专题01 集合与常用逻辑用语（期中知识清单）（原卷版+解析版）高一数学上学期人教A版2019必修第一册

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常用逻辑用语
充分性与必要性
全称量词
与存在量词
充分不必要条件
全称量词
与全称量词命题
必要不充分条件
既不充分也不必要条件
充要条件
存在量词
与存在量词命题
全称量词命题的否定
存在量词命题否定
【清单01】元素与集合的关系
(1)属于(belng t)：如果是集合的元素，就说属于，记作 .
(2)不属于(nt belng t)：如果不是集合的元素，就说不属于，记作.
特别说明：表示一个元素，表示一个集合.它们间的关系为：.
【清单02】集合的表示方法
（1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法
（2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法．
注用列举法表示集合时注意：
（3）描述法定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．
具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
（4）（韦恩图法）：
在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。
【清单03】子集
1子集：
一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集
（1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”)
（2）性质：
①任何一个集合是它本身的子集，即.
②对于集合，，，若，且，则
（3）图表示：
【清单04】真子集
如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集;
（1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”)
（2）性质：
①任何一个集合都不是是它本身的真子集.
②对于集合，，，若，且，则
（3）图表示：
【清单05】并集
一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作 （读作：并）.记作：.
并集的性质：,,,,.
高频性质：若.
图形语言
【清单06】交集
一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：.
交集的性质：,,,,.
高频性质：若.
图形语言
【清单07】全集与补集
全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合.
补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作 ，即.
补集的性质： , , .
【清单08】德摩根律
(1)
(2)
【清单09】容斥原理
一般地，对任意两个有限集,
进一步的：
【清单10】充分条件与必要条件
（1）若，则是的充分条件，是的必要条件；
（2）若且，则是的充分不必要条件；
（3）若且，则是的必要不充分条件；
（4） 若，则是的充要条件；
（5）若且，则是的既不充分也不必要条件.
【清单11】全称量词命题与存在量词命题
1全称量词命题及其否定（高频考点）
①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：.
②全称量词命题的否定：.
2存在量词命题及其否定（高频考点）
①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：.
②存在量词命题的否定：.
【题型一】元素与集合的关系
【例1】（24-25高一上·湖南·期中）若集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】分别计算出每项中、的对应的值后，检验其是否符合即可得解.
【详解】对A：有，解得，由时，，故，故A错误；
对B：有，解得，由时，，故，故B正确；
对C：有，解得，由时，，故，故C错误；
对D：有，解得，由时，，故，故D错误.
故选：B.
【变式1-1】（23-24高一上·天津河北·期中）下列关系中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据各个符号表示的含义及元素与集合的关系逐个分析判断即可.
【详解】A.因为为有理数，所以，选项A正确，
B.因为为无理数，所以是实数，所以，选项B错误，
C.因为0不是正整数，所以，选项C错误，
D.因为为无理数，所以，选项D错误.
故选：A
【题型二】集合元素的互异性应用
【例2】（24-25高一上·四川成都·期中）已知集合，，则 ．
【答案】1
【分析】根据给定的元素与集合关系列式，结合集合元素的互异性求解.
【详解】由集合，，得或，
当时，，此时，不符合题意，；
当时，显然，解得，集合，符合题意，
所以.
故答案为：1
【变式2-1】（24-25高一上·湖北·期中）已知集合，，若，则实数 .
【答案】
【分析】由已知集合的元素，分类讨论求参数值，再根据集合的性质确定的值.
【详解】若，则，此时集合违背互异性，不符合要求；
若，则，此时，符合要求；
若，则，此时集合违背互异性，不符合要求；
综上所述，.
故答案为：.
【题型三】列举法与描述法
【例3】（24-25高一上·湖南邵阳·期中）若，则集合可用列举法表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用列举法表示集合，可得结果.
【详解】因为，则.
故选：D.
【变式3-1】（23-24高二下·浙江宁波·期中）用列举法表示集合的结果为 .
【答案】
【分析】根据题意可知为的约数，求得的取值，用列举法表示集合即可.
【详解】由可知为的约数，所以，
因为，所以，此时，
集合为.
故答案为：.
【题型四】根据集合元素的个数求参数
【例4】（24-25高一上·四川达州·期中）如果集合 中只有一个元素，则实数m的值为（ ）
A．1B．2C．0或2D．1或2
【答案】C
【分析】分两种情况讨论集合中方程根的情况，从而确定实数m的值.
【详解】当时,方程变为，解得，满足集合有且只有一个元素.
当时，方程是一元二次方程.
因为集合有且只有一个元素，
所以.解得.
综上，实数的值为或.
故选：C.
【变式4-1】（多选）（23-24高一上·福建·期中）集合只有一个元素，则实数的取值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】分类讨论：，然后求解出的取值即可.
【详解】当时，，满足条件；
当时，若中仅有一个元素，则，此时，
若，则，满足，
若，则，满足，
故选：ABD.
【题型五】子集、真子集的个数
【例5】（24-25高一上·江苏常州·期中）满足⫋的集合A的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】根据集合之间的关系直接得出结果.
【详解】集合A可以是，共3个.
故选：B.
【变式5-1】（24-25高一上·河北邯郸·期中）定义非空数集的“和睦数”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地加上、减去后继的数所得的结果.例如，集合的“和睦数”是，的“和睦数”是，的“和睦数”是1.对于集合，其所有非空子集的“和睦数”的总和为（ ）
A．82B．74C．12D．70
【答案】A
【分析】分别列举子集，根据“和睦数”的定义，即可求解每种情况的“和睦数”，相加即可求解.
【详解】，非空子集有个.
当子集为单元素集，，，时，“和睦数”分别为1，2，3，6，和为12；
当子集为双元素集，，，，，时，
“和睦数”分别为3，4，7，5，8，9，和为36；
当子集为三元素集，，，时，
“和睦数”分别为4，7，8，7，和为26；
当子集为四元素集时，“和睦数”为.
故“和睦数”的总和为.
故选：A
【题型六】根据集合的包含关系求参数
【例6】（24-25高一上·云南·期中）已知集合，.
(1)若，求的值；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)的值为或
(2)
【分析】（1）由条件可得，代入计算，然后检验，即可得到结果；
（2）化简集合，分，以及讨论，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）因为，所以，将代入中的方程，
得，解得或，
当时，，满足条件；
当时，，满足条件，
综上，的值为或.
（2）对于集合，.
当，即时，，此时；
当，即时，，此时；
当，即时，要想使，则，
此时，该方程组无解，
综上的取值范围是.
【变式6-1】（24-25高二下·天津滨海新·期中）已知集合，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分情况讨论集合是否为空集，再根据集合间的包含关系列出不等式组求解，最后综合两种情况得出的取值范围.
【详解】当为空集时，时.解不等式，可得.
因为空集是任何集合的子集，所以当时，.
当不为空集时，时，解不等式，可得.
此时，要使，那么集合中的元素都要满足集合的范围.

已知，，所以需满足.
解不等式，可得.
综合可得，又因为前提是，所以取交集得.
综合两种情况，将和两种情况综合起来，取并集可得.
能使成立的所有组成的集合为，
故选： C.
【题型七】集合的运算
【例7】（24-25高二下·河北·期中）已知全集，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求全集，进而求，最后根据集合的交集运算即可求解.
【详解】依题意得，，，所以．
故选：C.
【变式7-1】（24-25高一下·浙江绍兴·期中）已知全集，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据集合运算直接求解即可.
【详解】因为，，所以，
因为，所以.
故选：D
【题型八】根据集合交集运算结果求参数
【例8】（24-25高一上·天津·期中）已知集合，.
(1)当时，求和；
(2)若，求实数a的取值范围.
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）应用集合的交补运算求集合；
（2）根据题设有，讨论、列不等式求参数范围.
【详解】（1）由题设，或，
则，；
（2）由，且，则，
当时，，即；
当时，，即；
所以.
【变式8-1】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知集合，．
(1)当时，求，；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)，
(2)或
【分析】（1）根据交集、并集的定义计算可得.
（2）分类讨论和两种情况，分别求出对应的的取值范围即可；
【详解】（1）当时，又，
所以，；
（2）当时，由，解得，满足，符合题意；
当时，可得或，解得或．
综上，实数的取值范围是或．
【题型九】根据集合的并集结果求参数
【例9】（24-25高一上·广东梅州·期中）已知集合，集合.
(1)求，，；
(2)设集合， 且， 求实数的取值范围.
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）根据集合的运算法则计算可得；
（2）依题意可得，再根据集合的包含关系得到不等式，解得答案.
【详解】（1）因为，，
所以，，，
则；
（2）因为,所以，
所以，解得，即实数的取值范围为.
【变式9-1】（23-24高一上·福建福州·期中）已知集合，．
(1)若，求实数a的取值范围；
(2)若，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分类讨论B是否为空集计算即可；
（2）利用补集、并集的概念化条件为，计算即可.
【详解】（1）若，则，即时，此时显然符合题意；
若，则，要满足，则，解得，
综上所述实数a的取值范围为；
（2）由题意可知若，则，
所以有，解之得，
则实数a的取值范围.
【题型十】根据集合的补集结果求参数
【例10】（23-24高一上·四川乐山·期中）记全集，已知集合，．
(1)若，求；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)或
(2)．
【分析】（1）集合的交集和补集的运算计算得出结果；（2）根据已知条件，求解参数范围
【详解】（1）由，得，
方法1：
可得或，
由题，有或，
所以或．
方法2：
则，
所以，或．
（2）依题意，或，
因为，所以
解得，故的取值范围为．
【变式10-1】（23-24高二下·江西南昌·期中）设集合，，
(1)若，求，；
(2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据条件得到，再利用集合的运算即可求出结果；
（2）由（1）知或，根据条件，借助数轴，即可求出结果.
【详解】（1）因为，所以，
又，所以或，
所以，．
（2）由（1）知或，又中只有一个整数，
由图知，，且，+
解得，所以实数m的取值范围是．
【题型十一】图的应用
【例11】（24-25高一上·河南·期中）8月11日，第33届夏季奥林匹克运动会在巴黎法兰西体育场落下帷幕.中国体育代表团在巴黎奥运会获得40金、27银、24铜共91枚奖牌，取得了我国1984年全面参加夏季奥运会以来境外参赛历史最好成绩.小明统计了班级60名同学对游泳、跳水、乒乓球这三类体育项目的喜欢情况，其中有20名同学同时喜欢这三类体育项目，18名同学不喜欢乒乓球，20名同学不喜欢跳水，16名同学不喜欢游泳，且每人至少喜欢一类体育项目，则至少喜欢两类体育项目的同学的人数为（ ）
A．26B．46C．28D．48
【答案】B
【分析】根据给定条件，画出韦恩图，利用容斥原理列式计算即得.
【详解】设只喜欢游泳、跳水、乒乓球的同学的人数分别为，喜欢游泳和跳水两样的同学的人数为，
喜欢游泳和乒乓球两样的同学的人数为，喜欢跳水和乒乓球两样的同学的人数为，如图，
则，②+③+④得⑤，①⑤得，
所以至少喜欢两类体育项目的同学的人数为.
故选：B
【变式11-1】（24-25高一上·广东广州·期中）广州奥林匹克中学第5届（总第35届）学校运动会于2024年11月7日至8日在车陂路校区和智谷校区同时举行，本届校运会，初中新增射击比赛项目，初一某班共有28名学生参加比赛，其中有15人参加田赛比赛，有14人参加径赛比赛，有8人参加射击比赛，同时参加田赛和射击比赛的有3人，同时参加田赛和径赛比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有（ ）人.
A．3B．9C．19D．14
【答案】C
【分析】画出韦恩图求解即可.
【详解】解：设只参加射击的人数为x，同时参加射击和径赛比赛的人数为y，只参加径赛的人数为z，作出韦恩图，如图所示：
则由韦恩图得：
，解得，
所以只参加一项比赛的有人.
故选：C.
【题型十二】判断充分性与必要性
【例12】（23-24高一上·北京·期中）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】解绝对值不等式，结合充分、必要性定义判断条件间的关系即可.
【详解】由，可得，故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
【变式12-1】（24-25高一上·四川眉山·期中）若，则是的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据题意，求得满足条件的集合A，再根据必要不充分条件定义即可得解.
【详解】由可得，
因为集合是集合的真子集，
所以是的必要不充分条件.
故选：C.
【题型十三】根据充分性与必要性求参数
【例13】（24-25高一上·广东东莞·期中）已知集合，
(1)写出的所有子集；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求得再由子集的概念逐个列举即可；
（2）由，列出不等式求解即可.
【详解】（1）由题意，
所以的子集有：.
（2）由题意可得：,
故，
解得：.
【变式13-1】（24-25高一上·江苏宿迁·期中）设为实数，集合．
(1)若，求；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)；或
(2)
【分析】（1）可知，结合集合的交集、并集和补集运算求解即可；
（2）分析可知集合B是集合A的真子集，结合包含关系列式求解即可.
【详解】（1）若，则，且，
可得，，
所以或.
（2）若“”是“”的必要不充分条件，可知集合B是集合A的真子集，
显然集合B不是空集，则，解得，
所以实数的取值范围为.
【题型十四】判断全称（存在）量词命题的真假
【例14】（多选）（24-25高一上·云南昭通·期中）下列命题中是真命题的有（ ）
A．
B．
C．“”是“”的充分不必要条件
D．“四边形为菱形”是“四边形为正方形”的充分不必要条件
【答案】ABC
【分析】对A配方即可判断；对B，求解方程即可判断；对C，解出一元二次不等式即可判断；对D，根据菱形和正方形关系即可判断.
【详解】对于A项，因为，所以，此命题为真命题，A正确；
对于B项，由，解得或1，所以命题“”为真命题，B正确；
对于C项，由，解得或，
所以“”是“”的充分不必要条件，C正确；
对于D项，由“四边形为菱形”不能推出“四边形为正方形”，充分性不成立，
但由“四边形为正方形”可以推出“四边形为菱形”，必要性成立，D错误，
故选：ABC.
【变式14-1】（多选）（24-25高一上·山东聊城·期中）下列说法中错误的有（ ）
A．命题，，则命题的否定是，
B．“”是“”的必要条件
C．命题“，”是真命题
D．“”是“函数在上单调递增”的必要不充分条件
【答案】ABD
【分析】对于A，利用含量词的命题的否定规定易得；对于B，举反例排除即可；对于C，举例子说明即得；对于D，先求出“函数在上单调递增”的等价条件，再利用充要条件判断即可.
【详解】对于A，由存在量词命题的否定的规定，可知命题的否定是，，故A错误；
对于B，由不能推出，例如，但，
所以“”不是“”的必要条件，故B错误；
对于C，当时，，故C正确；
对于D，因函数在上单调递增等价于，
由可以推出，但不能推出，
故“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件，故D错误.
故选：ABD.
【题型十五】根据全称（存在）量词命题的真假求参数
【例15】（24-25高一上·湖北·期中）已知“方程至多有一个解”为假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．且C．D．无法确定
【答案】B
【分析】由题可知“方程至少有两个解”为真命题，求解即可.
【详解】由题可知“方程至少有两个解”为真命题，
，
，
，
综上且．
故选：B.
【变式15-1】（23-24高一上·江西·期中）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出命题为真的充要条件，然后根据必要不充分条件的定义判断．
【详解】当时，，
则当时，取得最大值，依题意，，解得，
因此命题“，”为真命题的充要条件是，C不是；
显然，分别是该命题为真命题的一个充分不必要条件，AB不是；
是该命题为真命题的一个必要不充分条件，D是．
故选：D
【题型十六】集合新定义题（小题）
【例16】（24-25高一上·广东·期中）已知，对于，且，则称为的“孤立元”．给定集合，则的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合的个数为（ ）
A．5B．7C．13D．15
【答案】C
【分析】根据“孤立元”概念，分类讨论求解即可.
【详解】已知集合，
“孤立元”为1的集合为，，，；
“孤立元”为2的集合为，；
“孤立元”为3的集合为；
“孤立元”为4的集合为，；
“孤立元”为5的集合为，，，；
综上，满足题意的集合有13个.
故选：C.
【变式16-1】（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）定义：已知集合满足，，都有，则称集合对于这种*运算是封闭的．下列论述错误的是（ ）
A．若，则对于加法“＋”封闭B．若，则对于减法“－”封闭
C．若，则对于乘法“×”封闭D．若，则对于除法“÷”封闭
【答案】D
【分析】根据题设新定义，结合数的加减乘除性质判断各项正误.
【详解】A：任意两个自然数相加必是自然数，所以对于加法“＋”封闭，对；
B：任意两个实数相减必是实数，所以对于减法“－”封闭，对；
C：任意两个有理数相乘必是有理数，所以对于乘法“×”封闭，对；
D：对于除数是0的情况，任何数除以0没有意义，故对于除法“÷”不封闭，错.
故选：D
【题型十七】集合新定义题（解答题）
【例17】（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合是实数集的非空子集，若，则称集合为闭集合.
(1)若集合均是闭集合.求证：是闭集合；
(2)若集合均是闭集合.集合一定是闭集合吗？如果是请证明，如果不是请举出反例；
(3)若均是闭集合，且都是的真子集.求证：存在常数，但.
【答案】(1)证明见解析
(2)不一定，举例见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据闭集合定义及集合交集运算即可证明；
（2）根据闭集合定义及集合并集运算即可判断；
（3）根据闭集合定义、真子集及集合并集运算即可证明.
【详解】（1）且为闭集知：，成立，
故而，从而命题成立.
（2）取，
知不一定是闭集合.
（3）若或，且均是的真子集，命题显然成立，
故不妨设存在满足，且存在满足,
取知，否则
或者而得出矛盾，故命题成立.
【变式17-1】（24-25高三上·浙江·开学考试）对于一个四元整数集，如果它能划分成两个不相交的二元子集和，满足，则称这个四元整数集为“有趣的”．
(1)写出集合的一个“有趣的”四元子集：
(2)证明：集合不能划分成两个不相交的“有趣的”四元子集：
(3)证明：对任意正整数， 集合不能划分成个两两不相交的“有趣的”四元子集．
【答案】(1)（符合要求即可）
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据四元整数集定义写出即可；
（2）假设可以划分成两个不相交的“有趣的”四元子集，再根据每个子集中均有两个偶数证明不成立即可；
（3）假设可以划分为个两两不相交的“有趣的”四元子集，再根据每个子集中均有两个偶数证明不成立即可.
【详解】（1）（符合要求即可）：
（2）假设可以划分，
和一定是一个奇数一个偶数，
中至多两个偶数.
则对于的一种符合要求的划分和
每个四元子集中均有两个偶数．
若两个集合分别为和
则或，不存在使得符合要求：
若两个集合分别为和
则或，不存在使得符合要求：
若两个集合分别为和
则或，不存在使得符合要求；
综上所述，不能划分为两个不相交的“有趣的”四元子集，
（3）假设可以划分为个两两不相交的“有趣的”四元子集．
每个子集中至多两个偶数，又中恰有个偶数，
每个子集中均有两个偶数，
对于， 可设其中是偶数，为奇数，
再由奇偶性，只能是．
且
矛盾．
不能划分为个两两不相交的“有趣的”四元子集．
【题型一】容易忽视集合元素互异性
【例1】（23-24高一上·湖南永州·期中）已知集合， ，若，则等于（ ）
A．或B．或
C．D．
【答案】C
【分析】根据集合相等即元素相同解出，再根据集合元素互异性求出值.
【详解】由有，解得或3，
当时，与集合元素的互异性矛盾，舍去.
当时，，满足题意.
故选：C.
【变式1-1】（24-25高一上·浙江·期中）已知集合，则的值为（ ）
A．0B．1
C．D．1或
【答案】B
【分析】利用集合相等和集合中元素的互异性，以已知的为突破口，分类讨论求出的值.
【详解】集合，两个集合中元素完全相同，
由，则有，得，有，
所以，由集合中元素的互异性，有，得，
则有.
故选：B.
【变式1-2】（24-25高一上·浙江·期中）已知集合，，若，则实数的值为 .
【答案】
【分析】根据集合间的基本关系得出，再代入验证.
【详解】由，知是的子集，所以或或.
由集合中元素的互异性，知，所以，故，.
从而，而，故.
经验证满足条件.
故答案为：.
【题型二】子集关系容易忽略空集
【例2】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知集合.
(1)若，求，；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)，或
(2)
【分析】（1）根据集合并集以及补集的定义求解即可；
（2）分和求解即可.
【详解】（1）若，则，
所以，或；
（2）若，①当时，，解得；
②当时，，解得，
综上，，
所以的取值范围为.
【变式2-1】（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知为常数，集合，集合，且，则的所有取值构成的集合元素个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求出集合，由，分与讨论，分别求解的值即可.
【详解】集合，化简求值可得，
当时，，此时集合无解，即
当时，时，即解之得，
，即解之可得，
所以根据集合元素的性质可得元素个数为个.
故选：C
【变式2-2】（24-25高一上·广东江门·期中）已知集合，.
(1)求，；
(2)设集合，且，求实数的取值范围.
【答案】(1)，或
(2)
【分析】（1）先求出集合，再根据交集、补集、并集的定义求解即可；
（2）由得，进而分、两种情况讨论求解即可.
【详解】（1）依题意得：，
或，
所以.
而或，故或.
（2）因为集合，且，所以.
①若，则，解得；
②若，则需使，解得.
综上所述，实数的取值范围为.
【题型三】忽视了集合元素代表元素
【例3】（24-25高一上·上海普陀·期中）已知，用列举法表示 ．
【答案】
【分析】利用列举法来求得正确答案.
【详解】依题意，，所以和都是自然数，
所以.
故答案为：
【变式3-1】（24-25高一上·湖北·期中）已知，则集合的真子集的个数是 .
【答案】
【分析】利用列举法表示集合，确定集合的元素个数，即可得出集合的真子集的个数.
【详解】当时，，则，若使得，则，
所以，即集合的元素个数为，
因此集合的真子集个数为.
故答案为：.
【变式3-2】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，则集合可以用列举法表示为 .
【答案】
【分析】由条件可得为的正约数，且，由此确定结论.
【详解】因为，
所以为的正约数，且，
所以或或或，
所以或或或，
所以.
故答案为：.
【题型四】利用数轴求参数时忽略了端点值
【例4】（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，，．
(1)若，求，；
(2)请从①，②这两个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围．
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】(1)，
(2)答案见解析
【分析】（1）根据两集合交集、并集、补集的概念进行运算即可；
（2）若选①：计算，分析交集为空集的条件列不等式求解a的范围. 若选②：分析交集非空的条件列不等式求解a的范围.
【详解】（1）时，，，
又，，所以，
故，．
（2）若选①，因为，，所以，
又，，所以，解得，
即实数的取值范围为．
若选②，，，
作出数轴如图，由，知，解得，
则实数的取值范围为．
【变式4-1】（23-24高一上·安徽芜湖·期末）已知集合.
(1)求；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据给定条件，利用并集、补集、交集的定义求解即可.
（2）利用交集的结果直接求出的范围.
【详解】（1）由，得；
又或，所以.
（2）由，，得.
【变式4-2】（24-25高一上·海南·期中）已知集合，.
(1)若命题是命题的充分不必要条件，求实数的取值范围；
(2)若命题，是假命题，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知得，分和求解即可；
（2）利用分类讨论的方法求解.
【详解】（1）由题可知
因为p是q的充分不必要条件，所以，
①当时，，即，成立，
②当时，， 解得，经验证等号成立，所以，
综上，的取值范围为.
（2）解法一：由（1）知，
因为命题，是假命题
所以命题，是真命题，
所以，
又因为，所以， 解得.
实数的取值范围为.
解法二：由（1）知，
因为“命题，”是假命题
所以命题，是真命题，
所以，
如图1
，所以
如图2
，此时k无解，
如图3
，此时k无解.，
如图4
，所以，
综上，实数的取值范围为.
【题型五】混淆了充分性与必要性“是”自正序与“的”字倒序
【例5】（24-25高二上·安徽淮南·期中）命题，，若的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意转化为子集问题，即可求解.
【详解】由条件可知，集合是集合的真子集，
所以.
故选：D
【变式5-1】（2025·河南·模拟预测）已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】当且时求出的取值范围，然后根据充分不必要条件的定义可求出答案.
【详解】由题可知且，解得，
所以使得“且”成立的一个充分不必要条件是集合的一个真子集，
因为只有选项A中的是的真子集，
故选：A
【变式5-2】（多选）（24-25高一上·广东中山·阶段练习）的一个必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】解不等式，得到解集，结合集合的包含关系得到AD满足要求，BC不满足要求.
【详解】，解得，
由于是的子集，
故是的一个必要条件，A正确，
同理，是的子集，
故是的一个必要条件，D正确，
B,C选项均不满足要求.
故选：AD.
【题型一】图法与容斥原理
一般地，对任意两个有限集,
进一步的：
【例1】（24-25高一上·四川眉山·期中）高三1班有12名同学读过《牡丹亭》，有8名同学读过《醒世恒言》，两者都读过的同学有4名，则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有（ ）
A．16人B．18人C．20人D．24人
【答案】A
【分析】根据集合的容斥原理即可求解.
【详解】设集合“高三1班读过《牡丹亭》的学生”，其元素个数记为；
集合“高三1班读过《醒世恒言》的学生”，其元素个数记为；
则，
则.
故该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有16人.
故选：A.
【变式1—1】（24-25高一上·重庆·期中）求精中学为丰富学生们的课余生活，开展了多种多样的学生社团活动，其中心理社，动漫社和地理社最受欢迎，高一某班有35名学生参加了这三个社团，其中有19人参加了心理社，有16人参加了地理社，有15人参加了动漫社，有6人参加了心理社和地理社，有5人参加了地理社和动漫社，已知每人至少都参加了一个社团，没有人同时参加三个社团，则只参加了一个社团的同学有（ ）人
A．16B．18C．20D．24
【答案】C
【分析】由题意，根据容斥原理，结合集合的运算即可求解.
【详解】设心理社为A，地理社为B，动漫社为C，
则，
，
得
即，得，
所以只参加一个社团的人数共有.
故选：C
【题型二】数轴法解决集合运算问题
适用不等式表示的集合
【例2】（25-26高三上·福建·开学考试）设集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】化简集合，结合数轴求交集.
【详解】由已知，，
所以.
故选：A.
【变式2—1】（2025高一·全国·专题练习）若，当时，；当时，数轴表示如图所示，求实数m的取值范围.
【答案】
【分析】由数轴，得到时的取值范围，再结合时的取值范围，得到实数的取值范围.
【详解】当时，由图，
则解得；
又时，，
综上可知，实数的取值范围是．
【题型三】分类讨论法
适用：含参数
【例3】（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）已知集合，集合.
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围；
(3)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据集合的并集运算即可求解；
（2）由得，根据集合的包含关系即可求解；
（3）根据和分类讨论即可求解.
【详解】（1）当时，，则；
（2）由得，所以，
解得，即m的取值范围是；
（3）当时，符合题意，此时有，即
当时，有或，解得
综上，实数的取值范围为.
【变式3—1】（24-25高一上·山东·期中）已知集合，.
(1)求，；
(2)若集合，且“，”为假命题，求实数m的取值范围.
【答案】(1)或；
(2)或
【分析】（1）根据补集的定义求出和，再求交集；
（2）“”为假命题，则其否定“”为真命题，由此确定的取值范围.
【详解】（1）对于集合，根据补集定义，或.
对于集合或，.
那么.
（2）因为“”为假命题，则其否定“”为真命题，这意味着中的元素都不在中，即.
当时，满足，此时，解得.
当时，即时，要使，则或者.
由，解得.
由，解得，但，所以这种情况无解.
综上所得，实数的取值范围是或.
【题型四】判别法
适用：一元二次不等式在实数范围内恒成立与能成立问题
【例4】（24-25高一上·黑龙江大庆·阶段练习）命题是假命题，则的范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据已知条件，得出“”是真命题，对分类讨论，即可求解.
【详解】由题意得，命题的否定：.
∵命题是假命题，
∴命题的否定是真命题.
当时，，符合题意，
当时，，解得，
综上所述，的范围是.
故选：A.
【变式4—1】（多选）（24-25高一上·安徽·期中）已知命题，使得.则命题为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】对进行讨论，求解为真命题的充要条件是，即可根据充分不必要条件的定义求解.
【详解】当时，显然，使得；
当时，，.
综上，命题为真命题的充要条件是，
故选：.