安徽省淮北市部分学校九年级上学期1月期末数学试题（解析版）-A4

这是一份安徽省淮北市部分学校九年级上学期1月期末数学试题（解析版）-A4，共22页。
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. “数学”的英文缩写为“”，下列四个字母中，属于中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：D．
2. 如图所示的钢块零件的主视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了简单组合体的主视图，根据从正面看得到的视图是主视图，可得答案．
【详解】解：从正面看是一个“凹”字形，
故选：A．
3. 如图，已知，，若，则的长为（ ）
A. 9B. 10C. 11D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
根据平行线分线段成比例定理可得，即，进而可求出，然后根据即可求出的长．
【详解】解：，
，
即：，
，
，
故选：B．
4. 如图，是的切线，是切点，连结、．若，则度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，由切线的性质得到，由直角三角形的性质求出，得出答案，掌握切线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵是的切线，是切点，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
5. 如图，⊙O中，点、、在圆上，且弧长等于弧长的2倍，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 以上结论都不对
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了弧和弦的关系、三角形三边关系等知识，正确作出辅助线，熟练掌握相关知识是解题关键．取的中点，连接，易得，进而可得，在中，根据三角形三边关系可得，即可获得答案．
【详解】解：如下图，取的中点，连接，
∵弧长等于弧长的2倍，
∴，
∴，
在中，根据三角形三边关系可得，
∴．
故选：C．
6. 如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. 3πB. 6πC. 5πD. 4π
【答案】B
【解析】
【详解】阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积．
则阴影部分的面积是：=6π
故选：B．
7. 如图，在中，，，，，分别是上的高线和中线．如果是以点为圆心，3为半径的圆，那么下列判断中，正确的是（ ）
A. 点，均在内B. 点，均在外
C. 点在内，点在外D. 以上选项都不正确
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了点与圆的位置关系的判定，先利用勾股定理求得的长，再根据面积公式求出的长，根据勾股定理求出的长，根据中线的定义求出的长，然后由点、到点的距离判断点、与的位置关系即可．
【详解】解：在中，，，，
∴，
∵、分别是上的高和中线，
∴，
∴，
∴，
∵是以点为圆心，3为半径的圆，，，
∴点，均在外，
故选：B．
8. 如图，内接于，点是的中点，是的直径．若，，则的长为（ ）
A. 5B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，弧、弦、圆心角之间的关系，连接，先根据圆周角定理可得，从而可得是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，从而可得，然后根据直径所对的圆周角是直角可得，再根据点是的中点，可得，最后根据等腰直角三角形的性质进行计算即可解答．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∵，
∴等边三角形，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∵
∴，
故选：D．
9. 如图在平面直角坐标系中，点、点在反比例函数的图象上．过点作．轴于点，点作轴于点，若，且的面积为12，则的值是（ ）
A. 12B. 16C. 18D. 24
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，图象点的坐标特征．延长交于点E，已知，表示出各点坐标，根据的面积为12，列出方程，求出k．
【详解】解：延长交于点E．
∵，点A、点B在反比例函数的图象上，
∴．
∴，
∵的面积为，的面积为，的面积为，
∴，
解得，，
∵函数图象在第一象限，，负数舍去，
∴．
故选：B．
10. 如图，，，，，点在线段上运动，为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，三角形斜边上的中线性质，熟悉运用相似三角形的性质建立比值关系是解题的关键．
利用，，判定出，通过相似三角形的性质可得到，由为线段的中点推出，再利用相似三角形的比值关系求出的长即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为线段的中点，
∴，
∴当最小时最小，
又∵，
∴，与都为定值，即最小时，最小，则时符合题意，为边上的高，
在中，，，则：，
∵，即：，
解得：，
∴，
∴；
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 若正多边形的中心角为，则该正多边形的边数为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据正多边形的中心角的度数，进行计算即可．
【详解】解：由题意得：，解得：；
∴正多边形边数为：；
故答案为：．
【点睛】本题考查正多边形的中心角．熟练掌握中心角的度数，是解题的关键．
12. 如图，在中，，的度数是_____．
【答案】##112度
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理，理解并掌握圆周角定理是解题关键．圆周角定理：同弧所对圆心角等于所对圆周角的两倍．据此即可获得答案．
【详解】解：∵，，
∴．
故答案为：．
13. 如图，为的直径，弦于，，，那么弦的长为_____．
【答案】10
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，正确作出辅助线是解题关键．
连接，由垂径定理可得，，中由勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：如图，连接，
∵,
∴，
∵，
∴，
∵中，，
∴
解得：
∴，
故答案为：10．
14. 若点，点是两个动点．
（1）则点纵坐标的最小值为_____；
（2）则线段的最小值为_____．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质及二次函数与一次函数、几何综合，正确理解题意运用二次函数的性质是解题的关键．
（1）直接把纵坐标化成，即可求解；
（2）线段的最小值为抛物线上的点M到直线的距离的最小值，结合图形即可求解．
【详解】解：（1）∵，
，
∴，
∴点的纵坐标的最小值为，
故答案为： ．
（2）点，点，
可知点M在抛物线上，点N在直线，如图所示：
设直线与轴交于点D，与轴交于点，
向上平移直线，
当新直线与抛物线只有一个交点时，即为点M，
作直线，
设新直线为，与轴交于点E，
作于，
，
四边形矩形，
，
新直线与抛物线只有一个交点时，满足，
即，
令，
得，
，
当时，，
对于直线，当时，，时，，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】根据绝对值的化简，零指数幂，负指数幂的运算法则，特殊角三角函数的值，即可求解，
本题考查了特殊角的三角函数值的运算，实数的混合运算，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则．
【详解】解：
．
16. 如图，四边形的四个顶点都在上，且，求的度数．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，解题的关键是掌握圆内接四边形的性质．根据题意可知四边形是的内接四边形，推出，结合，可求出，最后根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：四边形的四个顶点都在上，
，
，
，
，
．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 已知一个几何体的三视图如图所示，根据所示数据，求该几何体的侧面积和体积．
【答案】侧面积为，体积为
【解析】
【分析】本题考查由三视图判断几何体以及几何体的表面积、体积计算，根据三视图以及各部分的长度，可得出该组合体的形状，再根据表面积、体积的计算方法进行计算即可．
【详解】解：根据该组合体的三视图的形状可知，
该组合体为下面是长为，宽为，高为的长方体，上面是底面直径为，高为的圆柱体，所以该组合体的侧面积为：
，
体积为：.
18. 如图，在由边长为1个单位长度的正方形网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的和格点．

（1）以点为位似中心，将放大2倍得到，使与，与，与是对应点，在网格中画出；
（2）以点为旋转中心，将逆时针旋转得到，在网格中画出．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用相似变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出B，C的对应点，即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
解：如图，即为所求．
【点睛】本题考查作图-旋转变换，相似变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，相似变换的性质，属于中考常考题型．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节时，与地面夹角；如图2，当拉杆伸出两节时，与地面夹角，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（结果保留整数．参考数据：）
【答案】每节拉杆的长度约为
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练运用锐角三角函数求线段的长是解题的关键．
在图1中，过点A作于，设每节拉杆的长度为，由，得，在图2中，过点A作于点， 由，得，得，解方程即可得．
【详解】解：如图1，过点A作于，设每节拉杆的长度为，
在中，，
，
，
如图2，过点A作于点，
在中，，
，
，
由题意得，，
解得，
答：每节拉杆的长度约为．
20. 如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆，，为水面截线，，为桌面截线， ．

（1）作于点，求的长；
（2）将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少．
【答案】（1）的长为
（2）水面截线减少了
【解析】
【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理．
（1）连接，利用垂径定理得出，由勾股定理计算即可得出答案；
（2）过作，连接，由题意得，利用勾股定理求出，再利用垂径定理得出与相减即可得出答案．
【小问1详解】
解：如图，连接，
为圆心，，，
，
，
，
在中，，
的长为；
【小问2详解】
如图，过作，连接，
由题意得：，
在Rt中，，
，
，
水面截线减少了．

六、解答题（本题满分12分）
21. 如图，为的直径，点F 在上，，点P 在的延长线上，与相切于点C，与的延长线相交于点D，与相交于点E．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）8
【解析】
【分析】（1）由切线的性质得，再证证，，进而可得，即可证明结论；
（2）设，则可求，，，，在中，利用勾股定理得出，求出x的值，证明，得，可求出，即可求解．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
与半圆相切于点，
，
，
，
，
∵，
，
，
，
∴；
【小问2详解】
解：设，则，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得，（舍去）
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质等知识，灵活运用以上知识是解题的关键．
七、解答题（本题满分12分）
22. 如图，中，，，于，点是上一点，连接并延长交于点，于点，连接．
（1）如图1，若，求证：点是中点；（提示：过点作，交于点）
（2）如图2，若，，求．
【答案】（1）见解析 （2）2
【解析】
【分析】本题考查了等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）过点E作，交于点，根据等腰三角形的三线合一性质可得，从而可得，进而可得，即可解答；
（2）过点E作，垂足为M，根据垂直定义可得，从而证明点A、C、G、E四点共圆，进而可得，然后求出，从而可证明，进而可得．
【小问1详解】
证明：过点E作，交于点，
，，
，
，
，
，
，
，
，
点是中点；
【小问2详解】
解：过点E作，垂足为M，
，
，，
，
，，
，
∴点A、C、G、E四点共圆，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，，
，
，，
八、解答题（本题满分14分）
23. 如图，在平面直角坐标系中，点、在抛物线上，该抛物线的顶点为．点为该抛物线上一点，其横坐标为m．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值时，求的取值范围并写出这个定值；
（3）当时，设该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点到x轴的距离分别为、，当时，直接写出的取值范围．
【答案】（1）
（2），定值为9
（3）或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，轴对称的性质，待定系数法求函数解析式，解答本题的关键是根据已知条件讨论点P的位置．
（1）把点、代入计算后可得该抛物线的解析式；
（2）根据图象可得当抛物线在点A与点P之间（包含点A和点P）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为9时，点P的位置，从而确定m的取值范围；
（3）分三种情况讨论满足时，m的取值范围．
【小问1详解】
解：把点、代入得：
，
解得：，
该抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：设抛物线与轴的另一交点为点，如图所示，
点与点关于直线对称，
点为，
又，
∴，
当点P在点C和点之间时，点与点P之间（包含点和点P）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值9，
此时取值范围为：；
【小问3详解】
解：如图所示，过点作轴交抛物线于点E，此时点E与点关于对称轴对称，
∴，
①当点在点和点之间时，即时，，，
，
，
解得：（不合题意）；
②当点P在点C和点E之间时，即时，，，
符合题意，
，
③当点在点下方时，即时，，
，
，
，
或，
解得：或或，
，
，
综上所述，取值范围为或.