2025-2026学年四川省遂宁市射洪市射洪中学校高二上学期10月月考数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年四川省遂宁市射洪市射洪中学校高二上学期10月月考数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.化简PM-PN+MN所得的结果是( )
A. PMB. NPC. 0D. MN
2.若AB=(-1,2,3),BC=(1,-1,-4)，则AC=( )
A. 2B. 5C. 5D. 2
3.已知两个向量a→=(1, -1 , 1) , b→=(2, m, n)，且a→/\!/b→，则 m+n =( )
A. -2B. 0C. 2D. 4
4.已知随机事件A和B互斥，且P(A∪B)=0.5，P(B)=0.3.则PA=( )
A. 0.5B. 0.6C. 0.7D. 0.8
5.在四面体P-ABC中，点Q是AB靠近B的三等分点，记PA=a,PB=b,PC=c，则CQ=( )
A. c-23a+13bB. c-13a-23bC. 23a+13b-cD. 13a+23b-c
6.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为15，和棋的概率为12，则乙不输的概率为( )
A. 45B. 310C. 12D. 15
7.已知向量a=(1,2,-1),b=(2,0,1)，则向量a在向量b上的投影向量为( )
A. 15bB. - 55bC. 55bD. -15b
8.下列命题正确的是( )
A. 若直线l的方向向量为e=(1,0,3)，平面α的法向量为n=-2,0,23，则直线l/\!/α
B. 若a→/\!/b→，则存在唯一的实数λ，使a=λb
C. 若空间向量a=1，b=2，且a与b夹角的余弦值为-13，则a在b上的投影向量为-16b
D. 若向量a=(2,-1,3)，b=(-4,2,t)的夹角为钝角，则实数t的取值范围为-∞,103
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=(4,-2,-4)，b=(6,-3,2)，则下列结论正确的是( )
A. a+b=(10,-5,-2)B. a-b=(2,-1,6)
C. a⋅b=10D. a=6
10.已知直线l的一个方向向量为a=(m,1,3)，平面α的一个法向量为b=(-2,n,1)，则下列说法正确的有( )
A. 若l//α，则2m-n=3B. 若l⊥α，则2m-n=3
C. 若l//α，则mn+2=0D. 若l⊥α，则mn+2=0
11.设M,N是两个随机事件，若P(M)=13,P(N)=16，则下列结论正确的是( )
A. 若N⊆M，则P(M∪N)=13
B. 若M∩N=⌀，则P(M+N)=0
C. 若P(M∩N)=118，则M,N相互独立
D. 若M,N相互独立，则PM∪N=118
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知事件A与事件B相互独立，且P(A)=0.4, P(B)=0.5，则P(A∪B)= ．
13.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AD=AB=1，∠A1AD=∠A1AB=∠BAD=60∘，M为B1D1的中点，则CM⋅AD= ．
14.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E,F，且EF= 22.则下列结论中正确的有 ．

①当E向D1运动时，二面角A-EF-B的大小不变
②二面角E-AB-C的最小值为45°
③当E向D1运动时，AE⊥CF总成立
④EF在CB方向上的投影向量为12CB
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a→=(1,2,2)，b→=(-2,1,-1)．
(1)求a→⋅b→；
(2)求cs
(3)求2a-b；
16.(本小题15分)
已知向量a=(-2,-1,2)，b=(-1,1,2)，c=(x,2,2)．
(Ⅰ)当|c|=2 2时，若向量ka+b与c垂直，求实数x和k的值；
(Ⅱ)若向量c与向量a，b共面，求实数x的值．
17.(本小题15分)
2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛．某学校统计了该校500名学生观看世界杯比赛直播的时长情况(单位：分钟)，将所得到的数据分成7组：[0,40),[40,80)，[80,120),[120,160)，[160,200),[200,240)，[240,280](观看时长均在[0,280]内)，并根据样本数据绘制如图所示的频率分布直方图．

(1)求a的值；
(2)采用分层抽样的方法在观看时长在[200,240)和[240,280]的学生中抽取6人，现从这6人中随机抽取2人分享观看感想，求抽取的2人恰好观看时长在[200,240)的概率．
18.(本小题17分)
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点．
(1)求证：面AMN//面EFBD；
(2)求面AMN与面EFBD的距离；
(3)求四棱锥A-EFBD的体积．
19.(本小题17分)
如图所示，直角梯形ABCD中，AD//BC，AD垂直AB，AB=BC=2AD=2，四边形EDCF为矩形，CF= 3，平面EDCF⊥平面ABCD．
(1)求证：DF//平面ABE；
(2)求平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值；
(3)在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为 34，若存在，求出线段BP的长，若不存在，请说明理由．
参考答案
1.C
2.A
3.B
4.D
5.D
6.A
7.A
8.C
9.AD
10.AD
11.AC
12.0.7
13.-14/-0.25
14.①②④
15.解：(1)因为向量a→=(1,2,2)，b→=(-2,1,-1)，
所以a→·b→=1×(-2)+2×1+2×(-1)=-2．
(2)cs=a→·b→a→×b→=-2 1+4+4× (-2)2+12+(-1)2=-23 6=- 69
(3)因为2a→-b→=2(1,2,2)-(-2,1,-1)=(4,3,5)，
所以2a→-b→= 42+32+52=5 2．

16.解：(Ⅰ)因为|c|=2 2，所以 x2+22+22=2 2⇒x=0．
且ka+b=(-2k-1,1-k,2k+2)．
因为向量ka+b与c垂直，
所以(ka+b)⋅c=0．
即2k+6=0．
所以实数x和k的值分别为0和-3．
(Ⅱ)因为向量c与向量a，b共面，所以设c=λa+μb(λ,μ∈R).
因为(x,2,2)=λ(-2,-1,2)+μ(-1,1,2)，
x=-2λ-μ,2=μ-λ,2=2λ+2μ,所以x=-12,λ=-12,μ=32.
所以实数x的值为-12．

17.解：(1)40(0.0005+0.0020×2+2a+0.0060+0.0065)=1，
解得a=0.0040；
(2)[200,240)和[240,280]的频率之比为0.0040:0.0020=2:1，
故选取的6人中观看时长在[200,240)的人数为6×22+1=4，设为A,B,C,D，
观看时长在[240,280]的人数为6×12+1=2，设为a,b，
则抽取的2人有以下情况，(A,B),(A,C),(A,D),(A,a),(A,b)，
(B,C),(B,D),(B,a),(B,b),(C,D),(C,a),(C,b),(D,a),(D,b),(a,b)，
共15种情况，
其中抽取的2人恰好观看时长在[200,240)的有(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D)，
共6种情况，
故抽取的2人恰好观看时长在[200,240)的概率为615=25．

18.解：(1)如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则A(4,0,0)，M(2,0,4)，B(4,4,0)，N(4,2,4)，E(0,2,4)，F(2,4,4)，D(0,0,0)∴MN=(2,2,0)，AM=(-2,0,4)，∴DE=(0,2,4)，DB=(4,4,0)，
设n1=x1,y1,z1是平面AMN的法向量，设n2=x2,y2,z2是平面EFBD的法向量，
则n1→⋅AM→=-2x1+4z1=0,n1→⋅MN→=2x1+2y1=0,解得x1=2z1y1=-2z1
取z1=1，则x1=2，y1=-2，得n1=(2,-2,1)是平面AMN的一个法向量．
则n2→⋅DE→=2y2+4z2=0,n2→⋅DF→=4x2+4y2=0,解得x2=-y2z2=12y2,
取y2=2，则x2=-2，z2=1，得n2=(2,-2,1)是平面EFBD的一个法向量．
∴n1=(2,-2,1)=n2=(2,-2,1)，∴平面AMN//平面EFBD．
(2)由(1)知平面AMN//平面EFBD，
∴平面AMN与平面EFBD的距离等于点A到平面EFBD的距离，
∵A(4,0,0)，B(4,4,0)，∴AB=(0,4,0)，
又∵n2=(2,-2,1)是平面EFBD的一个法向量，
∴平面AMN与平面EFBD的距离d=AB⋅n2n2=83．
(3)由(2)知点A到平面EFBD的距离为d=83，
∵EF=12AC，∴梯形EFBD为等腰梯形，易得梯形的高为3 2
∴S=124 2+2 2×3 2=18，VA-EFBD=13S梯形EFBD⋅d=16．

19.解：(1)取D为原点，DA所在直线为x轴，过点D且平行于直线AB的直线为y轴，
DE所在直线为z轴建立空间直角坐标系，
则A(1,0,0)，B(1,2,0)，E0,0, 3，F-1,2, 3，
∴BE=-1,-2, 3，AB=(0,2,0)，
设平面ABE的一个法向量为n=(x,y,z)，
∴-x-2y+ 3z=02y=0．
不妨设x= 3,y=0，则z=1，
∴n= 3,0,1．
又∵DF=-1,2, 3，
∴DF⋅n=- 3+ 3=0，
∴DF⊥n．
又∵DF⊄平面ABE，
∴DE//平面ABE；
(2)BE=-1,-2, 3，BF=-2,0, 3
设平面BEF的一个法向量为m=(x,y,z)，
∴-x-2y+ 3z=0-2x+ 3z=0
不妨设x=2 3，则y= 3，z=4，
∴m=2 3, 3,4．
设向量m与n的夹角为θ，
则m⋅n=|m|⋅|n|⋅csθ，
∴csθ= 3×2 3+0× 3+1×4 2 32+ 32+42⋅ 32+02+12=5 31，
∴sinθ= 6 31= 18631．
∴平面ABE与平面EFB所成二面角的正弦值为 18631；
(3)设DP=λDF=λ-1,2, 3=-λ,2λ, 3λ,λ∈[0,1]，
则P-λ,2λ, 3λ，所以BP=-λ-1,2λ-2, 3λ，
又平面ABE的一个法向量为n= 3,0,1，
即直线BP与平面ABE所成角为α，
则sinα=cs=BP⋅nBP×n= 3(-λ-1)+ 3λ (-λ-1)2+(2λ-2)2+ 3λ2×2= 34，
整理得8λ2-6λ+1=0，解得λ=12或λ=14，
当λ=12时，BP=-32,-1, 32，则BP=2；
当λ=14时，BP=-54,-32, 34，则BP=2；
综上BP=2，即在线段DF上存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为 34，此时线段BP的长为2．