第18讲　第3课时　导数与函数零点高考数学一轮复习讲义练习

这是一份第18讲　第3课时　导数与函数零点高考数学一轮复习讲义练习，共6页。试卷主要包含了 已知函数f＝ex，x∈R，则等内容，欢迎下载使用。

举题说法
讨论函数零点的个数
例1 (2024·广东省一模)已知0＜a＜1，函数f(x)＝ eq \f(aex－a,x)(x≠0).
(1) 求f(x)的单调区间；
(2) 讨论方程f(x)＝a的根的个数．
变式1 (2025·苏州期初)已知函数f(x)＝sin x＋ex－4x，e为自然对数的底数，函数g(x)＝x3－ax＋3.
(1) 若f(x)在(0，1)处的切线也是g(x)的切线，求实数a的值；
(2) 求f(x)在(－π，＋∞)上的零点个数．
根据函数零点情况确定参数
例2 (2024·岳阳二模)已知函数f(x)＝(x－1)ex－ax2，a∈R.
(1) 当a＝ eq \f(e,2)时，求f(x)的单调区间；
(2) 若方程f(x)＋a＝0有三个不同的实根，求a的取值范围．
变式2 (2024·阜阳一测节选)已知函数 f(x)＝3ln x－ax.
(1) 讨论f(x)的单调性；
(2) 已知x1，x2是函数f(x)的两个零点(x1＜x2)，求实数a的取值范围．
随堂内化
1. 若函数f(x)＝2x3－6x＋m有三个零点，则实数m的取值范围是( )
A. [－4，4]
B. (－4，4)
C. (－∞，－4]∪[4，＋∞)
D. (－∞，－4)∪(4，＋∞)
2. (2024·唐山一模)(多选)已知函数f(x)＝x3－3x＋1，则( )
A. 直线y＝－ eq \f(3,2)x是曲线y＝f(x)的切线
B. f(x)有两个极值点
C. f(x)有三个零点
D. 存在等差数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))，满足 eq \(∑,\s\up6(5),\s\d4(k＝1)) f(ak)＝5
3. (2024·广州二模)已知函数f(x)＝a(x＋1)e－x＋x2，讨论f(x)的零点个数．
配套精练
一、 单项选择题
1. 函数f(x)＝ex与g(x)＝x＋1的图象的交点个数为( )
A. 0 B. 1
C. 2 D. 不确定
2. 已知函数f(x)＝ln (x＋1)－sin x，则函数f(x)在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，＋∞))上零点的个数为( )
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
3. 已知函数f(x)＝ex－ eq \f(a,x)(a∈R)，则函数f(x)的零点个数最多为( )
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
4. (2023·全国乙卷文)若函数f(x)＝x3＋ax＋2存在3个零点，则实数a的取值范围是( )
A. (－∞，－2) B. (－∞，－3)
C. (－4，－1) D. (－3，0)
二、 多项选择题
5. (2024·随州5月模拟)已知函数f(x)＝(x2－3)ex，x∈R，则( )
A. 函数f(x)有且只有2个零点
B. 函数f(x)的单调递减区间为(－3，1)
C. 函数f(x)存在最大值和最小值
D. 若方程f(x)＝a有三个实数解，则a∈(－2e，6e-3)
(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝x3－x＋1，则( )
A. f(x)有两个极值点
B. f(x)有三个零点
C. 点(0，1)是曲线y＝f(x)的对称中心
D. 直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线
7. (2024·济南、青岛、枣庄三模)若函数f(x)＝ln (1＋x)－ln (1－x)＋ eq \f(2,x)，则( )
A. f(x)的图象关于点(0，0)对称
B. f(x)在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))上单调递增
C. f(x)的极小值点为 eq \f(\r(2),2)
D. f(x)有两个零点
三、 填空题
8. 函数f(x)＝(1＋x2)ex－1的零点个数为_____________．
9. (2024·全国甲卷文)若曲线y＝x3－3x与y＝－(x－1)2＋a在(0，＋∞)上有两个不同的交点，则实数a的取值范围为______________．
10. (2025·济宁期中)已知函数f(x)＝x2－ eq \f(1,2)ln eq \f(x,2)＋ax在区间(2，＋∞)上没有零点，则实数a的取值范围是______________．
四、 解答题
11. (2024·上饶二模)已知函数f(x)＝ eq \f(1,2)x2＋ax－2ln x＋b的图象在x＝2处的切线与直线y＝－ eq \f(1,2)x＋5垂直．
(1) 求实数a的值；
(2) 若函数f(x)在[1，e]上无零点，求实数b的取值范围．
12. (2024·郑州三模)已知函数f(x)＝eax－x.
(1) 若a＝2，求f(x)在(1，f(1))处的切线方程；
(2) 讨论f(x)的零点个数．