《学段冲刺·期中臻选·考点讲练》人教版七年级数学上册（2024）第3章 代数式

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TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc211953693" 考点01（★）代数式的定义
\l "_Tc211953694" 考点02（★★★）【重点】代数式的书写要求
\l "_Tc211953695" 考点03（★★★）【难点】列代数式
\l "_Tc211953696" 考点04（★）反比例关系
\l "_Tc211953697" 考点05（★★★）【重点】根据字母或式子的值求代数式的值
\l "_Tc211953698" 考点06（★★）【难点】根据程序运算求代数式的值
\l "_Tc211953699" 考点07（★★）探究数字规律问题
\l "_Tc211953700" 考点08（★★）探究图形规律问题
\l "_Tc211953701" 考点09（★）探究循环规律问题
考点01（★）代数式的定义
1．代数式的定义：
用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子叫作代数式．单独的一个数或字母也是代数式，如2，-3．1，m都是代数式．
2．理解代数式的意义：
关键在于明白每个符号代表的意义，以及整个式子所表示的数量关系．用字母表示数后，同一个代数式可以表示不同的实际问题中的数量关系．
（2024秋•沧州期中）下列各式中，是代数式的是（ ）
A．3x+yB．n+2＞3C．S=12abD．5.89≈5.9
【答案】A
【解析】解：A．3x+y，是代数式；
B．n+2＞3，是不等式，不是代数式；
C．S=12ab，是等式，不是代数式；
D．5.89≈5.9，是不等式，不是代数式．
故选：A．
【变式练1】 （2024秋•普陀区校级期末）下列各式中，不是代数式的是（ ）
A．x＝1B．5C．2a2+1D．x﹣2y+3
【答案】A．
【解析】解：A．x＝1是等式，不是代数式；
B．5是代数式；
C．2a2+1是代数式；
D．x﹣2y+3是代数式．
故选：A．
【变式练2】 （2024秋•内乡县期末）在式子n﹣3、a、1、80%t、S＝ab中，代数式的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C．
【解析】解：式子n﹣3，a，1，80%t，符合代数式的定义，是代数式；
式子s＝ab是等式，不是代数式．
故代数式有4个．
故选：C．
【变式练3】 （2024秋•桥西区校级期末）下列各式中，不是代数式的是（ ）
A．vtB．5C．2-x6D．2x+y＝1
【答案】D
【解析】解：A．vt，是代数式；
B．5，是代数式；
C．2-x6，是代数式；
D．2x+y＝1，是等式，不是代数式．
故选：D．
考点02（★★★）【重点】代数式的书写要求
代数式的书写要求：
（1）数字与字母或字母与字母相乘：乘号通常省略不写或写成“·”，而且数字要写在字母的前面，如5×a可以写成5·a或5a，但数字与数字相乘时仍用“×”；
（2）数字因数是1或–1：“1”省略不写，如1×ab写成ab，–1×ab写成–ab；
（3）数字因数是带分数：将带分数化成假分数，如；
（4）式子中出现除法：写成分数的形式，如；
（5）代数式是和或差的形式且后面有单位：把式子用括号括起来，如（a-b）千克．
（2023秋•济南期中）下列各式符合代数式书写规范的是（ ）
A．a9B．x﹣3元C．stD．227x
【答案】C
【解析】解：A、a9应该写成9a，故选项不符合题意；
B、x﹣3元应该写成（x﹣3）元，故选项不符合题意；
C、符合代数式书写要求，故选项符合题意；
D、带分数要写成假分数，故选项不符合题意．
故选：C．
【变式练1】 （2024秋•东坡区校级期中）下列代数式符合通常书写规范的是（ ）
A．a×4B．113aC．s÷tD．（a+1）元
【答案】D
【解析】解：选项A正确的书写格式是4a，故不符合题意，
选项B正确的书写格式是43a，故不符合题意，
选项C正确的书写格式是st，故不符合题意，
选项D正确，故符合题意．
故选：D．
【变式练2】 （2024秋•奉化区校级期中）下列式子中，符合代数式书写的是（ ）
A．2x-y3B．113x2C．xy÷3D．x×y
【答案】A
【解析】解：（A）该代数式的书写符合要求，
∴A符合题意；
（B）带分数应写成假分数的形式，
∴B不符合题意；
（C）除法运算要写成分数的形式，
∴C不符合题意；
（D）字母与字母相乘时，乘号一般要省略，
∴D不符合题意；
故选：A．
【变式练3】 （2024秋•祁东县校级期中）下列代数式中，符合代数式书写要求的有（ ）
①113x；
②ab÷c；
③2（m+n）；
④a﹣3千米．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【解析】解：①113x要写成43x；
②ab÷c要写成abc；
③2（m+n）符合要求；
④a﹣3千米要写成（a﹣3）千米；
综上可知，符合要求的只有1个，
故选：A．
考点03（★★★）【难点】列代数式
1．列代数式：在解决一些数学问题与实际问题时，需要先把问题中的数量关系用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，也就是列代数式．
2．列代数式的步骤：
（1）分析条件，找出数量关系．
（2）用含有数、字母和运算符号的式子表示数量关系．
（2024秋•沧州期中）一个两位数的个位数字是a，十位数字是b，则这个两位数可表示为（ ）
A．abB．a+bC．10a+bD．10b+a
【答案】D
【解析】解：这个两位数可表示为：10b+a．
故选：D．
【变式练1】 （2024秋•思明区校级期中）用代数式表示“a的2倍与b的差的平方”，正确的是（ ）
A．2（a﹣b）2B．2a﹣b2C．（2a﹣b）2D．（a﹣2b）2
【答案】C
【解析】解：依题意得：（2a﹣b）2．
故选：C．
【变式练2】 （2024秋•清远校级期中）某班共有x个学生，其中女生人数占45%，则男生人数是（ ）
A．45%xB．x45%C．（1﹣45%）xD．x1-45%
【答案】C
【解析】解：因为女生人数占45%，
所以男生占总数的（1﹣45%），
该班的男生人数是（1﹣45%）x，
故选：C．
【变式练3】 （2024秋•商河县期中）用代数式表示“a的2倍与3的和”，下列表示正确的是（ ）
A．2a﹣3B．2a+3C．2（a﹣3）D．2（a+3）
【答案】B
【解析】解：a的2倍就是：2a，
a的2倍与3的和就是：2a与3的和，可表示为：2a+3．
故选：B．
考点04（★）反比例关系
1．反比例关系的定义：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系．
2．反比例关系的表示方法：如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的积（k是一个确定的值，且k≠0），反比例关系k可以用xy=k或y=来表示，其中k叫作比例系数．
3．两个量的变化规律：一个量随着另一个量的增大而减小．
4．正比例关系与反比例关系的区别：
正比例关系：两个相关联的量x，y的比值一定，这两个量就叫作正比例的量，它们之间的关系叫作正比例关系．即（k是一个确定的值，且k≠0）．
反比例关系：两个相关联的量x，y的乘积一定，这两个量就叫作反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系．即xy=k（k是一个确定的值，且k≠0）．
（2024秋•五华区校级期中）下面说法错误的是（ ）
A．路程一定，时间与速度成反比例
B．如果ab＝9，那么a和b成反比例
C．工作效率一定，工作总量和工作时间成反比例
D．分数值一定，分子和分母成正比例
【答案】C
【解析】解：A．因为速度×时间＝路程（一定），时间和速度的乘积一定，所以时间与速度成反比例．原题说法正确．
B．因为ab＝9，a和b的乘积一定，所以a和b成反比例．原题说法正确．
C．因为工作总量÷工作时间＝工作效率（一定），工作总量和工作时间的比值一定，所以工作总量和工作时间成正比例．原题说法错误．
D．分子÷分母＝分数值（一定），因为分子和分母的比值一定，所以分子和分母成正比例．原题说法正确．
故选：C．
【变式练1】 （2024秋•南昌期中）如表中x和y两个量成反比例关系，则“△”处应填（ ）
A．4.5B．﹣4.5C．2D．﹣2
【答案】C
【解析】解：设△表示的数是a，
∵x和y两个量成反比例关系，
∴﹣6a＝﹣3×4，
∴a＝2．
∴△表示的数是2．
故选：C．
【变式练2】 （2023秋•船营区校级期中）下列各式中，m和n成反比例关系的是（ ）
A．m+n＝8B．m﹣n＝8C．m×n＝8D．m÷n＝8
【答案】C
【解析】解：∵如果两个量乘积一定时，则两种量成反比例，
∴m和n成反比例关系的是m×n＝8，
∴选项C符合要求，
故选：C．
【变式练3】 （2024秋•青秀区校级期中）长方体的体积一定时，底面积和高（ ）
A．成正比例B．成反比例C．不成比例D．无法判断
【答案】B
【解析】解：∵长方体的体积一定时，
∴底面积×高的积一定，
∴底面积和高成反比例．
故选：B．
考点05（★★★）【重点】根据字母或式子的值求代数式的值
在求式子的值时，若没有直接给出相关字母的值或无法通过已知条件直接求出式子的值，可将式子进行适当变形，利用整体代入的方法求值．通过整体代入，实现降次、归零、约分的目的，可以快速求得其值．
（2024秋•济南期中）若2a2+b＝4，则代数式3﹣4a2﹣2b的值为（ ）
A．11B．7C．﹣1D．﹣5
【答案】D
【解析】解：∵2a2+b＝4，
则原式＝3﹣2（2a2+b）
＝3﹣8
＝﹣5．
故选：D．
【变式练1】 （2025春•东方期中）当x＝4时，则2x+1的值是（ ）
A．3B．7C．8D．9
【答案】D．
【解析】解：当x＝4时，原式＝2×4+1＝9．
故选：D．
【变式练2】 （2024秋•古冶区期中）若x＝﹣1，则5x3﹣2x＝（ ）
A．﹣3B．3C．﹣7D．7
【答案】A
【解析】解：当x＝﹣1时，原式＝5×（﹣1）3﹣2×（﹣1）＝﹣3．
故选：A．
【变式练3】 （2024秋•龙华区期中）若代数2x2+3x的值为5，则代数式4x2+6x﹣9的值是（ ）
A．1B．﹣1C．4D．﹣4
【答案】A
【解析】解：∵2x2+3x的值为5，
∴2x2+3x＝5，
∴原式＝2（2x2+3x）﹣9
＝2×5﹣9
＝10﹣9
＝1．
故选：A．
考点06（★★）【难点】根据程序运算求代数式的值
程序性问题的本质是按照程序列代数式，因此，解决此类问题时，可以先列出代数式，再代入求值，检验结果是否符合要求，如果不符合，把求得的代数式的值再代入代数式求值，直到结果符合要求为止．
（2024秋•黄冈期中）如图所示是计算机程序流程图，若开始输入x＝1，则最后输出的结果是（ ）
A．11B．﹣11C．13D．﹣13
【答案】C
【解析】解：当x＝1时，﹣4x﹣（﹣1）＝﹣4×1+1＝﹣3＜10，
∴当x＝﹣3时，﹣4x﹣（﹣1）＝﹣4×（﹣3）+1＝13＞10，符合要求，
∴最后输出的结果是：13．
故选：C．
【变式练1】 （2024秋•安阳期中）按如图所示的运算程序，若输入m的值是﹣2，则输出的结果是（ ）
A．7B．3C．﹣1D．﹣5
【答案】A
【解析】解：∵m＝﹣2＜0，
∴将m＝﹣2代入﹣2m+3中得：
﹣2m+3＝﹣2×（﹣2）+3＝4+3＝7，
故选：A．
【变式练2】 （2024秋•西平县期中）按如图程序计算，若开始输入的数x＝4，则最后输出的结果为（ ）
A．6B．15C．105D．100
【答案】C
【解析】解：当x＝4时，x(x-1)2=4(4-1)2=6＜100，
当x＝6时，6(6-1)2=15，
当x＝15时，15(15-1)2=105＞100，
所以输出结果为105．
故选：C．
【变式练3】 （2023春•云阳县期中）按如图所示的运算程序，能使输出结果为23的是（ ）
A．x＝4，y＝9B．x＝3，y＝﹣5C．x＝5，y＝4D．x＝﹣3，y＝7
【答案】B
【解析】解：A、若x＝4，y＝9，∵x＜y，∴3x+2y＝3×4+2×9＝32，
B、若x＝3，y＝﹣5，∵x＞y，∴2x2﹣y＝2×32﹣（﹣5）＝23，
C、若x＝5，y＝4，∵x＞y，∴2x2﹣y＝2×52﹣4＝46，
D、若x＝﹣3，y＝7，∵x＜y，∴3x+2y＝3×（﹣3）+2×7＝5．
故选：B．
考点07（★★）探究数字规律问题
探究数字规律问题的基本步骤：
（1）标序号：题目通常按照一定的顺序给出一系列数，标序号可以把这些数与对应序号建立联系；
（2）找结构：从运算入手，如从加减结构、乘除结构、乘方结构等角度寻求尝试做一些计算，猜想变化规律，用代数式表示；
（3）验证：把前面的几个数分别代入到猜想的结论中进行验证．
（2025春•天长市期中）按一定规律排列的单项式：3，﹣5a，9a2，﹣17a3，…，则第7个单项式是（ ）
A．﹣127a7B．﹣129a6C．127a7D．129a6
【答案】D
【解析】解：由题知，
所给单项式的系数依次为3，﹣5，9，﹣17，…，
所以第n个单项式的系数可表示为：（﹣1）n+1（2n+1）；
所给单项式的次数依次为：0，1，2，3，…，
所以第n个单项式的次数可表示为：n﹣1，
所以第n个单项式可表示为：（﹣1）n+1（2n+1）xn﹣1．
当n＝7时，
第7个单项式为：129x6．
故选：D．
【变式练1】 （2024秋•南充校级期中）有一列数：﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，按这样的规律排列，则第n个数是（ ）
A．﹣2nB．（﹣2）nC．﹣12nD．（﹣1）2n
【答案】B
【解析】解：由﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，可知，后一个数是前一个数的（﹣2）倍，
所以，第n个数是（﹣2）n．
故选：B．
【变式练2】 （2024秋•滑县期末）按一定规律排列的单项式：x2，-x43，x65，-x87，x109，⋯⋯；，则第n个单项式是（ ）
A．(-1)n+1x2n2n+1B．(-1)n+1x2n2n-1
C．(-1)nx2n2n+1D．(-1)nxn2n-1
【答案】B
【解析】解：∵x2=(-1)1+1x2×12×1-1，
-x43=(-1)2+1x2×22×2-1，
x65=(-1)3+1x2×32×3-1，
-x87=(-1)4+1x2×42×4-1，
x109=(-1)5+1x2×52×5-1，
…，
∴第n个单项式为：(-1)n+1x2×n2n-1．
故选：B．
【变式练3】 （2024秋•五华区期中）按一定规律排列的单项式：x，﹣2x2，4x3，﹣8x4，16x5，﹣32x6，…，第n个单项式为（ ）
A．（﹣1）n2nxnB．（﹣1）n+12nxn
C．（﹣1）n+12n﹣1xnD．（﹣1）n2n+1xn
【答案】C
【解析】解：根据一列单项式，可以发现系数的符号由奇偶性决定，所以为（﹣1）n+1，其后的数字为2n﹣1，字母为xn，
∴第n个单项式为（﹣1）n+12n﹣1xn．
故选：C．
考点08（★★）探究图形规律问题
探究图形规律的方法：
（1）观形法：观察图形，确定基础图形，发现相邻图形的变与不变，寻找规律；
（2）审数法：从计数方法上分别求出题目给出的几个图形中目标图形的数量，将图形规律转化为数的规律进行探究．
（2024秋•源城区校级期中）如图，由相同大小的圆圈按照一定规律摆放，那么第n个图形中圆圈的个数是（ ）
A．4n﹣1B．4n+1C．4n﹣2D．4n+2
【答案】B
【解析】解：观察图形的变化可知：
第1个图形中圆圈的个数为4×1+1＝5；
第2个图形中圆圈的个数为4×2+1＝9；
第3个图形中圆圈的个数为4×3+1＝13；
…
发现规律，
则第n个图形中圆圈的个数为4n+1．
故选：B．
【变式练1】 （2024秋•沙坪坝区期中）下列图形都是用同样大小的黑点按一定规律组成的，其中第1个图形中一共有5个黑点，第2个图形中一共有10个黑点，第3个图形中一共有16个黑点，…，则第9个图形中黑点的个数是（ ）
A．61B．72C．73D．86
【答案】C
【解析】解：第1个图形中一共有5个黑点，
第2个图形中一共有10个黑点，
第3个图形中一共有16个黑点，
……，
以此类推，可知第n和图形中一共有[(n+1)(n+2)2+2n]个黑点，
∴第9个图形中黑点的个数是(9+1)×(9+2)2+2×9=73，
故选：C．
【变式练2】 （2024秋•垫江县校级期中）将一半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，第1个图形有4个小圆，第2个图形有8个小圆，第3个图形有14个小圆，…，依此规律，第9个图形的小圆个数是（ ）
A．36B．74C．90D．92
【答案】D
【解析】解：观察图形的变化可知：
第1个图形有1×2+2＝4个小圆，
第2个图形有2×3+2＝8个小圆，
第3个图形有3×4+2＝14个小圆，
…，
发现规律：
第n个图形的小圆个数是n（n+1）+2．
所以第9个图形的小圆个数是9×10+2＝92．
故选：D．
【变式练3】 （2024秋•西乡塘区校级期中）如图所示，观察下列图形它们是按一定规律构造的，依照此规律，第n个图形中共有（ ）个三角形．
A．2n+1B．n+3C．4n﹣1D．4n+1
【答案】C
【解析】解：观察所给图形可知：
第1个图形中有3个三角形，4×1﹣1＝3，
第2个图形中有7个三角形，4×2﹣1＝7，
第3个图形中有11个三角形，4×3﹣1＝11，
……
因此第n个图形中共有（4n﹣1）个三角形．
故选：C．
考点09（★）探究循环规律问题
探究循环规律的题目，必须把握三点：
（1）找出循环的周期；
（2）分析出周期内循环的各个数据；
（3）计算出要求的结果与周期内的哪个数据相对应．
（2025春•黄埔区校级期中）观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，…，以此规律，则3+32+33+34+…+32024+32025的和的末位数字是（ ）
A．9B．3C．2D．0
【答案】B
【解析】解：发现规律是末位数字3、9、7、1每4个一循环，
∵2025÷4＝506⋯1，
∴3+32+33+34+⋯+32025的末位数字相当于：3+7+9+1+⋯+1＝（3+9+7+1）×506+3＝10123的末位数字为3．
故选：B．
【变式练1】 （2025春•平昌县期中）观察下列算式的规律：21＝2、22＝4、23＝8、24＝16、25＝32、26＝64、27＝128、28＝256…根据上述的规律，你认为22025的末位数字应该为（ ）
A．2B．4C．8D．6
【答案】A
【解析】解：通过观察发现末尾数字以2，4，8，6，这4个数字为循环，
所以2025÷4＝506⋯⋯1，
所以末位数字是2．
故选：A．
【变式练2】 （2024秋•泸县期中）观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，则2+22+23+24+25+…+22024的末位数字是（ ）
A．8B．6C．4D．0
【答案】D
【解析】解：由题知，2n的末位数字为2，4，8，6四个一循环，
∵2+4+6+8＝20，2024÷4＝506，
∴2+22+23+24+25+…+22024的末位数字是0，
故选：D．
【变式练3】 （2024秋•青白江区校级期中）观察算式21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…根据上述算式中的规律，你认为22010的末位数字是 4 ．
【答案】4．
【解析】解：发现规律：末位数字以2，4，8，6循环出现，
∴2010÷4＝502余2，
∴22010的末位数字是4，
故答案为：4．
x
﹣3
△
y
4
﹣6