2026届高三数学一轮复习课件第38讲平面与平面垂直的判定与性质

这是一份2026届高三数学一轮复习课件第38讲平面与平面垂直的判定与性质，共53页。PPT课件主要包含了链教材·夯基固本，答案A，两个半平面，垂直于棱，研题型·能力养成，综合法计算二面角，答案－2，答案BC，答案60°，配套精练等内容，欢迎下载使用。
1．已知平面α，β和直线m，l，则下列命题正确的是(　　)A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥βB．若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥βC．若α⊥β，l⊂α，则l⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β
　　　　若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊂β或l∥β或l与β相交，A错误；若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l与β相交但不一定垂直，B错误；若α⊥β，l⊂α，则l⊂β或l∥β或l与β相交，C错误；若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β，由面面垂直的性质定理可知D正确．
2．(人A必二P158例8改)如图，AB是圆柱上底面的一条直径，C是上底面圆周上异于A，B的一点，D为下底面圆周上一点，且AD垂直于圆柱的底面，则必有(　　)A．平面ABC⊥平面BCDB．平面BCD⊥平面ACDC．平面ABD⊥平面ACDD．平面BCD⊥平面ABD
　　　　因为AB是圆柱上底面的一条直径，所以AC⊥BC，又AD垂直于圆柱的底面，所以AD⊥BC，因为AC∩AD＝A，AC，AD⊂平面ACD，所以BC⊥平面ACD．因为BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面ACD．
3．(2022·全国乙卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则(　　)A．平面B1EF⊥平面BDD1B．平面B1EF⊥平面A1BDC．平面B1EF∥平面A1ACD．平面B1EF∥平面A1C1D
　如图，对于A，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC，则有EF⊥BD．又BB1⊥EF，从而EF⊥平面BDD1．又因为EF⊂平面B1EF，所以平面B1EF⊥平面BDD1，故A正确．
对于B，因为平面A1BD∩平面BDD1＝BD，显然BD不垂直于平面B1EF，所以平面B1EF⊥平面A1BD不成立，故B错误．对于C，由题意知直线AA1与直线B1E必相交，故平面B1EF与平面A1AC有公共点，从而C错误．对于D，连接AC，AB1，B1C，易知平面AB1C∥平面A1C1D．又因为平面AB1C与平面B1EF有公共点B1，所以平面AB1C与平面B1EF不平行，则平面A1C1D与平面B1EF不平行，故D错误．
1．二面角(1) 从一条直线出发的______________所组成的图形叫做二面角．以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作____________的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．
(2) 二面角的平面角α的范围：_____________；平面与平面的夹角的取值范围：_________．
2．平面与平面垂直(1) 定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2) 平面与平面垂直的判定定理与性质定理：
面面垂直的判定定理与性质定理
(1) 判定面面垂直的方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理．(2) 面面垂直性质的应用：①面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．②若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面．
　　　　　(2024·深圳一调节选)如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是菱形，平面ABCD⊥平面PAD，点M在DP上，且DM＝2MP，AD＝AP，∠PAD＝120°．求证：BD⊥平面ACM．
视角1　定义法　　　　　(2025·连云港期中)在四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是等腰直角三角形，DA＝DC，平面ACD⊥平面ABC，点E在棱BD上，使得四面体ACDE与四面体ABCD的体积之比为1∶2，则二面角D－AC－E的余弦值为______．
视角2　三垂线法　　　　　如图，已知△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，AB＝BC＝BD，∠ABC＝∠DBC＝120°，则二面角A－BD－C的正切值等于_______．
如图，在平面ABC内，过点A作AH⊥BC，垂足为H，连接DH，由题意知DH⊥BC，又AH∩DH＝H，AH，DH⊂平面AHD，所以BC⊥平面AHD．因为△ABC和△BCD所在的平面互相垂直，且平面ABC∩平面BCD＝BC，所以AH⊥平面BCD，过点H作HR⊥BD，垂足为R，连接AR，
结合三垂线定理计算二面角的方法：已知二面角α－l－β，在平面α(或平面β)内找一合适的点A，作AO⊥β于点O，过A作AB⊥l(l是公共棱)于点B，则BO为斜线AB在平面β内的射影，∠ABO为二面角α－l－β的平面角．
视角3　投影法　　　　　若二面角内一点到两个面的距离分别为5和8，两垂足间的距离为7，则这个二面角的大小是______．
1．(2025·佛山禅城一调)(多选)已知直线a，b与平面α，β，γ，能使α⊥β成立的充分条件是(　 　)A．α⊥γ，β⊥γB．α∥γ，β⊥γC．α∩β＝b，a⊥b，a⊂αD．a∥b，b⊥β，a⊂α
　　　　对于A，α⊥γ，β⊥γ，α，β也可能平行，故错误；对于B，若α∥γ，β⊥γ，则α⊥β，故正确；对于C，α∩β＝b，a⊥b，a⊂α，由线面垂直的判定定理可知a不一定垂直于β，故α，β也不一定垂直，故错误；对于D，由a∥b，b⊥β，可得a⊥β，再由a⊂α，可证α⊥β，故正确．
2． (2024·聊城二模)(多选)已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是正方形，则下列关系能同时成立的是(　　)A．“AB＝PB”与“PB＝BD”B．“PA⊥PC”与“PB⊥PD”C．“PB⊥CD”与“PC⊥AB”D．“平面PAB⊥平面PBD”与“平面PCD⊥平面PBD”
　　　　对于A，由底面ABCD是正方形，则AB≠DB，所以当AB＝PB时，PB＝BD不成立，故A错误；对于B，如图，设底面正方形中心为O，则P在以O为球心，以OA为半径的球面上时可符合题意，故B正确；对于C，当平面PBC⊥底面ABCD时，由面面垂直的性质可知AB⊥平面PBC，CD⊥平面PBC，显然符合
题意，故C正确；对于D，由于两相交平面同时垂直于第三个平面时交线垂直于第三个平面，若“平面PAB⊥平面PBD”与“平面PCD⊥平面PBD”同时成立，易知P∈平面PAB∩平面PCD，可设平面PAB∩平面PCD＝l，则P∈l，则l⊥平面PBD，易知AB∥CD，AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AB∥平面PCD，又AB⊂平面PAB，则l∥AB，则有AB⊥平面PBD，显然AB⊥BD不成立，故D错误．
3．如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，则二面角E－BD－C的大小为________．
　因为SB＝BC，且E是SC的中点，所以BE是等腰三角形SBC底边SC的中线，所以SC⊥BE．又SC⊥DE，BE∩DE＝E，BE，DE⊂平面BDE，所以SC⊥平面BDE，所以SC⊥BD．又SA⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，所以SA⊥BD，又SC∩SA＝S，SC，SA⊂平面SAC，所以BD⊥平面SAC．
4．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝1，AD＝2，则二面角P－BC－D的大小是______．
　　　　如图，过点P作PM⊥AD，垂足为M，过点M作MN⊥BC，垂足为N，连接PN．因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，又PM⊥AD，PM⊂平面PAD．
一、单项选择题1．(2024·宁波二模)已知三个不重合的平面α，β，γ，若α∩β＝l，则“l⊥γ”是“α⊥γ且β⊥γ”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件
　　　　由于α∩β＝l，所以l⊂α，l⊂β．若l⊥γ，则α⊥γ，β⊥γ，故充分性成立．若α⊥γ，β⊥γ，设α∩γ＝m，β∩γ＝n，则存在直线a⊂γ，使得a⊥m，所以a⊥α．由于l⊂α，故a⊥l．同理存在直线b⊂γ，使得b⊥n，所以b⊥β，由于l⊂β，故b⊥l．由于a，b不平行，所以a，b是平面γ内两条相交直线，所以l⊥γ，故必要性成立．
2．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．在如图所示的“堑堵”中，AC＝CB＝CC1，则二面角C1－AB－C的正切值为(　　)
3．(2024·娄底一模)已知四棱锥P－ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，E为PC中点，则(　　)A．BE∥平面PADB．PD⊥平面ABCDC．平面PAB⊥平面PADD．DE＝EB
　　　　对于A，易知BC∥平面PAD，因为BE∩BC＝B，且两条直线都在平面PBC内，所以BE不可能平行于平面PAD，故A错误．对于B，因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，若PD⊥平面ABCD，则PD⊥AD，由题设条件知不一定成立，故B错误．对于C，
因为四边形ABCD是正方形，所以AB⊥AD．由以上分析知AB⊥平面PAD．又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD，故C正确．对于D，没有任何条件可以证明DE＝EB，故D错误．
4．(2024·淮安、连云港期末)图(1)是蜂房正对着蜜蜂巢穴开口的截面图，它是由许多个正六边形互相紧挨在一起构成．可以看出蜂房的底部是由三个大小相同的菱形组成，且这三个菱形不在一个平面上．研究表明蜂房底部的菱形相似于菱形十二面体的表面菱形，图(2)是一个菱形十二面体，它是由十二个相同的菱形围成的几何体，也可以看作正方体的各个正方形面上扣上一个正四棱锥，如图(3)，若平面ABCD与平面ATBS的夹角为45°，则cs∠ASB＝(　　)
图(1) 　 　 　　　图(2) 　 　　　图(3)
二、多项选择题5．(2024·苏锡常镇二调)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，下列说法正确的有(　　　)A．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βB．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥βC．若α∥β，m⊂α，n⊥β，则m⊥nD．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
　　　　对于A，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，不能推出m⊥β或n⊥α，则不能推出α⊥β，故A错误；对于B，若m⊥α，m∥n，则n⊥α，又n∥β，所以α⊥β，故B正确；对于C，若α∥β，n⊥β，则n⊥α，又m⊂α，所以m⊥n，故C正确；对于D，若m⊥α，n⊥β，m⊥n，说明与α和β垂直的法向量互相垂直，则α⊥β，故D正确．
6．(2024·吕梁二模)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，O为A1C1与B1D1的交点，则下列条件中能成为“AC1＝A1C”的必要条件有　 　 　 　 　 　 　 (　　)A．四边形ACC1A1是矩形B．平面ABB1A1⊥平面ACC1A1C．平面BDD1B1⊥平面ABCDD．直线OA，BC所成的角与直线OC，AB所成的角相等
　　　　要成为“AC1＝A1C”的必要条件，则该条件可由“AC1＝A1C”推出．对于A，因为在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1∥CC1，AA1＝CC1，所以四边形ACC1A1为平行四边形．又AC1＝A1C，所以四边形ACC1A1为矩形，故A正确．对于B，假设平面ABB1A1⊥平面ACC1A1，由选项A可知四边形ACC1A1为矩形，则AC⊥AA1．又平面ABB1A1∩平面ACC1A1＝AA1，AC⊂平面ACC1A1，所以AC⊥平面ABB1A1．因为AB⊂平面ABB1A1，所以AC⊥AB，与四边形ABCD为正方形矛盾，故B错误．
对于C，因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，因为AC⊥AA1，AA1∥BB1，所以AC⊥BB1，又BB1∩BD＝B，BB1，BD⊂平面BDD1B1，所以AC⊥平面BDD1B1．又AC⊂平面ABCD，所以平面BDD1B1⊥平面ABCD，故C正确．对于D，因为四边形ACC1A1为矩形，O为A1C1的中点，易得OA＝OC，又正方形ABCD中，AD＝CD，OD是公共边，所以△OAD≌△OCD，则∠OAD＝∠OCD．又BC∥AD，AB∥CD，所以∠OAD，∠OCD分别为直线OA，BC所成的角与直线OC，AB所成的角(或其补角)，则直线OA，BC所成的角与直线OC，AB所成的角相等，故D正确．
7．(2024·衡阳二联)在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝4，P是棱CC1的中点，则(　 　)A．直线BP与B1D1所成的角为60°B．直线BP与A1D所成的角为90°C．平面A1B1P⊥平面ABP
9．如图，已知边长为a的正方形ABCD外有一点P，且PA⊥平面ABCD，PA＝a，则二面角P－BD－A所成平面角的正切值为______．
四、解答题10．在四棱锥E－ABCD中，ED⊥平面EBC，AD＝ED，底面ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝∠CBA＝90°，AB＝BC＝2AD．(1) 若点F在线段BC上，试确定F的位置，使平面DEF⊥平面ABCD，并给出证明；
10．在四棱锥E－ABCD中，ED⊥平面EBC，AD＝ED，底面ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝∠CBA＝90°，AB＝BC＝2AD．
11．(2025·锦州期中)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面BB1C1C⊥底面ABC，且AB＝AC，A1B＝A1C．(1) 求证：AA1⊥平面ABC；
　　　　如图(1)，取BC的中点M，连接MA，MA1．因为AB＝AC，A1B＝A1C，所以BC⊥AM，BC⊥A1M，由于AM，A1M⊂平面A1MA，且AM∩A1M＝M，因此BC⊥平面A1MA．因为AA1⊂平面A1MA，所以BC⊥AA1．又因为AA1∥BB1，所以BB1⊥BC．因为平面BB1C1C⊥平面ABC，平面BB1C1C∩平面ABC＝BC，且BB1⊂平面BB1C1C，所以BB1⊥平面ABC．因为AA1∥BB1，所以AA1⊥平面ABC．
11．(2025·锦州期中)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面BB1C1C⊥底面ABC，且AB＝AC，A1B＝A1C．(2) 若AA1＝BC＝2，∠BAC＝90°，求平面A1BC与平面A1BC1夹角的余弦值．
　　　　如图(2)，将直三棱柱ABC－A1B1C1补成长方体ABDC－A1B1D1C1．连接C1D，过点C作CP⊥C1D，垂足为P，再过P作PQ⊥A1B，垂足为Q，连接CQ．因为BD⊥平面CDD1C1，且CP⊂平面CDD1C1，所以BD⊥CP．又CP⊥C1D，BD，C1D⊂平面A1BDC1，且BD∩C1D＝D，所以CP⊥平面A1BDC1，则△CPQ为直角三角形．