专题07 函数的奇偶性与对称性8大题型45题（期中专项训练）（原卷版+解析版）高一数学上学期人教版A版

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题型1 用定义法证明具体函数的奇偶性（重点）
题型5 由奇偶性求函数解析式（常考点）
题型2 用定义法证明抽象函数的奇偶性（重点）
题型6 由奇偶性求参数（常考点）
题型3 已知函数或判断函数的奇偶性求值（常考点）
题型7 由函数奇偶性解不等式（难点）
题型4最大值+最小值及f(a)+f(-a)（常考点）
题型8 函数的对称性及应用（难点）
题型一 用定义法证明具体函数的奇偶性（共7小题）
1．（24-25高一上·吉林白城·期中）判断下列函数的奇偶性．
(1)；
(2)；
(3)
【答案】(1)奇函数
(2)既是奇函数又是偶函数．
(3)偶函数
【分析】先求出函数的定义域并判断定义域是否关于原点对称，再利用奇偶性的定义判断即可.
【详解】（1）因为，所以．
又因为，
所以为奇函数．
（2）因为函数的定义域为，关于原点对称，且，
所以．
所以既是奇函数又是偶函数．
（3）的定义域是，
对，都有．
当时，，；
当时，，．
综上可知，对于，都有，故为偶函数．
2．（24-25高一上·上海·期中）判断下列函数的奇偶性，并说明理由：
(1)．
(2)．
【答案】(1)偶函数
(2)既是奇函数又是偶函数
【分析】（1）（2）先求函数的定义域，再求与的关系即可判断函数的奇偶性；
【详解】（1）令，，
，
所以，
所以函数为偶函数.
（2）令，
，解得或，
所以，所以既有，又有，
所以函数既是奇函数又是偶函数.
3．（24-25高一上·重庆渝北·期中）判断函数的奇偶性
【答案】非奇非偶函数.
【分析】利用函数奇偶性定义直接判断得解.
【详解】函数有意义，，解得且，
所以函数的定义域为，该定义域关于数0不对称，
所以函数是非奇非偶函数.
4．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数，且.
(1)求a的值；
(2)判断函数的奇偶性.
【答案】(1)
(2)为奇函数.
【分析】（1）将代入，解出的值.
（2）按照定义法证明奇偶性的步骤，先判断定义域是否关于原点对称，再判断与的关系即可.
【详解】（1）由已知可得，， 解得：
（2）由（1）知，，定义域为关于原点对称，
又，所以为奇函数.
5．（24-25高一上·宁夏银川·期中）已知.
(1)判断并证明该函数的奇偶性；
(2)画出该函数的图象.
【答案】(1)为偶函数，证明见解析
(2)函数图象见解析
【分析】（1）根据奇偶性的定义判断即可；
（2）根据函数解析式画出函数图象.
【详解】（1）为偶函数，证明如下：
因为，定义域为，
当时，，则；
当时，，则；
又，综上可得对任意的，均有，
所以为偶函数；
（2）由可得的图象如下所示：
6．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）已知是定义在上的函数，且，.
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数的奇偶性，并用定义证明；
(3)求函数在上的值域.
【答案】(1)；
(2)为奇函数，证明见解析；
(3).
【分析】（1）根据，求出的值即可求函数解析式；
（2）根据奇偶性的定义证明即可；
（3）证明函数在上的单调性，从而可求解.
【详解】（1）因为，，
所以，得，
所以.
（2）的定义域为，关于原点对称，
又,
所以为奇函数.
（3）设，
则
.
因为，所以，
所以，即，
所以在上单调递增.
又，
所以函数在上的值域为.
7．（24-25高一上·河南漯河·期中）已知函数，其中，，.
(1)当时，证明：函数在区间上是减函数.
(2)讨论函数的奇偶性，并说明理由.
(3)当时，若实数满足，求实数的范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)时，为偶函数，且时，为非奇非偶函数,理由见解析
(3)或
【分析】（1）由函数单调性的定义证明即可.
（2）由函数奇偶性定义进行判断即可.
（3）应用函数的偶函数的性质再结合函数的单调性得出不等关系，计算即可求出参数范围.
【详解】（1）由题，
设任意，
则
，
因为，
所以，且，
则，
所以，即，
所以函数在区间上是减函数.
（2）因为，定义域为R，
则，
若为偶函数，则，
；
若为奇函数，则，
所以因为为变量，所以无解；
所以时，为偶函数，且时，为非奇非偶函数.
（3）因为当时，，为偶函数，
所以，
所以，又因为函数在区间上是减函数，
所以函数在区间上是增函数，
所以，所以或，
所以或
题型二 用定义法证明抽象函数的奇偶性（共6小题）
8．（23-24高一上·广东珠海·期末）已知定义在上的函数满足，，且.
(1)求的值；
(2)判断的奇偶性，并证明.
【答案】(1)
(2)为偶函数，证明见解析
【分析】（1）利用赋值法结合已知条件可求解；
（2）令，结合条件和函数奇偶性定义判断.
【详解】（1）令，得，
令，得，
因为，所以，，
令，得，即，
因为，所以，所以.
（2）为偶函数.
证明如下：令，得，
由（1）得，
即，又的定义域为，所以为偶函数.
9．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知函数的定义域为，且满足对于任意， 都有， 且当时， ，且．
(1)求与的值；
(2)判断的奇偶性；
(3)判断的单调性，并证明.
【答案】(1)，
(2)奇函数
(3)是上的减函数，证明见解析
【分析】（1）通过赋值即可求解；
（2）令，结合可判断；
（3）令，由可判断，即可判断其单调性.
【详解】（1）令，则，即，
，
；
（2）令，则，即，可得为奇函数；
（3）是上的减函数.
证明：令，则，
则，
由时，，
可得，即有，即，即，
则是上的减函数.
10．（23-24高一上·江西抚州·期末）已知定义域为的函数满足对任意，都有
(1)求证：是奇函数；
(2)设，且当时，，求不等式的解集．
【答案】(1)证明见解析；
(2)或
【分析】（1）利用赋值法，根据奇函数的定义来证明即可；
（2）变形构造函数，通过赋值来研究新函数的单调性，结合新函数的奇偶性解不等式即可.
【详解】（1）证明：因为的定义域为，关于原点对称，
又对任意，都有，
令，得，
令，得，
令，
得，
是奇函数.
（2），
，
，
设，则，所以，
在上是减函数，
因为的定义域为，
又，
所以是偶函数，
因为，
，则，解得，
不等式的解集为或.
11．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数的定义域为，对任意的都有，且 时, , 时, .
(1)求的值并判断函数的奇偶性；
(2)讨论的单调性并证明；
(3)若对任意的成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，奇函数
(2)增函数，证明见解析
(3)
【分析】（1）对已知式中的依次赋值，求得，，利用奇偶性定义证明即得；
（2）先证明 时, ，由是上的奇函数，可得，再由函数的单调性定义证明在 在上单调递增，再由奇函数即得为上的增函数；
（3）通过赋值法，将题设不等式化成，再利用在上是增函数将其化成对任意的 成立问题，结合一次函数的图象即可求得.
【详解】（1）因对任意的都有.
当时,令 ,则，因，则 ；
再令 ,则，即，因，则.
令 ,则,故是奇函数.
（2） 在上是增函数.以下提供证明:
当 时, 则，由，可得，
又 ，且时, ，故 时, .
又因是定义在上的奇函数,所以.
任取 ,则 ,从而
在 上单调递增,
又因是上的奇函数,则 在 上单调递增,且，
故在上是增函数;
（3）在中，令 ，可得 ，因，则，
由可得，
即
因在上是增函数，即得对任意的 成立，
设，
则解得或
即实数的取值范围为.
12．（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知函数是定义在上的增函数，并且满足，．
(1)求和的值；
(2)判断函数的奇偶性；
(3)解关于的不等式
【答案】(1)，
(2)奇函数
(3)
【分析】（1）通过赋值法来确定函数的特殊值；
（2）根据奇偶性的定义判断函数的奇偶性；
（3）运用函数奇偶性，结合函数的单调性求解不等式即可.
【详解】（1）令，得，解得．
，；
（2）因为函数的定义域为R，，
令，则有，，即，
∴函数为奇函数；
（3）因为，所以，
又因为，
即由，则，
即，
又因为为增函数，所以，解得，
故x的取值范围为．
13．（24-25高一上·广东深圳·期中）设定义在上的函数满足：①对，都有；②当时，；③不存在，使得.
(1)求证：为奇函数；
(2)求证：在R上单调递增；
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用赋值法先计算，再利用赋值法令，结合奇函数的定义计算即可；
（2）先令得出，结合为奇函数及单调性的定义通过赋值计算即可证明.
【详解】（1）因为的定义域为，关于原点对称，
不妨令，得，
解得或，
又不存在，使得，故，
令，得，
故，即，
因此为奇函数；
（2）时，，
则，
当且仅当，等号成立，
又不存在，使得，则，
于是时，，
又为奇函数，则时，，
于是对，
任取，则，
而，
又，则，
于是，故，
因此在上单调递增；
【点睛】思路点睛：先赋值及结合奇函数定义可证明奇偶性；通过判定，再根据单调性的定义作差证明即可.
题型三 已知函数或判断函数的奇偶性求值（共5小题）
14．（24-25高一上·云南昆明·期中）已知函数，若，则（ ）
A．B．C．1D．3
【答案】C
【分析】根据奇函数的性质即可求解.
【详解】，
则为奇函数，即，
故选:C.
15．（24-25高一上·黑龙江佳木斯·期末）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则的值为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由即可求解.
【详解】依题意，函数是定义域为的奇函数，
所以.
故选：D
16．（24-25高一上·北京·期中）设函数，是奇函数，则的值是（ ）
A．B．C．D．8
【答案】A
【分析】由是奇函数，得，代入即可求.
【详解】因为是奇函数，
所以，
所以.
故选：A
17．（24-25高一上·广东广州·期中）若函数是定义在R上的奇函数，当时，，则 ．
【答案】
【分析】根据奇函数的性质求得答案.
【详解】依题意，若函数是定义在R上的奇函数，
所以.
故答案为：.
18．（24-25高一上·湖北武汉·期中）已知函数，若，则 .
【答案】
【分析】利用函数的奇偶性计算即可.
【详解】易知，即为奇函数，
所以.
故答案为：.
题型四 最大值+最小值及f(a)+f(-a)（共5小题）
19．（24-25高一上·福建泉州·期中）设函数的最大值为M，最小值为m，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】构造函数，由奇偶性定义可知为奇函数，知，由此可求得结果.
【详解】，
设，定义域为，
则，所以函数为奇函数，
所以，则，即.
故选：C.
20．（23-24高一上·江苏扬州·期中）已知函数，其中，为奇函数，若，则 ．
【答案】
【分析】根据奇偶性可得到结果.
【详解】因为为奇函数，则，所以
则，即，
，
故答案为：.
21．（24-25高一上·福建三明·期中）已知函数且，则的值为 ．
【答案】
【分析】构造函数，根据的奇偶性计算出的值.
【详解】令，定义域为且关于原点对称，
因为，所以为奇函数，
所以，所以，
代入，可得，
故答案为：.
22．（24-25高一上·贵州·期中）已知是定义在上的奇函数，设函数的最大值为，最小值为，则 ．
【答案】4
【分析】构造函数，根据奇偶性定义可知为奇函数，从而代入运算即可.
【详解】是定义在上的奇函数，则有，
，
设，函数定义域为，
，为奇函数，
则有，即，所以.
故答案为：4.
23．（24-25高一上·重庆·期中）设函数（）的最大值为，最小值为，则=
【答案】4048
【分析】将函数（），化简为（），构造函数（），判断奇偶性，根据奇函数的性质，即可求得答案.
【详解】由题意得
，
令，（）
则，即为奇函数，
则，
又函数，（）的最大值为，最小值为，
得，则，
故答案为：4048.
题型五 由奇偶性求函数解析式（共3小题）
24．（24-25高一上·江苏无锡·期中）已知函数是偶函数，当时，，则当时， ．
【答案】
【分析】根据偶函数的性质求解即可.
【详解】若，则，
当时，，所以，
又因函数是偶函数，所以
所以当时，，
故答案为：
25．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数为奇函数，为偶函数，，则 ．
【答案】
【分析】根据题意，由函数解析式和奇偶性可得，，从而由可得，综合可得的解析式．
【详解】函数为奇函数，则，
为偶函数，则，
因为①，则，
所以②，
则由①-②可得.
故答案为：．
26．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则当时， .
【答案】
【分析】根据题意结合奇函数定义求解即可.
【详解】若，则，可得，
又因为函数是定义在R上的奇函数，
所以.
故答案为：.
题型六 由奇偶性求参数（共5小题）
27．（24-25高一上·湖南·期中）若为奇函数，则实数（ ）
A．1B．3C．4D．6
【答案】B
【分析】先由奇函数的性质得到，从而求得的值，再进行检验即可得解.
【详解】因为为奇函数，
所以，即，
解得，此时，其定义域为，
且，
即为奇函数，所以满足题意.
故选：B.
28．（24-25高一上·重庆·期中）设是偶函数，且定义域为，，则 （ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据奇偶性可得，，，解出，进而得出答案．
【详解】由偶函数的定义域是关于原点对称的，所以，
显然，，所以．
故选：B．
29．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数，若为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】的对称中心为，根据为奇函数得到关于对称即可得解；
【详解】，
因为，
所以的对称中心为，
由题意得函数为奇函数关于对称，
则关于对称，
解得，
故选：A.
30．（24-25高一上·四川巴中·期中）函数为奇函数，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据奇函数定义，由恒成立求解即可.
【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称，
因为为奇函数，所以对任意，
都有.
则，
所以.
故答案为：.
31．（24-25高一上·广东汕头·期中）设函数，且为奇函数，则 .
【答案】2
【分析】根据奇函数性质得到，代入化简得到答案.
【详解】若函数为奇函数，
则，
解得：.
故答案为：.
32．（24-25高一上·湖南株洲·期中）已知函数为奇函数，则等于 ．
【答案】
【分析】根据奇函数求出时的解析式，对照所给解析式得出a，b即可得解．
【详解】设，则，所以，
所以，
又当时，，所以，，故，
故答案为：．
题型七 由函数奇偶性解不等式（共5小题）
33．（24-25高一上·吉林延边·期末）定义在上的奇函数，在上单调递增，且，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意得到，的值与的单调性，再分类讨论，，，与五种情况，结合的性质即可得解.
【详解】因为函数是定义在上的奇函数，在区间上单调递增，且，
所以，，在上单调递增，
当时，成立；
当时，成立；
当，即时，，即有，可得；
当时，，，可得，可得；
当时，，，可得，可得；
综上，或，即的取值范围是.
故选：B.
【点睛】易错点睛：本题容易忽略的情况，从而出现漏解的情况.
34．（24-25高一上·广西·期末）已知函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】构造函数，可得是奇函数，且在上是增函数，由，可得，即，利用单调性解不等式即可.
【详解】设函数，则，
所以，显然定义域关于原点对称，所以是奇函数.
因为是上的增函数，是上的减函数，
所以是上的增函数.
等价于，
即.
因为是奇函数，所以.
因为是上的增函数，所以，即，解得或.
故选：.
35．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）定义在上的奇函数，，且对任意不等的正实数，都有，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据函数奇偶性，结合题设，判断函数的单调性，继而分类讨论求解不等式，可得答案.
【详解】不妨令，则，
因为，所以，即，
所以在上单调递增，
又为定义在上的奇函数，则，
则在上单调递增，又，所以，
①当时，不等式等价于，等价于，
等价于，等价于，解得，
②当时，不等式等价于，等价于，
等价于，等价于，解得，
综上可得，不等式的解集为.
故选：C
36．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知奇函数满足 ，且在上单调递减，则的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据函数的奇函数性质得到，又，在上单调递减，推出，在上单调递减，故和时，满足要求，得到答案.
【详解】为奇函数，故，
，
又，在上单调递减，
故当时，，此时，不合要求，
当时，，此时，满足要求，
由对称性可知，在上单调递减，
故当时，，此时，满足要求，
当时，，此时，不合要求，
综上，的解集为.
故选：B.
37．（24-25高一上·湖北武汉·期中）已知函数是定义在上的偶函数．，且，恒有．若，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】已知不等式转化后得出函数在上是增函数，不等式转化为，然后由偶函数与单调性求解即可．
【详解】不妨设，所以，
则，
所以，
令，则，
所以在上单调递增，
又是偶函数，所以，
即也是偶函数，则其在上单调递减，
因为，所以，
则，
所以，解之得．
故选：D
题型八 函数的对称性及应用（共8小题）
38．（23-24高一上·安徽·期末）已知函数，则（ ）
A．4047B．4048C．4049D．4050
【答案】C
【分析】由已知，得，则，即可求得结果.
【详解】因为函数，所以，
所以，
所以.
故选：C.
39．（24-25高一上·山东青岛·期中）已知函数，函数是定义在上的奇函数，若与的图象的交点分别为，…，，则（ ）
A．B．C．0D．2
【答案】A
【分析】根据给定的函数，求出函数与图象的对称中心，再利用对称性求出值.
【详解】函数定义域为，
而，则函数的图象关于点对称，
由函数是定义在上的奇函数，得，
即，则函数的图象关于点对称，
因此函数与的图象的交点关于点对称，
则，
所以.
故选：A
40．（24-25高一上·湖北武汉·期中）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.若存在对称中心，则（ ）
A．B．C．3D．4
【答案】A
【分析】由奇函数的性质结合题意计算可得；
【详解】设，则为奇函数，
可得，由奇函数的定义域关于原点对称可得
即，,
由可得，
即，
所以，
故选：A.
41．（24-25高一上·江苏南京·期中）已知定义在上的函数满足，若函数与的图象的交点为则（ ）
A．2B．1C．D．0
【答案】C
【分析】根据得中心对称以及中心对称点，进而分析得也关于对称，从而得到两函数图象交点也是对称的，由此得解.
【详解】由得关于对称，
由得，
即，
所以也关于对称，
因此两函数图象交点也是对称的，
假设点与点对称，
则，所以推理可得.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于证明两函数图象交点也是对称的，求出.
42．（24-25高一上·上海·期末）若函数的对称中心是则
【答案】1
【分析】根据函数图象关于点对称，可得，整理可求出的值.
【详解】因为函数的对称中心是，
所以.
即.
整理得：，
所以，所以.
故答案为：1
43．（24-25高一上·黑龙江·期末）已知函数为定义在上的奇函数，则 .
【答案】
【分析】根据对称性可得，即可求解.
【详解】由于为定义在上的奇函数，
故的对称中心为，则，.
故答案为：2025
44．（24-25高一上·江苏南京·期中）函数的图象可以由反比例函数图象经过平移而得到．函数对称中心是 ，进而求值 ．
【答案】
【分析】利用函数图象平移可得出函数的对称中心，结合对称性可得出，再利用倒序相加法可得出所求代数式的值.
【详解】因为函数，
所以，函数的图象可由反比例函数的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位得到，
因为函数为奇函数，其对称中心为原点，
故函数对称中心，故，
记，
则
，
故.
故答案为：；.
45．（24-25高一上·江苏无锡·期中）有同学发现：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.运用该结论解决以下问题：
(1)直接写出函数的对称中心；
(2)证明：函数的对称中心为；
(3)若函数的对称中心为，求实数、的值.
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3)，或.
【分析】（1）函数的对称中心为，进而验证用函数为奇函数即可；
（2）记，进而证明为奇函数即可得证；
（3）令，进而由可求实数、的值.
【详解】（1）函数的对称中心为.
验证如下：
因为函数，
定义域，即定义域关于原点对称，且，
所以是奇函数，即函数的对称中心为.
（2）证明：记，
定义域为R，即定义域关于原点对称，
又，所以为奇函数，
所以的对称中心为.
（3），
令
，
因为是奇函数，
所以，
即，
整理得，进而得，
解得或.