吉林省延吉市2024~2025学年下学期九年级下期中测试数学试题（含答案解析）

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一、单选题
1. 若，则“□”中应填写的运算符号是（ ）
2. “陀螺”一词的正式出现是在明朝时期，陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一，如图所示放置的是一个木制陀螺玩具（上面是圆柱体，下面是圆锥体），它的主视图是（ ）
3. 如图是某幼儿园附近道路对汽车的限速标志，表示汽车在该路段行驶的速度不得超过．用表示汽车的速度，v与30应满足的关系为（ ）
4. 小明用两根小木棍，自制成一个如图所示的“形”测量工具，与交于点，，，，现将其放进一个锥形瓶，经测量，，则该锥形瓶底部的内径的长为（ ）
5. 如图，四边形内接于，为的直径，连接，若，则的度数为（ ）

6. 《九章算术》中有题曰：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多少步？若设甲、乙二人从出发到相遇的时间为，根据题意，可列方程为（ ）
二、填空题
7. 计算：_______．
8. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数c的值为______．
9. 如图，跳高比赛时，只需两个支点就能固定横杆，这种做法依据的数学基本事实是________．
10. 如图1，将笔记本电脑平放在桌子上，当电脑闭合时，与重合；当电脑打开时，点运动的过程形成.如图2，若，，则的长是_______（结果保留）．
11. 如图，长方形纸片ABCD，点E为边AB上一点，连接CE、DE．将∠AED沿ED对折，点A落在点A′处；将∠BEC沿EC对折，点B落在点B′处．若∠A′EB′＝α．下列结论：①若∠AED＝48°，∠BEC＝58°，则∠CED＝72°；②∠AED+∠BEC﹣∠CED＝α；③若∠CEA′＝2∠DEB′＝α，则∠DEB′＝15°；④若A′E平分∠CEB′，则∠DEB′＝90°﹣α．其中一定正确的有 _____（填序号即可）．
三、解答题
12. 先化简，再求值：，其中．
13. 如图，，，，．求证：．
14. 五一期间，七年级若干名学生和家长一同去某景区游玩．请根据景区票价公示栏中的信息及两人的对话，求这次参加游玩的家长和学生各多少人？
15. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图：
(1)如图①，在上画一点E，连结，使；
(2)如图②，在上画一点F，连结，使；
(3)如图③，在上画一点M，连结，使．
16. 某校举行田径运动会，学校准备了一些气球，某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少?
(3)请你利用p与V的表达式解释，为什么超载的车辆容易爆胎．
17. 社会消费品零售总额按消费类型可划分为商品零售和餐饮收入，它是表现国内消费需求最直接的数据，也是研究国内零售市场变动情况、反映经济景气程度的重要指标．如图是我国2019年上半年﹣2023年上半年按消费类型分零售额同比增速和社会消费品零售总额的统计图．
​
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)2019年上半年﹣2023年上半年，我国社会消费品零售总额的中位数是 亿元．
(2)根据国家统计局数据显示，2023年上半年我国的商品零售额为68643亿元，则2023年上半年我国的餐饮收入为 亿元．
(3)设2019年上半年﹣2023年上半年商品零售增长率的方差为，餐饮收入增长率的方差为，则 （填写“＞”或“＜”）．
(4)下列说法正确的是 （填序号）
①从2021年起我国上半年的社会消费品零售总额逐年增加．
②因为2020年上半年餐饮收入和商品零售的增长率都小于零，所以2020年上半年的餐饮收入和商品零售额也都小于零．
③2021年上半年﹣2023年上半年餐饮收入和商品零售的增长率逐年减小，所以餐饮收入和商品零售额也逐年减少．
18. 北庭故城建于唐代，见证了新疆自古以来就是祖国不可分割的一部分，废墟最高处如图所示是故城地标建筑之一，当初是为了防御外敌所建的瞭望角楼．此楼底部距离地平线高度为米，小明在地面A点处测得残楼低N的仰角是，由A往前走30米至点B处，测得的残顶P的仰角是，请求出瞭望角楼的高度（精确到1米）．（，，）
19. 综合与实践
项目任务：设计由10根弹簧构成且成本不超过40元的弹簧拉力计．
素材1：弹簧并联时，拉力计拉力等于每根弹簧拉力之和，如图1，．弹簧A拉力与长度之间有关系式；测得弹簧B拉力与长度的数据如下表：
素材2：在弹性限度内，弹簧A，B伸长后最大长度均为．弹簧A每根6元，弹簧B每根3元．
(1)任务1：在图2中描出以弹簧B测得数据的各对x与的对应值为坐标的各点，并判断这些点是否在同一直线上．
(2)任务2：求关于x的函数表达式，并求出弹簧B在弹性限度内的最大拉力．
(3)任务3：如何购买A，B两种弹簧，使并联后的弹簧拉力计拉力最大（在弹性限度内）？并求出弹簧拉力计的最大拉力．
20. 点是正方形所在平面内一点．
(1)如图，若为边上一点，为延长线上一点，且，判断与之间的关系，说明理由；
(2)如图，若点在边下方，当时，过点作的垂线交的延长线于点，猜想线段，，之间的数量关系，并证明；
(3)在（）的条件下，连接，延长交于点.当，时，求的面积．
21. 如图，在菱形中，，．动点从出发沿线段方向以每秒的速度向终点运动．过点作交边或于点，在的左侧作，使，，设点的运动时间为（秒）．

(1)直接写出的长度；（用含的代数式来表示）
(2)若点落在内部，求的取值范围；
(3)求与重合图形部分的面积与时间之间的函数解析式．
22. 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点、是抛物线上不重合的两点，其横坐标分别为、．
(1)求该抛物线的顶点坐标；
(2)当点恰好与该抛物线的顶点重合时，连结，设与轴交于点，过点作轴于点，求此时的值；
(3)已知直线是与轴平行的一条直线，当直线不经过点时，过点作于点，连结，以、为邻边构造平行四边形．
①若点恰好在直线上，当该抛物线在平行四边形内部的点的纵坐标随的增大而增大时，直接写出的取值范围；
②若直线恰好经过该抛物线的顶点，设直线与直线相交于点，当直线分平行四边形的面积为两部分时，直接写出的值．
吉林省延吉市2024~2025学年下学期九年级期中测试数学试题
整体难度：适中
考试范围：数与式、图形的变化、方程与不等式、图形的性质、函数、统计与概率
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
第21题：
第22题：
A．＋
B．－
C．×
D．÷
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
景区票价
成人票：每张90元
学生票：按成人票价5折优惠
团体票：按成人票价7.5折优惠（10张及以上）
弹簧长度
10
15
20
25
拉力
5
10
15
20
题型
数量
单选题
6
填空题
5
解答题
11
难度
题数
容易
1
较易
11
适中
8
较难
2
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
有理数的减法运算；有理数的除法运算；有理数加法运算；两个有理数的乘法运算
2
0.85
判断简单组合体的三视图
3
0.85
不等式的定义
4
0.65
相似三角形的判定与性质综合
5
0.85
已知圆内接四边形求角度；半圆（直径）所对的圆周角是直角
6
0.85
用勾股定理解三角形
二、填空题
7
0.85
异分母分式加减法
8
0.85
根据一元二次方程根的情况求参数
9
0.85
两点确定一条直线
10
0.94
求弧长
11
0.65
角平分线的有关计算；折叠问题
三、解答题
12
0.85
整式的混合运算；已知字母的值，化简求值
13
0.65
全等的性质和SAS综合（SAS）
14
0.85
其他问题(二元一次方程组的应用)
15
0.65
格点作图题；无刻度直尺作图；线段垂直平分线的性质；根据三线合一证明
16
0.65
实际问题与反比例函数
17
0.85
由条形统计图推断结论；折线统计图；求中位数；根据方差判断稳定性
18
0.65
仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
19
0.65
求一次函数解析式；其他问题(一次函数的实际应用)
20
0.65
根据正方形的性质证明；相似三角形的判定与性质综合；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；等腰三角形的性质和判定
21
0.4
等边三角形的判定和性质；解直角三角形的相关计算；利用菱形的性质求线段长
22
0.4
y=ax²+bx+c的图象与性质；相似三角形的判定与性质综合；利用平行四边形的性质求解；解直角三角形的相关计算
序号
知识点
对应题号
1
数与式
1,7,12
2
图形的变化
2,4,11,18,20,21,22
3
方程与不等式
3,8,14
4
图形的性质
5,6,9,10,11,13,15,20,21,22
5
函数
16,19,22
6
统计与概率
17