高考物理一轮复习讲义第五章　万有引力与宇宙航行

这是一份高考物理一轮复习讲义第五章　万有引力与宇宙航行，共10页。
■目标要求
1.理解开普勒行星运动定律和万有引力定律，并能用来解决相关问题。2.掌握计算天体质量和密度的方法。
考点1 开普勒行星运动定律

必|备|知|识
1.开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。
2.开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。
3.开普勒第三定律：所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等。
(1)围绕同一天体运动的不同行星椭圆轨道不一样，但都有一个共同的焦点(√)
(2)不同轨道上的行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等(×)
(3)根据开普勒第三定律，地球围绕太阳运动与月球围绕地球运动相比较，有r地3T地2=r月3T月2(×)
关|键|能|力

1.行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。
2.应用微元法，结合开普勒第二定律可得12v1·Δt·r1=12v2·Δt·r2，解得v1v2=r2r1，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点的速度最大，远日点的速度最小。
3.开普勒第三定律a3T2=k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，但该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。
【典例1】 (多选)对于开普勒定律的理解，下列说法正确的是(AB)
A.开普勒根据第谷对行星的观测数据，总结得出了开普勒三大定律
B.行星围绕太阳运动的轨迹是椭圆，太阳处于椭圆的一个焦点上
C.行星距离太阳越近，其运动速率越小
D.行星围绕太阳运动的轨道半径跟它公转周期成正比
解析 开普勒通过观察和分析第谷对行星的观测数据，总结得出了开普勒三大定律，A项正确；由开普勒第一定律知，行星围绕太阳运动的轨迹是椭圆，太阳处于椭圆的一个焦点上，B项正确；由开普勒第二定律知，行星距离太阳越近，其运动速率越大，C项错误；由开普勒第三定律知，行星围绕太阳运动的轨道半径的三次方跟它公转周期的平方成正比，D项错误。
【典例2】 (2025·张家口模拟)如图所示是地球绕太阳运行情况的示意图，A点是远日点，B点是近日点，CD是椭圆轨道的短轴，运行的周期为T。则地球从A经C、B到D的运动过程中(D)
A.地球运动到A点时速度最大
B.地球从A点到C点所用的时间等于T4
C.地球从A点到B点的过程中先做加速运动后做减速运动
D.地球从A点到B点所用时间等于T2
解析 根据开普勒第二定律，在相同时间内某一行星与恒星的连线所扫过的面积相等，可知在近日点B速度最大，在远日点A速度最小，A项错误；根据对称性可知，A→C→B与B→D→A的时间相等，均为T2，根据上述可知，A→C→B阶段，速率逐渐变大，即A到C的平均速率小于C到B的平均速率，所以从A点到C点所用的时间大于T4，B项错误，D项正确；地球从A点运动到B点运动，即向近日点运动，速度逐渐增大，做加速运动，C项错误。
考点2 万有引力定律

必|备|知|识
1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。
2.表达式：F=Gm1m2r2，G为引力常量：G=6.67×10-11 N·m2/kg2。
3.适用条件。
(1)公式适用于质点间的相互作用。当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。
(2)公式适用于质量分布均匀的球体之间的相互作用，r是两球心间的距离。
(1)只有质量较大的天体之间才存在万有引力(×)
(2)两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大(×)
(3)地面上的物体所受地球的万有引力方向一定指向地心 (√)
关|键|能|力
1.万有引力与重力的关系。
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向。
(1)在赤道上：GMmR2=mg1+mω2R。
(2)在两极上：GMmR2=mg0。
(3)在一般位置：万有引力GMmR2等于重力mg与向心力F向的矢量和。
越靠近南、北两极，g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即GMmR2=mg。
2.星球上空的重力加速度g'。
星球上空距离星体中心r=R+h处的重力加速度为g'，mg'=GMm(R+h)2，得g'=GM(R+h)2，所以gg'=(R+h)2R2。
考向1 万有引力定律的理解
【典例3】 (2024·广西卷)潮汐现象出现的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不相同。图中a、b和c处单位质量的海水受月球引力大小在(A)
A.a处最大B.b处最大
C.c处最大D.a、c处相等，b处最小
解析 根据万有引力公式F=GMmR2，图中a处单位质量的海水受到月球的引力最大，A项正确，B、C、D三项错误。
审题指导
考向2 重力和万有引力的关系
【典例4】 设宇宙中有一自转角速度为ω，半径为R、质量分布均匀的小行星。在小行星上用弹簧测力计称量某一质量为m的物块，在极点处弹簧测力计的示数为F，此处重力加速度大小为g1；在赤道处弹簧测力计的示数为34F，此处重力加速度大小为g2，则下列关系式正确的是(B)
A.g2=g1B.14F=mω2RC.34F=mω2RD.F=mω2R
解析 在极点处有F=mg1，在赤道处有34F=mg2，根据万有引力和重力的关系有F-34F=mω2R，解得g2=34g1，14F=mω2R，B项正确，A、C、D三项错误。
考向3 补偿法求万有引力
【典例5】 如图所示，一个质量为M的匀质实心球，半径为R，现从球中挖去一个直径为R的小球放在相距为d=2R的A处，位置关系如图所示。引力常量为G，则放置于A处的小球与大球剩余部分间的万有引力为(D)
A.7GM2256R2B.17GM2144R2C.7GM2288R2D.23GM2800R2
解析 根据公式m=43ρπr3可知，挖去小球质量等于原大球的18，则有m=18M，设没挖去前，对小球的引力为F1=GMmd2=GM·18M4R2=GM232R2，挖去部分对小球的引力F2=G18M×18Md+R22=GM2400R2，则放置于A处的小球与大球剩余部分的万有引力为F=F1-F2，联立解得F=23GM2800R2，D项正确。
补偿法求非对称物体间的万有引力
球内挖去一部分后则变成非对称球，无法直接使用万有引力定律求解，此时可用“先补后减”的方法。这是一种解决问题的科学思维，即先把挖去的部分用同密度的物质“填补”上，使其成为规则的球体，再根据万有引力定律，分别计算出大球和“填补”上的小球对物体的万有引力，最后两引力相减即可得到结果。
考向4 地球表面下万有引力的计算
【典例6】 假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，对壳外物体的引力等于将所有质量全部集中在球心的质点对球外物体的引力。现以地心为原点O建立坐标轴，用r表示坐标轴上某点到地心的距离，地表处重力加速度为g0，则该直线上各点的重力加速度g随r变化的图像正确的是(A)
解析 在地球内部，根据题意有GM'mr2=mg，地球可视为质量分布均匀的球体，则M'=ρV=43ρπr3，联立解得g=43πρGr∝r，地表重力加速度为g0；在地球外部，满足GMmr2=mg，即g=GMr2∝1r2，A项正确。
星体内部万有引力的两个推论
(1)推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的各部分万有引力的合力为零。
(2)推论2：在半径为R的匀质球体内部，距离球心r(rv同，ω近>ω同，T近v1>v3>vB。
(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点加速度也相同。
(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律r3T2=k可知T1