2025-2026学年内蒙古赤峰市松山区九年级（上）期中数学试卷含答案解析

这是一份2025-2026学年内蒙古赤峰市松山区九年级（上）期中数学试卷含答案解析，文件包含主题二物质的性质和应用Ⅲ金属与金属矿物培优专练全国通用原卷版pdf、主题二物质的性质和应用Ⅲ金属与金属矿物培优专练全国通用解析版pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共50页， 欢迎下载使用。
1.阳泉市于2021年被正式命名为“国家卫生城市”.为了进一步巩固创卫成果，近日我市多个小区实行垃圾分类，以下是几种常见的垃圾分类标志图片，其文字上方图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.用配方法解方程，下列变形正确的是( )
A. B. C. D.
3.若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.利用图形的旋转可以设计出许多美丽的图案.如图②中的图案是由图①中的基本图形以点O为旋转中心，顺时针旋转4次而生成的，每一次旋转的角度均为，则至少为( )
A.
B.
C.
D.
5.将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的函数表达式为( )
A. B. C. D.
6.二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是( )
A. B.
C. D.
7.某药厂计划把某种药品价格经过两次降价后调整为289元，已知原价为326元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
8.已知二次函数其中x是自变量，当时，y随x的增大而增大，且时，y的最大值为9，则a的值为( )
A. 1或B. 或C. D. 1
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
9.2025年的“蒙超足球联赛”燃遍全网，由于本年度比赛激烈程度和网上关注度超乎想象，2026年要增加参赛球队数，进行主客场双循环比赛每两队之间都进行两场比赛，设共有x个队参加比赛，比赛总场数为y，则y关于x的关系式为 .
10.某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离米关于滑行的时间秒的函数解析式是，无人机着陆后滑行______秒才能停下来．
11.已知，是一元二次方程的两实数根，则的值是 .
12.如图，若二次函数图象的对称轴为，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点，则①二次函数的最大值为；②；③；④当时，，其中正确的是______.
三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.本小题10分
按要求解方程：因式分解法；
用配方法说明：代数式的值总大于
14.本小题10分
如图，方格纸中的每个小正方形的边长都为1，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上.
画出关于原点O成中心对称的
以点A为旋转中心，将绕点A顺时针旋转得到，画出
若可看作是由绕点P顺时针旋转得到的，则点P的坐标为______.
15.本小题10分
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映，如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
16.本小题10分
如图所示，一个九年级同学推实心球，实心球在点A处出手，出手时球离地面约，球落地点在B处，实心球运行中在该同学前4m处即达到最高点，最高点高已知实心球经过的路线是抛物线，根据图示的平面直角坐标系，你能算出该同学的成绩吗？
17.本小题12分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交，B两点点A在B左侧，与y轴交于点
求抛物线的解析式；
求经过B、C两点的直线解析式；
若点P为直线BC上方抛物线上的一个动点.根据你的经验，请判断的面积是否有最大值？如果有最大值，求出此时P点的坐标.
18.本小题12分
如图，点P是正方形ABCD内一点，连接PA，PB，PC，将绕点B顺时针旋转得到，连接；若，，
求证：是直角三角形；
求PC的长；
求正方形ABCD的边长.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2.【答案】D
【解析】解：由题知，
，
，
，
，
显然只有D选项符合题意．
故选：
根据题意，对所给一元二次方程进行配方，再据此进行判断即可．
本题主要考查了解一元二次方程-配方法，熟知配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：关于x的一元二次方程没有实数根，
，即，
解得，
的取值范围是
故选：
由关于x的一元二次方程没有实数根，根据的意义得到，即，然后解不等式即可得到k的取值范围．
本题考查了一元二次方的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
4.【答案】B
【解析】解：根据题意，
这个图形可以由一个基本图形绕中心依次旋转四次而得到，
每次旋转的度数为除以5为，即旋转角是的倍数，
故旋转角的最小值是
故选：
根据旋转对称图形的概念可得答案．
此题主要考查了利用旋转设计图案，正确得出旋转角的度数是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：由“上加下减，左加右减”的原则可知，将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移2个单位后所得抛物线的解析式为
故选：
根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
本题考查两条直线相交或平行问题，掌握两条直线平行时k值相等，b值不相等是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：，
一次函数的图象过点，
故选项A、B不合题意；
C、由二次函数的图象开口向下可知，由一次函数的图象可知，矛盾，故不合题意；
D、由二次函数的图象开口向上可知，由一次函数的图象可知，一致，符合题意；
故选：
根据二次函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可．
本题考查的是二次函数及一次函数图象，解答此题的关键是先根据二次函数开口方向判断出k的符号，再根据一次函数的性质进行解答．
7.【答案】D
【解析】解：根据题意得：
故选：
利用该种药品经过两次降价后的价格=该种药品的原价平均每次降价的百分率，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了二次函数的性质，先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上，然后由时，y的最大值为9，可得时，，即可求出
【解答】
解：二次函数其中x是自变量，
对称轴是直线，
当时，y随x的增大而增大，
，
时，y的最大值为9，
时，，
，
，或不合题意舍去
故选
9.【答案】
【解析】解：根据题意得：
故答案为：
利用比赛的总场数=参赛队伍数参赛队伍数，即可找出y关于x的关系式．
本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y关于x的关系式是解题的关键．
10.【答案】16
【解析】解：由题意得，
，
，
时，飞机滑行的距离最大，
即当秒时，飞机才能停下来．
故答案为：
飞机停下时，也就是滑行距离最远时，即在本题中需求出s最大时对应的t值．
本题考查了二次函数的应用，能熟练的应用配方法得到顶点式是解题关键．
11.【答案】2
【解析】解：，是一元二次方程的两实数根，
，，
，
故答案为：
首先根据根与系数的关系求出，，然后把转化为，最后整体代值计算．
本题主要考查了根与系数的关系的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程两根之和与两根之积与系数的关系，此题难度不大．
12.【答案】①④
【解析】解：①由图象可知，时，y的最大值为，因此①正确；
②由图象可知，时，，因此②错误；
③由图象可知，函数图象与x轴有2个交点，因此，因此③错误；
④对称轴为，，
，
时，，
④正确，
故答案为①④．
根据二次函数的对称性与增减性等进行判断即可．
本题考查了二次函数图象与系数关系，熟练掌二次函数图象性质是解题的关键．
13.【答案】；
，
因为，
所以，
所以代数式的值总大于0
【解析】，
，
，
则或，
所以；
，
因为，
所以，
所以代数式的值总大于
利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可；
利用配方法即可解决问题．
本题主要考查了解一元二次方程-因式分解法及配方法的应用，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤及配方法是解题的关键．
14.【答案】见解答．
见解答．

【解析】解：如图，即为所求.
如图，即为所求．
如图，连接，分别作线段，的垂直平分线，交于点P，
则可看作是由绕点P顺时针旋转得到的，
点P的坐标为
故答案为：
根据中心对称的性质作图即可．
根据旋转的性质作图即可．
连接，分别作，的垂直平分线，交于点P，则点P即为所求，即可得出答案．
本题考查作图-旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键．
15.【答案】每件定价为65元时利润最大．
【解析】解：设涨价x元，每星期售出商品的利润为y元，
则
，
，
当时，y有最大值6250；
此时元，
答：每件定价为65元时利润最大．
设每件涨价x元，则每件的利润是元，所售件数是件，总利润为y，根据利润=每件的利润所售的件数，即可列出函数解析式，根据函数的性质即可求得如何定价才能使利润最大．
本题考查了二次函数的应用，正确列出函数解析式是解题关键．
16.【答案】该同学的成绩是
【解析】解：根据题意可知：点A的坐标为，顶点D的坐标为，
设此二次函数的解析式为，
将点A的坐标代入解析式中，得，
解得：，
此二次函数的解析式为，
令，则，
解得：，不符合题意，舍去，
即该同学的成绩是
设抛物线的解析式为，运用待定系数法求出解析式．当时代入解析式就可以求出结论．
本题考查了二次函数的应用，解答时求出解析式是关键．
17.【答案】；
；
的面积有最大值，点P的坐标为
【解析】将，代入得：，
解得：，
抛物线的解析式为；
当时，，
解得：，，
点在B点左侧，
点B的坐标为，
设过B，C两点的直线解析式为，
将，代入得：，
解得：，
直线BC的解析式为；
的面积有最大值，理由如下：
如图，过P点作x轴垂线，垂足为E，交BC于点D，
设，则，
，
，
点在BC上方，
，
当时，最大，
的纵坐标为：，
此时点P的坐标为
用待定系数法可得抛物线的解析式为；
求出点B的坐标为，再用待定系数法可得直线BC的解析式为；
过P点作x轴垂线，垂足为E，交BC于点D，设，则，可得，求出，再根据二次函数性质可得答案．
本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积等知识，解题的关键是掌握待定系数法求出函数解析式．
18.【答案】绕点B顺时针旋转得到，
，，，
为等腰直角三角形，
，，
，，
是直角三角形；
；

【解析】证明：绕点B顺时针旋转得到，
，，
为等腰直角三角形，
，，
，
是直角三角形；
在中，由勾股定理得：，
如图，过点A作交BP的延长线于点E，
，
，
是等腰三角形，，
根据勾股定理得，
，
，
在中，根据勾股定理得，
证明为等腰直角三角形，证明；
求出，，利用勾股定理可求得PC的长；
作，利用勾股定理可求得正方形的边长．
本题考查了正方形的性质、旋转的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解决问题的关键．