专题02 一元二次函数、方程和不等式（期中知识清单）（原卷版+解析版）高一数学上学期人教A版2019必修第一册

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一元二次函数
方程和不等式
等式性质与
不等式性质
基本不等式
二次函数
一元二次方程
不等式
作差法
一元二次函数
作商法
一元二次不等式
一元二次方程
分式不等式
利用基本不等式求积、和最值
利用基本不等式求商式最值
利用基本不等式求等式最值
“1”的妙用
利用基本不等式求恒成立问题
利用基本不等式求能成立问题
【清单01】实数大小比较
1、如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么，反过来也对.
2、作差法比大小：①；②；③
3、不等式性质
性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变
性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变
性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
【清单02】基本不等式链
（其中，当且仅当时，取“”号）
【清单03】四个二次的关系
一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点．
2.2次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系
对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.
【清单04】分式不等式
定义：
与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。
分式不等式的解法
①移项化零：将分式不等式右边化为0：
②
③
④
⑤
【题型一】比较数、式大小
【例1】（23-24高一上·云南玉溪·期中）（1）比较与的大小．
（2）已知，，比较与的大小．
【变式1-1】（24-25高一上·贵州贵阳·期中）（1）比较与的大小；
（2）已知，，求证：．
【题型二】由基本不等式求和、积最值
【例2】（多选）（24-25高一上·河北衡水·期中）已知两个正数，满足，则（ ）
A．的最大值为B．的最小值3
C．的最小值为2D．的最小值为
【变式2-1】（多选）（24-25高一上·贵州贵阳·期中）已知，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，的最小值为9．
B．若，的最小值为1
C．若，的最小值为
D．若，的最大值为
【题型三】二次与二次（一次）商式最值
【例3】（24-25高一上·甘肃兰州·期中）求解下列各题：
(1)求的最大值.
(2)求的最小值.
(3)已知，且，若恒成立，求实数的取值范围.
【变式3-1】（24-25高一上·浙江杭州·期中）（1）若，求的最小值，并写出取得最小值时的值.
（2）若，求函数的最小值，并写出取得最小值时的值.
【题型四】条件等式求最值
【例4】（24-25高一上·浙江宁波·期中）已知，满足，则的最小值为
【变式4-1】（23-24高一上·浙江·期中）已知实数，，且满足，则的最小值是 .
【题型五】“1”的妙用
【例5】（24-25高二下·天津滨海新·期中）已知，且，则的最小值为
【变式5-1】（24-25高一上·四川泸州·期中）若正数满足，则的最小值为 .
【题型六】基本不等式解决恒（能）成立问题
【例6】（23-24高一上·山东泰安·期中）若任意，不等式恒成立，则实数的范围为 .
【变式6-1】（23-24高一上·云南昆明·期中）两个正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是 .
【题型七】一元二次不等（分式不等式）（不含参）
【例7】（24-25高一上·天津西青·期中）不等式 的解集为 .
【变式7-1】（24-25高一上·河南南阳·期中）不等式的解集为 .
【题型八】一元二次不等式（含参）
【例8】（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数.
(1)若不等式的解集为，求实数的值；
(2)当时，求不等式的解集.
【变式8-1】（24-25高一上·福建南平·期中）设.
(1)若，求不等式的解集；
(2)解关于的不等式.
【题型九】由一元二次不等式的解确定参数
【例9】（多选）（24-25高一上·江苏南通·期中）已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．
D．不等式的解集为或
【变式9-1】（多选）（24-25高二上·山东威海·期中）已知关于x的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．
D．不等式的解集为
【题型十】一元二次不等式恒成立与能成立问题
【例10】（24-25高一上·广东江门·期中）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为 .
【变式10-1】（23-24高一上·河北石家庄·期中）若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为 .
【题型一】多次利用同向相加求范围出错
【例1】（24-25高一上·四川成都·期中）已知，则的取值范围为 .（用区间表示）
【变式1-1】（24-25高一上·北京·期中）设实数满足：，则的取值范围是 .
【变式1-2】（24-25高一上·湖南湘潭·期中）已知，，则的取值范围是 .
【题型二】基本不等式容易忽略“一正”“三相等”
【例2】（多选）（24-25高一上·浙江宁波·期中）下列说法正确的有（ ）
A．当时，的最大值是5
B．当时，
C．已知正实数满足，则的最小值是2
D．的最小值为
【变式2-1】（多选）（24-25高一上·四川内江·期中）下列命题正确的是（ ）
A．若，，且，
B．已知正数、满足，则的最小值为
C．函数的最小值为2
D．若，，，则的最小值是8
【变式2-2】（多选）（24-25高一上·四川成都·期中）下列函数的最小值为4的是（ ）
A．B．
C．D．
【题型三】解分式不等式时直接把分母就乘到不等式右边
【例3】（24-25高一上·吉林·期中）不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【变式3-1】（24-25高一上·重庆·期中）不等式的解集为 ．
【变式3-2】（24-25高一上·上海松江·期中）不等式的解集为 ．
【题型四】一元二次不等式在区间上恒成立错误的“统一”法
【例4】（23-24高一上·山东青岛·期中）命题：，.若为真命题，则实数的取值范围是 .
【变式4-1】（2024高二下·天津南开·学业考试）已知当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ．
【变式4-2】（23-24高一上·江苏扬州·期中）若，使恒成立，则的取值范围为
【题型五】解含参数不等式时分类讨论不当
【例5】（24-25高一上·江苏淮安·期中）已知实数，则不等式的解集不可能是（ ）
A．B．
C．或D．或
【变式5-1】（24-25高一上·浙江温州·期中）若，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【变式5-2】（多选）（24-25高一上·河南南阳·期中）关于x的不等式的解集可能为（ ）
A．B．C．D．
【题型一】作差法与作商法比较大小
适用：比较数、式大小
【例1】（22-23高一上·内蒙古通辽·期中）（1）设，，.试比较P与Q的大小.
（2）已知，，.求证：；
【变式1—1】（23-24高一上·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小：
①设，比较的大小；
②设，比较的大小；
③设，比较的大小.
注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分.
【题型二】基本不等式之“凑配法”
【例2】（24-25高一上·海南儋州·期中）已知，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【变式2—1】（24-25高二下·湖南娄底·期中）已知，则的最大值是（ ）
A．-1B．1C．4D．7
等式之换元法
【例3】（24-25高一上·湖南·期中）若，且，则的最小值为（ ）
A．1B．
C．D．
【变式3—1】4．（24-25高一上·安徽·期中）若正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【题型四】基本不等式之“1”的妙用
【例4】（23-24高一上·黑龙江佳木斯·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 .
【变式4—1】（24-25高一上·广东广州·期中）设且，则的最小值为 ．
【题型五】分类讨论法解一元二次不等式（含参）
【例5】（24-25高一上·广东广州·期中）设函数．
(1)命题，使得成立．若p为假命题，求实数a的取值范围；
(2)求不等式的解集．
【变式5—1】（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知函数
(1)求函数的解析式；
(2)求关于x的不等式解集.（其中）
【题型六】判别法
【例6】（24-25高一上·江西上饶·期中）已知命题“”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式6—1】（24-25高一上·广东东莞·期中）已知不等式在上恒成立．则的取值范围为 ．
【题型七】分离变量法
【例7】（24-25高一上·江苏南通·期中）恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式7—1】（多选）（23-24高三上·广东揭阳·期中）若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值可以是（ ）
A．0B．1C．2D．3
判别式
二次函数(的图象
一元二次方程
()的根
有两个不相等的实数根，()
有两个相等的实数根
没有实数根
()的解集
()的解集