α＋β)＝ eq \f(1,3).
(1) 求sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))的值；
(2) 求cs 2α的值；
(3)求tan β的值．
12. 已知 eq \f(sin 2α－4sin α,cs 2α－4cs α＋1)＝3，α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
(1) 求tan α和sin 2α的值；

(2)若sin β＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋β))，β∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，求α＋β的值．
B组 能力提升练
13. (2024·广州一模)已知α，β是函数f(x)＝3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))－2在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的两个零点，则cs (α－β)＝( )
A. eq \f(2,3) B. eq \f(\r(5),3)
C. eq \f(\r(15)－2,6) D. eq \f(2\r(3)＋\r(5),6)
14. (2024·邯郸四调)正五角星是一个非常优美的几何图形，其与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正多边形，设∠CAD＝α，则cs α＋cs 2α＋cs 3α＋cs 4α＝_____________，cs αcs 2αcs 3αcs 4α＝_____________．
(第14题)
15. (2024·南京、盐城一模)已知α，β∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，且sin α－sin β＝－ eq \f(1,2)，cs α－cs β＝ eq \f(1,2)，则tan α＋tan β＝____________．