广东省广州市第六中学2024~2025学年上学期八年级数学期中考试试卷（含答案）

这是一份广东省广州市第六中学2024~2025学年上学期八年级数学期中考试试卷（含答案），共30页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
只有一个是正确的
下列手机中的图标是轴对称图形的是（）
A.B.
C.D.
一个多边形的内角和为 360°，则这个多边形可能是（）
A.B.C.D.
已知三角形的两边的长分别为 2cm 和5cm ，设第三边的长为 xcm ，则 x 的取值范围是（）
A. 2  x  5
B. 3  x  5
C. 3 < x < 7
D. 5  x  7
下面四个图形中，线段 BD 是V ABC 的高的是（）．
A.B.
C.D.
5. 如图， △ABC ≌△ADE ， B  30 ， E  115 ，则BAC 的度数是（）
A. 35B. 30C. 45D. 25
如图，点 D，E 分别在线段 AB，AC 上，CD 与 BE 相交于 O 点，已知 AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD 的是（ ）
∠B=∠CB. AD=AEC. BD=CED. BE=CD
如图，在V ABC 中， AD 是 BC 边上的中线， CE 是 AB 边上的高，若 AB  3 ， S△ ADC  6 ，则CE 的长度为（）
A. 4B. 8C. 7D. 6
V ABC 中，如果A + B  C ，那么V ABC 的形状是（）
锐角三角形B. 直角三角形
C. 钝角三角形D. 不能确定
“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这 个三等分角仪由两根有槽的棒OA ， OB 组成，两根棒在O 点相连并可绕O 转动， C 点固定，
OC  CD  DE ，点 D ， E 可在槽中滑动，若BDE  75 ，则CDE 的度数是（）
A. 60°B. 65°C. 75°D. 80°
平面直角坐标系中， A(3, 3) 、B(0, 5) ．若在坐标轴上取点C ，使V ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数是（）．
A 3B. 4C. 5D. 7
二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
五边形从某一个顶点出发可以引条对角线．
已知点 M(﹣6，2)，则 M 点关于 x 轴对称点的坐标是.
已知等腰三角形的两边长是5cm 和11cm ，则它的周长是．
如图， V ABC 的面积为19cm2 ， BP 平分ABC ，过点 A 作 AP  BP 于点 P，则△PBC 的面积为
cm2 ．
如图，在PMN 中，点 P，M 在坐标轴上， P 0, 2 ， N 2, 2 ， PM  PN ， PM  PN ，则点 M
的坐标是
如图，在ABC 和 ADE 中， AB  AC ， AD  AE ， DAE  BAC  85，若BDC  165 ， 则DCE  ．
三、解答题（共 72 分）
17. 在V ABC 中，已知A  B  80, C  2B ，求A, B, C 的度数．
如图，在ABC 中，?， AE 分别是ABC 的高和角平分线，若B  32 ，C  52 ，求DAE 的度数．
如图，已知在V ABC 中， AB  AC ，点 D、E 在边 BC 上，且 AD  AE ，证明： BD  CE ．
数学与生活．
如图，轮船从 A 港出发，以 28 海里/小时的速度向正北方向航行，此时测得灯塔 M 在北偏东30 的方向上．半小时后，轮船到达 B 处，此时测得灯塔 M 在北偏东60 的方向上．
求轮船在 B 处时与灯塔 M 的距离；
轮船从 B 处继续沿正北方向航行，又经半小时后到达 C 处，则此时轮船与灯塔 M 的距离是，
灯塔 M 在轮船的方向上．
在平面直角坐标系 xOy 中，点 A， B ， C 的坐标分别为1, 0 ， −2,3 ， 3,1 ．
作出V ABC 关于 x 轴对称的△A1B1C1 ，直接写出 B1 ，C1 两点的坐标：B1（ ， ），C1（ ，
）；
写出V ABC 的面积 S ABC ；
在 y 轴上找一点 D ，使得 BD  DA 的值最小，作出点 D 并写出点 D 的坐标．
如图，已知ABC 中， B  C ， AB  8 厘米， BC  6 厘米，点 D 为?的中点，如果点 P 在线段
BC 上以每秒 2 厘米的速度由 B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段��上以每秒 a 厘米的速度由C 点向A 点运动，设运动时间为t （秒）（ 0  t  3 ）．
用含t 的代数式表示 PC 的长度： PC ．
若点 P 、Q 的运动速度相等，经过1秒后， BPD 与CQP 是否全等，请说明理由；
若点 P 、Q 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度 a 为多少时，能够使BPD 与CQP 全等？
如图所示， ABC 是等腰三角形，若 BA  BC ，且ABC  90．
基本作图（不写作法，保留作图痕迹）：在线段 AC 上确定一点 F ，使得 FA  FB ，连接 BF ；
在（1）问所作图中，当CF  BC 时，求ABC 的度数．
在边长为 2 的等边V ABC 中， AD 是 BC 边上的中线，E 为 AD 上一动点，连接 BE ，在 BE 的下方作等边△BEF ．

当 BD  DE 时，连接CF ，
① ABF ．
② 求证： △ABE≌△CBF
连接 DF ， V BDF 的周长是否有最小值，若有请求出此时DBF 的度数；若没有请说明理由．
如图，点 A4, 0 ，B 0, 3 在平面直角坐标系中的坐标轴上，点 P 1,1 为V AOB 内一点， AB  5 ．
①求点 P 到?的距离；
②点 P 为ABO 的三条 线的交点．（①角平分线；②垂直平分线．直接填写序号）
如图 1，射线 BP 交OA 的垂直平分线于点C ，证明PAC 是等腰直角三角形．
如图 2，Q m, 0 为 x 轴正半轴上一点，将 AQ 沿 PQ 所在直线翻折，与 y 轴，线段?分别交于点 F ，
G ，试探究BFG 的周长是否会发生变化，若变化，求变化范围；若不变，求BFG 的周长．
2024 学年初二上学期期中考联考数学
一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且
只有一个是正确的
下列手机中的图标是轴对称图形的是（）
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分完全 重合，称这个图形为轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
根据轴对称图形的概念，把图形沿某一条直线折叠，看直线两旁的部分是否能够互相重合，逐一进行判断 即可．
【详解】A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意； C．是轴对称图形，故此选项符合题意； D．不是轴对称图形，故此选项不合题意． 故选：C．
一个多边形的内角和为 360°，则这个多边形可能是（）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，n 边形的内角和为n  2 180 ( n  3 且
n 为整数)．根据多边形的内角和计算公式列方程求解作答．
【详解】解：设这个多边形边数为 n ， 依题意，得： n  2180  360 ， 解得： n  4 ，
∴这个多边形的边数是 4． 故选：B．
已知三角形的两边的长分别为 2cm 和5cm ，设第三边的长为 xcm ，则 x 的取值范围是（）
A. 2  x  5
【答案】C
【解析】
B. 3  x  5
C. 3 < x < 7
D. 5  x  7
【分析】此题考查了三角形的三边关系．此题比较简单，注意掌握已知三角形两边，则第三边的长度应是 大于两边的差而小于两边的和．
由三角形的两边的长分别为 2cm 和5cm ，第三边的长为 xcm ，根据已知三角形两边，则第三边的长度应
是大于两边的差而小于两边的和，即可求得答案．
【详解】解：∵三角形的两边的长分别为 2cm 和5cm ，第三边的长为 xcm ，
∴根据三角形的三边关系，得： 5  2  x  5  2 ， 即： 3 < x < 7 ．
故选：C．
下面四个图形中，线段 BD 是V ABC 的高的是（）．
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形的高，理解三角形的高的定义是解题关键．三角形的高线是指从三角形的 一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足间的线段就是三角形的高．根据三角形的高的定义逐项分析
判断即可．
【详解】解：依题意，线段 BD 是V ABC 的高的是：
故选：D
5. 如图， △ABC ≌△ADE ， B  30 ， E  115 ，则BAC 的度数是（）
A. 35B. 30C. 45D. 25
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的性质， 三角形的内角和定理． 关键是根据全等三角形的性质得出
C  E  115，然后根据三角形的内角和定理解题．
【详解】解：∵ ABC≌ADE，E  115，
∴C  E  115，
∵ B  30 ，
∴BAC  180 C B  35． 故选：A．
如图，点 D，E 分别在线段 AB，AC 上，CD 与 BE 相交于 O 点，已知 AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD 的是（ ）
∠B=∠CB. AD=AEC. BD=CED. BE=CD
【答案】D
【解析】
【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知 AB＝AC，可根据全等三角形判定定理 AAS、SAS、ASA 添加条件， 逐一证明即可．
【详解】解：∵AB＝AC，∠A 为公共角，
A、如添加∠B＝∠C，利用 ASA 即可证明△ABE≌△ACD，不符合题意；
B、如添 AD＝AE，利用 SAS 即可证明△ABE≌△ACD，不符合题意；
C、如添 BD＝CE，等量关系可得 AD＝AE，利用 SAS 即可证明△ABE≌△ACD，不符合题意；
D、如添 BE＝CD，因为 SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件，符合题意． 故选：D．
【点睛】本题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此类添加条件题，要求学生应熟练掌握 全等三角形的判定定理．
如图，在V ABC 中， AD 是 BC 边上的中线， CE 是 AB 边上的高，若 AB  3 ， S△ ADC  6 ，则CE 的长度为（）
A. 4B. 8C. 7D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了三角形中线的性质，根据三角形的中线分得的两个三角形的面积相等，就可求得 S ABC = 2S ABD = 2S ACD ，再由面积公式即可求出CE 的长度，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质及其应用．
【详解】解：∵ AD 是 BC 边上的中线，
∴ S ABC  2S ACD  12 ，
∵ CE 是 AB 边上的高，
∴ S ABC
 1 AB  CE  12 ，
2
∵ AB  3 ，
∴ CE  8 ，
故选： B ．
V ABC 中，如果A + B  C ，那么V ABC 的形状是（）
锐角三角形B. 直角三角形
C. 钝角三角形D. 不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】根据在V ABC 中， A + B  C ， A  B  C  180 可求出C 的度数，即可得出结论.
【详解】解：∵在V ABC 中， A + B  C ， A  B  C  180 ，
∴ 2C  180 ，
∴ C  90 ，
∴V ABC 是直角三角形. 故选 B.
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180 是解答本题的关键.
“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这 个三等分角仪由两根有槽的棒OA ， OB 组成，两根棒在O 点相连并可绕O 转动， C 点固定，
OC  CD  DE ，点 D ， E 可在槽中滑动，若BDE  75 ，则CDE 的度数是（）
A. 60°B. 65°C. 75°D. 80°
【答案】D
【解析】
【 分 析】 根据 OC=CD=DE ， 可 得∠O=∠ODC ， ∠DCE=∠DEC ， 根 据三角 形的外 角性质 可知
∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC 据三角形的外角性质即可求出∠ODC 数，进而求出∠CDE 的度数．
【详解】∵ OC  CD  DE ，
∴ O  ODC ， DCE  DEC ， 设O  ODC  x ，
∴ DCE  DEC  2x ，
∴ CDE  180  DCE  DEC
∵ BDE  75 ，
 180  4 x ，
∴ ODC  CDE  BDE  180 ， 即 x 180  4x  75  180 ，
解得： x  25 ，
CDE  180 4x  80 .
故答案为 D.
【点睛】本题考查等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．
平面直角坐标系中， A(3, 3) 、B(0, 5) ．若在坐标轴上取点C ，使V ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数是（）．
A. 3B. 4C. 5D. 7
【答案】D
【解析】
【分析】由题意知，△ABC 是等腰三角形，故需分三种情况进行讨论，分别是 AB=AC，AB=BC，AC=BC， 画出图形即可得到结论．
【详解】当 AC=CB 时，作 AB 的垂直平分线，交 x 轴，y 轴有二个点 C；
当 AB=AC 时，以点 A 为圆心，AB 为半径作圆 A，交 y 轴，x 轴有三个点 C； 当 AB=BC 时，以点 B 为圆心，AB 为半径作圆 B，交 y 轴有二个点 C；
由作图可得，一共有 7 个满足条件的点 C， 故选：D．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标的特征，定义三角形的判定，利用圆的定义作图，掌握等 腰三角形的作图是解题的关键．
二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
五边形从某一个顶点出发可以引条对角线．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查多边形的对角线，根据对角线定义，一个五边形从某一顶点出发，除去它自己及与它相 邻的左右两边的点外，还剩下 2 个顶点可以与这个顶点连成对角线，熟记对角线定义是解决问题的关键．
【详解】解：五边形从某一个顶点出发可以引 2 条对角线， 故答案为：2．
已知点 M(﹣6，2)，则 M 点关于 x 轴对称点的坐标是.
【答案】(－6，－2)
【解析】
【分析】直接利用关于 x 轴对称点的性质得出横坐标相等，纵坐标互为相反数进而得出答案．
【详解】解：∵点 M（－6，2），
∴点 M 关于 x 轴的对称点的坐标是(－6，－2)． 故答案为：(－6，－2)．
【点睛】此题主要考查了关于 x 轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
已知等腰三角形的两边长是5cm 和11cm ，则它的周长是．
【答案】 27cm
【解析】
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为5cm 和11cm ，而没有明确腰是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】解：当三边是5cm ， 5cm ，11cm 时，
5  5  11 ，不符合三角形的三边关系，应舍去；
当三边是5cm ，11cm ，11cm 时，符合三角形的三边关系， 此时周长是5 1111  27 cm ，
故答案为： 27cm ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
如图， V ABC 的面积为19cm2 ， BP 平分ABC ，过点 A 作 AP  BP 于点 P，则△PBC 的面积为
cm2 ．
【答案】9.5
【解析】
【分析】题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等；
延长 AP 交 BC 于 E ， 先证明△ABP≌△EBP(ASA) ， 根据全等三角形的性质得到 AP  PE ， 得出
S△ABP
 S△EBP
， S△ACP
 S△ECP
，进而推出 S
 PBC
 1 S
2
 ABC
，即可得出答案．
【详解】解：延长 AP 交 BC 于 E，
 BP 平分ABC ，
ABP  EBP ，
 AP  BP ，
APB  EPB  90 ，
 BP  BP ，
△ABP≌△EBP(ASA) ，
 AP  PE ，
 S ABP  S EBP ， S△ACP  S△ECP ，
S 1 S 1 19  9.5cm2 ，
PBC2  ABC2
故答案为： 9.5 ．
如图，在PMN 中，点 P，M 在坐标轴上， P 0, 2 ， N 2, 2 ， PM  PN ， PM  PN ，则点 M
的坐标是
【答案】4, 0
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形，三角形全等的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明PAM ≌NBP ．过点 P 作 x 轴的平行线，过点 M 作 MA  AB 于点 A，过点
N 作 NB  AB 于点 B，根据 P 0, 2 ， N 2, 2 ，得出 AM  2 ， BN  2  2  4 ，证明
PAM≌NBP AAS ，得出 AP  BN  4 ，即可得出答案．
【详解】解：过点 P 作 x 轴的平行线，过点 M 作 MA  AB 于点 A，过点 N 作 NB  AB 于点 B，如图所示：
则PAM  PBN  90 ，
∵ P 0, 2 ， N 2, 2 ，
∴ AM  2 ， BN  2  2  4 ，
∵ PM  PN ，
∴ MPN  90，
∵ APM  BPN  BPN  PNB  90 ，
∴ APM  PNB ，
∵ PM  PN ，
∴ PAM≌NBP AAS，
∴ AP  BN  4 ，
∴ OM  AP  4 ，
∴点 M 的坐标为4, 0 ． 故答案为： 4, 0 ．
如图，在ABC 和 ADE 中， AB  AC ， AD  AE ， DAE  BAC  85，若BDC  165 ，
则DCE  ．
【答案】110
【解析】
【分析】本题考查了四边形的内角和、三角形全等的判定定理与性质，先根据四边形的内角和可得
ACD  ABD  110 ，再根据三角形全等的判定定理证出△ABD≌△ACE ，然后根据全等三角形的性质可得ABD  ACE ，最后根据角的和差即可得．
【详解】解：在四边形 ABDC 中， BAC  85, BDC  165 ，
ACD  ABD  360   BAC   BDC  110 ，
EAD  BAC  85 ，
EAD  CAD  BAC  CAD ，即CAE  BAD ，
 AB  AC

在△ABD 和△ACE 中， BAD  CAE ，

 AD  AE
 ABD≌ ACE (SAS) ，
ABD  ACE ，
DCE  ACD  ACE  ACD  ABD  110 ， 故答案为：110 ．
三、解答题（共 72 分）
17. 在V ABC 中，已知A  B  80, C  2B ，求A, B, C 的度数．
【答案】A, B, C 的度数分别为30, 50,100
【解析】
【分析】根据三角形的内角和定理可知A  B  C  180 ，则C  100 ，根据C  2B  100 ， 即可求出B  50 ，进而求出A  30．
【详解】解：∵ A  B  80, A  B  C  180，
∴ C  100 ，
∵ C  2B ，
∴ C  2B  100 ，
∴ B  50 ，
∴ A  30．
即A, B, C 的度数分别为30, 50,100．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是熟练运用内角和定理列出等式解题．
如图，在ABC 中，?， AE 分别是ABC 的高和角平分线，若B  32 ，C  52 ，求DAE 的度数．
【答案】10
【解析】
【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形的高、角平分线的性质等知识在ABC 中，利用三角形内角和定理，可求出BAC 的度数，结合角平分线的定义，可得出CAE 的度数，由?是ABC 的高，可得出ADC  90 ，结合三角形内角和定理，可求出CAD 的度数，再结合DAE  CAE  CAD ，
即可求出DAE 的度数．
【详解】解：∵ B  C  BAC  180且B  32 ， C  52 ，
∴ BAC  180  B  C  180  32  52  96，
 AE 是V ABC 的角平分线
 BAE  48
又 AD 是V ABC 的高
 ADE  90
CAD  180  ADC  C  180  90  52  38 ，
DAE  CAE  CAD  48  38  10．
如图，已知在V ABC 中， AB  AC ，点 D、E 在边 BC 上，且 AD  AE ，证明： BD  CE ．
【答案】见详解
【解析】
【分析】该题主要考查了等腰三角形的性质和全等三角形的性质和判定，解题的关键是证明三角形全等． 根据 AD  AE 和 AB  AC 推出ADB  AEC ， B  C ，证明△ADB ≌△AEC ，即可求解；
【详解】证明：∵ AD  AE ，
∴ ADE  AED ，
∵ ADE  ADB  180，AEC  AED  180 ，
∴ ADB  AEC ，
∵ AB  AC ，
∴ B  C ，
在ADB 和△AEC 中
ADB  AEC

B  C，

 AB  AC
∴  ADB≌ AEC  AAS  ，
∴ BD  CE ．
数学与生活．
如图，轮船从 A 港出发，以 28 海里/小时的速度向正北方向航行，此时测得灯塔 M 在北偏东30 的方向上．半小时后，轮船到达 B 处，此时测得灯塔 M 在北偏东60 的方向上．
求轮船在 B 处时与灯塔 M 的距离；
轮船从 B 处继续沿正北方向航行，又经半小时后到达 C 处，则此时轮船与灯塔 M 的距离是， 灯塔 M 在轮船的方向上．
【答案】（1）14 海里
（2）14 海里，南偏东60
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定以及性质，方向角等知识．
由三角形外角定义求出BMA  30，再由等角对等边得出 AB  BM ．
证明△BMC 是等边三角形，即可求出CM 以及BCM
【小问 1 详解】
解：据题意得， CBM  60 ， BAM  30 ，
 60 ．
∵ CBM  BAM  BMA ，
∴ BMA  30 ，
∴ BMA  BAM ，
∴ AB  BM ，
∴ AB  28  0.5  14 ，
∴ BM  14 ，
答：轮船在 B 处时与灯塔 M 的距离为 14 海里；
【小问 2 详解】
∵ BC  28 0.5  14 ， BM  BC 且CBM  60 ，
∴△BMC 是等边三角形，
∴ CM  BC  14 ， BCM  60 ，
答：轮船在 C 点时与灯塔 M 的距离是 14 海里，灯塔 M 在轮船的南偏东60 方向上， 故答案为：14 海里，南偏东60．
在平面直角坐标系 xOy 中，点 A， B ， C 的坐标分别为1, 0 ， −2,3 ， 3,1 ．
作出V ABC 关于 x 轴对称的△A1B1C1 ，直接写出 B1 ，C1 两点的坐标：B1（ ， ），C1（ ，
）；
写出V ABC 的面积 S ABC ；
在 y 轴上找一点 D ，使得 BD  DA 的值最小，作出点 D 并写出点 D 的坐标．
【答案】（1）图见解析， 2, 3, 3, 1
（2） 2.5
（3）图见解析， D 0,1
【解析】
【分析】（1）先根据题意，画弧图形，再根据图形即可写出 B1 ， C1 两点的坐标；
用割补法求面积即可；
作点 A 关于 y 轴的对称点 A ，连接 BA 与 y 轴相交于点 D，点 D 即为所求，求出直线 BA 的函数解析式，即可求出点 D 的坐标．
【小问 1 详解】解：如图所示：
由图可知： B1 2， 3、C1 3，1 ；故答案为： 2, 3, 3, 1；
【小问 2 详解】
由图可知： S 2 3  1 1 2  1  21 1 1 3  2.5；
V ABC
故答案为： 2.5 ；
【小问 3 详解】
222
作点 A 关于 y 轴的对称点 A ，连接 BA 与 y 轴相交于点 D，点 D 即为所求；
∵ A 1，0 ，
∴ A1，0 ，
设直线 BA 的函数解析式为： y  kx  b k  0 ， 将 A1，0 ， B 2，3 代入得：
3  2k  b

0  k  b
k  1

，解得：，
b  1
∴直线 BA 的函数解析式为： y  x 1， 当 x  0 时， y  1，
∴ D 0,1 ．
故答案为： D 0，1 ．
【点睛】此题考查了轴对称的最短路径问题、网格中三角形的面积、轴对称图形与坐标以及一次函数等知 识，熟练掌握相关知识，数形结合是解题的关键．
如图，已知ABC 中， B  C ， AB  8 厘米， BC  6 厘米，点 D 为?的中点，如果点 P 在线段
BC 上以每秒 2 厘米的速度由 B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段��上以每秒 a 厘米的速度由C 点向A 点运动，设运动时间为t （秒）（ 0  t  3 ）．
用含t 的代数式表示 PC 的长度： PC ．
若点 P 、Q 的运动速度相等，经过1秒后， BPD 与CQP 是否全等，请说明理由；
若点 P 、Q 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度 a 为多少时，能够使BPD 与CQP 全等？
【答案】（1） 6  2t
（2） BPD 和CQP 全等，理由见解析
（3） a  8
3
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
先表示出 BP ，根据 PC  BC  BP ，可得出答案；
根据时间和速度分别求得两个三角形中的边的长，根据SAS 判定两个三角形全等．
根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程 速度时间公式，先求得点 P 运动的时间，再求得点Q 的运动速度；
【小问 1 详解】
解：依题意， BP  2t, 则 PC  BC  BP  6  2t ；
【小问 2 详解】
BPD 和CQP 全等，理由如下：
t  1秒
 BP  CQ  2 1  2 厘米，
CP  BC  BP  6  2  4 厘米，
 AB  8厘米，点 D 为?的中点，
 BD  4 厘米．
 PC  BD ，
在BPD 和CQP 中，
BD  PC

B  C

BP  CQ
BPD≌CQP （ SAS ）；
【小问 3 详解】
点 P 、Q 的运动速度不相等，
 BP  CQ ，
又BPD≌CPQ ， B  C ，
 BP  PC  3cm ， CQ  BD  4cm ，
∴点 P ，点Q 运动的时间t  BP  3 秒，
22
 a  CQ  4  8
t33 厘米/ 秒．
2
当点Q 的运动速度 a 为 8 厘米/ 秒时，能够使BPD 与CQP 全等．
3
如图所示， ABC 是等腰三角形，若 BA  BC ，且ABC  90．
基本作图（不写作法，保留作图痕迹）：在线段 AC 上确定一点 F ，使得 FA  FB ，连接 BF ；
在（1）问所作图中，当CF  BC 时，求ABC 的度数．
【答案】（1）见解析（2）108°
【解析】
【分析】本题考查作垂直平分线、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理；
（1）结合线段垂直平分线的性质，作线段?的垂直平分线，交 AC 于点 F ，连接 BF ，则点 F 即为所求．
（ 2 ） 根 据 等 腰 三 角 形 的 性 质 可 得 A  ABF ， BFC  CBF 2A ， C  A ， 则ABC  ABF  CBF 3A ．根据A  ABC  C 180 ，可求出A ，进而可得ABC 的度数．
【小问 1 详解】
解：如图，作线段� 的垂直平分线，交 AC 于点 F ，连接 BF ， 则点 F 即为所求．
【小问 2 详解】
 FA  FB ，
A  ABF ，
BFC  A  ABF  2A ．
CF  BC ，
BFC  CBF  2A ，
ABC  ABF  CBF  3A ．
 BA  BC ，
C  A ．
A  ABC  C  180，
A  3A  A  180 ，
A  36 ，
ABC  3A  108 ．
在边长为 2 的等边V ABC 中， AD 是 BC 边上的中线，E 为 AD 上一动点，连接 BE ，在 BE 的下方作等边△BEF ．

当 BD  DE 时，连接CF ，
① ABF ．
② 求证： △ABE≌△CBF
连接 DF ， V BDF 的周长是否有最小值，若有请求出此时DBF 的度数；若没有请说明理由．
【答案】（1）① 75，②证明过程
（2） 30
【解析】
【分析】（1）①根据等边三角形的性质可得ABC  EBF  60 ， ADB  90 ，再根据等腰直角三角形的性质可得EBD  BED  45 ，求得CBF  15 ，再利用ABF = ABC  CBF 求解即可；
②根据等边三角形的性质可得ABC  EBF  60 ， AB  BC ， BE  BF ，再利用等量代换可得
ABE = CBF ，再根据全等三角形的判定证明即可；
（2）连接CF ，由②同理可证ABE≌CBF SAS  ，可得BCF  BAD  30 ，作点 D 关于CF 的对称点 G，连接CG 、DG ，则 DF  FG ，当 B、F、G 三点共线，BF  DF 的最小值为 BG ，且 BG  CG 时， V BDF 的周长最小，再根据等边三角形的性质求解即可．
【小问 1 详解】
解：①∵V ABC 、△BEF 是等边三角形，
∴ ABC  EBF  60 ，
∵ AD 是 BC 边上的中线，
∴ AD BC ，即ADB  90 ，
∵ BD  DE ，
∴ EBD  BED  45 ，
∴ CBF = EBF  EBD = 60  45 = 15 ，
∴ ABF = ABC  CBF = 60  15 = 75 ， 故答案为： 75；
②证明：∵V ABC 、△BEF 是等边三角形，
∴ ABC  EBF  60 ， AB  BC ， BE  BF ，
∵ ABE  EBD  60， CBF  EBD  60 ，
∴ ABE  CBF ，
∴ ABE≌CBF SAS ；
【小问 2 详解】解：连接CF ，
∵V ABC 、△BEF 是等边三角形，
∴ ABC  EBF  60 ， AB  BC ， BE  BF ，
∵ ABE  EBD  60， CBF  EBD = 60 ，
∴ ABE = CBF ，
∴ ABE≌CBF SAS ；
∵ AD 是 BC 边上的中线，
∴ BCF  BAD  30 ，
如图，作点 D 关于CF 的对称点 G，连接CG 、 DG ，则 DF  FG ，
∴当 B、F、G 三点共线， BF  DF 的最小值为 BG ，且 BG  CG 时， V BDF 的周长最小， 由轴对称的性质得， DCG  2BCF  60， CD  CG ，
∴△DCG 是等边三角形，
∴ DG = DC = DB ，
∴ CGD  CDG  60 ，
∵ BG  CG ，即CGB  90，
∴ CBF  90  60  30．
【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、轴对称的性
质、直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．
如图，点 A4, 0 ，B 0, 3 在平面直角坐标系中的坐标轴上，点 P 1,1 为V AOB 内一点， AB  5 ．
①求点 P 到?的距离；
②点 P 为ABO 的三条 线的交点．（①角平分线；②垂直平分线．直接填写序号）
如图 1，射线 BP 交OA 的垂直平分线于点C ，证明PAC 是等腰直角三角形．
如图 2，Q m, 0 为 x 轴正半轴上一点，将 AQ 沿 PQ 所在直线翻折，与 y 轴，线段?分别交于点 F ，
G ，试探究BFG 的周长是否会发生变化，若变化，求变化范围；若不变，求BFG 的周长．
【答案】（1）①1；②①
（2）见解析（3） BGF 的周长不变，为 4，
【解析】
【分析】本题主要考查坐标与图形，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识：
①过点 P 分别作OA ， OB ， AB 的垂线，垂足分别为 E 、 F 、 M ，由 P 1,1 得 PE  PF  1 ， 再根据 S ABO  SPAB  SPAO  SPBO 可得结论；
② PE  PK  PH ，进而得解；
延长 AC 交 y 轴于点 R ，作CS  AB 于S ， CT  BR 于T ，根据垂直平分线的性质得 AC  CO ， 证明 AP ， BP ， OP 分别平分BAO ， ABO ，AOB 得APB  135， APC  45 ，证明
RtV ACS≌RtV RCT 得SAC  CRT ，得 AB  BR ，再证明V ABC≌V RBC ，得出
ACB  RCB  90 ，即可得到结论；
过点 P 分别作垂线 PE ， PH ， PN ， PM ，连 PG ， PF ．证明RtV PHF≌RtV PNF ，
RtV PNG≌RtV PMG ，得到 FH  FN ，GN  GM ，可求出BGF 的周长为
BG  BF  GF
【小问 1 详解】
 BG  GN  BF  FN
 BG  GM  BF  FH
 BM  BH  2BH
 4 ，故可得结论
解：①过点 P 分别作OA ， OB ， AB 的垂线，垂足分别为 E 、 F 、 M ，如图
 A4, 0 ， B 0, 3 ， P 1,1 ，
OA  4 ， OB  3 ， PE  PF  1 ，
SV AOB
 1 OA OB  1  4 3  6 ，
22
SV AOP
SV POB
 1 OA PE  1  41  2 ，
22
 1 OB  PF  1  31  3 ，
222
∵ S ABO  SPAB  SPAO  SPBO ,
∴ 1  OA OB  1  PM  AB  1  OA PE  1  OB  PF ，
2222
∴ 1  3 4  1  PM  5  1  41 1  31
2222
 PM  1 ．
即点 P 到?的距离为1；
② PE  PK  1 ， PH  1，
 PE  PK  PH ，
点 P 到三边的距离相等，
点 P 为ABO 的三条角平分线的交点， 故答案为：①；
【小问 2 详解】
解：如图．延长 AC 交 y 轴于点 R ，作CS  AB 于S ， CT  BR 于T ，
点C 是 AO 垂直平分线上的点，
 AC  CO ，
CAO  AOC ，
Q AOR  90，
COR  CRO ，
 AC  CO  CR ，
 P 到 AB ， OB ， OA 的距离均为 1，
 AP ， BP ， OP 分别平分BAO ， ABO ，AOB ，
APB  135 ，
APC  45 ，
Q CS  AB 于S ， CT  BR 于T ， BP 平分ABO ，
CS  CT ，
RtV ACS≌RtV RCT ，
SAC  CRT ，
 AB  BR ，
V ABC≌V RBC ，
ACB  RCB  90 ，
△ACP 为等腰直角三角形，且ACP  90 ．
【小问 3 详解】
解： BGF 的周长不变，为 4，理由如下：
过点 P 分别作垂线 PE ， PH ， PN ， PM ，连 PG ， PF ．
 PE  PH  PM
将 AQ 沿 PQ 所在直线翻折，
AQP  GQP ，
 PE  PN ，
RtV PHF≌RtV PNF ， RtV PNG≌RtV PMG ，
 FH  FN ，GN  GM ，
BGF 的周长为 BG  BF  GF  BG  GN  BF  FN  BG  GM  BF  FH  BM  BH  2BH ，
OB  3 ， OH  1，
 BH  2 ，
BGF 的周长为 4 ．