2025-2026学年江苏省苏州工业园区九年级（上）数学10月考模拟试卷-自定义类型

这是一份2025-2026学年江苏省苏州工业园区九年级（上）数学10月考模拟试卷-自定义类型，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列方程中，是一元二次方程的是（）
A. B. C. D.
2.抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
3.已知一元二次方程有一个根是2，则的值为（ ）
A. 2B. C. 3D.
4.将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线为（ ）
A. B. C. D.
5.如图为一次函数的图象，则二次函数在平面直角坐标系中的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
6.抛物线的图象上有三点，，，则，，大小关系（ ）
A. B. C. D.
7.已知关于的方程的两根为，，则方程的两根之和为（ ）
A. B. C. D.
8.若，则的最大值为（ ）
A. B. 4C. 5D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.一元二次方程的两根分别为和，则的值为 ．
10.关于x的方程是一元二次方程的条件是 ．
11.已知方程的两个根为1和，则抛物线的对称轴为直线 ．
12.某种药品原来售价100元，连续两次降价后售价为81元，若每次下降的百分率相同，则这个百分率是 ．
13.已知二次函数，当自变量满足时，的取值范围是 ．
14.在平面直角坐标系中，若抛物线与直线的一个交点的横坐标为，则代数式的值为 ．
15.已知关于的一元二次方程的两个实数根分别是、，满足，那么的值为 ．
16.定义：抛物线上的所有点的横、纵坐标都扩大为原来的倍后得到新的抛物线，叫的“倍衍生抛物线”．例如：求抛物线的“5倍衍生抛物线”．设抛物线上一点，则点在抛物线上的对应点为因为点，因为点在抛物线上，所以，整理得到，即抛物线的表达式为．参考上述方法，抛物线的“倍衍生抛物线”的表达式为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.用合适的方法解一元二次方程
(1) ；
(2)
(3)
四、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程．
(1) 求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；
(2) 若方程的两个实数根分别为，且满足，求m的值．
19.(本小题8分)
已知二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点（-3，0）、（2，-5）．
(1) 求此二次函数的解析式；
(2) 请你判断点P（-2，4）是否在这个二次函数的图像上？
20.(本小题8分)
已知二次函数y=ax2的图象与直线y=x+2交于点（2，m）
(1) 判y=ax2的图象的开口方向，并说出此抛物线的对称轴、顶点坐标以及当x>0时，y的值随x值的增大而变化的情况；
(2) 设直线y=x+2与抛物线y=ax2的交点分别为A、B．如图所示，试确定A、B两点的坐标；
(3) 连接OA、OB，求△AOB的面积．
21.(本小题8分)
先阅读方框中方程的求解过程，然后解答问题：
(1) 解方程：．
(2) 解方程：．
(3) 方程的解为 ．
22.(本小题8分)
某商场销售一批鞋子，平均每天可售出双，每双盈利元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，调查发现，每双鞋子每降价元，商场平均每天可多售出双．
(1) 若每双鞋子降价元，商场平均每天可售出多少双鞋子？
(2) 若商场每天要盈利元，且让顾客尽可能多得实惠，每双鞋子应降价多少元？
(3) 每双鞋子降价多少元时？每天可以获得最大利润．最大利润为多少元？
23.(本小题8分)
综合与实践
在学习完二次函数后，创新学习小组对一个二次函数的顶点特征展开了如下探究：
(1) ①列表：填写表格，表格中的与的值分别是____，____；
②描点：随着取不同值，请将的顶点描在下面的平面直角坐标系中；
③连线：用光滑的曲线顺次连接各点；
(2) ①猜想：随着取不同值，的顶点形成的图象的表达式是___________；②请验证你的猜想；
(3) 若抛物线与轴有两个不同的交点，请求出的取值范围．
24.(本小题8分)
如图，利用一面墙（墙长米），用总长度米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个米的小门，设栅栏长为米．
(1) 若矩形围栏面积为平方米，求栅栏的长；
(2) 矩形围栏面积是否存在最大面积？若存在，求出矩形围栏的长；不存在，请说明理由．
25.(本小题8分)
设二次函数（，是常数），二次函数值和自变量的部分对应取值如下表示：
(1) 若时，求二次函数的表达式；并直接写出的取值范围，使随的增大而减小；
(2) 当时，有最小值为，求的值；
(3) 若，，三个实数中，只有一个正数，求的取值范围．
26.(本小题8分)
综合与实践
问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形设点P的运动时间为，正方形的而积为S，探究S与t的关系
(1) 初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时，
①当时， ．
②S关于t的函数解析式为 ．
(2) 当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段的长．
(3) 延伸探究：若存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等．
①_______；
②当时，求正方形的面积．
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】0
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】10%．
13.【答案】
14.【答案】2027
15.【答案】-2
16.【答案】
17.【答案】【小题1】
，
移项，得：，
因式分解，得：，
或，
，；
【小题2】
，
，，，
，
，
，．
【小题3】
，
∴，
解得：．

18.【答案】【小题1】
证明：
∴方程有两个不相等的实数根；
【小题2】
解：
又
．

19.【答案】【小题1】
把（-3，0）、（2，-5）代入函数解析式得，
，解得，，
抛物线解析式为，
【小题2】
（把P（-2，4）代入函数解析式，左边=4，右边=，
左边≠右边，
点P不在该二次函数上．

20.【答案】【小题1】
将点（2，m）代入y=x+2，解得m=4，所以交点坐标为（2，4），
把（2，4）代入y=ax2可得a=1
所以二次函数解析式为y=x2，
所以抛物线的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）；
所以当x>0时，y随x的增大而增大；
【小题2】
由题意得x2=x+2，解得x=2或x=-1，则y=4或y=1；
所以A点坐标为（2，4），B点坐标为（-1，1）；
【小题3】
由y=x+2与y轴交点的坐标为（0，2）
所以△AOB的面积=．

21.【答案】【小题1】
解：，
∴，
∴或，
解得，
解，即，
∴，，
∴方程的解为：，，；
【小题2】
解：，
∴，
∴或
∴，，，；
【小题3】
，​​​​​​​

22.【答案】【小题1】
解：（双）
答：商场平均每天可售出双鞋子．
【小题2】
设每双降价元．
解得：
让顾客尽可能得实惠，
答：每双鞋子降价元．
【小题3】
设每双鞋子降价元时，每天可以获得最大利润元．
当元时，最大元．
答：每双鞋子降价元时，每天可以获得最大利润元．

23.【答案】【小题1】
解：由题意，∵二次函数
，
∴其顶点坐标为．
①当时，顶点为；
当时，顶点为．
∴，．
故答案为：0，3．
②描点：如图，即为所描点；
③连线：如图，即为所连线；
；
【小题2】
解：①猜想：随着k取不同值，的顶点形成的图象的表达式是．
故答案为：；
②由题意，二次函数：，其顶点坐标为，
∴可设，，
把代入中，
∴；
【小题3】
解：由题意，∵与x轴有两个不同的交点，，
由（2）可知：函数：的顶点始终在图象上滑动，其顶点为，
当时，
∴或，
抛物线与x轴交于，两个点，
当顶点在下方时，抛物线与x轴有两个交点，；
∵：，即，
∴当时，即时，．
∴：始终过点．
∵函数：的顶点始终在上，
∴在上．
∴当的顶点在下方时，．
综上可得：或．

24.【答案】【小题1】
解：设栅栏长为米，
米，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：．
当时，，不合题意，舍去，
当时，，符合题意，
答：栅栏的长为米；
【小题2】
解：矩形围栏面积存在最大面积；理由如下：
设矩形围栏面积为，
根据题意得，，
，
，
，
当时，即米时，有最大值．

25.【答案】【小题1】
解：根据条件可得：，
解得，
所以二次函数表达式为，
∵，开口向下，对称轴，
∴当时，随的增大而减小；
【小题2】
解：由表可知，抛物线经过，两点，
∴当或时，
∴可知抛物线对称轴，
∴，
∴，
当时，的最小值为，
①时，开口向上，
当时，取得最小值，，
解得；
②时，开口向下，
当或时，最小值为，
代入，，
解得
综上，或；
【小题3】
解：根据表格，将代入，
∴，
∴，
表达式化为：，
将代入，得到，
将代入，得到
将代入，得到，
那么，
∵，，三个实数中，只有一个是正数，
即，，
，解得，
综上，的取值范围是．

26.【答案】【小题1】
3
​​​​​​​
【小题2】
解：由图2可知当点P运动到B点时，，
∴，
解得，
∴当时，，
由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为，
∴可设S关于t的函数解析式为，
把代入中得：，
解得，
∴S关于t的函数解析式为，
在中，当时，解得或，
∴；
【小题3】
解：①∵点P在上运动时，，点P在上运动时，
∴可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，
设是函数上的两点，则，是函数上的两点，
∴，
∴，
∵存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等．
∴可以看作，
∴，
故答案为：4；
②由（3）①可得，
∵，
∴，
∴，
∴．
.
解方程：．解：方程左边分解因式，得，解得，，．
的值
．．．．．．
．．．．．．
的顶点横坐标
．．．．．．
1
2
3
．．．．．．
的顶点纵坐标
．．．．．．
0
3
4
0
．．．．．．
…
…