高考物理一轮复习讲义第九章　静电场

这是一份高考物理一轮复习讲义第九章　静电场，共28页。
■目标要求
1.知道元电荷的概念，掌握电荷守恒定律。2.理解库仑定律，会分析库仑力作用下的平衡和变速运动问题。3.理解电场强度和电场线的概念，理解几种常见电场的分布情况。
考点1 电荷和电荷守恒定律

必|备|知|识
1.电荷。
(1)两种电荷：自然界中只存在两种电荷——正电荷和负电荷。同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引。
(2)电荷量：电荷的多少叫作电荷量，符号Q(或q)，单位：库仑，符号：C。
(3)元电荷：最小的电荷量，其值为e=1.60×10-19 C，其他带电体的电荷量均为元电荷的整数倍。
2.电荷守恒定律。
(1)内容：电荷既不会创生，也不会消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分；在转移的过程中，电荷的总量保持不变。
(2)起电方式：摩擦起电、接触起电、感应起电。
(3)带电实质：物体带电的实质是得失电子。
(1)元电荷即是电子(×)
(2)两个带异种电荷的金属球接触时，正电荷从一个球转移到另一个球(×)
【典例1】 a和b都是不带电的小球，它们互相摩擦后，a带-1.6×10-10 C的电荷，下列判断正确的是(A)
A.摩擦的过程中电子从b转移到了a
B.b在摩擦后一定带-1.6×10-10 C的电荷
C.在摩擦前a的内部没有任何电荷
D.摩擦的过程中正电荷从b转移到了a
解析 摩擦起电的本质是电子的转移，互相摩擦后a带-1.6×10-10 C的电荷，是b上的电子转移到a上，此情况下正电荷不发生移动，A项正确，D项错误；a原来是电中性，摩擦后带上-1.6×10-10 C的电荷，根据电荷守恒定律，可知b在摩擦后一定带+1.6×10-10 C的电荷，B项错误；原来不带电的物体处于电中性，不是内部没有电荷，而是正、负电荷的个数相等，整体对外不显电性，故在摩擦前a内部有电荷，C项错误。
考点2 库仑定律

必|备|知|识
1.点电荷。
代表带电体的有一定电荷量的点，是一种理想化模型。当带电体之间的距离比它们自身的大小大得多，以致带电体的形状、大小及电荷分布状况对它们之间的作用力的影响可以忽略时，这样的带电体可以看作带电的点，叫作点电荷。点电荷的体积不一定很小，带电量也不一定很少。
2.库仑定律。
(1)内容：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上。
(2)公式：F=kq1q2r2，式中的k叫作静电力常量，其数值是9.0×109 N·m2/C2。
(3)适用条件：真空中静止的点电荷。
(1)点电荷是一种理想化的物理模型，是对实际带电体经抽象化思维得来的(√)
(2)相互作用的两个点电荷，电荷量大的受到的库仑力也大(×)
(3)根据F=kq1q2r2，当r→0时，F→∞(×)
关|键|能|力
库仑定律的深度理解。
(1)对于两个均匀带电绝缘球体，可将其视为电荷集中在球心的点电荷，r为球心间的距离。
(2)对于两个带电金属球，要考虑表面电荷的重新分布，如图所示。
①同种电荷：Fkq1q2r2。
(3)不能根据公式错误地认为r→0时，库仑力F→∞，因为当r→0时，两个带电体不能看作点电荷。
考向1 库仑定律的理解
【典例2】 使两个完全相同的金属小球(均可视为点电荷)分别带上-3Q和+5Q的电荷后，将它们固定在相距为a的两点，它们之间库仑力的大小为F1。现用绝缘工具使两小球相互接触后，再将它们固定在相距为2a的两点，它们之间库仑力的大小为F2，则F1与F2之比为(D)
A.2∶1B.4∶1C.16∶1D.60∶1
解析 开始时，由库仑定律得F1=k5Q×3Qa2，相互接触并分开后，带电荷量均变为+Q，距离变为原来的2倍，根据库仑定律得F2=kQ×Q4a2，可知F1F2=601，D项正确。
考向2 库仑力作用下的平衡问题
【典例3】 (多选)如图，在倾角为α(小于45°)的光滑绝缘斜面上固定一挡板，一根与斜面平行的绝缘轻质弹簧一端固定在挡板上，另一端与均匀带电小球A连接，等大的均匀带电小球B置于图示位置。静止时A、B两球间的距离为L，弹簧长度为x。A、B两球为绝缘球体，均可视为点电荷，下列说法正确的是(BC)
A.A球共受到3个力的作用
B.斜面对B球的支持力大于B球所受库仑力
C.若A球电荷量加倍，适当调整B球位置，平衡时弹簧长度仍为x
D.若A球电荷量加倍，适当调整B球位置，平衡时A、B两球间的距离为2L
解析 A球受到重力、弹簧的弹力、斜面的支持力和B球的库仑斥力的作用，A项错误；B球受到重力、斜面的支持力FN和A球的库仑斥力F的作用，如图所示，可得F=mBgsin α，FN=mBgcs α，斜面对B球的支持力FN=Ftan α>F，B项正确；以A、B两球整体为研究对象，由受力平衡知，弹簧对A球的弹力F1=(mA+mB)gsin α，与A、B两球所带电荷量均无关，若A球电荷量加倍，则平衡后弹簧长度仍为x，C项正确；由库仑定律知F=kqAqBL2，解得kqAqBL2=mBgsin α，若A球电荷量加倍，设平衡后A、B两球间距为d，则k2qAqBd2=mBgsin α，解得d=2L，D项错误。
三步解决库仑力作用下的平衡问题
库仑力作用下的平衡问题，其解题思路与力学中平衡问题一样，只是在原来受力基础上多了个库仑力，具体步骤如下：
考向3 库仑力作用下的变速运动
【典例4】 如图所示，光滑绝缘水平面上有质量分别为m和2m的小球A、B，带异种电荷。方向水平向右，大小为F的力作用在B上，当A、B间的距离为L时，两小球可保持相对静止。若改用方向水平向左，大小为18F的力作用在A上，两小球仍能保持相对静止，则此时A、B间的距离为(C)
A.12LB.LC.2LD.4L
解析 设小球A、B的电荷量分别为q1、q2，则由题意得，当F的力作用在B上，A、B间的距离为L时，两小球可保持相对静止，即两小球的加速度相等，对两小球整体受力分析得加速度为a=F3m，对小球A受力分析得a=kq1q2L2m，解得kq1q2L2=F3，同理可得，当18F的力作用在A上时，对两小球构成的整体和B小球分别受力分析满足a'=18F3m，a'=kq1q2L'2·2m，可得kq1q2L'2=F12，则L'=2L，C项正确。
考点3 电场强度和电场线

必|备|知|识
1.静电场。
静电场是客观存在于电荷周围的一种物质，其基本性质是对放入其中的电荷有力的作用。
2.电场强度。
(1)定义式：E=Fq，是矢量，单位为N/C或V/m。
(2)点电荷的场强：E=kQr2。
(3)方向规定：正电荷在电场中某点受力的方向为该点的电场强度方向。
(4)电场叠加：电场中某点的电场强度为各个点电荷单独在该点产生的电场强度的矢量和。
(5)计算法则：遵循矢量合成法则——平行四边形定则。
3.电场线。
(1)定义。
为了形象地描述电场中各点的电场强度的强弱及方向，在电场中画出的一些曲线，曲线上每一点的切线方向都跟该点的电场强度方向一致，曲线的疏密表示电场强度的大小。
(2)几种典型电场的电场线。
(3)特点。
①电场线从正电荷出发，终止于负电荷或无限远处，或来自无限远处，终止于负电荷。
②电场线在电场中不相交。
③在同一电场中，电场线越密的地方场强越大。
④电场线上某点的切线方向表示该点的场强方向。
⑤沿电场线方向电势逐渐降低。
⑥电场线和等势面在相交处互相垂直。
(1)由E=Fq知，电场中某点的电场强度与电荷的电荷量成反比，与电荷受到的电场力成正比(×)
(2)电场线和电场一样，都是客观存在的(×)
(3)电场线不是电荷的运动轨迹，但根据电场线的方向能确定已知电荷的加速度方向(√)
关|键|能|力

1.场强的公式。
三个公式E=Fq适用于任何电场与检验电荷是否存在无关E=kQr2适用于点电荷产生的电场Q为场源电荷的电荷量E=Ud适用于匀强电场U为两点间的电势差，d为沿电场方向两点间的距离
2.电场的叠加。
(1)叠加原理：多个点电荷在空间某处产生的电场强度为各个点电荷在该处所产生的电场强度的矢量和。
(2)计算法则：平行四边形定则。
3.两等量点电荷的电场分布规律。
考向1 电场强度的理解和计算
【典例5】 (2024·江苏卷)在静电场中有a、b两点，试探电荷在两点的静电力F与电荷量q满足如图所示的关系，请问a、b两点的场强大小EaEb等于(D)
A.1∶1B. 2∶1
C. 3∶1 D. 4∶1
解析 设F-q图像的横坐标单位长度电荷量为q0，纵坐标单位长度的力大小为F0，根据E=Fq可知，F-q图像斜率表示电场强度，由题图可知Ea=4F0q0=4F0q0，Eb=4F04q0=F0q0，解得EaEb=4∶1，D项正确。
考向2 点电荷电场的叠加
【典例6】 (2025·长春模拟)如图所示，三个带电量均为q的点电荷，分别位于同一平面内B、C、D三点，位于 B、C两点的电荷带正电，位于D点的电荷带负电，已知AB=AC=AD=L，且BD⊥AC，静电力常量为k，则A点的电场强度的大小为(C)
A.kqL2B.3kqL2C.5kqL2D.2kqL2
解析 B、D两点的点电荷分别在A点产生的场强均由B指向D，大小均为E1=kqL2，C点的点电荷在A点产生的场强由 C指向A，大小为E2=kqL2，根据矢量叠加原理可得A点电场强度的大小为E=2E1)2+E22=5kqL2，C项正确。
考向3 电场线的理解和应用
【典例7】 (多选)用电场线能直观、方便地比较电场中各点电场的强弱。如图甲是等量异种点电荷形成电场的电场线，图乙是电场中的一些点：O是电荷连线的中点，E、F是连线中垂线上关于O点对称的两点，B、C和A、D也关于O点对称。则(ACD)
A.B、C两点场强大小和方向都相同
B.A、D两点场强大小相等，方向相反
C.E、O、F三点比较，O点场强最强
D.B、O、C三点比较，O点场强最弱
解析 由等量异种点电荷的电场线分布规律可知A、C、D三项正确，B项错误。
微点突破3 非点电荷的电场强度的求解

关|键|能|力
非点电荷产生的电场叠加不能简单地直接使用点电荷电场的叠加方法求解，常用的方法有补偿法、对称法、等效法和微元法。
考向1 补偿法
将有缺口的带电圆环或圆板补全为完整的圆环或圆板，或将半球面补全为球面，从而化难为易。
【典例1】 已知均匀带电球体在球的外部产生的电场与一个位于球心的、电荷量相等的点电荷产生的电场相同。如图所示，半径为R的球体上均匀分布着电荷量为Q的电荷，在过球心O的直线上有A、B两个点，O和B、B和A间的距离均为R。现以OB为直径在球内挖一球形空腔，已知静电力常量为k，球的体积公式为V=43πr3，则A点处场强的大小为(B)
A.5kQ36R2B.7kQ36R2C.5kQ32R2D.3kQ16R2
解析 由题意知，半径为R的均匀带电球体在A点产生电场的场强E整=kQ2R)2=kQ4R2，挖出的小球半径为R2，因为电荷均匀分布，其带电荷量Q'=43πR2343πR3Q=Q8，则其在A点产生电场的场强E挖=kQ'12R+R2=k·Q894R2=kQ18R2，所以剩余部分带电体在A点产生电场的场强E=E整-E挖=kQ4R2-kQ18R2=7kQ36R2，B项正确。
考向2 对称法
对称法：利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题大为简化。如：如图所示，均匀带电的34球壳在O点产生的场强，等效为弧BC产生的场强，弧BC产生的场强方向，又等效为弧的中点M在O点产生的场强方向。
【典例2】 (2024·河北卷)如图，真空中有两个电荷量均为q(q>0)的点电荷，分别固定在正三角形ABC的顶点B、C。M为三角形ABC的中心，沿AM的中垂线对称放置一根与三角形共面的均匀带电细杆，电荷量为q2。已知正三角形ABC的边长为a，M点的电场强度为0，静电力常量为k。顶点A处的电场强度大小为(D)
A.23kqa2B.kqa2(6+3)
C.kqa2(33+1)D.kqa2(3+3)
解析 B、C两点处的点电荷在M点的合场强为E=2kq33a2cs 60°=3kqa2，因M点的电场强度为零，因此带电细杆在M点的场强大小EM=E，由对称性可知带电细杆在A点的场强为EA=EM=E，方向竖直向上，因此A点的电场强度为E合=EA+2kqa2cs 30°=kqa2(3+3)，D项正确。
审题指导
考向3 等效法
等效法：在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景。
如：一个点电荷+q与一个无限大薄金属板形成的电场，可等效为两个等量异种点电荷形成的电场，如图甲、乙所示。
【典例3】 (2025·金昌模拟)电荷量为-Q的点电荷和接地金属板MN附近的电场线分布如图所示，点电荷与金属板相距为2d，图中P点到金属板和点电荷间的距离均为d。已知P点的电场强度为E0，则金属板上感应电荷在P点处产生的电场强度E的大小为(B)
A.0B.E0-kQd2
C.kQd2D.E02
解析 P点的电场强度为E0，点电荷在P点产生的电场强度为kQd2，故有E+kQd2=E0，金属板在P点产生的电场强度为E=E0-kQd2，B项正确。
考向4 微元法
微元法：将带电体分成许多元电荷，每个元电荷看成点电荷，先根据库仑定律求出每个元电荷的场强，再结合对称法和场强叠加原理求出合场强大小。
【典例4】 (多选)如图所示，真空中电荷均匀分布的带正电圆环，半径为r，带电量为+Q，圆心O处固定一带电量为-Q的点电荷，以O为坐标原点建立垂直圆环平面的x轴，P是x正半轴上的一点，圆环上各点与P点的连线与x轴的夹角为37°，静电力常量为k，sin 37°=0.6、cs 37°=0.8，下列说法正确的是(BD)
A.圆环上所有的电荷在O点产生的合电场强度大小为kQr2
B.圆心O处的-Q在P点产生的电场强度大小为9kQ16r2
C.圆环上所有的电荷在P点处产生的电场强度大小为9kQ25r2
D.P点电场强度的方向沿x轴的负方向
解析 根据对称性与矢量合成，圆环上所有的电荷在O点处产生的电场强度为0，A项错误；由几何关系可得圆心O与P点之间的距离为L=rtan 37°=43r，由点电荷的场强公式可得圆心O处的-Q在P点产生的电场强度为E1=kQL2=9kQ16r2，B项正确；设圆环上某点的带电量为+q，由几何关系可得此点与P点的距离为d=rsin 37°=53r，由点电荷的场强公式可得+q在P点产生的电场强度为E2=kqd2=9kq25r2，假设圆环上有n个q，则有n=Qq，在P点与垂直x轴方向上，E2的分量为Ey，根据对称性，n个Ey的矢量和为0，则圆环上所有电荷在P点产生的场强沿着x轴的正方向，E2的分量为Ex=E2cs 37°，n个Ex的矢量和就是圆环上所有的电荷在P处产生的场强，则有E3=nEx，综合可得E3=36kQ125r2，C项错误；由于E1=9kQ16r2，沿着x轴的负方向，E3=36kQ125r2，沿着x轴的正方向，结合E1>E3，可得P点电场强度的方向沿x轴的负方向，D项正确。
微|点|训|练
1.(2025·南阳模拟)如图所示，圆形绝缘薄板均匀带电，圆心为O，过圆心的轴线上有三点A、B、C，BO=OC=CA=R，A点放置一电荷量为+Q的电荷，B点场强为零，静电力常量为k，下列说法正确的是(B)
A.薄板带正电
B.C点场强大小为10kQ9R2，方向向左
C.C点场强大小为8kQ9R2，方向向左
D.薄板上的电荷在B点产生的场强大小为kQ9R2，方向向左
解析 设薄板上的电荷在B点产生的场强为EB，取向左为正，根据题意，B点的场强为0，则薄板在B点产生的场强与A点处的点电荷在B点处产生的场强大小相等方向相反，则有EB+kQ3R)2=0，解得EB=-kQ3R)2，方向向右，则可知薄板带负电，A、D两项错误；由对称性可知，薄板在C点产生的场强为-EB，而C点处的场强为薄板在C点处产生的场强与A点处的点电荷在C点处产生的场强的合场强，则可知C点场强为-EB+kQR2=10kQ9R2，方向向左，B项正确，C项错误。
2.经过探究，某同学发现：点电荷和无限大的接地金属平板间的电场(如图甲所示)，与等量异种点电荷之间的电场分布(如图乙所示)完全相同，图丙中固定于O点的正点电荷q到金属板MN的距离OA为L，AB是以点电荷q为圆心、L为半径的圆上的一条直径，静电力常量为k，则B点电场强度的大小是(A)
A.8kq9L2 B.kqL2 C.10kq9L2 D.3kq4L2
解析 根据题意可将图丙的电场等效为两个等量异种点电荷的电场，点电荷电荷量的大小均为q，它们之间的距离为2L，则B点电场强度的大小为E=kqL2-kq3L)2=8kq9L2，A项正确。
3.(2025·安阳模拟)半径为R的绝缘细圆环固定在图示位置，圆心位于O点，环上均匀分布着总电量为Q的正电荷，点A、B、C将圆环三等分。若取走A处弧长为ΔL的小圆弧上的电荷，圆环上剩余电荷的分布不变，静电力常量为k，则(D)
A.O点场强的方向沿OA的反方向
B.O点场强的大小为kQΔLπR3
C.再取走B处弧长为ΔL的小圆弧上的电荷，O点场强方向沿OC方向
D.再取走B处弧长为ΔL的小圆弧上的电荷，O点场强大小为kQΔL2πR3
解析 环上均匀分布着电量为Q的正电荷，根据对称性可知O点场强为零，且A处弧长为ΔL的小圆弧上的电荷和A关于O点的对称点D处弧长为ΔL的小圆弧上的电荷在O点产生的合场强为0，因此移去A处弧长为ΔL的小圆弧上的电荷后，O点的场强可以认为是由D处弧长为ΔL的小圆弧上的电荷单独产生，带正电，其在O点的场强方向沿OA方向，A项错误；由于圆环所带电荷量均匀分布，所以长度为ΔL的小圆弧所带电荷量为q=ΔL2πRQ，O点场强的大小为E0=kqR2=kQΔL2πR3，B项错误；取走A、B两处的电荷后，圆环剩余电荷在O点产生的电场强度大小等于A、B处弧长为ΔL的小圆弧所带正电荷在O点产生的场强的叠加，方向相反，即O点场强方向沿CO方向，场强大小为E0=2kqR2cs 60°=kQΔL2πR3，C项错误，D项正确。
4.(2025·南昌模拟)如图甲所示，34球壳上的电荷均匀分布，其球心O处的电场强度大小为E0。若削去上半部分的14球壳，剩下如图乙所示的下半部分球壳。已知均匀带电球壳在其内部产生的电场强度为零。若电荷的分布不受影响，则剩下部分球壳上的电荷在O处的电场强度大小E为(A)
A.2E0B.E02
C.2E02D.E0
解析 如图所示，剩下部分球壳所带电荷在O处产生的电场强度方向竖直向上，削去的14球壳所带电荷在O处产生的电场强度方向斜向下45°，两电场强度的合电场强度为E0，由此可知，剩下部分球壳上的电荷在O处的电场强度大小为E=2E0，A项正确。
第2讲 电场能的性质
■目标要求
1.知道静电场中的电荷具有电势能，理解电势能、电势的含义。2.理解静电力做功与电势能变化的关系，并能用来解决问题。3.理解静电感应与静电平衡概念，会应用静电平衡的特点解决问题。
考点1 静电力做功 电势能和电势

必|备|知|识
1.静电力做功的特点。
静电力做功的多少与路径无关，只与电荷在电场中的始、末位置有关。
2.电势能。
(1)定义：电荷在电场中具有的势能，称为电势能。
(2)说明：电势能具有相对性，通常把无限远处或大地表面的电势能规定为零。
3.静电力做功与电势能变化的关系。
(1)静电力做的功等于电荷电势能变化量的相反数，即WAB=EpA-EpB。静电力对电荷做多少正功，电荷电势能就减少多少；电荷克服静电力做多少功，电荷电势能就增加多少。
(2)电势能的大小：由WAB=EpA-EpB可知，若令EpB=0，则EpA=WAB，即电荷在电场中某点的电势能，等于把它从这点移到零势能位置时静电力所做的功。
4.电势。
(1)定义：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量之比。
(2)定义式：φ=Epq。
(3)标矢性：电势是标量，有正、负之分，其正(负)值表示该点电势比零电势高(低)。
(4)相对性：电势具有相对性，同一点的电势因选取零电势点的不同而不同。
(1)电场强度为零的点，电势一定为零(×)
(2)电势有正负之分，但电势是标量(√)
(3)沿电场线方向电势逐渐降低(√)
关|键|能|力
1.求静电力做功的四种方法。
2.电势能大小的比较。
3.电势高低的判断。
考向1 静电力做功与电势能变化的关系
【典例1】 (多选)(2024·广东卷)污水中的污泥絮体经处理后带负电，可利用电泳技术对其进行沉淀去污，基本原理如图所示。涂有绝缘层的金属圆盘和金属棒分别接电源正、负极、金属圆盘置于底部、金属棒插入污水中，形成如图所示的电场分布，其中实线为电场线，虚线为等势面。M点和N点在同一电场线上，M点和P点在同一等势面上。下列说法正确的有(AC)
A.M点的电势比N点的低
B.N点的电场强度比P点的大
C.污泥絮体从M点移到N点，电场力对其做正功
D.污泥絮体在N点的电势能比其在P点的大
解析 根据沿着电场线方向电势降低可知M点的电势比N点的低，污泥絮体带负电，根据Ep=qφ可知污泥絮体在M点的电势能比在N点的电势能大，污泥絮体从M点移到N点，电势能减小，电场力对其做正功，A、C两项正确；根据电场线的疏密程度可知N点的电场强度比P点的小，B项错误；M点和P点在同一等势面上，则污泥絮体在M点的电势能与在P点的电势能相等，污泥絮体在N点的电势能比其在P点的小，D项错误。
考向2 电势能大小的比较
【典例2】 (2025·淮安模拟)如图所示，△ABC为等边三角形，电荷量为+q的点电荷固定在A点，下列说法正确的是(B)
A.B、C两点电场强度相同
B.B、C两点电势相等
C.正电荷在B点电势能比在C点时要大
D.负电荷在B点电势能比在C点时要小
解析 B、C两点距A点的距离相等，根据点电荷电场分布可知，B、C两点电场强度大小相等，方向不同，A项错误；B、C两点距A点的距离相等，根据点电荷电势分布可知，B、C两点电势相等，B项正确；根据Ep=φq可知，正电荷在B点电势能等于在C点电势能，负电荷在B点电势能等于在C点电势能，C、D两项错误。
考向3 电势高低的判断
【典例3】 (多选)如图所示，A、B、C、D是正方形的四个顶点，在A、B、C三点放有电荷量都为+q的点电荷，正方形的两条对角线AC、BD相交于O点，则关于D点和O点的电场强度和电势的判断，下列说法正确的是(BD)
A.D点电场强度大于O点的电场强度
B.D点电场强度小于O点的电场强度
C.D点电势高于O点的电势
D.D点电势低于O点的电势
解析 令正方形的边长为a，根据电场强度的叠加原理有ED=2kqa2·cs 45°+kq2a2=22+1)kq2a2，EO=kq2a22=2kqa2，则有ED0)、质量为m，A、B两点间的电势差为U，重力加速度大小为g，求：
(1)电场强度E的大小；
(2)小球在A、B两点的速度大小。
解析 (1)A、B两点间电势差为U，A、B两点沿电场方向的距离为L，在匀强电场中，根据公式可得场强为E=UL。
(2)在A点细线对小球的拉力为0，根据牛顿第二定律得Eq-mg=mvA2L，
A到B过程根据动能定理得
qU-mgL=12mvB2-12mvA2，
联立解得vA=Uq-mgLm，
vB=3(Uq-mgL)m。
答案 (1)UL (2)Uq-mgLm 3(Uq-mgL)m
【典例2】 如图所示，在竖直平面内固定的圆形绝缘轨道的圆心为O、半径为r、内壁光滑，A、B两点分别是圆轨道的最低点和最高点。该空间存在方向水平向右的匀强电场，一质量为m的带电小球(可视为质点)恰好能静止在C点。若在C点给小球一个初速度使它在轨道内侧恰好能做完整的圆周运动(小球的电荷量不变)。已知C、O、D在同一直线上，它们的连线与竖直方向的夹角θ=60°，重力加速度为g。求：
(1)小球所受的电场力F的大小；
(2)小球做圆周运动，在D点的速度大小及在A点对轨道压力的大小。
解析 (1)小球在C点静止，受力分析如图所示，
由平衡条件得
F=mgtan 60°，
解得F=3mg。
(2)小球在光滑轨道内侧恰好做完整的圆周运动，在D点小球速度最小，对轨道的压力为零，则mgcs 60°=mvD2r，
解得小球在D点的速度vD=2gr，
小球由轨道上A点运动到D点的过程，根据动能定理得
-mgr(1+cs θ)-Frsin θ=12mvD2-12mvA2，
解得小球在A点的速度vA=22gr，
小球在A点，根据牛顿第二定律得
FNA-mg=mvA2r，
解得FNA=9mg，
根据牛顿第三定律得，小球在A点对轨道压力的大小为9mg。
答案 (1)3mg (2)2gr 9mg
题型2 电场中的力、电综合问题

电场中的力、电综合问题，是指带电物体在重力、电场力等共同作用下的运动问题，解决该类问题，在正确受力分析的基础上，要正确建立带电物体在电场中的运动模型，并且与力学中的运动模型对比，根据其运动特点灵活应用动力学观点、能量观点和动量观点等多角度进行分析与研究。
(1)动力学观点：对于带电物体在电场中做直线运动、圆周运动、类平抛运动等典型运动问题，可以综合运用动力学观点解题。
(2)能量观点：对于带电物体在电场中的运动过程涉及能量问题时，可以应用动能定理、功能关系、能量守恒定律等灵活解题。
(3)动量观点：对于带电物体在电场中的运动过程涉及动量问题时，可以应用动量定理、动量守恒定律等规律解题。
【典例3】 (2022·辽宁卷)如图所示，光滑水平面AB和竖直面内的光滑14圆弧导轨在B点平滑连接，导轨半径为R。质量为m的带正电小球将轻质弹簧压缩至A点后由静止释放，脱离弹簧后经过B点时的速度大小为gR，之后沿轨道BO运动。以O为坐标原点建立直角坐标系xOy，在x≥-R区域有方向与x轴夹角为θ=45°的匀强电场，进入电场后小球受到的电场力大小为2mg。小球在运动过程中电荷量保持不变，重力加速度为g。求：
(1)弹簧压缩至A点时的弹性势能；
(2)小球经过O点时的速度大小；
(3)小球过O点后运动的轨迹方程。
解析 (1)小球从A到B，根据能量守恒定律得Ep=12mvB2=12mgR。
(2)小球从B到O，根据动能定理有
-mgR+qE·2R=12mvO2-12mvB2，
解得vO=3gR。
(3)小球运动至O点时速度竖直向上，受电场力和重力作用，将电场力分解到x轴和y轴，则x轴方向有
qEcs 45°=max，
竖直方向有qEsin 45°-mg=may，
解得ax=g，ay=0，
说明小球从O点开始以后的运动为x轴方向做初速度为零的匀加速直线运动，y轴方向做匀速直线运动，即做类平抛运动，则有
x=12gt2，y=vOt，
联立解得小球过O点后运动的轨迹方程
y2=6Rx，y≥0。
答案 (1)12mgR (2)3gR (3)y2=6Rx，y≥0
【典例4】 如图所示，ABD为竖直平面内的光滑绝缘轨道，其中AB段是水平的，BD段为半径R=0.2 m的半圆，两段轨道相切于B点，整个轨道处在竖直向下的匀强电场中，场强大小E=5.0×103 V/m。一不带电的绝缘小球甲，以速度v0沿水平轨道向右运动，与静止在B点带正电的小球乙发生弹性碰撞，甲、乙两球碰撞后，乙恰能通过轨道的最高点D。已知甲、乙两球的质量均为m=1.0×10-2 kg，乙所带电荷量q=2.0×10-5 C，g取10 m/s2。(水平轨道足够长，甲、乙两球可视为质点，整个运动过程中甲不带电，乙电荷无转移)求：
(1)乙在轨道上的首次落点到B点的距离；
(2)碰撞前甲球的速度v0的大小。
解析 (1)设乙到达最高点D时的速度为vD，乙离开D点到达水平轨道的时间为t，乙的落点到B点的距离为x，
则mg+qE=mvD2R，①
2R=12mg+qEmt2，②
x=vDt，③
联立①②③得x=0.4 m。④
(2)设碰撞后甲、乙的速度分别为v甲、v乙，
根据动量守恒定律和能量守恒定律可得
mv0=mv甲+mv乙，⑤
12mv02=12mv甲2+12mv乙2，⑥
联立⑤⑥得v乙=v0，⑦
乙从B到D过程，由动能定理得
-mg·2R-qE·2R=12mvD2-12mv乙2，⑧
联立①⑦⑧得v0=25 m/s。
答案 (1)0.4 m (2)25 m/s卷别/年份
海南
新课标
河北
湖南
浙江
黑吉辽
湖北
江西
安徽
山东
广西
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库仑定律
T8
电场的性质
T12
T12
T5
T7
T5
T12
T11
电场中的图像问题
T5
电容器
T2
T5
T5
T1
T10
T7
带电粒子在
电场中的运动
T6
T10
力、电综合问题
T25
T13
T10
T8
实验：观察电容器
的充、放电现象
T22
T14
T12
试题情境
生活实践类
生活中的静电现象、尖端放电、避雷针、静电吸附、直线加速器、示波器、静电除尘器
学习探索类
观察静电感应现象、探究电荷间作用力的影响因素、模拟电场线、观察电容器的充、放电现象
考向预测
本章知识在高考中每年必考，主要集中在电场中力的性质和能的性质、带电粒子在电场中的运动。多数情况下一道试题既考查力的性质，又考查能的性质，对力、电综合问题常以计算题形式考查，试题综合性较强
等量异种点电荷
等量同种点电荷
等势面、
电场线
分布图
以正点电荷为例
连线特点
场强
方向：正→负
强弱：强→弱→强，中点最小
方向：中点两侧方向相反
强弱：强→弱→强，中点E=0
电势
正电荷→负电荷，高→低
若为正电荷，中点最低
若为负电荷，中点最高
中垂线
场强
各点方向一致，中点最强，两侧渐弱
中点两侧方向相反，两侧均有最大值，中点向两侧均为弱→强→弱
电势
电势为0的等势线
不是等势线
相同点
场强的大小、电势均关于中点对称分布
序号
信息读取
信息加工
1
沿AM的中垂线对称放置一根与三角形共面的均匀带电细杆
(1)A、M两点关于细杆对称；(2)带电细杆在A、M两点产生的电场强度大小相等，方向相反
2
M点的电场强度为0
带电细杆在M点产生的电场与两个点电荷在M点产生的电场的合电场强度为0
3
顶点A处的电场强度大小
顶点A处的电场强度等于带电细杆在A处产生的电场与两个点电荷在A处产生的电场的合电场强度
失分
剖析
(1)不会用电场强度的叠加原理及对称性来求杆在A点的电场强度；(2)错误地利用点电荷的场强公式计算带电杆产生的电场强度
判断方法
方法解读
公式法
将电荷量、电势连同正负号一起代入公式Ep=qφ
Ep>0时，其绝对值越大，电势能越大
Ep0，则φA>φB
若UAB