《学段冲刺·期中臻选·考前必背》人教版七年级数学上册（2024）第2章 有理数的运算（知识清单）

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必 背 凝 练
1．有理数的加法
（1）有理数加法法则：
①同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和；
②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差，互为相反数的两个数相加得0．
③一个数同0相加，仍得这个数．
显然，两个有理数相加，和是一个有理数．
（2）运算律：
①加法交换律：
文字语言：两个数相加，交换加数的位置，和不变．
符号语言：a+b=b+a．
②加法结合律：
文字语言：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．
符号语言：（a+b）+c=a+（b+c）．
根据加法交换律和结合律，多个有理数相加，可以任意交换加数的位置也可以先把其中的几个数相加.
利用加法交换律、结合律，可以使运算简化，认识运算律对于理解运算有很重要的意义.
2．有理数的减法：
（1）有理数的减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．
显然，两个有理数相减，差是一个有理数.
（2）对于有理数的减法运算，应先转化为加法，再根据有理数加法法则计算，即加法与减法是互逆运算．
3．有理数的加减混合运算
（1）运用减法运算法则，将有理数加减混合运算转化为加法运算，转化为加法后的式子是几个正数或负数的和的形式．
（2）适当运用加法运算律简化运算．
4．省略和式中的括号和加号
（1）进行有理数的加减混合运算时，可以利用有理数减法法则将减法转化为加法，将有理数的加减混合运算统一成加法运算．为简化书写形式，在和式里可以把加号及加数的括号省略不写．
（2）省略加号和括号的和式通常有两种读法，如－9－12+3按式子所表示的意义读，读作“负9、负12、正3的和”，按运算的意义读，读作“负9减12加3”．
5．有理数的乘法法则
两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积．
任何数与0相乘，都得0．
显然，两个有理数相乘，积是一个有理数．
6．有理数的乘法运算律
（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即ab=ba．
（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等，即（ab）c=a（bc）．
（3）分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加，即a（b+c）=ab+bc．
7．有理数乘法法则的推广
（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．
（2）几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
8．倒数
（1）定义：乘积是1的两个数互为倒数．
（2）求倒数的方法：
①求分数的倒数：交换分子、分母的位置．
②求整数的倒数：整数分之1．
③求带分数的倒数：先化成假分数，再求倒数．
④求小数的倒数：先化成分数再求倒数．
9．有理数的除法
（1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即（b≠0）．
（2）从有理数除法法则，容易得出：两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．
10．有理数的乘除混合运算
（1）因为乘法与除法是同一级运算，应按从左到右的顺序运算．
（2）结果的符号由算式中负因数的个数决定，负因数的个数是偶数时结果为正，负因数个数是奇数时结果为负．
（3）化成乘法后，应先约分再相乘．
（4）有理数的乘除混合运算往往先将除法化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果．
11．有理数的加减乘除混合运算
先乘除，后加减，有括号的先计算括号里面的．同级运算中，按照从左到右的顺序计算，并能合理运用运算律简化运算．
12．有理数的乘方的意义：
（1）定义：求n个相同乘数的积的运算，叫作乘方．
（2）乘方的结果叫作幂．在an中，a叫作底数，n叫作指数．
（3）当an看作a的n次方的结果时，也可读作“a的n次幂”．
13．有理数乘方的运算法则：
（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．
（2）正数的任何次幂都是正数．
（3）0的任何正整数次幂都是0．
14．有理数混合运算的顺序：
（1）先乘方，再乘除，最后加减；
（2）同级运算，从左到右进行；
（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
15．用计算器计算乘方：
不同类型的计算器，可能操作方法不同，使用教材中所示类型的计算器时，平方按x2
键，立方按x3
键，其他次方按□
键和次数的数字键．
16．科学记数法
把大于10的数表示成a×10n的形式（其中a大于或等于1且小于10，n是正整数），使用的是科学记数法．
例如567 000 000=5.67×108．
对于小于–10的数也可以类似表示．例如–567 000 000=–5.67×108．
17．近似值
（1）准确数
在日常生活和生产实际中，能准确地表示一些量的数，称为准确数．例如：三班共50人，小颖养了3条金鱼，数字“50”和“3”就是准确数．
（2）近似数
与实际接近但存在一定偏差的数称为近似数．例如：体重约为54 kg．
（3）精确度
近似数的精确度是指近似数与准确数的接近程度．
①用数位表示：如精确到个位或百分位等．
②用小数点表示：如精确到0.1或0.01等．
确定近似数精确度的方法：看这个近似数的最后一位数字，它在哪个数位上，就说明该近似数精确到哪一个数位．
（4）有效数字
从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字．

掌握解题逻辑
方 法 归 纳
1．一个有理数由符号和绝对值两部分组成，所以进行加法运算时，要先确定符号，后确定绝对值．
2．当一个加数为负数时，这个负数必须用括号括起来，即两个符号要用括号隔开，如（–2）+（–1）中–1必须用括号括起来，不要写成–2+–1这样的形式．
3．将减法变为加法时，注意“两变”和“一不变”．“两变”即改变运算符号（减变加）和改变减数的性质符号（变为相反数）；“一不变”即被减数和减数的位置不能变换．
4．两数相减，当被减数大于减数时，差为正数；当被减数小于减数时，差为负数．
5．有理数加法运算三步走
一看：看符号，判断符合加法法则的哪一条；
二定：确定和的符号是正还是负；
三计算：利用绝对值相加或相减算出结果．
6．使用有理数加法运算律的注意事项
（1）使用有理数加法的交换律时，要连同加数的符号一起交换，必要时要加括号．
（2）有理数加法运算律也适用于三个或三个以上的数相加．
（3）算式中的第一个加数如果是省略了加号的正数，交换时要补上加号．
7．对于有理数的减法运算，应先转化为加法，再根据有理数加法法则计算，即加法与减法是互逆运算．
8．绝对值、相反数与加法运算的综合，先根据绝对值和相反数的意义求出相关的数，再根据结果分类讨论计算．
9．除法没有运算律，只有将除法转化为乘法后，才可以利用乘法运算律简化运算．
10．有理数乘除混合运算的步骤：
（1）将除法转化为乘法，除数转化为倒数；
（2）先确定积的符号，再把绝对值相乘；
（3）运用乘法运算律简化计算；
（4）求出最简结果．
11．有理数加减乘除混合运算的注意事项：
（1）常以加减号为界，把式子分成若干个部分，每一部分同时单独运算．
（2）通常把小数化为分数，把带分数化为假分数，以便于通分、约分计算．
（3）除法没有运算律，只有将除法转化为乘法后，才可以利用乘法的运算律简化运算．
（4）不能随意改变运算顺序．
12．偶次幂的非负性：
任何有理数的偶次幂都是非负数．即：
（n为正整数）．特别地，．
若几个非负数的和等于0，则每个非负数都等于0，据此可列出含有所求字母的等式，进而求得字母或与字母有关的式子的值．
13．取近似数的方法：
根据精确度取近似数时，要采用四舍五入法；在实际问题中，特殊情况下使用去尾法或进一法．
（1）四舍五入法：四舍五入法是最常用的取近似数的方法．求一个精确到某一数位的近似数时，对这一数位后面的那个数进行四舍五入．例如，2.55精确到十分位为2.6．
（2）去尾法：去尾法是去掉数的小数部分，取其整数部分的取近似数的方法．例如，把一根20 cm长的钢筋截成6 cm长的小段作零件，由20÷6=3.33…，可知能截得的零件数为3．
（3）进一法：进一法是去掉多余部分的数后，在保留部分的最后一个数字上加1的取近似数的方法．