新高考数学一轮复习热点练习专题07 函数奇偶性、周期性、对称性及其应用（2份，原卷版+解析版）

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高考对函数性质的考查往往是综合性的，如将奇偶性、周期性、单调性及函数的零点综合考查，因此，复习过程中应注意在掌握常见函数图象和性质的基础上，注重函数性质的综合应用的演练.
【重点知识回眸】
函数的奇偶性
1.定义
2.提醒：
(1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．
(2)若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：
①f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔ ＝－1.
②f(x)为偶函数⇔f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔ ＝1.
3．函数奇偶性的几个重要结论
（1）如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0.
（2）如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
（3）奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．
（4）若y＝f(x＋a)是奇函数，则f(－x＋a)＝－f(x＋a)；若y＝f(x＋a)是偶函数，则f(－x＋a)＝f(x＋a)．
（5）奇函数的最值性质：已知函数f (x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f (x)＋f (－x)＝0.特别地，若奇函数f (x)在D上有最值，则，且若0∈D，则f (0)＝0.
二．函数的周期性
1.周期函数
对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
2.最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期．
提醒：若T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数f(x)的周期．
3.周期性的几个常用结论
对f(x)的定义域内任一自变量的值x，周期为T，则
（1）：可得为周期函数，其周期
（2）的周期
分析：直接从等式入手无法得周期性，考虑等间距再构造一个等式：
所以有：，即周期
注：遇到此类问题，如果一个等式难以推断周期，那么可考虑等间距再列一个等式，进而通过两个等式看能否得出周期
（3）的周期
分析：
（4）（为常数）的周期
分析：，两式相减可得：
（5）（为常数）的周期
（6）双对称出周期：若一个函数存在两个对称关系，则是一个周期函数，具体情况如下：（假设）
① 若的图象关于轴对称，则是周期函数，周期
分析：关于轴对称
关于轴对称
的周期为
② 若的图象关于中心对称，则是周期函数，周期
③ 若的图象关于轴对称，且关于中心对称，则是周期函数，周期
4.函数周期性的作用：
（1）函数值：可利用周期性将自变量大小进行调整，进而利用已知条件求值
（2）图象：只要做出一个周期的函数图象，其余部分的图象可利用周期性进行“复制+粘贴”
（3）单调区间：由于间隔的函数图象相同，所以若在上单调增（减），则在上单调增（减）
（4）对称性：如果一个周期为的函数存在一条对称轴 （或对称中心），则 存在无数条对称轴，其通式为
证明：关于轴对称
函数的周期为
关于轴对称
三．函数的对称性
1.对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称
2.轴对称的等价描述：
（1）关于轴对称（当时，恰好就是偶函数）
（2）关于轴对称
在已知对称轴的情况下，构造形如的等式只需注意两点，一是等式两侧前面的符号相同，且括号内前面的符号相反；二是的取值保证为所给对称轴即可.例如：关于轴对称，或得到均可，只是在求函数值方面，一侧是更为方便
（3）是偶函数，则，进而可得到：关于轴对称.
① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在中，仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的取相反数时，函数值相等，即，要与以下的命题区分：
若是偶函数，则：是偶函数中的占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有
② 本结论也可通过图象变换来理解，是偶函数，则关于轴对称，而可视为平移了个单位（方向由的符号决定），所以关于对称.
3.中心对称的等价描述：
（1）关于中心对称（当时，恰好就是奇函数）
（2）关于中心对称
在已知对称中心的情况下，构造形如的等式同样需注意两点，一是等式两侧和前面的符号均相反；二是的取值保证为所给对称中心即可.例如：关于中心对称，或得到均可，同样在求函数值方面，一侧是更为方便
（3）是奇函数，则，进而可得到：关于中心对称.
① 要注意奇函数是指自变量取相反数，函数值相反，所以在中，仅是括号中的一部分，奇函数只是指其中的取相反数时，函数值相反，即，要与以下的命题区分：
若是奇函数，则：是奇函数中的占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相反，所以有
② 本结论也可通过图象变换来理解，是奇函数，则关于中心对称，而可视为平移了个单位（方向由的符号决定），所以关于对称.
4.对称性的作用：
（1）可利用对称性求得某些点的函数值
（2）在作图时可作出一侧图象，再利用对称性得到另一半图象
（3）极值点关于对称轴（对称中心）对称
（4）在轴对称函数中，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；在中心对称函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同
5.函数图象的对称性相关结论
(1)函数y＝f(x)，若其图象关于直线x＝a对称(a＝0时，f(x)为偶函数)，则
①f(a＋x)＝f(a－x)；②f(2a＋x)＝f(－x)；③f(2a－x)＝f(x)．
(2)函数y＝f(x)，若其图象关于点(a,0)中心对称(a＝0时，f(x)为奇函数)，则
①f(a＋x)＝－f(a－x)；②f(2a＋x)＝－f(－x)；
③f(2a－x)＝－f(x)．
(3)函数y＝f(x)，若其图象关于点(a，b)中心对称，则
①f(a＋x)＋f(a－x)＝2b；②f(2a＋x)＋f(－x)＝2b；③f(2a－x)＋f(x)＝2b.
(4)函数f(x)与g(x)的图象关于直线x＝a对称，则g(x)＝f(2a－x)．
(5)函数f(x)与g(x)的图象关于直线y＝a对称，则g(x)＝2a－f(x)．
【典型考题解析】
热点一 函数的奇偶性及其应用
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）设函数，则下列函数中为偶函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据偶函数的定义即可判断.
【详解】
，则，因为是偶函数，故为偶函数.
故选：A
【典例2】（2021·全国·高考真题（文））设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值.
【详解】
由题意可得：，
而，
故.
故选：C.
【典例3】（2022·全国·高考真题（理））函数在区间的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】
令，
则，
所以为奇函数，排除BD；
又当时，，所以，排除C.
故选：A.
【典例4】（2023·全国·高三专题练习）若函数f（x）＝xln（x）为偶函数，则a的值为（ ）
A．0B．1C．﹣1D．1或﹣1
【答案】B
【解析】
【分析】
由f（x）＝xln（x）为偶函数，则设g（x）＝ln（x）是奇函数，由g（0）＝0，可求出答案.
【详解】
解：∵函数f（x）＝xln（x）为偶函数，x∈R，
∴设g（x）＝ln（x）是奇函数，
则g（0）＝0，
即ln0，则1，则a＝1．
故选：B．
【典例5】（2019·全国·高考真题（文））设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=，则当x