2026届高三数学一轮复习课件第37讲直线与平面垂直的判定与性质

这是一份2026届高三数学一轮复习课件第37讲直线与平面垂直的判定与性质，共60页。PPT课件主要包含了链教材·夯基固本，研题型·能力养成，线面角与点面距的计算，三垂线定理，新视角，配套精练等内容，欢迎下载使用。
1．(人A 必二P162习题T1(2)改)已知直线m，n和平面α，如果n⊂α，那么“m⊥n”是“m⊥α”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件
2．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，则下列命题为真命题的是(　　)A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥β，m∥α，则α⊥βD．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ
　　　　对于A，若m⊂β，α⊥β，则m与α相交、平行或m⊂α，故A错误．对于B，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故B错误．对于C，若m⊥β，m∥α，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确．对于D，若α⊥γ，α⊥β，则β与γ相交或平行，故D错误．
3．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在(　　)A．直线AB上　B．直线BC上C．直线AC上　D．△ABC内部
　　　　连接AC1(图略)，由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，得AC⊥平面ABC1．因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC1⊥平面ABC，所以C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上．
4．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝2，则A1C与侧面BCC1B1所成角的正弦值为(　　)
5．(人A必二P152 T4练习改)已知点P为边长为a的正三角形ABC所在平面外一点且PA＝PB＝PC＝a，则点P到平面ABC的距离为_______．
1．直线与平面垂直(1) 定义：一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．(2) 直线与平面垂直的判定定理与性质定理：
2．直线和平面所成的角(1) 定义：平面的一条斜线和它在________________所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．(2) 范围：__________．
3．空间距离(1) 点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离．(2) 直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．(3) 两个平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．
4．常用结论(1) 若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线．(2) 若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．(3) 垂直于同一条直线的两个平面平行．(4) 一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．(5) 两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．
与线、面垂直相关命题的判定
　　　(2024·唐山二模)已知m为平面α外的一条直线，则下列说法中正确的是(　　)A．存在直线n，使得n⊥m，n⊥αB．存在直线n，使得n⊥m，n∥αC．存在直线n，使得n∥m，n∥αD．存在直线n，使得n∥m，n⊥α
对于A，当直线m与平面α斜交时，此时不存在直线n，使得n⊥m，n⊥α，所以A错误；对于B，如图(1)，当m⊥α时，过直线n作平面β，使得α∩β＝a．因为m⊥α，a⊂α，所以m⊥a．又因为m⊥n，可得a∥n．因为n⊄α，a⊂α，所以n∥α．
如图(2)，当m与平面α斜交时，设斜足为A，在直线m上取一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接OA，在平面α内，过点A作直线a⊥OA．因为a⊥PO，且PO∩OA＝O，PO，OA⊂平面POA，所以a⊥平面POA．又因为PA⊂平面POA，所以a⊥PA，即a⊥m．在过a和m确定的平面内，过点P作直线n，
使得n⊥m，所以n∥a．因为n⊄α，a⊂α，所以n∥α，所以存在直线n，使得n⊥m，n∥α．若直线m∥α，此时存在平面β∥α且m⊂β，在直线m上取一点Q，在平面β内过Q作直线n⊥m，根据面面平行的性质有n∥α，所以B正确；对于C，当直线m与平面α相交时，若n∥m，则直线n与平面α必相交，所以C错误；对于D，当m∥α时，若n∥m，可得n∥α或n⊂α，所以D错误．
变式1　(2024·景德镇三检) 已知a，b是空间内两条不同的直线，α，β，γ是空间内三个不重合的平面，则下列说法正确的是(　　)A．若α⊥β，a⊂α，则a⊥βB．若a⊥β，α⊥β，则a∥αC．若α∩β＝a，α⊥γ，β⊥γ，则a⊥γD．若α⊥β，α∩β＝a，b⊥a，则b⊥α或b⊥β
　　　　对于A，由α⊥β，a⊂α，设α∩β＝l，当a∥l时，可得a∥β，故A错误；对于B，由a⊥β，α⊥β可得a∥α或a⊂α，故B错误；对于C，如图，设α∩γ＝b，β∩γ＝c，在平面α内作不与a重合的直线m，使m⊥b，因为α⊥γ，则m⊥γ，因为β⊥γ，m⊄β，则m∥β，
因为α∩β＝a，则m∥a，于是a⊥γ，故C正确；对于D，当α⊥β，α∩β＝a，b⊥a时，若b⊄α，且b⊄β，则b可以和平面α，β成任意角度，故D错误．
线面垂直的判定定理与性质定理的应用
　　　(2024·开封三模节选)已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是正方形，给出下列三个论断：①PC＝PD；②AC⊥PD；③BD⊥平面PAC．以其中的两个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个正确的命题，并证明．
　　　　 ①②⇒③：如图，连接AC，BD交于点O，连接OP．因为底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD．又AC⊥PD，PD∩BD＝D，PD，BD⊂平面PBD，故AC⊥平面PBD．又OP⊂平面PBD，故AC⊥OP．由于OP＝OP，OD＝OC，PD＝PC，故△POD≌△POC，因此OD⊥OP，又OC∩OD＝O，OC，OD⊂平
面ABCD，故OP⊥平面ABCD(可得四棱锥P－ABCD是正四棱锥)．又BD⊂平面ABCD，故OP⊥BD．又AC⊥BD，AC∩OP＝O，AC，PO⊂平面PAC，故BD⊥平面PAC．
②③⇒①：如图，连接AC，BD交于点O，连接OP．因为底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD．又AC⊥PD，PD∩BD＝D，PD，BD⊂平面PBD，故AC⊥平面PBD．又OP⊂平面PBD，故AC⊥OP．又BD⊥平面PAC，OP⊂平面PAC，故BD⊥OP，又AC∩BD＝O，AC，BD⊂平面ABCD，故OP⊥平面ABCD，结合底面ABCD是正方形，O是正方形的中心，所以四棱锥P－ABCD是正四棱锥，故PC＝PD．
证明线面垂直的常用方法及关键(1) 证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．(2) 证明线面垂直的关键是证明线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．
　　　　在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC．因为AB⊂平面ABC，所以PA⊥ AB．因为AB⊥AC，PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，所以AB⊥平面PAC．因为PC⊂平面PAC，所以AB⊥PC．在△PAC中，因为E为PC中点，且PA＝AC，所以AE⊥PC．又因为AB∩AE＝A，AB⊂平面ABE，AE⊂平面ABE，所以PC⊥平面ABE．因为AF⊂平面ABE，所以PC⊥AF．因为AF⊥BE，PC∩BE＝E，PC⊂平面PBC，BE⊂平面PBC，所以AF⊥平面PBC．
　　　　由(1)知，AF⊥平面PBC，所以AE与平面PBC所成的角为∠AEF．又由(1)知，AB⊥平面PAC，AE⊂平面PAC，所以AB⊥AE．由PA⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，所以PA⊥AC．
　　　　　如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，E，F，G分别是棱BC，AD，PA的中点．(1) 求证：PE∥平面BFG；
　　　　如图，连接DE，因为四边形ABCD是正方形，E，F分别是棱BC，AD的中点，所以DF＝BE，DF∥BE，所以四边形BEDF是平行四边形，所以DE∥BF．因为G是PA的中点，所以FG∥PD．因为PD，DE⊄平面BFG，FG，BF⊂平面BFG，所以PD∥平面BFG，DE∥平面BFG．因为PD∩DE＝D，PD，DE⊂平面PDE，所以平面PDE∥平面BFG．因为PE⊂平面PDE，所以PE∥平面BFG．
　　　　　如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，E，F，G分别是棱BC，AD，PA的中点．(2) 若AB＝2，求点C到平面BFG的距离．
　　　　因为PD⊥平面ABCD，FG∥PD，所以FG⊥平面ABCD．过点C在平面ABCD内作CM⊥BF，垂足为M，则FG⊥CM．因为FG∩BF＝F，FG，BF⊂平面BFG，所以CM⊥平面BFG，所以CM的长是点C到平面BFG的距离．连接CF，
①三垂线定理：若PO⊥α，PC在平面α内的射影为CO，l⊂α，l⊥CO，则l⊥PC．②三垂线定理的逆定理：若PO⊥α，PC在平面α内的射影为CO，l⊂α，l⊥PC，则l⊥CO．
　　　如图，在Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，则MC与平面ABC所成角的正弦值为______．
变式4　在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠BAC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为_______．
1． (2024·杭州二模)已知m，n表示两条不同的直线，α表示平面，下列说法正确的是(　　)A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
　　　　线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B正确．
2． (多选)在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC与BD交于点O，则(　　　)A．AD1∥平面BOC1B．BD⊥平面COC1
　　　　如图，因为AD1∥BC1，AD1⊄平面BOC1，BC1⊂平面BOC1，所以AD1∥平面BOC1，故A正确．因为CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥CC1．又BD⊥CO，CO∩CC1＝C，CO，CC1⊂平面COC1，所以BD⊥平面COC1，故B正确．因为CC1⊥平面ABCD，所以
3．已知等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面α内，若AC与α所成的角为30°，则斜边上的中线CM与α所成的角的大小为________．
4．设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E是A1B1的中点，则点E到平面ABC1D1的距离为______．
一、单项选择题1．(2025·常州期中)已知α，β是两个不重合的平面，a，b是两条不同的直线，下列条件中，一定能得到l⊥α的是(　　)A．α⊥β，l∥βB．l⊥a，a∥αC．l∥a，a⊥αD．l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α
　　　　对于A，α⊥β，l∥β，则l与α相交、平行或l⊂α，故A错误；对于B，l⊥a，a∥α，则l与α相交、平行或l⊂α，故B错误；对于C，l∥a，a⊥α，由线面垂直的性质知l⊥α，故C正确；对于D，l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，则l与α相交、平行或l⊂α，故D错误．
2．已知PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B两点的任一点，则下列关系不正确的是(　　)A．PA⊥BCB．BC⊥平面PACC．AC⊥PBD．PC⊥BC
　　　　由PA⊥平面ABC⇒PA⊥BC，故A正确；由BC⊥PA，BC⊥AC，PA∩AC＝A，可得BC⊥平面PAC，则BC⊥PC，故B，D正确．
3．(2024·湖北八市3月联考)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，M，N分别为AB，BB1，DD1的中点，则与平面MNP垂直的直线可以是(　　)A．A1BB．A1DC．AC1D．A1C
如图，连接AB1，B1D1，AD1，A1C1，A1C，因为P，M，N分别为AB，BB1，DD1的中点，故MP∥AB1，B1D1∥MN．又MP⊄平面AB1D1，AB1⊂平面AB1D1，故MP∥平面AB1D1．
又MN⊄平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，故MN∥平面AB1D1．又MP∩MN＝M，MP，MN⊂平面MNP，故平面MNP∥平面AB1D1，则垂直于平面MNP的直线一定垂直于平面AB1D1．显然CC1⊥平面A1B1C1D1，B1D1⊂平面A1B1C1D1，故B1D1⊥CC1，又B1D1⊥A1C1，A1C1∩CC1＝C1，A1C1，CC1⊂平面A1C1C，故B1D1⊥平面A1C1C．又A1C⊂平面A1C1C，故A1C⊥B1D1．同理可得A1C⊥AB1，又AB1∩B1D1＝B1，AB1，B1D1⊂平面AB1D1，故A1C⊥平面AB1D1，也即A1C⊥平面MNP．若其他选项的直线垂直于平面MNP，则要与A1C平行，显然都不平行．
4．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，其中AD＝2AB，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，AF∶FD＝(　　)A．1∶1B．1∶2C．1∶5D．1∶7
二、多项选择题5．(2024·马鞍山三模)已知四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，下列说法正确的是(　 　)A．若PC⊥BD，则AC⊥BDB．若AC⊥BD，则PB＝PDC．若PB＝PD，则AB＝ADD．若AB＝AD，则PC⊥BD
　　　　因为PA⊥平面ABCD，AB，AD，BD⊂平面ABCD，则PA⊥AB，PA⊥AD，PA⊥BD．对于选项A，D，若PC⊥BD，且PA∩PC＝P，PA，PC⊂平面PAC，可得BD⊥平面PAC，又AC⊂平面PAC，所以AC⊥BD．同理，若AC⊥BD，可得PC⊥BD，即PC⊥BD等价于AC⊥BD，由AB＝AD不能推出
AC⊥BD，即AB＝AD不能推出PC⊥BD，故A正确，D错误．对于选项B，C，若PB＝PD，可知Rt△PAB≌Rt△PAD，所以AB＝AD，反之，AB＝AD，可知Rt△PAB≌Rt△PAD，所以PB＝PD，即PB＝PD等价于AB＝AD，由AC⊥BD不能推出AB＝AD，即AC⊥BD不能推出PB＝PD，故B错误，C正确．
6．(2022·新高考Ⅰ卷)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，则(　　　)A．直线BC1与DA1所成的角为90°B．直线BC1与CA1所成的角为90°C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45°
7．(2021·新高考Ⅱ卷)如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点，则满足MN⊥OP的是(　　)
图(1) 　　　　　图(2)
图(3) 　　　　　图(4)
三、填空题8．(2025·南通海安期中)在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝AB＝AC＝BC＝2，PC与平面ABC所成角的大小为60°，则PC＝______．
9．(2025·锦州期中)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DD1的中点，F是侧面CDD1C1上的动点，且B1F∥平面A1BE，则B1F与平面CDD1C1所成角的正切值的最大值是_______．
10．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，△ABC为正三角形，AA1＝AB＝6，则AB1与平面BCC1所成角的正切值为______．
四、解答题11．(2025·金华十校联考)如图，三棱锥A－BCD中，AD⊥平面BCD，AD＝DB＝DC＝BC，E为AB中点，M为DE中点，N为DC中点．(1) 求证：MN∥平面ABC；
　　　　如图，连接EC，由M为DE中点，N为DC中点，得MN∥EC．又EC⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，所以MN∥平面ABC．
11．(2025·金华十校联考)如图，三棱锥A－BCD中，AD⊥平面BCD，AD＝DB＝DC＝BC，E为AB中点，M为DE中点，N为DC中点．(1) 求证：MN∥平面ABC；(2) 求直线DE与平面ABC所成角的正弦值．
12．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，E是BB1上的一点，且EB1＝1，D，F，G分别是CC1，B1C1，A1C1的中点，EF与B1D相交于点H．(1) 求证：B1D⊥平面ABD；
　　　　由直三棱柱的性质得平面ABC⊥平面BB1C1C，又AB⊥BC，平面ABC∩平面BB1C1C＝BC，AB⊂平面ABC，所以AB⊥平面BB1C1C，又B1D⊂平面BB1C1C，所以AB⊥B1D．因为BC＝CD＝DC1＝B1C1＝2，所以在Rt△DCB和Rt△DC1B1中，∠BDC＝∠B1DC1＝45°，所以∠BDB1＝90°，即B1D⊥BD．又AB∩BD＝B，AB，BD⊂平面ABD，所以B1D⊥平面ABD．
12．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，E是BB1上的一点，且EB1＝1，D，F，G分别是CC1，B1C1，A1C1的中点，EF与B1D相交于点H．(2) 求平面EGF与平面ABD的距离．