2026届高三数学一轮复习课件第35讲空间点、线、面之间的位置关系

这是一份2026届高三数学一轮复习课件第35讲空间点、线、面之间的位置关系，共57页。PPT课件主要包含了链教材·夯基固本，不经过交点，研题型·能力养成，平面的基本事实及应用，空间两直线的位置关系，答案CD，异面直线所成角的计算，答案B，答案C，配套精练等内容，欢迎下载使用。
1．(人A 必二P128练习T2)下列说法正确的是(　　)A．三点确定一个平面B．一条直线和一个点确定一个平面C．梯形可确定一个平面D．圆心和圆上两点确定一个平面
　　　　对于A，三个不在同一条直线上的点确定一个平面，故A错误．对于B，直线和直线外一点，确定一个平面，故B错误．对于C，两条平行直线确定一个平面，梯形有一组对边平行，另一组对边不平行，故梯形可确定一个平面，故C正确．对于D，因为圆的一条直径不能确定一个平面，所以若圆心和圆上的两点在同一条直径上，则无法确定一个平面，故D错误．
2．(人A 必二P131练习T1(2))设直线a，b分别是长方体相邻两个面的对角线所在的直线，则a与b(　　)A．平行B．相交C．是异面直线D．可能相交，也可能是异面直线
　　　　如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，当A′B所在的直线为a，BC′所在的直线为b时，a与b相交；当A′B所在的直线为a，B′C所在的直线为b时，a与b异面．
3．(人A必二P131练习T4改)已知平面α∥平面β，直线a∥平面α，直线b∥平面β，则a与b的位置关系可能是(　　)A．平行或相交　B．相交或异面C．平行或异面 　D．平行、相交或异面
　　　　当a与b共面，即a与b平行或相交时，如图所示，显然满足题目条件．在a与b相交的条件下，分别把a，b平行移动到平面β，平面α上，此时a与b异面，亦满足题目条件．
4．(人A 必二P131练习T3改)下列说法正确的是(　　)A．若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥αB．若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行C．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行D．若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点
　　　　对于A，当直线l与平面α相交时，直线l上也有无数个点不在平面α内，故A错误．对于B，l与平面α内的任意一条直线异面或平行，故B错误．对于C，另一条直线也可能在这个平面内，故C错误．对于D，因为l∥α，所以l与α没有公共点，所以l与α内任意一条直线都没有公共点，故D正确．
1．平面的基本性质基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
2．空间点、直线、平面之间的位置关系
3．平行直线(1) 基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．(2) 定理：如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等．
4．异面直线(1) 判定：与一个平面相交的直线和这个平面内______________的直线是异面直线，如图所示．(2) 异面直线所成的角：设a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a，b所成的角或夹角，其取值范围为__________．
5．常用结论(唯一性定理)(1) 过直线外一点________________直线与已知直线平行；(2) 过直线外一点________________平面与已知直线垂直；(3) 过平面外一点________________平面与已知平面平行；(4) 过平面外一点________________直线与已知平面垂直．
有且只有一条有且只有一个有且只有一个有且只有一条
　　　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC，BD交于点M，E为AB的中点，F为AA1的中点．(1) 求证：C1，O，M三点共线；
　　　　因为A1C∩平面BDC1＝O，所以O∈A1C，O∈平面BDC1．又因为A1C⊂平面ACC1A1，所以O∈平面ACC1A1．因为AC，BD交于点M，所以M∈AC，M∈BD．又AC⊂平面ACC1A1，BD⊂平面BDC1，所以M∈平面ACC1A1，M∈平面BDC1．又C1∈平面ACC1A1，C1∈平面BDC1，所以C1，O，M三点在平面ACC1A1与平面BDC1的交线上，所以C1，O，M三点共线．
　　　　连接BA1，EF，D1C，BC1，因为E为AB的中点，F为AA1的中点，所以EF∥BA1．又因为BC∥A1D1，BC＝A1D1，所以四边形BCD1A1是平行四边形，所以BA1∥CD1，所以EF∥CD1，所以E，F，C，D1四点共面．
　　　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC，BD交于点M，E为AB的中点，F为AA1的中点．(2) 求证：E，C，D1，F四点共面；
　　　　因为平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，设CE与D1F交于一点P，则P∈CE，CE⊂平面ABCD，所以P∈平面ABCD，同理，P∈平面ADD1A1，又平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，所以P∈AD，所以直线CE，D1F，DA三线交于一点P，即三线共点．
　　　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC，BD交于点M，E为AB的中点，F为AA1的中点．(3) 求证：CE，D1F，DA三线共点．
共面、共线、共点问题的证明(1) 证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．(2) 证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．(3) 证明共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
变式1　如图，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ与CB的延长线交于点M，RQ与DB的延长线交于点N，RP与DC的延长线交于点K．(1) 求证：直线MN⊂平面PQR；
　　　　因为PQ⊂平面PQR，M∈直线PQ，所以M∈平面PQR．因为RQ⊂平面PQR，N∈直线RQ，所以N∈平面PQR，所以直线MN⊂平面PQR．
变式1　如图，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ与CB的延长线交于点M，RQ与DB的延长线交于点N，RP与DC的延长线交于点K．(2) 求证：点K在直线MN上．
　　　　因为M∈直线CB，CB⊂平面BCD，所以M∈平面BCD．由(1)知M∈平面PQR，所以M在平面PQR与平面BCD的交线上，同理，可知N，K也在平面PQR与平面BCD的交线上，所以M，N，K三点共线，所以点K在直线MN上．
　　　(多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，下列说法正确的是(　 　)A．直线AM与CC1是相交直线B．直线AM与BN是平行直线C．直线BN与MB1是异面直线D．直线AM与DD1是异面直线
　　　　 因为点A在平面CDD1C1外，点M在平面CDD1C1内，直线CC1在平面CDD1C1内，CC1不过点M，所以直线AM与CC1是异面直线，故A错误；如图，取DD1的中点E，连接AE，则BN∥AE，但AE与AM相交，故B错误；因为点B1与直线BN都在平面BCC1B1内，点M在平面BCC1B1外，BN不过点B1，所以BN与MB1是异面直线，故C正确；同理D正确．
A．AE＝CF，AC与EF是共面直线B．AE≠CF，AC与EF是共面直线C．AE＝CF，AC与EF是异面直线D．AE≠CF，AC与EF是异面直线
　　　如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝4，AB＝2，则直线A1B与直线B1C所成角的余弦值为______．
异面直线所成角的求法1．平移使相交：通过平移一条(或2条)，使异面直线转化为相交直线，然后在三角形中利用余弦定理求角；
变式3　(1) (2021·全国乙卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为(　　)
1．已知平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面可能的交线有(　　)A．1条或2条 B．2条或3条C．1条或3条 D．1条或2条或3条
2．设P1，P2，P3，P4为空间中的四个不同点，则“P1，P2，P3，P4中有三点在同一条直线上”是“P1，P2，P3，P4在同一个平面内”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件
3． (2024·日照一模)已知l，m是两条不同的直线，α为平面，m⊂α，下列说法中正确的是(　　)A．若l与α不平行，则l与m一定是异面直线B．若l∥α，则l与m可能垂直C．若l∩α＝A，且A∉m，则l与m可能平行D．若l∩α＝A，且l与α不垂直，则l与m一定不垂直
　　　　对于A，若l与α不平行，则l与α的位置关系有相交或直线在平面内，且m⊂α，则l与m的位置关系有平行、相交或异面，故A错误；对于B，若l∥α，则l与m可能垂直，如图(1)所示，l∥l′，l′⊂α，l′⊥m，可知l⊥m，故B正确；对于C，若l∩α＝A，且A∉m，m⊂α，则l与m异面，故C错误；对于D，若l∩α＝A，且l与α不垂直，则l与m可能垂直，如图(2)，取α为平面ABCD，l＝AD1，m＝AB，符合题意，但l⊥m，故D错误．
4．(2024·保定二模)如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝4AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(　　)
A组　夯基精练一、单项选择题1．已知互不重合的三个平面α，β，γ，其中α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，且a∩b＝P，则下列结论一定成立的是(　　)A．b与c是异面直线B．a与c没有公共点C．b∥cD．b∩c＝P
　　　　因为a∩b＝P，所以P∈a，P∈b，因为a＝α∩β，b＝β∩γ，所以P∈α，P∈β，P∈γ．因为α∩γ＝c，所以P∈c，所以b∩c＝P，所以a∩c＝P，如图，故A，B，C错误．
2．(2024·岳阳三模)下列命题正确的是(　　)A．若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥αB．若直线a不平行于平面α且a⊄α，则平面α内不存在与a平行的直线C．已知直线a，b，平面α，β，且a⊂α，b⊂β，α∥β，则直线a，b平行D．已知两条相交直线a，b，且a∥平面α，则b与α相交
　　　　若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α或l与α相交，故A不正确；若直线a不平行于平面α且a⊄α，则a与α相交，所以平面α内不存在与a平行的直线，故B正确；已知直线a，b，平面α，β，且a⊂α，b⊂β，α∥β，则直线a，b平行或异面，故C错误；已知两条相交直线a，b，且a∥平面α，则b∥平面α或b与α相交，故D错误．
3．(2024·威海二模)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱BC，B1C1的中点，若平面DBB1与平面AEF的交线为l，则l与直线AD1所成角的大小为(　　)
A．AF，BE是异面直线，AF⊥BEB．AF，BE是相交直线，AF⊥BEC．AF，BE是异面直线，AF与BE不垂直D．AF，BE是相交直线，AF与BE不垂直
二、多项选择题5．(2025·南通海安期初)在空间中，设a，b，c是三条不同的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，则下列能推出a∥b的是(　 　)A．a⊥c，b⊥cB．a∥α，a⊂β，α∩β＝bC．α⊥γ，β⊥γ，α∩γ＝a，β∩γ＝bD．α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，a∥c
　　　　对于A，如图，在正方体中，取直线AB为a，直线BC为b，直线BB1为c，显然有a⊥c，b⊥c，但a∩b＝B，所以A错误；对于B，由线面平行的性质可知，B正确；对于C，如图，在正方体中，取平面ABB1A1为α，平面BCC1B1为平面β，平面ABCD为γ，显然满足α⊥γ，β⊥γ，又α∩γ＝AB，β∩γ＝BC，且AB∩BC＝B，即
a，b相交，所以C错误；对于D，因为α∩β＝a，则a⊂β，又β∩γ＝c，则c⊂β，c⊂γ，又a∥c，显然有a⊄γ，所以a∥γ，又a⊂α，α∩γ＝b，所以a∥b，故D正确．
6．(2024·新乡三模)已知m，n，l为空间中三条不同的直线，α，β，γ为空间中三个不重合的平面，则下列说法正确的是(　　　)A．若α∩β＝m，m⊥γ，则α⊥γ，β⊥γB．若m⊂α，n⊄α，则m与n为异面直线C．若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，且l∩m＝P，则P∈nD．若m⊥α，m⊥β，α∥γ，则β∥γ
　　　　对于A，显然m⊂α，m⊂β，又m⊥γ，则α⊥γ，β⊥γ，A正确；对于B，由m⊂α，n⊄α，得m与n可能相交、平行或异面，B错误；对于C，由α∩β＝l，β∩γ＝m，l∩m＝P，知点P在平面α，β，γ内，即为平面α，γ的公共点，而γ∩α＝n，因此P∈n，C正确；对于D，由m⊥α，m⊥β，得α∥β，而α∥γ，因此β∥γ，D正确．
7．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别是棱AA1，CC1的中点，平面DPQ∩平面A1B1C1D1＝l，则下列结论正确的有(　 　)A．l过点B1B．l不一定过点B1C．DP的延长线与D1A1的延长线的交点不在l上D．DQ的延长线与D1C1的延长线的交点在l上
三、填空题8．已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为______．
四、解答题10．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q．(1) 求证：D，B，F，E四点共面；
　　　　如图，连接B1D1，由题意知EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．
　　　　记A1，C，C1三点确定的平面为平面α，平面BDEF为平面β，因为Q∈A1C1，所以Q∈α．又Q∈EF，所以Q∈β，所以Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点，所以α∩β＝PQ．又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β，则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．
10．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q．(2) 求证：若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线；
　　　　因为EF∥BD且EF＜BD，所以DE与BF相交，设交点为M，则由M∈DE，DE⊂平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1．同理，M∈平面B1BCC1．又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，所以M∈CC1，所以DE，BF，CC1三线交于一点．
10．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q．(3) 求证：DE，BF，CC1三线交于一点．
11．如图，等腰直角三角形ABC的直角边AC＝BC＝2，沿其中位线DE将三角形ADE折起，使平面ADE⊥平面BCDE，得到四棱锥A－BCDE，设CD，BE，AE，AD的中点分别为M，N，P，Q．(1) 求证：M，N，P，Q四点共面；
　　　　由题意易知PQ∥DE，MN∥DE，所以PQ∥MN，所以M，N，P，Q四点共面．
11．如图，等腰直角三角形ABC的直角边AC＝BC＝2，沿其中位线DE将三角形ADE折起，使平面ADE⊥平面BCDE，得到四棱锥A－BCDE，设CD，BE，AE，AD的中点分别为M，N，P，Q．(2) 求异面直线BE与MQ所成的角．