2022-2023学年广东省广州六中珠江中学八年级上学期期中数学试卷（含答案）

这是一份2022-2023学年广东省广州六中珠江中学八年级上学期期中数学试卷（含答案），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3 分）计算 20220 的结果是()
A．1B．0C．2022D． 1 2022
2．（3 分）下列图形不具有稳定性的是()
A．直角三角形B．等腰三角形C．正方形D．钝角三角形3．（3 分）如图， ABC  BAD ，如果 AB  6cm ， BD  4cm ， AD  5cm ，那么 BC 的长是()
A． 4cmB． 5cmC． 6cmD．无法确定
4．（3 分）下列计算正确的是()
A． b3 b3  2b3B． (2a)2  4a2
C． (a  b)2  a2  b2D． (x  2)(x  2)  x2  2
5．（3 分）已知等腰三角形一边长等于 4，一边长等于 9，它的周长是()
A．17 或 22B．22C．17D．13
6．（3 分）如图，点 D ，E 分别在线段 AB ， AC 上，CD 与 BE 相交于O 点，已知 AB  AC ，
现添加以下的哪个条件仍不能判定ABE  ACD()
B  C
BE  CD
BD  CE
AD  AE
7．（3 分）若一个多边形的内角和等于720 ，则这个多边形的边数是()
A．5B．6C．7D．8
8．（3 分）已知 a  b  3 ，则 a2  b2  6b 的值为()
A．6B．9C．12D．15
9．（3 分）如图，在ABC 中， BO 平分ABC ， CO 平分ACB ， MN 经过点O ，与 AB 、 AC 相交于点 M 、 N ，且 MN / / BC ．若 AB  10 ， AC  8 ， BC  12 ，那么AMN 的周长是()
A．12B．16C．18D．30
10．（3 分）如图，在ABC 中， AB  AC ， B  ACB  45 ， D 、 E 是斜边 BC 上两点，且DAE  45 ，过点 A 作 AF  AD ，垂足是 A ，过点C 作CF  BC ，BD 垂足是C ．交 AF
于点 F ，连接 EF ，下列结论：① ABD  ACF ；② DE  EF ；③若 SADE  15 ，SCEF  6 ，
则 SABC  36 ；④ BD  CE  DE ．其中正确的是()
A．①②B．②③C．①②③D．①③④
二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
11．（3 分）计算： (2x2 )3  ．
12．（3 分）正方形的外角和为 度．
13．（3 分）如果 x2  16x  k 是一个完全平方式，那么 k 的值是 ．
14．（3 分）如图，在 ABC 中，C  90 ，CAB 的平分线 AD 交 BC 于点 D ，BC  5 ，BD  3 ，那么点 D 到 AB 的距离是．
15．（3 分）如图，已知 ABC 中，A  50 ，BE 平分ABC ，CE 平分外角ACD ，则E 
度．
16．（3 分）已知 x  1  3 ，那么多项式 x3  2x2  4x  5 的值是．
x
三、解答题（共 72 分）
17．（6 分）计算
（1） 3x2 (2x 1) ；
（2） (8a4b  4ab2 )  4ab ．
18．（6 分）因式分解：
（1） a2  9 ．
（2） 2x2 12x  18 ．
19．（5 分）如图，点 E ，C 在线段 BF 上，A  D ，AB / / DE ，BC  EF ．求证：AC  DF ．
20．（6 分）先化简，再求值： (2x  3y)2  (2x  y)(2x  y) ，其中 x  1 ， y  1 ．
21．（7 分）如图是6  8 的小正方形构成的网格，每个小正方形的边长为 1，ABC 的三个顶点 A ， B ， C 均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不写画法， 保留作图痕迹．
在图 1 中取格点 S ，使得BSC  CAB (S 不与 A 重合）；
在图 2 中 AB 上取一点 K ，使CK 是ABC 的高．
22．（8 分）如图，在 ABC 中， BD 平分ABC ， E 是 BD 上一点， EA  AB ，且 EB  EC ，
EBC  ECB ．
如果ABC  40 ，求DEC 的度数；
求证： BC  2 AB ．
23．（10 分）（1）已知 ABC 中， B  C ， AD  BC 于 D ， AE 平分BAC ， B  70 ，
C  40 ，求DAE 的度数．
在图 2 中， B  x ， C  y ，其他条件不变，若把“ AD  BC 于 D 改为 F 是 AE 上一点， FD  BC 于 D ”，试用 x 、 y 表示DFE  ；（直接写结果）
在图 3 中，若把（2）中的“点 F 在 AE 上”改为“点 F 是 AE 延长线上一点”，其余条件不变，试用 x 、 y 表示DFE  ．（直接写结果）
24．（12 分）对任意一个数 m ，如果 m 等于两个正整数的平方和，那么称这个数 m 为“平方和数”，若 m  a2  b2 (a 、b 为正整数），记 A(m)  ab ．例如： 29  22  52 ，29 就是一个 “平方和数”，则 A(29)  2  5  10 ．
判断 45 是否是“平方和数”，若是，请计算 A(45) 的值；若不是，请说明理由；
若 k 是一个不超过 50 的“平方和数”，且 A(k )  k  9 ，求 k 的值；
2
对任意一个数 m ，如果 m 等于两个整数的平方和，那么称这个数 m 为“广义平方和数”，若 m 和 n 都是“广义平方和数”，请说明它们的乘积 mn 也是“广义平方和数”．
25．（12 分）如图，四边形 ABCD 中，已知BAC  BDC  90 ，且 AB  AC ．
求证： ABD  ACD ；
记ABD 的面积为 S1 ， ACD 的面积为 S2 ．
①求证： S  S  1 AD2 ；
122
②过点 B 作 BC 的垂线，过点 A 作 BC 的平行线，两直线相交于 M ，延长 BD 至 P ，使得
DP  CD ，连接 MP ．当 MP 取得最大值时，求CBD 的大小．
2022-2023 学年广东省广州六中珠江中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
1．（3 分）计算 20220 的结果是()
A．1B．0C．2022D． 1 2022
【解答】解： 20220  1 ． 故选： A ．
2．（3 分）下列图形不具有稳定性的是()
A．直角三角形B．等腰三角形C．正方形D．钝角三角形
【解答】解：根据三角形的稳定性可得， A 、B 、D 都具有稳定性．不具有稳定性的是C 选项．
故选： C ．
3．（3 分）如图， ABC  BAD ，如果 AB  6cm ， BD  4cm ， AD  5cm ，那么 BC 的长是()
A． 4cmB． 5cmC． 6cmD．无法确定
【解答】解：ABC  BAD ， AD  5cm ，
 BC  AD  5cm ， 故选： B ．
4．（3 分）下列计算正确的是()
A． b3 b3  2b3B． (2a)2  4a2
C． (a  b)2  a2  b2D． (x  2)(x  2)  x2  2
【解答】解： A 、b3 b3  b6 ，此选项错误；
B 、(2a)2  4a2 ，此选项正确；
C 、(a  b)2  a2  2ab  b2 ，此选项错误；
D 、(x  2)(x  2)  x2  4 ，此选项错误； 故选： B ．
5．（3 分）已知等腰三角形一边长等于 4，一边长等于 9，它的周长是()
A．17 或 22B．22C．17D．13
【解答】解：分两种情况：
当腰为 4 时， 4  4  9 ，所以不能构成三角形；
当腰为 9 时， 9  9  4 ， 9  9  4 ，所以能构成三角形，周长是： 9  9  4  22 ． 故选： B ．
6．（3 分）如图，点 D ，E 分别在线段 AB ， AC 上，CD 与 BE 相交于O 点，已知 AB  AC ，
现添加以下的哪个条件仍不能判定ABE  ACD()
B  C
BE  CD
BD  CE
AD  AE
【解答】解： AB  AC ， A 为公共角，
A 、如添加B  C ，利用 ASA 即可证明ABE  ACD ；
B 、如添 BE  CD ，因为 SSA ，不能证明 ABE  ACD ，所以此选项不能作为添加的条件；
C 、如添 BD  CE ，等量关系可得 AD  AE ，利用 SAS 即可证明ABE  ACD ；
D 、如添 AD  AE ，利用 SAS 即可证明ABE  ACD ． 故选： B ．
7．（3 分）若一个多边形的内角和等于720 ，则这个多边形的边数是()
A．5B．6C．7D．8
【解答】解：因为多边形的内角和公式为(n  2)180 ， 所以(n  2) 180  720 ，
解得 n  6 ，
所以这个多边形的边数是 6． 故选： B ．
8．（3 分）已知 a  b  3 ，则 a2  b2  6b 的值为()
A．6B．9C．12D．15
【解答】解： a2  b2  6b ，
 (a  b)(a  b)  6b ，
 3(a  b)  6b ，
 3a  3b ，
 3(a  b) ，
 9 ．
故选： B ．
9．（3 分）如图，在ABC 中， BO 平分ABC ， CO 平分ACB ， MN 经过点O ，与 AB 、 AC 相交于点 M 、 N ，且 MN / / BC ．若 AB  10 ， AC  8 ， BC  12 ，那么AMN 的周长是()
A．12B．16C．18D．30
【解答】解： BO 平分ABC ， CO 平分ACB ，
ABO  OBC ， ACO  OCB ，
 MN / / BC ，
MOB  OBC ， NOC  OCB ，
ABO  MOB ， ACO  NOC ，
 MB  MO ， NO  NC ，
 AB  10 ， AC  8 ，
AMN 的周长
 AM  MN  AN
 AM  MO  ON  AN
 AM  MB  NC  AN
 AB  AC
 10  8
 18 ，
故选： C ．
10．（3 分）如图，在ABC 中， AB  AC ， B  ACB  45 ， D 、 E 是斜边 BC 上两点，且DAE  45 ，过点 A 作 AF  AD ，垂足是 A ，过点C 作CF  BC ，BD 垂足是C ．交 AF
于点 F ，连接 EF ，下列结论：① ABD  ACF ；② DE  EF ；③若 SADE  15 ，SCEF  6 ，
则 SABC  36 ；④ BD  CE  DE ．其中正确的是()
A．①②B．②③C．①②③D．①③④
【解答】解： AF  AD ，
DAF  90 ，
B  ACB  45 ，
BAC  90 ，
BAC  DAC  DAF  DAC ， 即BAD  CAF ，
 CF  BC ，
ECF  90 ，
ACF  45 ，
在ABD 和ACF 中，
BAD  CAF

 AB  AC，

B  ACF
ABD  ACF (ASA) ，所以①正确；
 DE  EF ，所以②正确； AD  AF ， 在ADE 和AFE 中，
 AE  AE

 AD  AF，

DE  FE
ADE  AFE (SSS ) ，
 SAEF  SADE  15 ，
 SACF  SAEC  15  6  21 ， 而ABD  ACF ，
 SACF  SAEC  SABD  SAEC  21 ，
 SABC  SABD  SAEC  SADE  21  15  36 ，所以③正确；
 BD  CF ， EF  ED ， 而 EC  CF  EF ，
 BD  CE  DE ，所以④错误． 故选： C ．
二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
11．（3 分）计算： (2x2 )3  8x6 ．
【解答】解： (2x2 )3  8x6 ，故答案为8x6 ．
12．（3 分）正方形的外角和为 360度．
【解答】解：正方形的外角和为 360 度． 故答案为：360．
13．（3 分）如果 x2  16x  k 是一个完全平方式，那么 k 的值是 64．
【解答】解： x2  16x  k 是一个完全平方式，
k
16  2，
解得 k  64 ． 故答案为：64．
14．（3 分）如图，在 ABC 中，C  90 ，CAB 的平分线 AD 交 BC 于点 D ，BC  5 ，BD  3 ，那么点 D 到 AB 的距离是 2．
【解答】解：过点 D 作 DE  AB 于点 E ，
C  90 ， AD 是ABC 中CAB 的角平分线， DE  AB 于 E ，
 DE  CD ，
 BC  5 ， BD  3 ，
CD  BC  BD  5  3  2 ，
 DE  2 ． 故答案为：2．
15．（3 分）如图，已知 ABC 中，A  50 ，BE 平分ABC ，CE 平分外角ACD ，则E 
25度．
【解答】解： BE 平分ABC ， CE 平分ACD ，
ABC  2EBC ， ACD  2DCE ，
ACD  2DCE  A  ABC ， DCE  E  EBC ，
 2DCE  2E  2EBC ，
ACD  2E  ABC ，
 2E  ABC  A  ABC ，
A  2E ，
A  50 ，
E  25 ， 故答案为：25．
16．（3 分）已知 x  1  3 ，那么多项式 x3  2x2  4x  5 的值是6．
x
【解答】解： x  1  3 ，
x
 x2  3x  1 ，
 x3  2x2  4x  5
 x(x2  3x)  x2  4x  5
 x2  3x  5
 1  5  6 ， 故答案为：6．
三、解答题（共 72 分）
17．（6 分）计算
（1） 3x2 (2x 1) ；
（2） (8a4b  4ab2 )  4ab ．
【解答】解：（1）原式  3x2  2x  3x2
 6x3  3x2 ．
（2）原式 8a4b  4ab  4ab2  4ab
 2a3  b ．
18．（6 分）因式分解：
（1） a2  9 ．
（2） 2x2 12x  18 ．
【解答】解：（1）原式  (a  3)(a  3) ；
（2）原式 2(x2  6x  9)  2(x  3)2 ．
19．（5 分）如图，点 E ，C 在线段 BF 上，A  D ，AB / / DE ，BC  EF ．求证：AC  DF ．
【解答】证明： AB / / ED ，
ABC  DEF ． 在ABC 与DEF 中，
A  D

B  DEF ，

BC  EF
ABC  DEF (AAS ) ．
 AC  DF ．
20．（6 分）先化简，再求值： (2x  3y)2  (2x  y)(2x  y) ，其中 x  1 ， y  1 ．
【解答】解：原式 4x2  12xy  9 y2  (4x2  y2 )
 4x2  12xy  9 y2  4x2  y2
 12xy 10 y2 ，
当 x  1 ， y  1 时， 原式 12  10
 2 ．
21．（7 分）如图是6  8 的小正方形构成的网格，每个小正方形的边长为 1，ABC 的三个顶点 A ， B ， C 均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不写画法， 保留作图痕迹．
在图 1 中取格点 S ，使得BSC  CAB (S 不与 A 重合）；
在图 2 中 AB 上取一点 K ，使CK 是ABC 的高．
【解答】解：（1）如图 1 中， BCS 即为所求；
（2）如图 2 中，线段CK 即为所求．
22．（8 分）如图，在 ABC 中， BD 平分ABC ， E 是 BD 上一点， EA  AB ，且 EB  EC ，
EBC  ECB ．
如果ABC  40 ，求DEC 的度数；
求证： BC  2 AB ．
【解答】（1）解： BD 平分ABC ，且ABC  40 ，
EBC  ABD  1 ABC  20 ，
2
EBC  ECB ，
ECB  20 ，
DEC  EBC  ECB  40 ，
DEC 的度数是 40 ．
（2）证明：作 EF  BC 于点 F ，
 EB  EC ，
 FB  FC ，
 BD 平分ABC ， EF  BC ， EA  AB ，
 FE  AE ， BFE  BAE  90 ， 在RtFBE 和RtABE 中，
FE  AE
BE  BE ，

RtFBE  RtABE(HL) ，
 FB  AB ，
 BC  2FB  2 AB ．
23．（10 分）（1）已知 ABC 中， B  C ， AD  BC 于 D ， AE 平分BAC ， B  70 ，
C  40 ，求DAE 的度数．
在图 2 中， B  x ， C  y ，其他条件不变，若把“ AD  BC 于 D 改为 F 是 AE 上
一点， FD  BC 于 D ”，试用 x 、 y 表示DFE 1 (x  y)
2
；（直接写结果）
在图 3 中，若把（2）中的“点 F 在 AE 上”改为“点 F 是 AE 延长线上一点”，其余条件不变，试用 x 、 y 表示DFE  ．（直接写结果）
【解答】解：（1） B  70 ， C  40 ，
BAC  180  70  40  70 ，
 AE 平分BAC ，
BAE  1 BAC  1  70  35 ，
22
在RtBAD 中， BAD  90  70  20 ，
DAE  BAE  BAD  35  20  15 ；
（2）BAE  1 BAC  1 (180  x  y) ，
22
AEB  180  B  BAE  180  x  1 (180  x  y)  90  1 x  1 y ，
222
DFE  90  AEB  90  90  1 x  1 y  1 (x  y) ．
222
故答案为： 1 (x  y) ；
2
（3）成立，理由如下：
BAE  1 BAC  1 (180  x  y) ，
22
AEB  180  B  BAE  180  x  1 (180  x  y)  90  1 x  1 y ，
222
DEF  AEB  90  1 x  1 y ，
22
DFE  90  DEF  90  90  1 x  1 y  1 (x  y) ，
222
故答案为： 1 (x  y) ．
2
24．（12 分）对任意一个数 m ，如果 m 等于两个正整数的平方和，那么称这个数 m 为“平
方和数”，若 m  a2  b2 (a 、b 为正整数），记 A(m)  ab ．例如： 29  22  52 ，29 就是一个
“平方和数”，则 A(29)  2  5  10 ．
判断 45 是否是“平方和数”，若是，请计算 A(45) 的值；若不是，请说明理由；
若 k 是一个不超过 50 的“平方和数”，且 A(k )  k  9 ，求 k 的值；
2
对任意一个数 m ，如果 m 等于两个整数的平方和，那么称这个数 m 为“广义平方和数”，若 m 和 n 都是“广义平方和数”，请说明它们的乘积 mn 也是“广义平方和数”．
【解答】解：（1） 45  32  62 ，
 45 是“平方和数”，
 A(45)  3 6  18 ；
（2） A(k )  k  9 ，
2
a2  b2  9
ab ，
2
2ab  a2  b2  9 ，
a2  2ab  b2  9 ，
(a  b)2  9 ，
 a  b  3 ，即 a  b  3 或b  a  3 ，
 a ， b 为正整数且 k 是一个不超过 50 的“平方和数”，
当 a  1， b  4 或 a  4 ， b  1 时， k  17 ， 当 a  2 ， b  5 或 a  5 ， b  2 时， k  29 ， 当 a  3 ， b  6 或 a  6 ， b  3 时， k  45 ，
当 a  4 ， b  7 或 a  7 ， b  4 时， k  65 （不符合题意，舍去），综上， k 的值为 17 或 29 或 45；
（3）设 m  a2  b2 ， n  c2  d 2 ，
mn  (a2  b2 )(c2  d 2 )
 a2c2  a2d 2  b2c2  b2d 2
 a2c2  2abcd  b2d 2  a2d 2  2abcd  b2c2
 (ac  bd )2  (ad  bc)2 ，
(ac  bd ) ， (ad  bc) 均为正数，
mn 也是“广义平方和数”．
25．（12 分）如图，四边形 ABCD 中，已知BAC  BDC  90 ，且 AB  AC ．
求证： ABD  ACD ；
记ABD 的面积为 S1 ， ACD 的面积为 S2 ．
①求证： S  S  1 AD2 ；
122
②过点 B 作 BC 的垂线，过点 A 作 BC 的平行线，两直线相交于 M ，延长 BD 至 P ，使得
DP  CD ，连接 MP ．当 MP 取得最大值时，求CBD 的大小．
【解答】（1）证明：如图 1，
BAC  BDC  90 ， AOB  COD ，
ABD  ACD ；
（2）①证明：如图 2，过点 A 作 AD  AG ，交 BD 于G ，
DAG  BAC  90 ，
BAG  CAD ，
 AB  AC ， ABG  ACD ，
ABG  ACD (ASA) ，
 SABG  SACD ， AG  AD ，
 S1  S2  SABD  SACD  SABD  SABG  SADG ，
 S  S  1 AD2 ；
122
②解：如图 3，连接 AP ，
 AM  APPM ，
当 M ， A ， P 三点共线时， PM 最大，如图 4，过点 A 作 AD  AG ，交 BD 于G ，
同理知： ABG  ACD ，
 BG  CD ，
 PD  CD ，
 PD  BG ，
ADG 是等腰直角三角形，
AGD  ADG ，
AGB  ADP ，
 AD  AG ，
AGB  ADP(SAS ) ，
 AB  AP ，
ABP  P ，
 AP / / BC ，
P  CBD ，
CBD  ABD ，
ABC  45 ，
CBD  22.5 ．