高考物理一轮复习讲义第一十一章　磁　场

这是一份高考物理一轮复习讲义第一十一章　磁　场，共33页。
■目标要求
1.会用安培定则判断电流的磁场，会用矢量合成的方法计算合磁场。2.会根据有效长度计算安培力大小，会判断导体在安培力作用下的运动情况。3.会分析安培力作用下的平衡问题和加速问题。
考点1 安培定则的应用和磁场的叠加

必|备|知|识
1.磁场、磁感应强度。
(1)磁场。
①基本特性：磁场对处于其中的磁体、电流和运动电荷有磁场力的作用。
②方向：小磁针的N极所受磁场力的方向。
(2)磁感应强度。
①物理意义：描述磁场的强弱和方向。
②大小：B=FIl(通电导线垂直于磁场)。
③方向：小磁针静止时N极的指向。
④单位：特斯拉(T)。
(3)匀强磁场。
①定义：磁感应强度的大小处处相等、方向处处相同的磁场称为匀强磁场。
②特点：匀强磁场中的磁感线是疏密程度相同且方向相同的平行直线。
(4)地磁场。
①地磁场的N极在地理的南极附近，S极在地理的北极附近，磁感线分布如图所示。
②在赤道平面上，距离地球表面高度相等的各点，磁感应强度的大小相等，且方向水平向北。
③地磁场在南半球有竖直向上的分量，在北半球有竖直向下的分量。
2.磁感线的特点。
(1)磁感线上某点的切线方向就是该点的磁场方向。
(2)磁感线的疏密程度定性地表示磁场的强弱。
(3)磁感线是闭合曲线，没有起点和终点，在磁体的外部，从N极指向S极；在磁体的内部，由S极指向N极。
(4)同一磁场的磁感线不中断，不相交、不相切。
(5)磁感线是假想的曲线，客观上并不存在。
3.几种常见的磁场。
(1)条形磁铁和蹄形磁铁的磁场，如图所示。
(2)电流的磁场。
(1)磁场是客观存在的一种物质，磁感线也是真实存在的(×)
(2)磁场中的一小段通电导线在该处受力为零，此处磁感应强度B不一定为零(√)
(3)由定义式B=FIl可知，电流I越大，导线l越长，某点的磁感应强度B就越小(×)
(4)电流产生的磁场方向可由右手定则判断(×)
关|键|能|力
磁场叠加问题的解题思路。
(1)确定磁场场源，如通电导线。
(2)定位空间中需要求解磁场的点，利用安培定则判定各个场源在这一点上产生的磁场的大小和方向。如图所示为M、N在c点产生的磁场BM、BN。
(3)应用平行四边形定则进行合成，如图中的B为合磁场。
【典例1】 (2025·无锡模拟)科考队进入某一磁矿区域后，发现指南针静止时，N极指向为北偏东60°，如图虚线所示。设该位置地磁场磁感应强度的水平分量为B，磁矿所产生的磁感应强度水平分量最小值为(B)
A.B2B.3B2
C.BD.3B
解析 磁矿所产生的磁场水平分量与合磁场水平分量垂直时，磁矿所产生的磁感应强度水平分量最小，为Bmin'=Bsin 60°=32B，B项正确。
【典例2】 (2025·福州模拟)如图，四条相互平行的细长直导线垂直坐标系xOy平面，导线与坐标平面的交点为a、b、c、d四点。已知a、b、c、d为正方形的四个顶点，正方形中心位于坐标原点O；四条导线中的电流大小相等，其中过a点的导线的电流方向垂直坐标平面向里，其余导线电流方向垂直坐标平面向外，若过a点的导线在O点产生的磁感应强度为B，则(C)
A.O点的磁感应强度为0
B.O点的磁感应强度为2B
C.移走d点的导线，O点磁感应强度变为B
D.移走d点的导线，O点磁感应强度变为2B
解析 四条导线中的电流大小相等，且到O点的距离相等，故四条通电导线在O点产生的磁感应强度大小相等，均为B。根据安培定则可知，四条导线中在O点产生的磁感应强度方向，如图所示。由图可知，Bb与Bc相互抵消，Ba与Bd合成，根据平行四边形定则可知，O点的磁感应强度方向由O指向c，其大小为2B，A、B两项错误；移走d点的导线，其他三条导线在O点的磁感应强度不变，则O点磁感应强度变为B，C项正确，D项错误。
考点2 安培力的分析和计算

必|备|知|识
1.安培力的大小。
当磁感应强度B的方向与导线方向成θ角时，F=BIlsin θ，这是一般情况下的安培力的表达式，以下是两种特殊情况：
(1)磁场和电流垂直时：F=BIl。
(2)磁场和电流平行时：F=0。
2.安培力的方向。
(1)用左手定则判定：伸开左手，使拇指与其余四个手指垂直，并且都与手掌在同一个平面内。让磁感线从掌心穿入，并使四指指向电流的方向，这时拇指所指的方向就是通电导线在磁场中所受安培力的方向。
(2)安培力的方向特点：F⊥B，F⊥I，即F垂直于B和I决定的平面。
(1)在磁场中同一位置，电流元的电流越大，受到的安培力一定越大(×)
(2)安培力的方向既跟磁感应强度的方向垂直，又跟电流方向垂直(√)
(3)通电导线与磁场不垂直，有一定夹角时，左手定则就不适用了(×)
关|键|能|力
1.安培力公式F=BIl的应用条件。
(1)B与l垂直。
(2)l是有效长度。
①弯曲通电导线的有效长度l等于连接两端点的直线长度，相应的电流方向沿两端点连线由始端流向末端，如图所示。
②对于任意形状的闭合线圈，其有效长度均为零，所以通电后在匀强磁场中受到的安培力的矢量和为零。
2.五种常用判定方法。
考向1 安培力中的有效长度问题
【典例3】 (2023·江苏卷)如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B。L形导线通以恒定电流I，放置在磁场中。已知ab边长为2l，与磁场方向垂直，bc边长为l，与磁场方向平行。该导线受到的安培力为(C)
A.0B.BIl
C.2BIlD.5BIl
解析 ab与磁场方向垂直，受安培力F安=BI·ab=2BIL，bc不受安培力，所以F安=BI·ab=2BIl，C项正确，A、B、D三项错误。
考向2 判断安培力作用下导体的运动情况
【典例4】 如图所示，把一重力不计的通电直导线水平放在蹄形磁铁两极的正上方，导线可以自由转动，当导线通入图示方向电流I时，导线的运动情况是(从上往下看)(A)
A.顺时针方向转动，同时下降
B.顺时针方向转动，同时上升
C.逆时针方向转动，同时下降
D.逆时针方向转动，同时上升
解析 如图甲所示，把直线电流等效为无数小段，中间的点为O点，选择在O点左侧S极右上方的一小段为研究对象，该处的磁场方向指向左下方，由左手定则判断，该小段受到的安培力的方向垂直纸面向里，在O点左侧的各段电流元都受到垂直纸面向里的安培力，把各段电流元受到的力合成，则O点左侧导线受到垂直纸面向里的安培力；同理判断出O点右侧的导线受到垂直纸面向外的安培力。因此，由上向下看，导线沿顺时针方向转动，分析导线转过90°时的情形：如图乙所示，导线中的电流向外，由左手定则可知，导线受到向下的安培力，由以上分析可知，导线在顺时针转动的同时向下运动，A项正确。
考向3 磁电式电流表的原理
【典例5】 (多选)电流计等磁电式电表是利用永久磁铁对通电线圈的作用原理制成的，其优点是灵敏度高。构造如图甲所示，圆柱形铁芯固定于U形磁铁两极间，其中磁场是均匀辐向分布，铁芯外面套有缠绕着线圈并可转动的铝框，铝框的转轴上装有指针和游丝(又称螺旋弹簧)。下列说法正确的是(BD)
A.线圈在磁场中转动时，磁感线始终与线圈平面垂直
B.根据指针偏转角度的大小可以知道被测电流的大小
C.根据指针的偏转方向不能判断被测电流的方向
D.图乙中当线圈左侧导线a中电流垂直纸面向外时，图中指针往右偏
解析 由于U形磁铁和铁芯间的磁场是辐向均匀分布的，因此不管通电线圈转到什么角度，它的平面都跟磁感线平行。因此磁力矩与线圈中电流成正比(与线圈位置无关)。当通电线圈转动时，螺旋弹簧将被扭动，产生一个阻碍线圈转动的阻力矩，其大小与线圈转动的角度成正比，当磁力矩与螺旋弹簧中的阻力矩相等时，线圈停止转动，此时指针偏向的角度与电流成正比，故电流表的刻度是均匀的，根据指针偏转角度的大小可以知道被测电流的大小，A项错误，B项正确；电流的方向不同，则受安培力方向不同，则指针偏转的方向不同，则根据指针的偏转方向可判断被测电流的方向，C项错误；题图乙中当线圈左侧导线a中电流垂直纸面向外时，导线a受安培力向上，则题图中指针往右偏，D项正确。
考点3 安培力作用下的平衡和加速问题

关|键|能|力

安培力作用下的平衡和加速问题的求解思路。
通电导体棒在磁场中的平衡或加速问题是一种常见的力、电综合模型，该模型一般由导轨(水平或倾斜)、导体棒、电源和电阻等组成。这类题目的难点是题图具有立体性，各力的方向不易确定，因此解题时一定要先把立体图转化为平面图，通过受力分析建立关系式。一般思路如下：
(1)选定研究对象。
(2)变三维为二维，如侧视图、剖面图或俯视图等，并画出平面受力分析图，其中安培力的方向要注意F安⊥B、F安⊥I。

(3)列平衡方程或牛顿第二定律方程进行求解。
考向1 安培力作用下的平衡问题
【典例6】 (2022·湖南卷)如图甲，直导线MN被两等长且平行的绝缘轻绳悬挂于水平轴OO'上，其所在区域存在方向垂直指向OO'的磁场，与OO'距离相等位置的磁感应强度大小相等且不随时间变化，其截面图如图乙所示。导线通以电流I，静止后，悬线偏离竖直方向的夹角为θ。下列说法正确的是(D)
A.当导线静止在图甲右侧位置时，导线中电流方向由N指向M
B.电流I增大，静止后，导线对悬线的拉力不变
C.tan θ与电流I成正比
D.sin θ与电流I成正比
解析 当导线静止在题图甲右侧位置时，对直导线MN作受力分析，如图所示。可知要让安培力为图示方向，则导线中电流方向应由M指向N，A项错误；由于与OO'距离相等位置的磁感应强度大小相等且不随时间变化，有sin θ=BILmg，FT=mgcs θ，则可看出sin θ与电流I成正比，当I增大时，θ增大，cs θ减小，静止后，导线对悬线的拉力FT减小，B、C两项错误，D项正确。
考向2 安培力作用下的加速问题
【典例7】 (2023·海南卷)如图所示，U形金属杆上边长为L=15 cm，质量为m=1×10-3 kg，下端插入导电液体中，导电液体连接电源，金属杆所在空间有垂直纸面向里的大小为B=8×10-2 T的匀强磁场。
(1)若插入导电液体部分深h=2.5 cm，闭合开关，金属杆飞起后，其下端离液面最大高度H=10 cm，设离开导电液体前杆中的电流不变，求金属杆离开液面时的速度大小和金属杆中的电流大小；(g=10 m/s2)
(2)若金属杆下端刚与导电液体接触，改变电动势的大小，通电后金属杆跳起高度H'=5 cm，通电时间t'=0.002 s，求通过金属杆横截面的电荷量。
解析 (1)对金属杆，离开液面后跳起的高度为H，由运动学公式有v2=2gH，
解得v=2 m/s。
对金属杆从刚闭合开关至其下端离液面高度为H的过程，由动能定理有
BILh-mg(H+h)=0，
解得I=256 A。
(2)对金属杆，由动量定理有(BI'L-mg)t'=mv'，
由运动学公式有v'2=2gH'，
又q=I't'，
解得q=0.085 C。
答案 (1)2 m/s 256 A (2)0.085 C
第2讲 磁场对运动电荷的作用
■目标要求
1.掌握洛伦兹力的大小的计算和方向的判断方法。2.会分析洛伦兹力作用下带电体的运动。3.学会分析带电粒子在匀强磁场中的圆周运动问题，能确定粒子运动的圆心、半径和运动时间等。
考点1 对洛伦兹力的理解和应用

必|备|知|识
1.洛伦兹力：磁场对运动电荷的作用力。
2.洛伦兹力的方向。
(1)判定方法(左手定则)。
掌心——磁感线从掌心进入；
四指——指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向；
拇指——指向洛伦兹力的方向。
(2)方向特点：F⊥B，F⊥v，即F垂直于B和v决定的平面。
3.洛伦兹力的大小。
(1)v∥B时，洛伦兹力F=0。(θ=0°或180°)
(2)v⊥B时，洛伦兹力F=qvB。(θ=90°)
(3)v=0时，洛伦兹力F=0。
(1)带电粒子在磁场中的速度不为零，一定受到洛伦兹力作用(×)
(2)洛伦兹力对运动电荷不做功(√)
(3)同一带电粒子在A处受到的洛伦兹力大于在B处受到的洛伦兹力，则A处的磁感应强度一定大于B处的磁感应强度(×)
关|键|能|力

1.洛伦兹力与安培力的联系及区别。
(1)安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者性质相同，都是磁场力。
(2)安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功。
2.洛伦兹力与电场力的比较。
考向1 洛伦兹力的大小和方向
【典例1】 (2023·海南卷)如图所示，带正电的小球竖直向下射入垂直纸面向里的匀强磁场，关于小球运动和受力的说法正确的是(A)
A.小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右
B.小球运动过程中的速度不变
C.小球运动过程中的加速度保持不变
D.小球受到的洛伦兹力对小球做正功
解析 小球刚进入磁场时速度方向竖直向下，由左手定则可知，小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力方向水平向右，A项正确；小球运动过程中，受重力和洛伦兹力的作用，且合力不为零，所以小球运动过程中的速度变化，B项错误；小球受到的重力不变，洛伦兹力时刻变化，则合力时刻变化，加速度时刻变化，C项错误；洛伦兹力永不做功，D项错误。
【典例2】 (2025·西安模拟)如图，来自太阳和其他星体的宇宙射线含有大量高能粒子，幸好由于地磁场的存在改变了这些带电粒子的运动方向，使很多带电粒子不能到达地面，避免了其对地面生命的危害。已知西安上空某处由南指向北的磁感应强度约为1.2×10-4 T，如果有一速率v=5.0×105 m/s、电量为1.6×10-19 C的正电荷竖直向下运动穿过此处的地磁场，则该正电荷受到的洛伦兹力约为(A)
A.9.6×10-18 N 向东B.9.6×10-18 N 向西
C.9.6×10-16 N 向北D.9.6×10-16 N 向南
解析 根据洛伦兹力的表达式可知F洛=qvB=9.6×10-18 N，根据左手定则可知洛伦兹力由西向东，A项正确。
考向2 洛伦兹力作用下带电体的运动
【典例3】 (2025·芜湖模拟)如图所示，竖直平面内固定一足够长绝缘直杆，与水平面夹角为α。杆处在足够大的匀强磁场中，磁场方向垂直杆所在平面，磁场磁感应强度大小为B。杆上套一个带负电的环，环与绝缘直杆间的动摩擦因数为μ(μ0)的带电粒子(重力不计)从AB边的中心O以速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与AB边的夹角为60°，若要使粒子能从AC边穿出磁场，则匀强磁场磁感应强度的大小B需满足(B)
A.B>3mv3aqB.B3mvaqD.Br0，解得BBqlm
D.使粒子的速度Bql4mEB，则粒子受到的洛伦兹力大于电场力，使粒子偏转，只有当粒子带负电时，粒子才向下偏转，D项错误。
考向2 磁流体发电机
1.原理：如图所示，等离子体喷入磁场，正、负离子在洛伦兹力的作用下发生偏转而聚集在B、A板上，产生电势差，它可以把离子的动能通过磁场转化为电能。
2.电源正、负极判断：根据左手定则可判断出正离子偏向B板，图中的B是发电机的正极。
3.发电机的电动势：当发电机外电路断路时，正、负离子所受静电力和洛伦兹力平衡时，两极板间达到的最大电势差为U，则qUd=qvB得U=Bdv，则E=U=Bdv。
当发电机接入电路时，遵从闭合电路欧姆定律。
【典例6】 (多选)(2024·湖北卷)磁流体发电机的原理如图所示，MN和PQ是两平行金属极板，匀强磁场垂直于纸面向里。等离子体(即高温下电离的气体，含有大量正、负带电粒子)从左侧以某一速度平行于极板喷入磁场，极板间便产生电压。下列说法正确的是(AC)
A.极板MN是发电机的正极
B.仅增大两极板间的距离，极板间的电压减小
C.仅增大等离子体的喷入速率，极板间的电压增大
D.仅增大喷入等离子体的正、负带电粒子数密度，极板间的电压增大
解析 带正电的粒子受到的洛伦兹力向上偏转，极板MN带正电为发电机正极，A项正确；粒子受到的洛伦兹力和电场力相互平衡时，此时设极板间距为d，则qvB=qUd，整理得U=Bdv，因此增大间距，U变大，增大速率，U变大，U的大小和粒子数密度无关，B、D两项错误，C项正确。
考向3 电磁流量计
1.流量Q：单位时间流过导管某一截面的液体的体积。
2.导电液体的流速v的计算。
如图所示，一圆柱形导管直径为d，用非磁性材料制成，其中有可以导电的液体向右流动。导电液体中的正、负离子在洛伦兹力作用下发生偏转，使a处积累正电荷，b处积累负电荷，使a、b间出现电势差，φa>φb。当自由电荷所受静电力和洛伦兹力平衡时，a、b间的电势差U达到最大，由qUd=qvB，可得v=UBd。
3.流量的表达式：Q=Sv=πd24·UBd=πdU4B。
4.电势高低的判断：根据左手定则可得φa>φb。
【典例7】 在某实验室中有一种污水流量计，其原理可以简化为如图所示模型：废液内含有大量正、负离子，从直径为d的圆柱形容器右侧流入，左侧流出。流量值等于单位时间通过横截面的液体的体积。空间有垂直纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，下列说法正确的是(C)
A.M点的电势高于N点的电势
B.负离子所受洛伦兹力方向竖直向下
C.MN两点间的电势差与废液的流量值成正比
D.MN两点间的电势差与废液流速成反比
解析 根据左手定则，正离子受到竖直向下的洛伦兹力，负离子受到竖直向上的洛伦兹力，则正离子聚集在N一侧，负离子聚集在M一侧，则M点的电势低于N点的电势，A、B两项错误；根据qvB=Udq可得流速v=UBd，MN两点电势差与废液流速成正比，D项错误；流量值Q=Sv=πdU4B，则电势差U与流量值Q成正比，C项正确。
考向4 霍尔效应
1.定义：高为h、宽为d的导体(自由电荷是电子或正电荷)置于磁感应强度为B的匀强磁场中，当电流通过导体时，在导体的上表面A和下表面A'之间产生电势差，这种现象称为霍尔效应，此电压称为霍尔电压。
2.电势高低的判断：如图，导体中的电流I向右时，根据左手定则可得，若自由电荷是电子，则下表面A'的电势高。若自由电荷是正电荷，则下表面A'的电势低。
3.霍尔电压：导体中的自由电荷(电荷量为q)在洛伦兹力作用下偏转，A、A'间出现电势差，当自由电荷所受静电力和洛伦兹力平衡时，A、A'间的电势差U就保持稳定，由qvB=qUh，I=nqvS，S=hd，联立解得U=BInqd=kBId，k=1nq称为霍尔系数。
【典例8】 (2024·江西卷)石墨烯是一种由碳原子组成的单层二维蜂窝状晶格结构新材料，具有丰富的电学性能。现设计一电路测量某二维石墨烯样品的载流子(电子)浓度。如图甲所示，在长为a，宽为b的石墨烯表面加一垂直向里的匀强磁场，磁感应强度为B，电极1、3间通以恒定电流I，电极2、4间将产生电压U。当I=1.00×10-3 A时，测得U-B关系图线如图乙所示，元电荷e=1.60×10-19 C，则此样品每平方米载流子数最接近(D)
A.1.7×1019B.1.7×1015
C.2.3×1020D.2.3×1016
解析 设样品每平方米载流子(电子)数为n，电子定向移动的速率为v，则时间t内通过样品的电荷量q=nevtb，根据电流的定义式得I=qt=nevb，当电子稳定通过样品时，其所受电场力与洛伦兹力平衡，则有evB=eUb，联立解得U=IneB，结合图像可得k=Ine=88×10-3320×10-3 V/T，解得n≈2.3×1016，D项正确。
审题指导

微点突破6 带电粒子在立体空间中的运动
关|键|能|力

考向1 带电粒子在匀强磁场或叠加场中的旋进运动
之前一直在讨论粒子垂直射入匀强磁场的情况，若粒子的速度方向与磁场方向不垂直也不平行时，粒子的运动也根据运动的分解和动力学规律分析。
(1)等间距螺旋线运动。
空间中只存在匀强磁场，当带电粒子的速度方向与磁场的方向不平行也不垂直时，带电粒子在磁场中就做等间距的螺旋线运动。这种运动可分解为平行于磁场方向的匀速直线运动和垂直于磁场方向的匀速圆周运动。
(2)不等间距的螺旋线运动。
空间中的匀强磁场和匀强电场(或重力场)平行时，带电粒子的速度方向与磁场方向不平行也不垂直时，带电粒子就做不等间距的螺旋线运动。这种运动可分解为平行于磁场方向的匀变速直线运动和垂直于磁场方向的匀速圆周运动。
【典例1】 极光是宇宙中高速运动的带电粒子受地磁场影响，与空气分子作用的发光现象。若宇宙粒子带正电，因入射速度与地磁场方向不垂直，故其轨迹为螺旋状如图乙所示(相邻两个旋转圆之间的距离称为螺距Δx)。下列说法正确的是(C)
A.带电粒子进入大气层后与空气发生相互作用，在地磁场作用下的旋转半径会越来越大
B.若越靠近两极地磁场越强，则随着纬度的增加，以相同速度入射的宇宙粒子的运动半径越大
C.漠河地区看到的“极光”将以顺时针方向(从下往上看)向前旋进
D.当不计空气阻力时，若入射粒子的速率不变，仅减小与地磁场的夹角，则旋转半径减小，而螺距Δx不变
解析 带电粒子进入大气层后，由于与空气相互作用，粒子的运动速度会变小，在洛伦兹力作用下的偏转半径会变小，A项错误；若越靠近两极地磁场越强，则随着纬度的增加地磁场变强，其他条件不变，则半径变小，B项错误；漠河地区的地磁场竖直分量是竖直向下的，宇宙粒子入射后，由左手定则可知，从下往上看将以顺时针的方向向前旋进，C项正确；当不计空气阻力时，将带电粒子的运动沿磁场方向和垂直于磁场方向进行分解，沿磁场方向将做匀速直线运动，垂直于磁场方向做匀速圆周运动，若带电粒子运动速率不变，与磁场的夹角变小，则速度的垂直分量变小，故粒子在垂直于磁场方向的运动半径会减少，即直径D减小，而速度沿磁场方向的分量变大，故沿磁场方向的匀速直线运动将变快，则螺距将增大，D项错误。
【典例2】 某同学将一小段真空室内的电场和磁场理想化为方向均水平向右的匀强电场和匀强磁场(如图)，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。若某电荷量为q的正离子在此电场和磁场中运动，其速度平行于磁场方向的分量大小为v1，垂直于磁场方向的分量大小为v2，不计离子重力，则(C)
A.电场力的瞬时功率为qEv12+v22
B.该离子受到的洛伦兹力大小为qv1B
C.v2与v1的比值不断变小
D.该离子的加速度恒定不变
解析 电场力的瞬时功率P=qEv1，A项错误；由于v1与磁场平行，则根据洛伦兹力的计算公式有F洛=qv2B，B项错误；根据运动的叠加原理可知，离子在垂直于纸面内做匀速圆周运动，沿水平方向做加速运动，则v1增大，v2不变，v2与v1的比值不断变小，C项正确；离子受到的洛伦兹力大小不变，电场力不变，则该离子的加速度大小不变，但洛伦兹力方向改变，所以加速度方向改变，D项错误。
考向2 带电粒子在立体空间中的运动

分析带电粒子在立体空间中的运动时，要发挥空间想象力，确定粒子在空间的位置关系和运动规律。带电粒子依次通过不同的空间，各阶段的受力不同，运动情形不同，解题时重视各阶段分别满足的运动规律和两个不同的空间衔接点的速度和位置关联，有时还需要将粒子的运动分解为两个互相垂直平面内的运动求解。
【典例3】 (2024·湖南卷)如图，有一内半径为2r、长为L的圆筒，左右端面圆心O'、O处各开有一小孔。以O为坐标原点，取O'O方向为x轴正方向建立O⁃xyz坐标系。在筒内x≤0区域有一匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向；筒外x≥0区域有一匀强电场，场强大小为E，方向沿y轴正方向。一电子枪在O'处向圆筒内多个方向发射电子，电子初速度方向均在xOy平面内，且在x轴正方向的分速度大小均为v0。已知电子的质量为m、电量为e，设电子始终未与筒壁碰撞，不计电子之间的相互作用及电子的重力。
(1)若所有电子均能经过O进入电场，求磁感应强度B的最小值；
(2)取(1)问中最小的磁感应强度B，若进入磁场中电子的速度方向与x轴正方向最大夹角为θ，求tan θ的绝对值；
(3)取(1)问中最小的磁感应强度B，求电子在电场中运动时y轴正方向的最大位移。
解析 (1)电子在匀强磁场中运动时，将其分解为沿x轴的匀速直线运动和在yOz平面内的匀速圆周运动，设电子入射时沿y轴的分速度大小为vy，由电子在x轴方向做匀速直线运动得L=v0t，
在yOz平面内，设电子做匀速圆周运动的半径为R，周期为T，由牛顿第二定律知
Bevy=mvy2R，
可得R=mvyBe，
且T=2πRvy=2πmBe，
由题意可知所有电子均能经过O进入电场，则有
t=nT(n=1，2，3，…)，
联立解得B=2πnmv0eL，
当n=1时，B有最小值，可得Bmin=2πmv0eL。
(2)将电子的速度分解，如图所示，
有tan θ=vyv0，
当tan θ有最大值时，vy最大，R最大，此时R=r，又B=2πmv0eL，R=mvyBe，
联立可得vym=2πv0rL，tan θ=2πrL。
(3)当vy最大时，电子在电场中运动时沿y轴正方向有最大位移ym，根据匀变速直线运动规律有ym=vym22a，
由牛顿第二定律知a=Eem，
又vym=2πv0rL，
联立解得ym=2π2r2v02mEeL2。
答案 (1)2πmv0eL (2)2πrL (3)2π2r2v02mEeL2
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1.(多选)(2025·昆明模拟)如图所示，磁场方向水平向右，磁感应强度大小为B，甲粒子速度方向与磁场垂直，乙粒子速度方向与磁场方向平行，丙粒子速度方向与磁场方向间的夹角为θ。所有粒子的质量均为m，电荷量均为+q(q>0)，且粒子的初速度方向在纸面内，不计粒子重力和粒子间的相互作用，下列说法正确的是(BD)
A.甲粒子受力大小为qvB，方向水平向右
B.乙粒子的运动轨迹是直线
C.丙粒子在纸面内做匀速圆周运动，其动能不变
D.从图中所示状态，经过2πmqB时间后，丙粒子位置改变了2πmvcs θqB
解析 由洛伦兹力的公式可得，甲粒子受力大小为qvB，根据左手定则可知甲粒子此时受到的洛伦兹力方向垂直于纸面向里，A项错误；乙粒子速度方向与磁场方向平行，不受洛伦兹力作用，所以运动轨迹是直线，B项正确；将丙粒子的速度v在沿磁场方向和垂直于磁场方向分解为v1和v2，其中v1对应的分运动为水平向右的匀速直线运动，v2对应的分运动为垂直于纸面的匀速圆周运动，所以丙粒子的合运动为螺旋线运动，由于洛伦兹力不做功，所以其动能不变，C项错误；对丙粒子在垂直于纸面的匀速圆周运动，有qv2B=mv22r，解得r=mv2qB，周期为T=2πrv2=2πmqB，丙粒子在沿磁场方向做匀速直线运动的速度为v1=vcs θ，经过一个周期的时间丙粒子圆周运动刚好一周，所以此时位置改变为x=v1T=2πmvcs θqB，D项正确。
2.(2025·德州摸底)在如图所示的O⁃xyz三维空间中，x≤0的区域存在沿y轴正方向的匀强电场，在0