2026高考数学一轮复习-7.2空间点、直线、平面之间的位置关系【课件】

第2节　空间点、直线、平面之间的位置关系[课程标准要求] 1.借助长方体模型,在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上,抽象出空间线、面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的基本事实和定理.3.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.积累·必备知识01回顾教材,夯实四基1.与平面有关的基本事实及推论(1)与平面有关的三个基本事实不在一条直线上两个点过该点的公共直线(2)三个推论一条直线两条相交两条平行2.空间点、直线、平面之间的位置关系3.基本事实4和等角定理(1)基本事实4:平行于同一条直线的两条直线 .(2)等角定理:如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角 .4.异面直线所成的角(1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a′∥a,b′∥b,把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).(2)范围: .平行相等或互补1.证明点共线与线共点都需用到基本事实3.2.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时,容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角,也可能等于其补角.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).(1)若A∈a,a⊂α,则A∈α.(　 　)(2)经过一条直线和一个点,有且只有一个平面.(　 　)(3)两条直线若不是异面直线,则必相交或平行.(　 　)(4)若直线与平面不相交,则直线与平面平行.(　 　)√×√×2.(多选题)α是一个平面,m,n是两条直线,A是一个点,若m⊄α,n⊂α,且A∈m,A∈α,则m,n的位置关系可能是(　 　)A.垂直B.相交C.异面D.平行解析:依题意,m∩α=A,n⊂α,所以m与n可能异面、相交(垂直是相交的特例),一定不平行.故选ABC.√√√3.(2024·河北石家庄模拟)一个正方体的展开图如图所示,点B,C,D为原正方体的顶点,点A为原正方体一条棱的中点,那么在原来的正方体中,直线CD与AB所成角的余弦值为(　 　)√4.已知下列说法:①若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a∥b;②若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b一定不相交;③若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b平行或异面,其中正确的是　　　　(将你认为正确的序号都填上). ②③解析:①错误.a与b也可能异面.②正确.因为α∥β,所以α与β无公共点.又因为a⊂α,b⊂β,所以a与b无公共点.③正确.由已知及②知,a与b无公共点,那么a∥b或a与b异面.02提升·关键能力类分考点,落实四翼考点一　基本事实及其应用[例1] 已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证:(1)D,B,F,E四点共面;证明:(1)连接B1D1,因为E,F分别为D1C1,C1B1的中点,所以EF∥B1D1.在正方体AC1中,B1D1∥BD,所以EF∥BD.所以EF,BD确定一个平面,即D,B,F,E四点共面.(2)若A1C交平面DBFE于点R,则P,Q,R三点共线.证明:(2)在正方体AC1中,设平面A1ACC1确定的平面为α,平面BDEF为β.因为Q∈A1C1,所以Q∈α.又Q∈EF,所以Q∈β.则Q是α与β的公共点,同理P是α与β的公共点,所以α∩β=PQ.又A1C∩β=R,所以R∈A1C.所以R∈α,且R∈β,则R∈PQ.故P,Q,R三点共线.(1)判断、证明点或线共面问题的两种方法①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后再证其余的线(或点)在这个平面内.②将所有条件分为两部分,然后分别确定平面,再证两平面重合.(2)判断、证明点共线问题的两种方法①先由两点确定一条直线,再证其他各点都在这条直线上.②直接证明这些点都在同一条特定直线上.(3)判断、证明线共点问题的常用方法先证其中两条直线相交于一点,再证其他直线经过该点.[针对训练](1)(多选题)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为DB的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,则下列结论正确的是(　　)A.C1,M,O三点共线B.C1,M,O,C四点共面C.C1,O,A,M四点共面D.D1,D,O,M四点共面√√√解析:(1)连接AC,A1C1(图略),由题意知点O为BD,AC的交点,且平面C1BD∩平面A1ACC1=C1O,因为直线A1C交平面C1BD于点M,所以点M∈直线C1O,所以C1,M,O三点共线,故选项A正确;因为C1,M,O三点共线,所以C1,M,O,C四点共面,故B正确;因为C1,M,O三点共线,所以C1,M,O,A四点共面,故C正确;因为直线OM∩CC1=C1,DD1∥CC1,所以DD1与OM不平行,所以D1,D,O,M四点不共面,故D错误.故选ABC.(2)在四面体A-BCD中作截面PQR,若PQ与CB的延长线交于点M,RQ与DB的延长线交于点N,RP与DC的延长线交于点K,给出以下命题:①直线MN⊂平面PQR;②点K在直线MN上;③M,N,K,A四点共面.其中正确结论的序号为　　　　. ①②③解析:(2)如图所示,在四面体A-BCD中作截面PQR,PQ与CB的延长线交于点M,RQ与DB的延长线交于点N,RP与DC的延长线交于点K,对于①,M∈PQ,PQ⊂平面PQR,所以M∈平面PQR;同理,N∈平面PQR,所以直线MN⊂平面PQR,①正确;对于②,点M∈平面PQR,M∈平面BCD,点N∈平面PQR,点N∈平面BCD,所以平面PQR∩平面BCD=MN,又K∈平面PQR,点K∈平面BCD,所以点K∈直线MN,即点K在直线MN上,②正确;对于③,由②知点M,N,K三点共线,则点M,N,K,A四点共面,③正确.综上,正确的结论序号是①②③.[例2] (1)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列结论正确的是(　　)A.l与l1,l2都不相交B.l与l1,l2都相交C.l至多与l1,l2中的一条相交D.l至少与l1,l2中的一条相交考点二　空间两条直线的位置关系√解析:(1)如图1,l1与l2是异面直线,l1与l平行,l2与l相交,故A,B不正确;如图2,l1与l2是异面直线,l1,l2都与l相交,故C不正确.故选D.(2)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,与直线BC1异面的棱有(　　)A.1条B.2条C.3条D.4条解析:(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1的棱所在的直线中,与直线BC1异面的直线有A1B1,AC,AA1,共3条.故选C.√判断空间直线的位置关系一般有两种方法:一是构造几何体(如长方体、空间四边形等)模型来判断;二是排除法.特别地,对于异面直线的判定常用到结论:“平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.”[针对训练](1)(多选题)(2024·广东湛江模拟)对于点A,B,直线l,m与两不重合平面α,β,下列命题中正确的是(　　)A.若A∈l,A∈α,B∈l,B∈α,则l⊂αB.若A∈l,A∈α,则l∩α=AC.若l⊂α,l⊂β,则α∩β=lD.若l⊥α,m⊥α,则l∥m√√√解析:(1)根据基本事实2,若一条直线上的两个点在一个平面内,则这条直线在这个平面内,故A正确;当l⊂α时,l∩α=l,故B错误;根据平面的基本性质,若l⊂α,l⊂β,则α∩β=l,故C正确;垂直于同一个平面的两条直线平行,故D正确.故选ACD.(2)(多选题)在下图中,G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形是(　　)√√解析:(2)A项中,直线GH∥MN;B项中,G,H,N三点共面,但M∉平面GHN,因此直线GH与MN异面;C项中,连接MG(图略),GM∥HN,因此GH与MN共面;D项中,G,M,N三点共面,但H∉平面GMN,因此GH与MN异面,所以在B,D项中GH与MN异面.故选BD.[例3] (1)(2024·安徽芜湖模拟)如图,在正四面体A-BCD中,E,F分别为AB和AC的中点,则两条异面直线CE与DF所成角的余弦值为(　)考点三　求异面直线所成的角√解析:(1)取AE的中点M,连接MF,MD,则∠MFD为两条异面直线CE与DF所成的角(或其补角),设正四面体A-BCD的边长为2,(2)(2021·全国乙卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则直线PB与AD1所成的角为(　　)√解析:(2)如图,连接BC1,PC1,因为AD1∥BC1,所以∠PBC1或其补角为直线PB与AD1所成的角,因为BB1⊥平面A1B1C1D1,所以BB1⊥PC1,又PC1⊥B1D1,BB1∩B1D1=B1,所以PC1⊥平面PBB1,所以PC1⊥PB,设正方体棱长为2,求异面直线所成角的方法(1)求异面直线所成角的常用方法是平移法.平移的方法一般有三种类型:利用图中已有的平行线平移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平移.(2)求异面直线所成角的三步曲:“一作、二证、三求”.①一作:根据定义作平行线,作出异面直线所成的角;②二证:证明作出的角是异面直线所成的角;③三求:解三角形,求出作出的角.如果求出的角是锐角或直角,则它就是要求的角;如果求出的角是钝角,则它的补角才是要求的角.[针对训练] 将正方形ABCD沿对角线AC折起,并使得平面ABC垂直于平面ACD,则直线AB与CD所成的角为(　　)A.90°B.60°C.45°D.30°√点击进入 课时作业