初中数学小结精品习题

这是一份初中数学小结精品习题，文件包含专题12因式分解九大题型原卷版-2025-2026学年八年级数学提优专题举一反三训练及试卷测试人教版docx、专题12因式分解九大题型解析版-2025-2026学年八年级数学提优专题举一反三训练及试卷测试人教版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共40页， 欢迎下载使用。
【人教版】
\l "page1" 【题型 1 \l "page1" 利用因式分解求值】 \l "page1" 1
\l "page2" 【题型 2 \l "page2" 因式分解在有理数简算中的应用】 \l "page2" 2
\l "page2" 【题型 3 \l "page2" 利用因式分解确定整除问题】 \l "page2" 2
【题型 4利用添项进行因式分解】3
【题型 5利用拆项进行因式分解】5
【题型 6利用因式分解确定三角形的形状】6
【题型 7利用因式分解求最值】6
【题型 8因式分解在新定义问题中的运用】7
【题型 9因式分解在阅读理解中的运用】8
【知识点因式分解】
定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分
解，也叫做把这个多项式分解因式。
以上公式都可以用来对多项式进行因式分解，因式分解的常用方法：
①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；
②公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。
③分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)
④十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)
因式分解的一般步骤：
（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。
（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2 项式可以尝
试运用公式法分解因式；3 项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4 项式及 4
项式以上的可以尝试分组分解法分解因式
（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。
\l "page1" 【题型 1 \l "page1" 利用因式分解求值】
【例1】（2024秋•广南县期末）将（2x）n﹣81分解因式后得（4x2+9）（2x+3）（2x﹣3），那么n等于（ ）
A．2B．6C．4D．8
【分析】可以利用整式的乘法计算（4x2+9）（2x+3）（2x﹣3），即可得到n的值．
【解答】解：（4x2+9）（2x+3）（2x﹣3），
＝（4x2+9）（4x2﹣9），
＝16x4﹣81，
＝（2x）4﹣81，
故选：C．
【点评】此题主要考查了平方差公式，关键是掌握a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
【变式1-1】（2024春•宁远县期末）若多项式2x2+ax+6能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式2x﹣3，则a的值为 ﹣7 ．
【分析】先分解6＝（﹣3）×（﹣2），然后据此对多项式2x2+ax+6分解因式，然后再展开，最后与2x2+ax+6对比即可解答．
【解答】解：∵多项式2x2+ax+6能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式2x﹣3，
∵6＝（﹣3）×（﹣2）．
∴2x2+ax+6＝（2x﹣3）（x﹣2）＝2x2﹣7x﹣6．
∴a＝﹣7．
故答案为﹣7．
【点评】本题主要考查了因式分解的应用，根据条件确定另一个因式是求解本题的关键．
【变式1-2】（2024秋•攀枝花校级期中）已知三次四项式2x3﹣5x2﹣6x+k分解因式后有一个因式是x﹣3，试求k的值及另一个因式．
【分析】此题需先将2x3﹣5x2﹣6x+k解成x﹣3，再利用分组分解法进行因式分解，即可求出另一个因式．
【解答】解：设另一个因式为2x2+mx−k3，
∴（x﹣3）（2x2+mx−k3）＝2x3﹣5x2﹣6x+k，
2x3+mx2−k3x﹣6x2﹣3mx+k＝2x3﹣5x2﹣6x+k，
2x3+（m﹣6）x2﹣（k3+3m）x+k＝2x3﹣5x2﹣6x+k，
∴m−6=−5−(k3+3m)=−6，
解得：m=1k=9，
∴另一个因式为：2x2+x﹣3．
【点评】本题考查了因式分解的意义，解题时要根据分组分解法、提公因式法、公式法分解因式，难点是采用两两分组还是三一分组，要考虑分组后还能进行下一步分解，注意分解因式要彻底，直到不能再分解为止．
【变式1-3】先阅读下题的解答过程，然后解答后面的问题．
已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值．
解法一：设多项式的另一个因式为x2+ax+b，则2x3﹣x2+m＝（2x+1）（x2+ax+b）＝2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b，
∴2a+1=−1a+2b=0b=m，解得a=−1b=12m=12，∴m=12．
解法二：设2x3﹣x2+m＝A（2x+1）（A为整式）．
由于上式为恒等式，为方便计算，取x=−12，则2×（−12）3﹣（−12）2+m＝0，解得m=12．
选择恰当的方法解答下列各题：
（1）已知关于x的多项式x2+mx﹣15有一个因式是x﹣3，则m＝ 2 ；
（2）已知x4+mx3+nx﹣16有因式（x﹣1）和（x﹣2），求m，n的值；
（3）已知x2+2x+1是多项式x3﹣x2+ax+b的一个因式，求a，b的值，并将该多项式分解因式．
【分析】（1）根据多项式乘法将等式右边展开有：x2+mx﹣15＝（x﹣3）（x+n）＝x2+（n﹣1）x﹣n，所以，根据等式两边对应项的系数相等可以求得m的值；
（2）设x4+mx3+nx﹣16＝A（x﹣1）（x﹣2）（A为整式），分别取x＝1和x＝2得关于m和n的二元一次方程组，求解即可；
（3）设x3﹣x2+ax+b＝（x+p）（x2+2x+1），将等式右边展开，比较系数，得关于p，a，b的三元一次方程组，解方程组，再进行因式分解即可．
【解答】解：（1）由题设知：x2+mx﹣15＝（x﹣3）（x+n）＝x2+（n﹣3）x﹣3n，
故m＝n﹣3，﹣3n＝﹣15，
解得n＝5，m＝2．
故答案为：2；
（2）设x4+mx3+nx﹣16＝A（x﹣1）（x﹣2）（A为整式），
分别令x＝1和x＝2得：
m+n−15=08m+2n=0，
解得：m=−5n=20，
∴m＝﹣5，n＝20；
（3）设x3﹣x2+ax+b＝（x+p）（x2+2x+1），
∵（x+p）（x2+2x+1）＝x3+（2+p）x2+（1+2p）x+p，
∴2+p=−11+2p=ap=b，
解得：p=−3a=−5b=−3，
∴多项式x3﹣x2+ax+b＝x3﹣x2﹣5x﹣3，
∴x3﹣x2﹣5x﹣3
＝（x﹣3）（x2+2x+1）
＝（x﹣3）（x+1）2，
∴a＝﹣5，b＝﹣3，该多项式分解因式为：x3﹣x2﹣5x﹣3＝（x﹣3）（x+1）2．
【点评】本题考查了待定系数法在因式分解中的应用，读懂阅读材料中的分解方法是解题的关键．
\l "page2" 【题型 2 \l "page2" 因式分解在有理数简算中的应用】
【例2】利用因式分解计算：
（1）（﹣2）101+（﹣2）100；
（2）32021﹣32020；
（3）121×0.13+12.1×0.9﹣12×1.21；
（4）2022+982+202×196．
【分析】（1）提取（﹣2）100后计算即可；
（2）提取32020后计算即可；
（3）原式变形为1.21×13+1.21×9﹣1.21×12，然后提取1.21后计算即可；
（4）利用完全平方公式计算即可．
【解答】解：（1）（﹣2）101+（﹣2）100
＝（﹣2）100×（﹣2+1）
＝﹣2100；
（2）32021﹣32020
＝32020×（3﹣1）
＝2×32020；
（3）121×0.13+12.1×0.9﹣12×1.21
＝1.21×13+1.21×9﹣1.21×12
＝1.21×（13+9﹣12）
＝1.21×10
＝12.1；
（4）2022+982+202×196
＝2022+982+2×202×98
＝（202+98）2
＝3002
＝90000．
【点评】本题考查了利用因式分解进行简便计算，掌握因式分解的方法是解题的关键．
【变式2-1】（2021春•天元区校级期中）计算：2020×512﹣2020×492的结果是 404000 ．
【分析】原式提取公因式2020，再利用平方差公式计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝2020×（512﹣492）
＝2020×（51+49）×（51﹣49）
＝2020×100×2
＝404000．
故答案为：404000．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
【变式2-2】（2022秋•赤坎区校级期中）观察下列各式的计算结果：
1−122=1−14=34=12×32；
1−132=1−19=89=23×43；
1−142=1−116=1516=34×54；
1−152=1−125=2425=45×65；
…
（1）用你发现的规律填写下列式子的结果：
1−162= 56 × 76 ；
1−1n2= n−1n × n+1n ；
（2）用你发现的规律计算：
(1−122)×(1−132)×(1−142)×⋯×(1−120192)×(1−120202)．
【分析】（1）通过观察找到规律即可；
（2）进行变形即可得出答案．
【解答】解：（1）1−162=1−136=3536=56×76；
1−1n2=n2−1n2=n−1n×n+1n；
故答案为：56；76；n−1n；n+1n．
（2）原式=12×32×23×43×34×54×⋯×20182019×20202019×20192020×20212020
=12×20212020
=20214040．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，规律型：数字的变化美，找到规律是解题的关键．
【变式2-3】（2021春•青川县期末）计算：20212﹣2021×4040+20202＝ 1 ．
【分析】先根据完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2进行因式分解，再进行计算即可解得答案．
【解答】解：20212﹣2021×4040+20202
＝20212﹣2×2021×2020+20202
＝（2021﹣2020）2
＝12
＝1．
【点评】本题主要考查了利用完全平方公式进行因式分解的简便计算，解答此类问题的关键是熟知公式和分析题目的形式，有效地进行整式变形．
【变式2-4】利用因式分解计算：
（1）1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12
（2）1+24（52+1）（54+1）（58+1）•…•（532+1）
（3）2n+4−2(2n)2(2n+2)．
【分析】（1）原式结合后，利用平方差公式计算即可得到结果；
（2）原式第二项分子分母乘以52﹣1，利用平方差公式化简，计算即可得到结果；
（3）原式计算后，提取公因式，约分即可得到结果．
【解答】解：（1）1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12
＝（100+99）（100﹣99）+（98+97）（98﹣97）+…+（4+3）（4﹣3）+（2﹣1）（2+1）
＝100+99+98+97+…+4+3+2+1
＝101×50
＝5050；
（2）1+24（52+1）（54+1）（58+1）•…•（532+1）
＝1+24×52−152−1×（52+1）（54+1）（58+1）•…•（532+1）
＝1+564﹣1
＝564；
（3）2n+4−2(2n)2(2n+2)
=2n+1×8−2n+12n+1×4
=74．
【点评】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
\l "page2" 【题型 3 \l "page2" 利用因式分解确定整除问题】
【例3】（2021春•郴州期末）某兴趣小组为探究被3整除的数的规律，提出了以下问题：
（1）在312，465，522，458中不能被3整除的数是 458 ；
（2）一个三位数abc表示百位、十位、个位上的数字分别是a、b、c（a，b，c为0﹣9之间的整数，且a≠0），那么abc=100a+10b+c．若a+b+c是3的倍数（设a+b+c＝3t，t为正整数），那么abc能被3整除吗？如果能，请证明；如果不能，请说明理由．
（3）若一个能被3整除的两位正整数ab（a，b为1﹣9之间的整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到一个新数，新数减去原数等于54，求这个正整数ab．
【分析】（1）把各个数除以3即可得出结果；
（2）由题意可列出式子abc=100a+10b+c，进行整理可得：3（t+33a+3b）从而可判断；
（3）根据题意可得：ba−ab=54，把各个数表示出来代入进行求解，可以得出结果．
【解答】解：（1）312÷3＝104，能被3整除；
465÷3＝155，能被3整除；
522÷3＝174，能被3整除；
458÷3＝，不难被3整除；
故答案为：458；
（2）此时abc能被3整除，
证明：若a+b+c是3的倍数，则令a+b+c＝3t（t为正整数），
则有abc=100a+10b+c
＝（a+b+c）+（99a+9b）
＝3t+3（33a+3b）
＝3（t+33a+3b），
故abc能被3整除；
（3）∵ab交换后为ba，由题意得：
ba−ab=54，
有（10b+a）﹣（10a+b）＝54，
整理得：9（b﹣a）＝54，
得：b﹣a＝6，
∵a，b为1﹣9之间的整数，
∴有a=1b=7，a=2b=8，a=3b=9，
∵ab能被3整除，
∴这个正整数是39．
【点评】本题主要考查了因式分解的应用，解答的关键是理解清楚题意，表示出相应两位数或三位数．
【变式3-1】（2023秋•晋江市期中）已知416﹣1可以被10到20之间的某两个整数整除，则这两个数是（ ）
A．12，14B．13，15C．14，16D．15，17
【分析】先对原式进行因式分解，然后即可求出这两个整数．
【解答】解：原式＝（48+1）（48﹣1）
＝（48+1）（44+1）（42+1）（42﹣1）
＝（48+1）（44+1）×17×15，
∴这两个数是 15和17．
故选：D．
【点评】本题考查因式分解的应用，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．
【变式3-2】（2023•武安市三模）某数学兴趣小组研究如下等式：38×32＝1216，53×57＝3021，71×79＝5609，84×86＝7224．观察发现以上等式均是“十位数字相同，个位数字之和是10的两个两位数相乘，且积有一定的规律”．
（1）根据上述的运算规律，直接写出结果：58×52＝ 3016 ；752＝ 5625 ；
（2）设其中一个数的十位数字为a，个位数字为b（a＞0，b＞0）．
①请用含a，b的等式表示这个运算规律，并用所学的数学知识证明；
②上述等式中，分别将左边两个乘数的十位和个位数字调换位置，得到新的两个两位数相乘（如：38×32调换为83×23）．若记新的两个两位数的乘积为m，①中的运算结果为n，求证：m﹣n能被99整除．
【分析】（1）根据上述的运算规律计算，即可求解；
（2）①根据题意可得这两个两位数分别为10a+b，10a+10﹣b，从而得到这个运算规律为（10a+b）（10a+10﹣b）＝100a（a+1）+b（10﹣b），然后分别计算等式的左右两边，即可求解；
②由①得：n＝100a2+100a+10b﹣b2，可得新的两个两位数分别为10b+a，10（10﹣b）+a，进而得到m＝（10b+a）[10（10﹣b）+a]，然后计算出m﹣n，即可解答．
【解答】（1）解：根据题意得：58×52＝（5×6）×100+8×2＝3016，752＝（7×8）×100+5×5＝5625；
故答案为：3016；5625；
（2）①解：∵其中一个数的十位数字为a，个位数字为b（a，b＞0），
∴另一个数的十位数字为a，个位数字为10﹣b，
∴这两个两位数分别为10a+b，10a+10﹣b，
根据题意得：这个运算规律为（10a+b）（10a+10﹣b）＝100a（a+1）+b（10﹣b），
证明：左边＝100a2+10ab+100a+10b﹣10ab﹣b2＝100a2+100a+10b﹣b2，
右边＝100a2+100a+10b﹣b2，
∴左边＝右边；
②证明：由①得：n＝100a2+100a+10b﹣b2，
∵分别将左边两个乘数的十位和个位调换位置，得到新的两个两位数相乘，
∴新的两个两位数分别为10b+a，10（10﹣b）+a，
∴m＝（10b+a）[10（10﹣b）+a]
＝（10b+a）（100﹣10b+a）
＝1000b﹣100b2+100a+a2，
∴m﹣n＝（1000b﹣100b2+100a+a2）﹣（100a2+100a+10b﹣b2）
＝﹣99a2﹣99b2+990b
＝﹣99（a2+b2﹣10b），
∵a，b为正整数，
∴a2+b2﹣10b为整数，
∴m﹣n能被99整除．
【点评】本题主要考查了整式的混合运算，因式分解的应用，明确题意，准确得到规律是解题的关键．
【题型 4利用添项进行因式分解】
【例4】（2023春•定边县期末）19世纪的法国数学家苏菲•热门给出了一种分解因式x4+4的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+22的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去．即可得x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）．人们为了纪念苏菲•热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”．
根据以上方法，把下列各式因式分解：
（1）4x4+y4；
（2）a2﹣4am﹣n2+4mn．
【分析】对于（1），为配成完全平方公式，添加一项4x2y2，再减去4x2y2，再利用平方差公式分解因式；
对于（2），先把4项分为两组，（a2﹣n2）﹣（4am﹣4mn），组内分别因式分解，然后再提出公因式（a﹣n）即可．
【解答】解：（1）4x4+y4＝4x4+y4+4x2y2﹣4x2y2＝（2x2+y2）2﹣4x2y2＝（2x2+y2﹣2xy）（2x2+y2+2xy），
（2）a2﹣4am﹣n2+4mn＝（a2﹣n2）﹣（4am﹣4mn）＝（a+n）（a﹣n）﹣4m（a﹣n）＝（a﹣n）（a+n﹣4m）．
【点评】本题考查灵活应用因式分解的知识，对于（1）解题的关键是知道加什么可以凑成完全平方公式，对于（2）解题的关键是合理的分组．
【变式4-1】（2022•柳南区二模）添项、拆项是因式分解中常用的方法，比如分解多项式a2﹣1可以用如下方法分解因式：
①a2﹣1＝a2﹣a+a﹣1＝a（a﹣1）+（a﹣1）＝（a﹣1）（a+1）；
又比如多项式a3﹣1可以这样分解：
②a3﹣1＝a3﹣a2+a2﹣a+a﹣1＝a2（a﹣1）+a（a﹣1）+（a﹣1）＝（a﹣1）（a2+a+1）；
仿照以上方法，分解多项式a5﹣1的结果是 （a﹣1）（a4+a3+a2+a+1） ．
【分析】依照例子，补上比第一项的指数小1的项逐次分解因式即可．
【解答】解：原式＝a5﹣a4+a4﹣a3+a3﹣a2+a2﹣a+a﹣1
＝a4（a﹣1）+a3（a﹣1）+a2（a﹣1）+a（a﹣1）+（a﹣1）
＝（a﹣1）（a4+a3+a2+a+1）．
故答案为：（a﹣1）（a4+a3+a2+a+1）．
【点评】此题考查的是因式分解，根据例子能够进行正确分项拆项是解决此题的关键．
【变式4-2】（2021秋•山西期末）阅读与思考
任务：
（1）请根据以上阅读材料补充完整对a3+b3因式分解的过程．
（2）已知a+b＝2，ab＝﹣4，求a3+b3的值．
【分析】（1）把a3+b3化为a3+a2b﹣a2b+b3的形式，先提取公因式、平方差公式，再提取公因式分解因式；
（2）把a+b＝2，等式两边平方，求出a2+b2＝12，再根据（1）的结论求出a3+b3的值．
【解答】解：（1）a3+b3
＝a3+a2b﹣a2b+b3
＝（a3+a2b）﹣（a2b﹣b3）
＝a2（a+b）﹣b（a2﹣b2）
＝a2（a+b）﹣b（a+b）（a﹣b）
＝（a+b）（a2﹣ab+b2）；
（2）∵a+b＝2，ab＝﹣4，
∴（a+b）2＝4，
∴a2+b2+2ab＝4，
∴a2+b2＝12，
∴a3+b3
＝（a+b）（a2﹣ab+b2）
＝2×[12﹣（﹣4）]
＝2×16
＝32．
【点评】本题主要考查了因式分解的应用、因式分解的意义，掌握添加某项，可以达到因式分解的效果是解题关键．
【变式4-3】（2024春•尤溪县月考）计算（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）．老师讲解的方法如下：
方法应用
按照上述方法计算（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）（364+1）．
【分析】依次按照平方差公式计算即可．
【解答】解：原式＝（32﹣1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）（364+1）
＝（364﹣1）（364+1）
＝3128﹣1．
【点评】本题考查了平方差公式在计算中的应用，根据材料中的方法正确运用平方差公式是解题的关键．
【变式4-4】（2024•九龙坡区校级三模）阅读理解：
添项法是代数变形中非常重要的一种方法，在整式运算和因式分解中使用添项法往往会起到意想不到的作用，例如：
例1：计算（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）
解：原式=12（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）
=12（32﹣1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）
=12（34﹣1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）
……
=364−12
例2：因式分解：x4+x2+1
解：原式＝x4+x2+1＝x4+2x2+1﹣x2
＝（x2+1）2﹣x2
＝（x2+1+x）（x2+1﹣x）
根据材料解决下列问题：
（1）计算：(1+12)(1+122)(1+124)(1+128)⋯⋯(1+12512)；
（2）小明在作业中遇到了这样一个问题，计算(14+4)(54+4)(94+4)⋯⋯(494+4)(34+4)(74+4)(114+4)⋯⋯(514+4)，通过思考，他发现计算式中的式子可以用代数式之x4+4来表示，所以他决定先对x4+4先进行因式分解，最后果然发现了规律；轻松解决了这个计算问题．请你根据小明的思路解答下列问题：
①分解因式：x4+4；
②计算：(14+4)(54+4)(94+4)⋯⋯(494+4)(34+4)(74+4)(114+4)⋯⋯(514+4)．(14+4)(54+4)(94+4)⋯⋯(494+4)(34+4)(74+4)(114+4)⋯⋯(514+4)．
【分析】（1）配成平方差公式只要在前面乘以2×（1−12）即可，连续使用平方差公式，得出最后结果，
（2）①根据配方法在原式的基础上（+4x2﹣4x2），转化为完全平方公式，再利用拆项法配方，最后化为两个因式的积，
②根据x4+4的分解结果，分别求出当x＝1，x＝3，x＝5，x＝7，x＝9，x＝11……所对应的x4+4个结果，从而得到一个规律，再代入求值即可．
【解答】解：（1）原式＝2×（1−12）×(1+12)(1+122)(1+124)(1+128)⋯⋯(1+12512)
＝2×（1−121024）
=21024−121023，
（2）①x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2
＝（x2+2）2﹣（2x）2
＝（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）
＝[（x+1）2+1]•[（x﹣1）2+1]
②当x＝1时，14+4＝1×5，当x＝3时，34+4＝5×17，
当x＝5时，54+4＝17×37，当x＝7时，74+4＝37×65，
当x＝9时，94+4＝65×101，当x＝11时，114+4＝101×145，
……
原式=1×5×17×37×65×101×⋯⋯×(502+1)5×17×37×65×101×145×⋯⋯×(502+1)(522+1)×1×5×17×37×65×101×⋯⋯×(502+1)5×17×37×65×101×145×⋯⋯×(502+1)(522+1)
=1522+1×1522+1
＝（1522+1）2，
【点评】考查整式的混合运算，平方差公式、完全平方公式等知识，掌握公式，通过因式分解的变形，找出存在的规律是解决问题的关键．
【题型 5利用拆项进行因式分解】
【例5】【学习材料】拆项法
在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，再分组进行因式分解．
例1因式分解：x2+6x﹣7
解：原式＝（x2+6x+9）﹣16＝（x+3）2﹣42＝（x+3+4）（x+3﹣4）＝（x+7）（x﹣1）
例2因式分解：x3+5x﹣6
解：原式＝（x3﹣x）+（6x﹣6）＝x（x+1）（x﹣1）+6（x﹣1）＝（x﹣1）[x（x+1）+6]＝（x﹣1）（x2+x+6）
【知识应用】请根据以上材料中的方法，解决下列问题：
（1）因式分解：x2+14x﹣15＝ （x+15）（x﹣1） ；
（2）运用拆项法因式分解：x3﹣8x+7；
（3）化简x3−x2−4x−2，并求该式的最小值．
【分析】（1）根据例1的思路计算即可；
（2）根据例2的思路计算即可；
（3）根据题意对分子进行因式分解，然后再约分化简，最后利用材料中的方法进行配方即可求解．
【解答】解：（1）x2+14x﹣15
＝x2+14x+49﹣64
＝（x+7）2﹣82
＝（x+7+8）（x+7﹣8）
＝（x+15）（x﹣1）；
（2）x3﹣8x+7
＝（x3﹣x）﹣（7x﹣7）
＝x（x+1）（x﹣1）﹣7（x﹣1）
＝（x﹣1）[x（x+1）﹣7]
＝（x﹣1）（x2+x﹣7）；
（3）x3−x2−4x−2
=(x3−2x2)+(x2−4)x−2
=x2(x−2)+(x+2)(x−2)x−2
=(x−2)(x2+x+2)x−2
＝x2+x+2
=x2+x+14+74
=(x+12)2+74，
当x=−12时，最小值为74．
【点评】本题考查了因式分解，分式的化简，解题的关键是理解题意，掌握相关的运算法则．
【变式5-1】（2024秋•上海校级月考）（1）写一个多项式，再把它分解因式（要求：多项式含有字母m和n，系数、次数不限，并能先用提取公因式法再用公式法分解）．
（2）拆项法是因式分解中一种技巧性较强的方法，它通常是把多项式中的某一项拆成几项，再分组分解，因而有时需要多次实验才能成功，例如把 x3﹣3x2+4 分解因式，这是一个三项式，最高次项是三次项，一次项系数是0，本题没有公因式可提取，又不能直接应用公式，因而考虑制造分组分解的条件，把常数项拆成1和3，原式就变成
（x3+1）﹣（3x2﹣3），再利用立方和与平方差先分解，解法如下“
原式＝x3+1﹣（3x2﹣3）＝（x+1）（x2﹣x+1）﹣3（x+1）（x﹣1）＝（x+1）（x2﹣x+1﹣3x+3）＝（x+1）（x﹣2）2
公式：a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2） a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）
根据上述论法和解法，
（1）分解因式 x3+x2﹣2
（2）分解因式 x3﹣7x+6
（3）分解因式 x4+x2+1．
【分析】（1）将原式拆成（x3﹣1）+（x2﹣1）然后分别利用立方差和平方差公式因式分解后再提起公因式x﹣1即可；
（2）将原式拆成x3﹣1﹣7x+7，然后前两项利用立方差公式因式分解，后两项提取公因式即可确定答案；
（3）将原式拆成x4+2x2+1﹣x2，然后利用平方差公式因式分解即可．
【解答】解：（1）x3+x2﹣2
＝（x3﹣1）+（x2﹣1）
＝（x﹣1）（x2+x+1）+（x﹣1）（x+1）
＝（x﹣1）（x2+2x+2）；
（2）原式＝x3﹣1﹣7x+7＝（x﹣1）（x2+x+1）﹣7（x﹣1）＝（x﹣1）（x2+x﹣6）＝（x﹣1）（x﹣2）（x+3）；
（3）x4+x2+1＝x4+2x2+1﹣x2＝（x2+1）2﹣x2＝（x2+1+x）（x2+1﹣x）．
【点评】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细阅读题目，从题目中得到因式分解的方法，难度不大．
【题型 6利用因式分解确定三角形的形状】
【例6】已知a，b，c是三角形ABC的三边，且满足2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac＝0，试判别三角形的形状．
【分析】将2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac＝0，变形为a2+b2﹣2ab+b2+c2﹣2bc+a2+c2﹣2ac＝0，得出三个完全平方式和的形式即可得出结论．
【解答】解：∵a，b，c是三角形ABC的三边，且满足2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac＝0，
∴a2+b2﹣2ab+b2+c2﹣2bc+a2+c2﹣2ac＝0，
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0，
∵（a﹣b）2≥0，（b﹣c）2≥0，（a﹣c）2≥0，
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，a﹣c＝0，
∴a＝b＝c，
∴三角形ABC是等边三角形．
【点评】本题主要考查了等边三角形的判定，非负数的性质，熟记等边三角形的判定，非负数的性质是解题的关键．
【变式6-1】（2024春•西安校级月考）已知△ABC的三边a，b，c满足（a2+b2）（a﹣b）＝c2（a﹣b），则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【分析】运用因式分解、等腰三角形的定义和勾股定理的逆定理进行求解．
【解答】解：∵（a2+b2）（a﹣b）＝c2（a﹣b），
∴（a2+b2）（a﹣b）﹣c2（a﹣b）
＝（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0，
∴a﹣b＝0或a2+b2﹣c2＝0，
∴△ABC的形状是等腰三角形和直角三角形，
故选：D．
【点评】此题考查了三角形形状的辨别能力，关键是能准确理解并运用因式分解、等腰三角形的定义和勾股定理的逆定理等知识．
【变式6-2】（2023春•东港市期末）已知a，b，c是三角形的三边，且满足（a+b+c）2＝3a2+3b2+3c2，则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
【分析】依据题意，将（a+b+c）2＝3a2+3b2+3c2变形得2a2+2b2+2c2＝2ab+2ac+2bc，然后移项得（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0，从而a﹣b＝0，b﹣c＝0，a﹣c＝0，即可得解．
【解答】解：由题意，（a+b+c）2＝3a2+3b2+3c2，
∴2a2+2b2+2c2＝2ab+2ac+2bc．
∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc＝0．
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0．
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，a﹣c＝0．
∴a＝b＝c．
∴△ABC为等边三角形．
故选：C．
【点评】本题主要考查了因式分解的意义，解题时要能熟练掌握并灵活运用．
【变式6-3】（2024秋•峨眉山市期末）已知等腰△ABC的三边长a，b，c均为整数，且满足a+bc+b+ac＝24，则这样的三角形共有 3 个．
【分析】先将a+bc+b+ca＝24 可以化为 （a+b）（c+1）＝24，然后根据24分解为大于等于2的两个正整数的乘积有几种组合讨论是否符合题意即可得出答案．
【解答】解：a+bc+b+ca＝24 可以化为 （a+b）（c+1）＝24，其中a，b，c都是正整数，并且其中两个数相等，
令a+b＝A，c+1＝C 则A，C为大于2的正整数，
那么24分解为大于等于2的两个正整数的乘积有几种组合2×12，3×8，4×6，6×4，3×8，2×12，
①、A＝2，C＝12时，c＝11，a+b＝2，无法得到满足等腰三角形的整数解；
②、A＝3，C＝8时，c＝7，a+b＝3，无法得到满足等腰三角形的整数解；
③、A＝4，C＝6时，c＝5，a+b＝4，无法得到满足等腰三角形的整数解；
④、A＝6，C＝4时，c＝3，a+b＝6，可以得到a＝b＝c＝3，可以组成等腰三角形；
⑤、A＝8，C＝3时，c＝2，a+b＝8，可得a＝b＝4，c＝2，可以组成等腰三角形，a＝b＝4是两个腰的长度；
⑥、A＝12，C＝2时，可得 a＝b＝6，c＝1，可以组成等腰三角形，a＝b＝6是两个腰的长度．
由此一共有3个这样的三角形．
故答案为：3．
【点评】本题考查因式分解的应用及等腰三角形的知识，难度一般，在解答本题时将原式化为因式相乘的形式及将24分解为大于等于2的两个正整数的乘积有几种组合是关键．
【题型 7利用因式分解求最值】
【例7】（2023春•天元区校级期末）整数a、b、c是△ABC的三条边（a＜b＜c），若△ABC的周长为30，那么c2+18a+18b﹣446的最小值为 17 ．
【分析】根据三角形的周长得到a+b＝30﹣c，整体代入c2+18a+18b﹣446，得到（c﹣9）2+13，利用三角形的三边关系求出10＜c＜15，根据c是整数，利用完全平方式的非负性求出最小值即可．
【解答】解：∵△ABC的周长为30．
∴a+b+c＝30．
∴a+b＝30﹣c，
而a+b＞c，
则30﹣c＞c，
∴c＜15，
∵a＜b＜c，
∴c＞10
∴10＜c＜15，
∴c2+18a+18b﹣446
＝c2+18（a+b）﹣446
＝c2+18（30﹣c）﹣446
＝（c﹣9）2+13，
∵c是整数，
∴当c＝11时，c2+18a+18b﹣446的值最小，且为17．
故答案为：17．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，完全平方公式，因式分解的应用，解题的关键是掌握三角形的三边关系，完全平方公式，因式分解的应用，正确求出c的取值范围．
【变式7-1】（2021秋•东方期末）利用完全平方公式因式分解在数学中的应用，请回答下列问题：
（1）因式分解：x2﹣4x+4＝ （x﹣2）2 ；
（2）填空：当x＝ 3 时，代数式x2﹣6x+9＝0；
（3）阅读如下材料，完成下列问题：
对于二次三项式求最值问题，有如下示例：
x2﹣2x+3＝x2﹣2x+12﹣12+3＝（x﹣1）2+2．因为（x﹣1）2≥0，所以（x﹣1）2+2≥2，所以，当x＝1时，原式的最小值为2．
①代数式x2+10x+20的最小值是 ﹣5 ；
②拓展与应用：求代数式a2+b2﹣6a﹣8b+30的最小值（模仿示例详细说明）．
【分析】（1）根据差的完全平方公式进行分解便可；
（2）先对等式左边的代数式进行因式分解，再求未知数的值较容易；
（3）①通过因式分解把原式化成一个完全平方式与一个常数和的形式，便可求得最小值；
（3）利用完成完全平方式分解因式，把已知代数式转化为两个代数式的平方和与一个常数的和的形式，便可求得最小值．
【解答】解：（1）原式＝x2﹣2×2x+22＝（x﹣2）2，
故答案为：（x﹣2）2；
（2）x2﹣6x+9＝0，
（x﹣3）2＝0，
x﹣3＝0，
x＝3，
∴当x＝3时，代数式x2﹣6x+9＝0．
故答案为：3；
（3）①x2+10x+20＝x2+2×5x+52﹣5＝（x+5）2﹣5，
∵（x+5）2≥0，
∴（x+5）2﹣5≥﹣5，
∴代数式x2+10x+20的最小值是﹣5．
故答案为：﹣5；
②a2+b2﹣6a﹣8b+30＝（a﹣3）2+（b﹣4）2+5，
∵（a﹣3）2≥0，（b﹣4）2≥0，
∴（a﹣3）2+（b﹣4）2+5≥5，
∴代数式a2+b2﹣6a﹣8b+30的最小值是5．
【点评】本题主要考查了因式分解，求代数式的值，关键掌握因式分解的方法与技巧．
【变式7-2】（2020秋•沙坪坝区校级期末）已知A为多项式，且A＝﹣2x2﹣y2+12x+4y+1，则A有（ ）
A．最大值23B．最小值23C．最大值﹣23D．最小值﹣23
【分析】利用配方法将多项式A进行变形，然后根据非负数的性质求得最值．
【解答】解：A＝﹣2x2﹣y2+12x+4y+1＝﹣[2（x﹣3）2+（y﹣2）2]+23．
∵2（x﹣3）2+（y﹣2）2≥0，
∴﹣[2（x﹣3）2+（y﹣2）2]≤0，
∴A＝﹣[2（x﹣3）2+（y﹣2）2]+23≤23，
∴多项式A的最大值是23．
故选：A．
【点评】本题主要考查了配方法的应用和非负数的性质，配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2．
【变式7-3】（2024秋•荷塘区期中）求x2﹣x+3的最小值 114 ．
【分析】用配方法把x2﹣x+3化成（x−12）2+114，然后根据非负数的性质得出结论．
【解答】解：x2﹣x+3＝x2﹣x+14−14+3＝（x−12）2+114，
∵（x−12）2≥0，
∴（x−12）2+114≥114，
∴x2﹣x+3的最小值是114，
故答案为：114．
【点评】本题考查配方法的应用和非负数的性质，关键是掌握配方法．
【题型 8因式分解在新定义问题中的运用】
【例8】（2021春•薛城区期末）整式乘法与多项式因式分解是既有联系又有区别的两种变形．
例如，a（b+c+d）＝ab+ac+ad是单项式乘多项式的法则；把这个法则反过来，得到ab+ac+ad＝a（b+c+d），这是运用提取公因式法把多项式因式分解．
又如（a±b）2＝a2±2ab+b2、（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2是多项式的乘法公式；把这些公式反过来，得到a2±2ab+b2＝（a±b）2、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），这是运用公式法把多项式因式分解．
有时在进行因式分解时，以上方法不能直接运用，观察甲、乙两名同学的进行的因式分解．
甲：x2﹣xy+4x﹣4y
＝（x2﹣xy）+（4x﹣4y）（分成两组）
＝x（x﹣y）+4（x﹣y）（分别提公因式）
＝（x﹣y）（x+4）；
乙：a2﹣b2﹣c2+2bc
＝a2﹣（b2+c2﹣2bc）（分成两组）
＝a2﹣（b﹣c）2（运用公式）
＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）．
请你在他们解法的启发下，完成下面的因式分解．
问题一：因式分解：
（1）m3﹣2m2﹣4m+8；
（2）x2﹣2xy+y2﹣9．
问题二：探究
对x、y定义一种新运算F，规定：F（x，y）＝（mx+ny）（3x﹣y）（其中m，n均为非零常数）．当x2≠y2时，F（x，y）＝F（y，x）对任意有理数x、y都成立，试探究m，n的数量关系．
【分析】（1）套用例子两两进行分组解决问题即可；
（2）是新定义题，列出式子，左右进行对比得出答案．
【解答】解：问题一：（1）m3﹣2m2﹣4m+8
＝m2（m﹣2）﹣4（m﹣2）
＝（m﹣2）（m2﹣4）
＝（m﹣2）（m﹣2）（m+2）
＝（m﹣2）2（m+2）；
（2）x2﹣2xy+y2﹣9
＝（x﹣y）2﹣9
＝（x﹣y﹣3）（x﹣y+3）；
问题二：∵F（x，y）＝（mx+ny）（3x﹣y），
F（y，x）＝（my+nx）（3y﹣x），
又∵F（x，y）＝F（y，x），
∴（mx+ny）（3x﹣y）＝（my+nx）（3y﹣x），
3mx2+（3n﹣m）xy﹣ny2＝﹣nx2+（3n﹣m）xy+3my2，
∵x2≠y2，
∴3m＝﹣n．
【点评】本题主要考查了因式分解的应用，灵活运用分组分解法进行因式分解是解题的关键．
【变式8-1】（2021春•拱墅区校级月考）阅读下列材料：定义：任意两个数a，b，按规则c＝ab+a+b扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”．
（1）若a＝2，b＝﹣1，直接写出a，b的“如意数”c；
（2）如果a＝m﹣4，b＝﹣m，求a，b的“如意数”c，并证明“如意数”c恒小于等于0；
（3）已知a＝x2（x≠0），且a，b的“如意数”为c＝x4+4x2+2，请用含x的式子表示b．
【分析】（1）利用“如意数”的定义可直接求得；
（2）利用“如意数”的定义求出c的值，再判断；
（3）利用“如意数”的定义表示出c，把a与c的值代入即可．
【解答】解：（1）由“如意数”的定义可得，
c＝ab+a+b＝2×（﹣1）+2+（﹣1）＝﹣1；
（2）证明：由“如意数”的定义可得，
c＝ab+a+b＝（m﹣4）•（﹣m）+（m﹣4）+（﹣m）＝﹣m2+4m+m﹣4﹣m＝﹣m2+4m﹣4＝﹣（m﹣2）2，
∵（m﹣2）2≥0，
∴﹣（m﹣2）2≤0，
∴“如意数”c恒小于等于0；
（3）∵c＝ab+a+b，
∴（a+1）b＝c﹣a，
∴（x2+1）b＝x4+4x2+2﹣x2，
∴（x2+1）b＝x4+3x2+2＝（x2+1）（x2+2），
∵x2≥0，
∴x2+1＞0，
∴b＝x2+2．
【点评】本题以新概念“如意数”为背景考查了因式分解，关键是能根据定义表示出“如意数”，然后利用因式分解解答．
【变式8-2】（2021春•平谷区期末）定义：若一个整数能表示成a2+b2（a，b都是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”．
例如：因为13＝32+22，所以13是“完美数”；
再如：因为a2+2ab+2b2＝（a+b）2+b2，所以a2+2ab+2b2也是“完美数”．
（1）请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”是 2 ；
（2）判断53 是 （请填写“是”或“否”）为“完美数”；
（3）已知M＝x2+4x+k（x是整数，k是常数），要使M为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由；
（4）如果数m，n都是“完美数”，m≠n，试说明mn也是“完美数”．
【分析】（1）2＝12+12，5＝22+12，8＝22+22，这些数都是小于10的“完美数”；
（2）利用53＝22+72即可判断；
（3）由M＝x2+4x+k得M＝（x+2）2+k﹣4，则使k﹣4为一个完全平方数即可；
（4）设m＝a2+b2，n＝c2+d2，则mn＝（a2+b2）（c2+d2），进行整理可得：mn＝（ac+bd）2+（ad﹣bc）2，从而可判断．
【解答】解：（1）根据题意可得：2＝12+12，5＝22+12，8＝22+22，
故2，5，8都是“完美数”，且都小于10，
故答案为：2或5或8（写一个即可）；
（2）53＝22+72，故53是“完美数”，
故答案为：是；
（3）k＝5（答案不唯一），
理由：∵M＝x2+4x+k
∴M＝x2+4x+4+k﹣4
M＝（x+2）2+k﹣4
则当k﹣4为完全平方数时，M为“完美数”，如当k﹣4＝1时，解得：k＝5．
（4）设m＝a2+b2，n＝c2+d2，m≠n，
则有mn＝（a2+b2）（c2+d2）
＝a2c2+a2d2+b2c2+b2d2
＝a2c2+b2d2+a2d2+b2c2+2abcd﹣2abcd
＝（ac+bd）2+（ad﹣bc）2．
当ad﹣bc≠0时，mn是一个“完美数”．
【点评】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键．
【题型 9因式分解在阅读理解中的运用】
【例9】（2023春•子洲县期末）阅读下列材料：将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）．
例如：①x2+4x+3＝（x+1）（x+3）；
②x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）．
根据材料，把下列式子进行因式分解．
（1）x2﹣6x+8；
（2）x2﹣2x﹣15；
（3）（x﹣4）（x+7）+18．
【分析】根据x2+（m+n）x+mn＝（x+m）（x+n）进行解答即可．
【解答】解：（1）x2﹣6x+8＝（x﹣2）（x﹣4）；
（2）x2﹣2x﹣15＝（x+3）（x﹣5）；
（3）（x﹣4）（x+7）+18
＝x2+3x﹣28+18
＝x2+3x﹣10
＝（x﹣2）（x+5）．
【点评】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，本题需要进行多次因式分解，分解因式一定要彻底．
【变式9-1】（2023春•湘潭县期末）材料1：由多项式乘法，（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab，将该式子从右到左使用，即可对形如x2+（a+b）x+ab的多项式进行因式分解：x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）．多项式x2+（a+b）x+ab的特征是二次项系数为1，常数项为某两数之积，一次项系数为这两数之和．
材料2：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1，将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2，再将“A”还原得：原式＝（x+y+1）2．
上述用到整体思想，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法．
请你根据以上阅读材料解答下列问题：
（1）根据材料1将x2+8x+7因式分解；
（2）根据材料2将（x﹣y）2﹣12（x﹣y）+36因式分解；
（3）结合材料1和材料2，将（m2﹣4m）（m2﹣4m+2）﹣8因式分解．
【分析】（1）利用公式x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b），直接进行因式分解即可；
（2）令x﹣y＝A，原式可化为A2﹣12A+36，再分解因式即可；
（3）把m2﹣4m看作是整体，再分解因式即可．
【解答】解：（1）x2+8x+7
＝x2+（1+7）x+1×7
＝（x+7）（x+1）；
（2）令x﹣y＝A，
则（x﹣y）2﹣12（x﹣y）+36
＝A2﹣12A+36
＝（A﹣6）2
＝（x﹣y﹣6）2；
（3）（m2﹣4m）（m2﹣4m+2）﹣8
＝（m2﹣4m）2+2（m2﹣4m）﹣8
＝（m2﹣4m+4）（m2﹣4m﹣2）
＝（m﹣2）2（m2﹣4m﹣2）．
【点评】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．
【变式9-2】阅读材料，利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多项式变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法，运用多项式的配方法可以解决一些数学问题．比如运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．
例：x2+4x−5=x2+4x+(42)2−(42)2−5=x2+4x+4−9
＝（x+2）2﹣9＝（x+2﹣3）（x+2+3）＝（x﹣1）（x+5）．
根据以上材料，利用多项式的配方法解答下列问题．
（1）分解因式：x2+2x﹣3；
（2）求多项式x2+6x﹣9的最小值；
（3）已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，求△ABC的周长．
【分析】（1）首先根据阅读材料提供的思路，把多项式x2+2x﹣3配方，使代数式中有一个完全平方式：（x2+2x+1）﹣1﹣3，利用完全平方公式分解因式得到：（x+1）2﹣4，然后再利用平方差公式分解因式即可；
（2）仿照（1）的思路把多项式x2+6x﹣9分解因式得到：（x+3）2﹣18，根据平方的非负性可得：（x+3）2≥0，所以可知当（x+3）2取最小值0时，代数式（x+3）2﹣18有最小值﹣18，从而得到x2+6x﹣9的最小值；
（3）首先把等式a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c右边的部分移项到左边，得到：a2﹣6a+b2﹣8b+c2﹣10c+50＝0，然后配方得到：（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0，利用平方的非负性分别求出a、b、c的值，根据三角形周长公式求出△ABC的周长．
【解答】解：（1）原式＝x2+2x+1﹣1﹣3
＝（x2+2x+1）﹣4
＝（x+1）2﹣22
＝（x+1+2）（x+1﹣2）
＝（x+3）（x﹣1）；
（2）原式=x2+6x+(62)2−(62)2−9，
＝（x+3）2﹣9﹣9，
＝（x+3）2﹣18，
因为（x+3）2≥0，所以（x+3）2﹣18≥﹣18，
所以多项式x2+6x﹣9的最小值为﹣18；
（3）a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c可变为：
a2﹣6a+9﹣9+b2﹣8b+16﹣16+c2﹣10c+25﹣25+50＝0
∴（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0，
所以a＝3，b＝4，c＝5，
所以△ABC的周长＝a+b+c＝12．
【点评】本题主要考查了利用完全平方公式、平方差公式和配方法分解因式．解决本题的关键是理解阅读材料中提供的解题思路，把多项式配方得到完全平方式利用完全平方公式分解因式，然后再利用平方的非负性解决问题．
【变式9-3】（2023春•慈溪市期末）[阅读材料]分解因式：x2+x﹣2．解：把x＝1代入x2+x﹣2，发现此多项式的值为0，由此确定x2+x﹣2中有因式x﹣1，可设x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+m）（m为常数），通过展开多项式或代入合适的x的值即可求出m的值．我们把这种分解因式的方法叫“试根法”．
根据以上阅读材料，完成下列问题：
（1）请完成下列因式分解：x2+x﹣2＝ （x﹣1）（x+2） ；2x2﹣5x﹣7＝ （x+1）（2x﹣7） ；
（2）请你用“试根法”分解因式：x3+3x2﹣4；
（3）①若多项式x2+mx﹣n（m，n为常数）分解因式后，有一个因式是（x﹣2），求代数式9m3n的值；
②若多项式x4+mx3+nx﹣16含有因式（x﹣2）和（x+1），求mn的值．
【分析】（1）利用十字相乘法求解即可；
（2）先找出一个x的值，进而找出一个因式，再将多项式设成分解因式的形式，即可得出结论；
（3）①根据题意得，x＝2时，x2+mx﹣n＝0，把x＝2代入x2+mx﹣n＝0，得22+2m﹣n＝0，得到2m﹣n的值，再利用同底数幂的除法运算法则计算即可；
②由材料可知，x＝1，x＝﹣2是方程x3+mx2+nx+p＝0的解，然后列方程组求解即可．
【解答】解：（1）x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+2），（x+1）（2x﹣7）＝2x2﹣5x﹣7，
故答案为：（x﹣1）（x+2），（x+1）（2x﹣7）；
（2）当x＝1时，x3+3x2﹣4＝0，
x3+3x2﹣4＝（x﹣1）（x2+ax+b），
x3+3x2﹣4＝x3+ax2+bx﹣x2﹣ax﹣b，
x3+3x2﹣4＝x3+（a﹣1）x2+（b﹣a）x﹣b，
∴a﹣1＝3，﹣b＝﹣4，
∴a＝4，b＝4，
∴x3+3x2﹣4＝（x﹣1）（x2+4x+4）＝（x﹣1）（x+2）2
（3）①根据题意得，x＝2时，x2+mx﹣n＝0，
把x＝2代入x2+mx﹣n＝0，得22+2m﹣n＝0，
∴2m﹣n＝﹣4，
∴9m3n=32m−n=3−4=134=181；
②根据题意得，x＝2和x＝﹣1时，x4+mx3+nx﹣16＝0，
把x＝2和x＝﹣1代入得：
16+8m+2n−16=01−m−n−16=0，
∴m=5n=−20，
∴mn＝﹣100．
【点评】此题考查的是因式分解的意义，主要考查了试根法分解因式的理解和掌握，解本题的关键是理解试根法分解因式．
在因式分解中，有些多项式看似不能分解，如果添加某项，可以达到因式分解的效果，此类因式分解的方法称之为“添项法”．
例如：a4+4＝a4+4+4a2﹣4a2＝（a4+4a2+4）﹣4a2＝（a2+2）2﹣（2a）2＝（a2+2a+2）（a2﹣2a+2）．
参照上述方法，我们可以对a3+b3因式分解，下面是因式分解的部分解答过程．
a3+b3＝a3+a2b﹣a2b+b3＝（a3+a2b）﹣（a2b﹣b3）＝（a+b）•a2﹣（a+b）•b（a﹣b）＝…
解：原式＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）
＝（28﹣1）（28+1）（216+1）（232+1）
＝264﹣1．