专题03 函数的概念与性质（3.1+3.2）（期中知识清单）（原卷版+解析版）高一数学上学期人教A版2019必修第一册

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函数的概念与性质
函数的概念
函数的表示
单调性与最值
定义
待定系数法求解析式
单调性证明
奇偶性
函数奇偶性
三要素
定义域
值域
换元法求解析式
消元法求解析式
单调性性质
最大值
最小值
判断函数奇偶性性质法
分离常数法
换元法
【清单01】函数的概念
一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数(functin)，记作，.其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集.
【清单02】求解析式方法
1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法．
2、换元法：主要用于解决已知这类复合函数的解析式，求函数的解析式的问题，在使用换元法时特别注意，换元必换范围.
3、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，
4、方程组（消去）法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。
【清单03】函数单调性
1增函数
一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有，
那么就称函数在区间上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的）
特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing functin).
2减函数
一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有，
那么就称函数在区间上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的）
特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasing functin).
3、函数的单调性与单调区间
如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间．
【清单04】函数单调性的判断与证明
1、定义法：一般用于证明，设函数，证明的单调区间为
①取值：任取，，且；
②作差：计算；
③变形：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需讨论参数；
④定号：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数；
⑤下结论：指出函数在给定区间上的单调性
2、图象法
一般通过已知条件作出函数的图象（或者草图），利用图象判断函数的单调性.
3、性质法
（1）函数在给定区间上的单调性与在给定区间上的单调性相反；
（2）函数在给定区间上的单调性与的单调性相同；
（3）和的公共定义区间，有如下结论；
【清单05】函数最大（小）值
1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足：
①，都有
②，使得
那么称是函数的最大值；
2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足：
①，都有
②，使得
那么称是函数的最小值；
【清单06】复合函数单调性
【清单07】函数奇偶性
1偶函数：一般地，
设函数的定义域为，如果，都有，
且，那么函数就叫做偶函数.
2奇函数：一般地，
设函数的定义域为，如果，都有，
且，那么函数就叫做奇函数.
【清单08】性质法判断函数奇偶性
，在它们的公共定义域上有下面的结论：
【题型一】函数关系判断
【例1】（24-25高一上·湖南长沙·期中）已知集合，，给出下列四个对应关系：①，②，③，④，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（ ）
A．①②B．①③C．②④D．③④
【变式1-1】（多选）（24-25高一上·湖南怀化·期中）下列四个图象中，是函数图象的有（ ）
A．B．
C．D．
【题型二】函数定义域（具体函数定义域）
【例2】（24-25高一下·河北保定·期中）函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【变式2-1】（24-25高一上·江苏无锡·期中）函数的定义域是 .
【题型三】函数定义域（抽象函数定义域）
【例3】（24-25高一上·重庆·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【变式3-1】（24-25高一上·安徽阜阳·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域是 .
【题型四】函数值域（二次函数）
【例4】（23-24高一上·北京·期中）函数，的值域为 .
【变式4-1】（23-24高一上·宁夏石嘴山·期中）函数的值域为
【题型五】函数值域（根式型）
【例5】（23-24高一上·江苏苏州·期中）函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-1】（23-24高一上·安徽亳州·期中）函数的值域为
【题型六】函数值域（分式型）
【例6】（24-25高二下·上海·期中）函数的值域是 .
【变式6-1】（24-25高一上·四川内江·期中）函数的值域是 ．
【题型七】待定系数求解析式
【例7】（24-25高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（ ）
A．B．C．D．
【变式7-1】（24-25高一上·天津·期中）已知函数为一次函数，且，则（ ）
A．B．C．D．7
【题型八】换元法求解析式
【例8】（24-25高一上·陕西西安·期中）已知，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【变式8-1】（24-25高一上·重庆·期中）函数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【题型九】方程组法求解析式
【例9】（24-25高一上·云南文山·期中）已知定义在上的函数满足，则函数的解析式是 ．
【变式9-1】（24-25高一上·安徽芜湖·期中）根据下列条件，求的解析式.
(1)是一次函数，且满足；
(2).
【题型十】定义法证明函数单调性
【例10】（24-25高一上·陕西西安·期中）已知函数，且，.
(1)求的解析式；
(2)判断在上的单调性并用单调性的定义证明你的判断；
(3)若不等式恒成立，求的取值范围.
【变式10-1】（24-25高一上·福建泉州·期中）已知函数.
(1)判断函数在的单调性，并用定义证明；
(2)求函数在的值域.
【题型十一】根据函数单调性求参数
【例11】（24-25高一上·天津·期中）已知函数，若在单调递增，则m的范围为 .
【变式11-1】（24-25高一上·江苏连云港·期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为 .
【题型十二】根据函数值域（最值）求参数
【例12】（23-24高一上·四川眉山·期中）已知函数的最小值为8.则实数的值是（ ）
A．-1B．1C．2D．3
【变式12-1】（23-24高一上·湖北荆州·期中）已知函数在上的最大值为，则实数的值为 .
【题型十三】二次函数（含参）最值
【例13】（24-25高一上·江西宜春·期中）已知函数，不等式的解集．
(1)求函数的解析式；
(2)设函数在上的最小值为，求的表达式及的最小值．
【变式13-1】（24-25高一上·重庆·期中）已知二次函数的图象经过两点，且函数的最小值是.
(1)求的解析式；
(2)已知，讨论在区间上的最值.
【题型十四】函数奇偶性判断
【例14】（24-25高一上·贵州·期中）已知函数.
(1)判断函数的奇偶性，并证明；
(2)讨论函数在区间上的单调性.
【变式14-1】（24-25高一上·吉林白城·期中）判断下列函数的奇偶性．
(1)；
(2)；
(3)
【题型十五】由奇偶性求解析式
【例15】（23-24高一上·山东·期中）已知是R上的奇函数，且时，，则时， ．
【变式15-1】（24-25高一下·河北保定·期中）已知是定义在上的偶函数，当时，.
(1)求，的值；
(2)求的解析式；
(3)画出的简图；写出的单调区间.（只需写出结果，不要解答过程）
【题型十六】由奇偶性求参数
【例16】（24-25高一上·重庆·期中）设是偶函数，且定义域为，，则 （ ）
A．B．C．D．
【变式16-1】（24-25高一上·内蒙古·期中）设是定义在上的奇函数，则（ ）
A．1B．2C．0D．
【题型十七】奇偶性+单调性解不等式（小题）
【例17】（24-25高一上·湖南长沙·期中）已知函数是定义域为的奇函数，且在上单调递增．若，则m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式17-1】（24-25高一下·上海·期中）已知定义域为的偶函数在上为严格减函数，则不等式的解集为 ．
【题型十八】奇偶性+单调性解不等式（大题）
【例18】（24-25高一上·天津·期中）已知函数是定义域在上的奇函数，且.
(1)求a，b的值；
(2)用定义法证明函数在上单调递增；
(3)解不等式.
【变式18-1】（24-25高一上·江苏苏州·期中）已知为定义在上的偶函数，当时，且.
(1)求实数的值及在上的解析式：
(2)判断并证明在上的单调性；
(3)解关于的不等式：.
【题型十九】分段函数问题
【例19】（23-24高一上·云南曲靖·期中）已知函数的最小值是-2，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式19-1】（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知函数.若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【题型二十】函数图形识别
【例20】（23-24高一上·天津河北·期中）函数的图象为（ ）
A．B．
C．D．
【变式20-1】（24-25高一上·福建莆田·期中）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【题型二十一】抽象函数问题
【例21】（23-24高一上·黑龙江佳木斯·期中）已知函数对任意的，都有，且当时，．
(1)求证：是上的增函数；
(2)若，，解不等式．
【变式21-1】（24-25高一上·安徽·期中）定义在上的函数满足：①当时，；②对任意实数x，y都有．
(1)证明：当时，；
(2)判断在上的单调性；
(3)解不等．
【题型一】求函数单调区间忽略定义域
【例1】（23-24高一上·湖北十堰·期中）函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（24-25高一上·广东广州·期中）函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（24-25高一上·广东湛江·期中）函数的单调递减区间为 .
【题型二】解不等式忽视了函数定义域
【例2】（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数在定义域上是减函数，且，则实数a的取值范围是 .
【变式2-1】（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数是定义在上的增函数，且，则实数的取值范围是 ．
【变式2-2】（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数是定义域为的减函数，且，则的取值范围是 ．
【题型三】分段函数单调性忽视了端点值大小比较
【例3】（24-25高一上·江苏南通·期中）已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式3-1】（23-24高一上·云南昭通·期中）已知是定义域为上的增函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式3-2】（24-25高一上·江苏南京·期中）已知函数满足对任意的，，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【题型四】定义在上的奇函数忽略了
【例4】（24-25高一上·湖北·期中）已知函数是定义在上的奇函数，时，，则函数在上的解析式为
【变式4-1】（23-24高一上·贵州·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则 ．
【变式4-2】（23-24高一上·河南郑州·期中）已知是定义在R上的奇函数，当时，，则的解析式为 ．
【题型一】根据单调性求值域
适用：能判断或者证明函数的单调性
【例1】（23-24高一上·湖北宜昌·期中）函数在区间上的值域为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1—1】（24-25高一上·广东东莞·期中）函数在上的最小值是 ．
【题型二】判别式法求值域
适用：二次型
【例2】（24-25高一上·山东菏泽·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，函数称为高斯函数，其中，表示不超过的最大整数，例如：，.已知函数，则函数的值域是 .
【变式2—1】（24-25高一上·四川成都·期中）函数的值域为 ．
【题型三】分离常数法求值域
适用：齐次分式型
【例3】（24-25高一上·云南昆明·期中）函数，的值域为 ．
【变式3—1】（24-25高一上·福建福州·期中）函数在区间的值域为 .
【题型四】分类讨论法求二次函数在闭区间上的最值问
适用：求二次函数（含参）的最值问题
【例4】（24-25高一上·四川泸州·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，.
(1)求的解析式；
(2)当时，求的最小值.
【变式4—1】（24-25高一上·河南·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．
(1)求函数的解析式；
(2)直接写出函数的增区间；
(3)若函数，求函数的最小值．
增
增
增
不确定
增
减
不确定
增
减
减
减
不确定
减
增
不确定
减
：令：和
增
增
增
增
减
减
减
增
减
减
减
增
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
不能确定
不能确定
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
不能确定
不能确定
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
偶函数