四川省遂宁市射洪中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷

这是一份四川省遂宁市射洪中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷，共11页。试卷主要包含了测试范围等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
射洪中学高 2024 级高二上期第一学月考试
数学试题
命题人：文一鸣审题人：郭 益校对：杨 勇 文质彬
(考试时间：120 分钟分值：150 分)
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：概率 + 空间向量与立体几何。
第一部分 选择题
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
  
化简 PM - PN + MN 所得的结果是()

PM
_
_
NP
_

0
_

MN
2
5
若 AB = (-1,2,3),BC = (1,-1,-4 ，则 AC =()
5D. 2
，b = 2,m,n
a ∥ b，则
已知两个向量 a = (1,-1,1(，且 m + n =()
A. - 2B. 0C. 2D. 4
已知随机事件 A 和 B 互斥，且 P(A∪B
= 0.5，P(B
= 0.3. 则

P(A =()
A. 0.5B. 0.6C. 0.7D. 0.8
_
在四面体 P - ABC 中，点 Q 是 AB 靠近 B 的三等分点，记
 _
 _
，则 _
 2 
1 
PA = a,PB = b,PC = c
CQ =
()
c - 3 a + 3 b
 1  2 
c - 3 a - 3 b
2  1 
3 a + 3 b - c
1  2 
3 a + 3 b - c
甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为 1 ，和棋的概率为 1 ，则乙不输的概率为()
5
4
52
B.
2
C.
3 1
10
1
5
b
已知向量 a = (1,2, -1)，b= (2,0,1)，则向量 a 在向量 上的投影向量为()
5 
5 
1  1 
5 bB. - 5 b
5 b
- 5 b
下列命题正确的是()
3
若直线 l 的方向向量为 e = (1,0,3 ，平面 α 的法向量为 n = (-2,0, 2 ，则直线 l ∥ α
a ∥ b，则存在唯一的实数
a = λb
若 λ，使 
若空间向量a = 1， 

，且 a 1
与 夹角的余弦值为-，则 a 在 上的投影向量为
1 
- 6 b
b = 2b3b
若向量 a = (2,-1,3(的夹角为钝角，则实数 t 的取值范围为(-∞, 10
，b = -4,2,t3
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，至少两项
是符合题目要求的，选不全对得 2 分，选错得 0 分。
已知向量 a = (4,-2,-4(，则下列结论正确的是()
，b = 6,-3,2

a + b = (10,-5,-2B. a - b = (2,-1,6
 
C. a ⋅ b = 10D. a = 6
已知直线 l 的一个方向向量为 a = (m,1,3

b = -2,n,1
，平面 α 的一个法向量为
(，则
()
若 l ∥ α，则 2m - n = 3B. 若 l ⊥ α，则 2m - n = 3
C. 若 l ∥ α，则 mn + 2 = 0D. 若 l ⊥ α，则 mn + 2 = 0
3
6
设 M ,N 是两个随机事件，若 P(M = 1 ,P(N = 1 ，则下列结论正确的是()
=
3
若 N ⊆ M ，则 P(M ∪N 1
若 M ∩ N = ∅，则 P(M +N = 0
18
若 P(M ∩N = 1 ，则 M ,N 相互独立
若 M ,N 相互独立，则 ( __ 1
P M ∪N = 18
第二部分 非选择题 共
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
已知事件 A 与事件 B 相互独立，且 P(A) = 0.4，P(B) = 0.5，则 P(A ∪ B) = ．
在平行六面体 ABCD - A1B1C1D1 中，AA1 = AD = AB = 1，∠A1AD = ∠A1AB = ∠BAD =
 
60°，M 为 B1D1 的中点，则 CM ⋅ AD = .
2
如图，正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱长为 1，线段 B1D1 上有两个动点 E,F ，且 EF = 2 . 则
下列结论中正确的有 .
①当 E 向 D1 运动时，二面角 A - EF - B 的大小不变
②二面角 E - AB - C 的最小值为 45°
③当 E 向 D1 运动时，AE ⊥ CF 总成立
__
④
1 _
EF 在 CB 方向上的投影向量为 2 CB
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
(13 分) 已知向量 a = (1,2,2(
(1) 求  
，b = -2,1,-1 .
求
a ⋅ b；
 
csa,b ；
2a -b .
求 
(15 分) 已知向量 a = (-2, -1,2)

，b = (-1,1,2)
，c = (x,2,2).
当|c| = 2 2 时，若向量 
与 c 垂直，求实数 x 和 k 的值；
若向量 c 与向量 a
ka + b

，b 共面，求实数 x 的值.
(15 分)2022 年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国
家境内举行，也是继 2002 年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛．某学校统计了该校 500 名学生观看世界杯比赛直播的时长情况(单位：分钟)，将所得到
的数据分成 7 组：0,40
，40,80
，80,120
，120,160
，160,200
，200,240
，240,280
(观看时长均在0,280 内)，并根据样本数据绘制如图所示的频率分布直方图．
求 a 的值；
采用分层抽样的方法在观看时长在200,240
和240,280
的学生中抽取 6 人，现从这 6
人中随机抽取 2 人分享观看感想，求抽取的 2 人恰好观看时长在200,240
的概率．
(17 分) 已知正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱长为 4，M ,N ,E,F 分别为 A1D1，A1B1，C1D1，
B1C1 的中点。
(1 求证：面 AMN ∥ 面 EFBD；
(2 求面 AMN 与面 EFBD 的距离；
(3 求四棱锥 A - EFBD 的体积.
MN
F
D
B
B1
D1
EC1
A1
C
A
(17 分) 如图所示，直角梯形 ABCD 中，AD ⎳ BC ，AD 垂直 AB，AB = BC = 2AD = 2，四边形 EDCF 为矩形，CF = 3 ，平面 EDCF ⊥ 平面 ABCD.
求证：DF ⎳ 平面 ABE；
求平面 ABE 与平面 EFB 所成锐二面角的余弦值；
4
在线段 DF 上是否存在点 P，使得直线 BP 与平面 ABE 所成角的正弦值为 3 ，若存在，
求出线段 BP 的长，若不存在，请说明理由.
射洪中学高 2024 级高二上期第一次月考数学答案
一、选择题1 - 5 CABDD6 - 8 AAC
二、多选题9.AD10.AD11.AC
a ⊥ b，即有 a ⋅ b = 0
【详解】若 l ∥ α，则  ，即 -2m + n + 3 = 0，即有 2m - n = 3，故 A 正确，C 错误；
若 l ⊥ α，则 ，可得 -2 = λm,n = λ,1 = 3λ，
a ∥ b，即有 b = λa
解得 λ = 1 ,m =-6,n = 1 ，则 mn + 2 =-2 + 2 = 0，故 B 错误，D 正确.故选：AD.
33
3
【详解】对于 A，若 N ⊆ M ，则 P(M ∪N = P(M = 1 ，A 正确；
对于 B，若 M ∩ N = ∅，则 M ,N 事件互斥，
所以 P(M +N = P(M + P(N = 1 + 1 = 1 ，B 错误；
362
3
6
18
C 选项，因为 P(M = 1 ,P(N = 1 ，所以 P(M ∩N = 1 = P(M P(N ，则 M ,N 相互独立，C 正确；
D 选项，若 M ,N 相互独立，则   相互独立，且 ( 
1 2( 
1 = 5 ，
M ,N
P M = 1 - 3 = 3 ,P N
= 1 - 66

所以
  2 5 2 517
P(M ∪N = P(M + P(N - P(MN = 3 + 6 - 3 × 6 = 18 ，D 错误．
故选：AC．
三、填空题
4
0.713. - 1 或-0.2514. ①②④
【详解】在平行六面体 ABCD - A1B1C1D1 中，AA1 = AD = AB = 1，∠A1AD = ∠A1AB = ∠BAD = 60°，
 _
 
_ 
1 1
AA1 ⋅ AB = AA1 ⋅ AD = AB ⋅ AD = 1 × 1 × 2 = 2 ，M 为 B1D1 的中点，
   1  1 _
CM = CC1 + C1M = AA1 + 2 (C1B1 +C1D1 = AA1 - 2 (AD+AB ，
1
  
所以
_
 1
 
2
_ 
CM ⋅ AD = 2 (2AA1 - AD - AB) ⋅ AD = 2 (2AA1 ⋅ AD - AD - AB ⋅ AD)
= 1 (2 × 1 -1 - 1 =- 1 .故答案为：- 1
22244
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(1,1,0 ，B(0,1,0 ，C (0,0,0 ，
因为 E,F 在 B1D1 上，且 EF = 2 ，故可设 E(t,1 -t,1 ，F (t- 1 , 3 -t,1 ，1 ≤ t ≤ 1，
__2
1 3
2 22
所以 AE = (t-1,-t,1 ，CF = (t- 2 , 2 -t,1 .
对于①，连接 BD,AD1,AB1，平面 EFB 即为平面 BDD1B1，而平面 AEF 即为平面 AB1D1，
故当 E 向 D1 运动时，二面角 A - EF - B 的大小不变，①对；
对于②，设平面 ABE 的法向量为 m = (x,y,z ，
_
又 AB = (-1,0,0
-x=0,
，所以 
((t-1 x+(-t y+z=0,
取 y = 1，则 x = 0,z = t，所以 m = (0,1,t
又平面 ABC 的一个法向量为 n = (0,0,1
是平面 ABE 的一个法向量，
t2+1
，所以 cs < m ,n >= t ，
1 ×
t2+1
1 + 1
t2
设二面角 E - AB - C 的平面角为 θ，则 θ 为锐角，故 csθ = t = 1 ，
1 + 1
t2
因为 1 ≤ t ≤ 1，故 2 ≤≤ 5 ，所以 5 ≤ csθ ≤ 2 ，
252
当且仅当 t = 1 时csθ 取最大值 2 ，此时 θ 取最小值 45°，②对；
1
3
3
_ _2
对于③，因为 AE ⋅ CF = (t- 2 (t-1 + ( 2 -t ⋅ (-t + 1 = 2t2 - 3t + 2 ，
_ _
故 AE ⋅ CF 不恒为零，③错；
对于④，因为 EF = 2 ，D B = 2 ，所以 _
__
1
，故在方向上的投影向量为
21 1
EF = 2 D1B1EFCB
_ __
1  _
1 _ _ 1
EF_⋅ C B ⋅ C_B2 D1B1 ⋅ CB_2 DB ⋅ CB_2 × 2 ×1 ×cs45°_ 1 _
CB
=
CB
_ 2⋅ CB =
CB
_ 2⋅ CB =
CB
12⋅ CB = 2 CB，④对.
故选：①②④.
四、解答题
【解析】(1) 因为向量 a = (1,2,2(，
a·b = 1 × -2
所以  (
，b = -2,1,-1
+ 2 × 1 + 2 × -1
=-2.4
(分
 
(2 cs(a,b
 
=a·b 
= -2 = -2 =- 6
-8 分
(-2 2+12+(-1 2
6
a ×b
1 +4 +4 ×
39
2a - b = 2 1,2,2
- -2,1,-1
(3 因为 ((
(，11 分
42+32+52
= 4,3,5
所以 
2a -b =
= 5 2 .13 分
【解析】(1) 因为|c| = 2 2 , 所以 x2+22+22 = 2 2 ⇒ x = 03 分


且
ka + b = (-2k - 1,1 - k,2k + 2).
ka + b
因为向量 与 c 垂直,
所以 
(ka + b) ⋅ c = 0.5 分
即 2k + 6 = 0.
所以实数 x 和 k 的值分别为 0 和-3.7 分
，b
c = λa + μb(λ,μ ∈ R).
因为向量 c 与向量 a 共面, 所以设 
因为(x,2,2) = λ(-2, -1,2) + μ(-1,1,2),
x=- 1 ,
x=-2λ - μ,2
2
(2 = μ -λ,所以(λ =- 1 ,
2 =2λ +2μ,3
μ = 2 .
2
所以实数 x 的值为- 1 .15 分
【解析】(1 40(0.0005 +0.0020 ×2 +2a +0.0060 +0.0065 = 1，
解得 a = 0.0040；4 分
(2 200,240 和240,280 的频率之比为 0.0040:0.0020 = 2:1，5 分
2 +1
故选取的 6 人中观看时长在200,240 的人数为 6 × 2 = 4，设为 A,B,C,D，
2 +1
观看时长在240,280 的人数为 6 × 1 = 2，设为 a,b，7 分
则抽取的 2 人有以下情况，(A,B ,(A,C ,(A,D ,(A,a ,(A,b ，
(B,C ,(B,D ,(B,a ,(B,b ,(C,D ,(C,a ,(C,b ,(D,a ,(D,b ,(a,b ，共 15 种情况，
其中抽取的 2 人恰好观看时长在200,240 的有(A,B ,(A,C ,(A,D ,(B,C ,(B,D ,(C,D ，
共 6 种情况，13 分
故抽取的 2 人恰好观看时长在200,240 的概率为 6 = 215 分
155
【解析】(1) 证：如图所示，建立空间直角坐标系 Dxyz，则 A(4，0，0)，M (2，0，4)，B(4，4，0)，
N (4，2，4)，E(0,2,4 ,F (2,4,4 ,D(0,0,02 分
 
∴ MN = (2，2，0)，AM = (-2，0，4)，
__
∴ DE = (0，2，4)，DB = (4，4，0)，
设 n1 = (x1,y1,z1

是平面 AMN 的法向量，设 n2 = (x2,y2,z2
是平面 EFBD 的法向量，
则 (
n1·AM =-2x1+4z1=0,

x1=2z1,

解得 (y =-2z .
n1·MN =2x1+2y1=0,11
取 z1 = 1，则 x1 = 2，y1 =-2，得 n1 = (2,-2,1 是平面 AMN 的一个法向量4 分

则 (
_
n2·DE =-2y2+4z2=0,
解得
x2=-y2,
1
_
n2·DF =4x2+4y2=0,
(z2 =
2 y2.
取 y2 = 2，则 x2 =-2，z2 = 1，得 n2 = (2,-2,1 是平面 EFBD 的一个法向量6 分
∴ n1 = (2,-2,1 = n2 = (2,-2,1
∴ 平面 AMN ∥ 平面 EFBD.8 分
由(1) 知平面 AMN ∥ 平面 EFBD，
∴ 平面 AMN 与平面 EFBD 的距离等于点 A 到平面 EFBD 的距离
_
∵ A(4，0，0)，B(4，4，0), ∴ AB = (0，4，0)，9 分
又∵ n2 = (2,-2,1
是平面 EFBD 的一个法向量
_ 
∴ 平面 AMN 与平面 EFBD 的距离 d = |AB·n2| = 812 分
|n2|3
3
（3）由 (2) 知点 A 到平面 EFBD 的距离为 d = 813 分
∵ EF = 0.5AC, ∴ 梯形 EFBD 为等腰梯形
2
2
∴ S = 1 (4 2 +2× 3 2 = 18,
VA-EFBD = 1 S⋅ d = 1617 分
3 梯形EFBD
【解析】(1) 取 D 为原点，DA 所在直线为 x 轴，过点 D 且平行于直线 AB 的直线为 y 轴，DE 所在直线为
3
3
z 轴建立空间直角坐标系，则 A(1,0,0)，B(1,2,0)，E(0,0,，F (-1,2,，
3
_
∴ BE = (-1,-2,
_
，AB = (0,2,0)，
设平面 ABE 的一个法向量为 n = (x,y,z)，
(2y=0
∴ -x-2y+ 3 z=0 .
不妨设 x = 3 ,y = 0，则 z = 1，∴ n = (
3 ,0,1 .
3

__
又
∵ DF = (-1,2,，∴ DF ⋅ n =- 3 + 3 = 0，
_
∴ DF ⊥ n.
又∵ DF ⊄ 平面 ABE，
∴ DE ⎳ 平面 ABE；4 分
3
_
(2)BE = (-1,-2,
_
3
，BF = (-2,0,
设平面 BEF 的一个法向量为 m = (x,y,z)，
(-2x+ 3 z=0
∴ -x-2y+ 3 z=0
不妨设 x = 2 3 ，则 y = 3 ，z = 4，∴ m = (2 3 , 3 ,4 .
设向量 m 与 n 的夹角为 θ，则 m ⋅ n = |m | ⋅ |n| ⋅ csθ，
31
∴ csθ = 3 ×2 3 +0 × 3 +1 ×4 = 5 ，
(2 3 2+( 3 2+42 ⋅ ( 3 2+02+12
∴ sinθ = 6 = 186 .
3131
∴ 平面 ABE 与平面 EFB 所成二面角的正弦值为 186 ；9 分
3
__31
设 DP = λDF = λ(-1,2,= (-λ,2λ, 3 λ ,λ ∈ 0,1 ，
_
则 P(-λ,2λ, 3 λ ，所以 BP = (-λ -1,2λ -2, 3 λ ，
又平面 ABE 的一个法向量为 n = (
3 ,0,1 ，
即直线 BP 与平面 ABE 所成角为 α，
_ 
_ 
 3 (-λ -1 + 3 λ
(-λ -1 2+(2λ -2 2+( 3 λ 2 ×2
= 3 ，
_

4
则sinα = cs =  BP ⋅ n =
BP ×n
整理得 8λ2 - 6λ + 1 = 0，解得 λ = 1 或 λ = 1 ，
当 λ = 1
24
3
_ 3 _
2 时，BP = - 2 ,-1, 2
，则 BP = 2；
当 λ = 1
_ 5
3 3 _
3
4 时，BP = - 4 ,- 2 , 4
_
综上
，则 BP = 2；
BP = 2，即在线段 DF 上存在点 P，使得直线 BP 与平面 ABE 所成角的正弦值为
4 ，此时线段
BP 的长为 2.17 分