2026届高三数学一轮复习课件第19讲第3课时导数与函数零点

这是一份2026届高三数学一轮复习课件第19讲第3课时导数与函数零点，共40页。PPT课件主要包含了研题型·能力养成，讨论函数零点的个数，答案BCD，配套精练，答案B，答案AB，答案AC，－21，解答题等内容，欢迎下载使用。
(1) 求f(x)的单调区间；
(2) 讨论方程f(x)＝a的根的个数．
利用导数研究函数零点个数(或方程根的个数)问题的一般思路：(1) 可转化为用导数研究其函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题；(2) 涉及两函数的交点，利用数形结合思想方法，通过图象可清楚地数出交点的个数(即零点，根的个数)或者确定参数的取值范围．
变式1　(2025·苏州期初)已知函数f(x)＝sin x＋ex－4x，e为自然对数的底数，函数g(x)＝x3－ax＋3．(1) 若f(x)在(0,1)处的切线也是g(x)的切线，求实数a的值；
变式1　(2025·苏州期初)已知函数f(x)＝sin x＋ex－4x，e为自然对数的底数，函数g(x)＝x3－ax＋3．(2) 求f(x)在(－π，＋∞)上的零点个数．
　　　　f′(x)＝cs x＋ex－4，当－π＜x≤0时，cs x≤1，ex≤1，f′(x)＜0，所以函数f(x)单调递减，所以f(x)≥f(0)＝1，此时函数f(x)无零点；当x＞0时，设h(x)＝f′(x)＝cs x＋ex－4，则h′(x)＝－sin x＋ex＞0，h(x)即f′(x)单调递增，f′(0)＝－2，f′(2)＝cs 2＋e2－4＞0，因此f′(x)在(0,2)上有唯一零点，记零点为m，即f′(m)＝0，在(0，m)上，f′(x)＜0，f(x)单调递减，在(m，＋∞)上，f′(x)＞0，f(x)单调递增．又f(0)＝1＞0，f(1)＝sin 1＋e－4＜0，f(2)＝sin 2＋e2－4＞0，所以f(x)在(0,1)上有一个零点，在(1,2)上有一个零点．综上所述，f(x)在(－π，＋∞)上有2个零点．
根据函数零点情况确定参数
　　　(2024·南通期初)已知函数f(x)＝aex－csx－x(a∈R)．(1) 若a＝1，求证：f(x)≥0；
　　　　当a＝1时，f(x)＝ex－csx－x，令g(x)＝ex－x，则g′(x)＝ex－1，当x＜0时，g′(x)＜0，g(x)在(－∞，0)上为减函数，当x＞0时，g′(x)＞0，g(x)在(0，＋∞)上为增函数，所以g(x)≥g(0)＝1，而csx≤1，所以ex－x≥csx，即f(x)≥0．
　　　(2024·南通期初)已知函数f(x)＝aex－csx－x(a∈R)．(2) 若f(x)在(0，π)上有两个极值点，求实数a的取值范围．
已知函数零点求参数的取值范围(1) 分离参数法：从f(x)中分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，最后根据题设条件构建关于参数的不等式，确定参数的取值范围；(2) 分类讨论法：结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数的取值范围．
变式2　(2024·阜阳一测节选)已知函数f(x)＝3ln x－ax．(1) 讨论f(x)的单调性；
变式2　(2024·阜阳一测节选)已知函数f(x)＝3ln x－ax．(2) 已知x1，x2是函数f(x)的两个零点(x1＜x2)，求实数a的取值范围．
1．若函数f(x)＝2x3－6x＋m有三个零点，则实数m的取值范围是(　　)A．[－4,4]B．(－4,4)C．(－∞，－4]∪[4，＋∞)D．(－∞，－4)∪(4，＋∞)
当x∈(π，2π)时，因为sin x＜0，所以g′(x)＞0，所以g(x)在(π，2π)上单调递增，又g(π)＝－π＜0，g(2π)＝2π＞0，所以g(x)在(π，2π)上有唯一零点；当x∈(2π，3π)时，因为sin x＞0，所以g′(x)＜0，所以g(x)在(2π，3π)上单调递减．又因为g(2π)＞0，g(3π)＜0，所以g(x)在(2π，3π)上有唯一零点．综上，函数g(x)在区间(0,3π)上有两个零点且在零点左右函数符号发生改变，故函数f(x)在区间(0,3π)内恰有两个极值点．
一、单项选择题1．函数f(x)＝ex与g(x)＝x＋1的图象的交点个数为(　　)A．0B．1C．2D．不确定
　　　　令h(x)＝f(x)－g(x)＝ex－x－1，则h′(x)＝ex－1，令h′(x)＝ex－1＝0，得x＝0．当x＜0时，h′(x)＜0，当x＞0时，h′(x)＞0．所以当x＝0时，h(x)取得最小值h(0)＝0，即h(x)＝ex－x－1只有一个零点，所以f(x)与g(x)的图象只有1个交点．
4．(2023·全国乙卷文)若函数f(x)＝x3＋ax＋2存在3个零点，则实数a的取值范围是(　　)A．(－∞，－2)B．(－∞，－3)C．(－4，－1)D．(－3,0)
二、多项选择题5．(2024·随州5月模拟)已知函数f(x)＝(x2－3)ex，x∈R，则(　 　)A．函数f(x)有且只有2个零点B．函数f(x)的单调递减区间为(－3,1)C．函数f(x)存在最大值和最小值D．若方程f(x)＝a有三个实数解，则a∈(－2e,6e－3)
　　　　由函数f(x)＝(x2－3)ex，x∈R，得f′(x)＝(x－1)(x＋3)ex，令f′(x)＜0，解得－3＜x＜1；令f′(x)＞0，解得x＜－3或x＞1，所以函数f(x)在(－3,1)上单调递减，在(－∞，－3)和(1，＋∞)上单调递增，且f(－3)＝6e－3，f(1)＝－2e，当x→－∞时，f(x)→0＋，作出函数y＝f(x)的大致图
象如图所示，由图可知A，B正确；f(x)min＝f(1)＝－2e，无最大值，所以C错误；若方程f(x)＝a有三个实数解，即y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，可得a∈(0,6e－3)，所以D错误．
6．(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝x3－x＋1，则(　 　)A．f(x)有两个极值点B．f(x)有三个零点C．点(0,1)是曲线y＝f(x)的对称中心D．直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线
三、填空题8．函数f(x)＝(1＋x2)ex－1的零点个数为_____．
　　　　因为f′(x)＝2xex＋(1＋x2)ex＝(1＋x)2ex≥0，所以f(x)在R上单调递增．又因为f(0)＝0，所以f(x)有且仅有1个零点．
9．(2024·全国甲卷文)若曲线y＝x3－3x与y＝－(x－1)2＋a在(0，＋∞)上有两个不同的交点，则实数a的取值范围为___________．
　　　　令x3－3x＝－(x－1)2＋a，得a＝x3－3x＋(x－1)2．令φ(x)＝x3－3x＋(x－1)2，x＞0，则φ′(x)＝3x2－3＋2(x－1)＝(x－1)(3x＋5)，当x＞1时，φ′(x)＞0，φ(x)单调递增，当0＜x＜1时，φ′(x)＜0，φ(x)单调递减．因为φ(0)＝1，φ(1)＝－2，当x→＋∞时，φ(x)→＋∞，由题知y＝a与y＝x3－3x＋(x－1)2有两个不同的交点，则a的取值范围为(－2,1)．
10．已知函数f(x)＝3xlnx－ax3＋6x(a＞0)．若y＝f′(x)有且只有一个零点，则a的值为_________．
(1) 求实数a的值；
(2) 若函数f(x)在[1，e]上无零点，求实数b的取值范围．
12．(2024·郑州三模)已知函数f(x)＝eax－x．(1) 若a＝2，求f(x)在(1，f(1))处的切线方程；
　　　　若a＝2，则f(x)＝e2x－x，f′(x)＝2e2x－1．又f(1)＝e2－1，切点为(1，e2－1)，曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的斜率为f′(1)＝2e2×1－1＝2e2－1，故所求切线方程为y－(e2－1)＝(2e2－1)(x－1)，即y＝(2e2－1)x－e2．
12．(2024·郑州三模)已知函数f(x)＝eax－x．(2) 讨论f(x)的零点个数．