2024_2025学年江苏省南京二十九中七年级上学期第一次月考数学检测试卷（含答案）

这是一份2024_2025学年江苏省南京二十九中七年级上学期第一次月考数学检测试卷（含答案），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）12025的相反数是（ ）
A．2025B．﹣2025C．12025D．−12025
2．（2分）下列说法中正确的序号是（ ）
①−213的倒数是−37；
②若|a|＝2，则a的值为2或﹣2；
③−12的相反数是2；
④平方等于它本身的数只有1和0；
A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④
3．（2分）下列各式中，与﹣ab3c是同类项的是（ ）
A．4cabB．13acb3
C．−23a2b3cD．﹣a2b2c
4．（2分）有一张厚度为0.1毫米的纸，将它对折一次后，厚度为2×0.1毫米，对折10次后的厚度最接近于（ ）
A．数学课本的厚度B．成人的手掌宽度
C．课桌的高度D．一层楼的高度
5．（2分）某工厂计划生产n个零件，原计划每天生产a个零件，实际每天比原计划多生产b个零件，则实际生产所用的天数比原计划少（ ）
A．(na−nb)天B．(nb−na)天
C．(na+b−na)天D．(na−na+b)天
6．（2分）“⊙”表示一种运算，已知2⊙3＝2+3+4＝9，7⊙2＝7+8＝15，3⊙5＝3+4+5+6+7＝25，按此规则，若n⊙8＝60，则n的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
二、填空题（每小题2分，共20分）
7．（2分）化简：|﹣（﹣6）|＝ ．
8．（2分）根据国家电影局2月18日发布数据，我国2024年春节档电影票房达80.16亿元，创进了1新的春节档票房纪录，其中数据80.16亿用科学记数法表示为 ．
9．（2分）在+8，0，−37，+45，2023，﹣5，0.26，11.3中，非负整数有 个．
10．（2分）按照如图所示的计算程序，若x＝2，则输出的结果是 ．
11．（2分）若|a﹣3|+（b+1）2016＝0，则ab﹣4a的值为 ．
12．（2分）若单项式﹣2x2ya与23xby3的和仍为单项式，则ab＝ ．
13．（2分）若多项式4xn+2﹣5x2﹣n+6是关于x的三次多项式，则代数式n3﹣2n+3的值为 ．
14．（2分）某工厂制作各种形状的铁板．如图所示，已知长方形铁板长为a cm，宽为2b cm，中心挖去一个圆面，用代数式表示阴影部分的面积为 cm2．
15．（2分）如图所示，数轴被折成90°，圆的周长为4个单位长度，在圆的四等分点处标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字2所对应的点与数轴上的数3所对应的点重合，数轴固定，圆紧贴数轴沿着数轴的正方向滚动，那么数轴上的数2024将与圆周上的数字 重合．
16．（2分）我们知道数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值，如图，点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为AB＝|a﹣b|，则|x+1|﹣|x﹣2|的最小值为 ．
三、解答题（共68分）
17．（8分）计算
（1）（﹣2）﹣（﹣3.6）+（﹣1）﹣3.6
（2）(+23)×(−19)+(−57)×19+26×19
（3）−22+(−3)2×(−23)−42+|−4|
（4）(−991617)×51
18．（6分）化简
（1）3m2﹣5m﹣2m2+3m﹣1
（2）2a2b+13ab2−8a2b−32ab2
19．（4分）已知x=−12，求代数式4（x2﹣2x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣1）的值．
20．（6分）若有理数x，y满足|y|＝2，x2＝64，且|x﹣y|＝x﹣y，求x+y的值．
∵|y|＝2，∴y＝ ．
∵x2＝64，∴x＝ ．
又∵|x﹣y|＝x﹣y，∴x﹣y 0．
∴当 时，x+y＝ ；
当 时，x+y＝ ．
21．（4分）用两种不同方法比较下列数的大小，并说明理由．−25 ﹣0.5
22．（6分）有理数x、y在数轴上对应点如图所示：
（1）比较大小：x+y 0，2x 2y；
（2）利用圆规在数轴上分别画出表示﹣y和y﹣x的点．（保留作图痕迹）
23．（6分）砀山酥梨是一种驰名中外的特色水果，它是梨的一种，因为出产于砀山县而得名．现有20筐砀山酥梨，以每筐25千克的质量为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下：
（1）这20筐砀山酥梨中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？
（2）若砀山酥梨每千克售价4元，则这20筐砀山酥梨可卖多少元？
24．（8分）为了加强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节约用水的目的．该市自来水收费价格如表：
某用户1月用水10m3，缴纳水费30元．
（1）求a的值；
（2）若该用户2月份用水25m3，求2月份应缴水费；
（3）若该用户3月份用水x m3，求3月份应缴水费（用含x的代数式表示）．
25．（10分）已知数轴上有A，B，C三点，分别表示数﹣24，﹣10，10．甲、乙两人分别从A，C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒，乙的速度为6个单位/秒．
（1）问甲、乙在数轴上表示有理数 的点相遇；
（2） 秒后甲到A，B，C三点的距离之和为40个单位．
（3）若甲、乙两人（用P表示甲、Q表示乙）分别从A，C两点同时相向而行，甲的速度变为原来的3倍，乙的速度不变，直接写出多少时间后，原点O、P与Q三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点．
26．（10分）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法．
问题提出：计算12+122+123+⋯+12n．（其中n都通正整数，n≥1）．
探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来．
第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为12；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为12+122；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，……；
……
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为12+122+123+⋯+12n，最后空白部分的面积是12n．
根据第n次分割图可得等式：12+122+123+⋯+12n= ．
类比探究：计算13+132+133+⋯+13n．（仿照上述方法，画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程）
拓展思考：计算m−1m+m−1m2+m−1m3+⋯+m−1mn= ．
2024-2025学年江苏省南京二十九中七年级（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
一、选择题（每小题2分，共12分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）
1．（2分）12025的相反数是（ ）
A．2025B．﹣2025C．12025D．−12025
【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案．
【解答】解：12025的相反数是−12025．
故选：D．
2．（2分）下列说法中正确的序号是（ ）
①−213的倒数是−37；
②若|a|＝2，则a的值为2或﹣2；
③−12的相反数是2；
④平方等于它本身的数只有1和0；
A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④
【分析】根据倒数的定义判断①，根据绝对值的性质判断②，然后根据相反数的定义判断③，平方等于本身的数的判断④，即可解题．
【解答】解：①−213=−73，(−73)×(−37)=1，所以−213的倒数是−37，①正确；
②若|a|＝2，则a的值为2或﹣2，②正确；
③−12的相反数是12，故③错误；
④平方等于它本身的数只有1和0，④正确；
综上所述，正确的序号是①②④．
故选：C．
3．（2分）下列各式中，与﹣ab3c是同类项的是（ ）
A．4cabB．13acb3
C．−23a2b3cD．﹣a2b2c
【分析】根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，可得答案．注意同类项与字母的顺序无关，与系数无关．
【解答】解：A．所含字母相同，但字母b的指数不相同，不是同类项，故A不符合题意；
B．所含字母相同，相同字母的指数相同，是同类项，故B符合题意；
C．所含字母相同，但字母a的指数不相同，不是同类项，故C不符合题意；
D．所含字母相同，但字母a，b的指数不相同，不是同类项，故D不符合题意；
故选：B．
4．（2分）有一张厚度为0.1毫米的纸，将它对折一次后，厚度为2×0.1毫米，对折10次后的厚度最接近于（ ）
A．数学课本的厚度B．成人的手掌宽度
C．课桌的高度D．一层楼的高度
【分析】根据有理数乘方的意义和计算方法进行计算即可．
【解答】解；∵一张厚度为0.1毫米的纸，将它对折一次后，厚度为2×0.1毫米，
∴对折10次后的厚度为0.1×210＝102.4（毫米），
102.4毫米＝10.24厘米，
即接近成人的手掌宽度，
故选：B．
5．（2分）某工厂计划生产n个零件，原计划每天生产a个零件，实际每天比原计划多生产b个零件，则实际生产所用的天数比原计划少（ ）
A．(na−nb)天B．(nb−na)天
C．(na+b−na)天D．(na−na+b)天
【分析】生产n个零件提前的天数＝原计划生产n个零件需要的天数﹣实际生产n个零件需要的天数，把相关数值代入即可．
【解答】解：∵原计划生产n个零件需要的天数为na，实际生产n个零件需要的天数为na+b，
∴生产m个零件提前的天数为（na−na+b）天．
故选：D．
6．（2分）“⊙”表示一种运算，已知2⊙3＝2+3+4＝9，7⊙2＝7+8＝15，3⊙5＝3+4+5+6+7＝25，按此规则，若n⊙8＝60，则n的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】观察所给三个式子可得“⊙”运算表示的是，从“⊙”前面的数开始的连续的整数求和，“⊙”后面的数表示的是有多少个整数求和，据此可得n+n+1+n+2+n+3+n+4+n+5+n+6+n+7＝60，解方程即可得到答案．
【解答】解：∵2⊙3＝2+3+4＝9，7⊙2＝7+8＝15，3⊙5＝3+4+5+6+7＝25，
……，
以此类推可知，“⊙”运算表示的是，从“⊙”前面的数开始的连续的整数求和，“⊙”后面的数表示的是有多少个整数求和，
∵n⊙8＝60，
∴n+（n+1）+（n+2）+（n+3）+（n+4）+（n+5）+（n+6）+（n+7）＝60，
8n+28＝60，
∴n＝4，
故选：B．
二、填空题（每小题2分，共20分）
7．（2分）化简：|﹣（﹣6）|＝ 6 ．
【分析】根据绝对值的意义即可得出答案．
【解答】解：|﹣（﹣6）|＝|6|＝6，
故答案为：6．
8．（2分）根据国家电影局2月18日发布数据，我国2024年春节档电影票房达80.16亿元，创进了1新的春节档票房纪录，其中数据80.16亿用科学记数法表示为 8.016×109 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：80.16亿＝8016000000＝8.016×109．
故答案为：8.016×109．
9．（2分）在+8，0，−37，+45，2023，﹣5，0.26，11.3中，非负整数有 3 个．
【分析】非负整数包括正整数和0，据此即可求得答案．
【解答】解：+8，0，2023是非负整数，共3个，
故答案为：3．
10．（2分）按照如图所示的计算程序，若x＝2，则输出的结果是 ﹣26 ．
【分析】把x＝2代入程序中计算，当其值小于0时将所得结果输出即可．
【解答】解：把x＝2代入程序中得：
10﹣22＝10﹣4＝6＞0，
把x＝6代入程序中得：
10﹣62＝10﹣36＝﹣26＜0，
∴最后输出的结果是﹣26．
故答案为：﹣26．
11．（2分）若|a﹣3|+（b+1）2016＝0，则ab﹣4a的值为 ﹣15 ．
【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可．
【解答】解：∵|a﹣3|+（b+1）2016＝0，
∴a﹣3＝0，b+1＝0，
∴a＝3，b＝﹣1，
∴ab﹣4a＝﹣15．
故答案为：﹣15．
12．（2分）若单项式﹣2x2ya与23xby3的和仍为单项式，则ab＝ 9 ．
【分析】根据同类项的定义列出方程，再求解即可．
【解答】解：由同类项定义可知b＝2，a＝3，
∴ab＝32＝9．
故答案为：9．
13．（2分）若多项式4xn+2﹣5x2﹣n+6是关于x的三次多项式，则代数式n3﹣2n+3的值为 2或4 ．
【分析】根据多项式次数的定义求解．
【解答】解：∵多项式4xn+2﹣5x2﹣n+6是三次多项式，
∴n+2＝3或2﹣n＝3，
∴n＝1或﹣1，
∴n3﹣2n+3＝13﹣2×1+3＝2或（﹣1）3﹣2×（﹣1）+3＝4．
故答案为：2或4．
14．（2分）某工厂制作各种形状的铁板．如图所示，已知长方形铁板长为a cm，宽为2b cm，中心挖去一个圆面，用代数式表示阴影部分的面积为 （2ab﹣πb2） cm2．
【分析】用长方形面积减去圆的面积即可．
【解答】解：由图可得，阴影部分的面积为a•2b﹣πb2＝（2ab﹣πb2）cm2，
故答案为：（2ab﹣πb2）．
15．（2分）如图所示，数轴被折成90°，圆的周长为4个单位长度，在圆的四等分点处标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字2所对应的点与数轴上的数3所对应的点重合，数轴固定，圆紧贴数轴沿着数轴的正方向滚动，那么数轴上的数2024将与圆周上的数字 1 重合．
【分析】根据所给滚动方式，依次求出圆上与数轴上的数字1，2，3，4，…，重合的数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为圆的周长为4个单位长度，
所以圆滚动一周的长度为4个单位长度．
根据所给滚动方式可知，
数轴上的数字1，2，3，4，…，会依次与圆上的数字0，3，2，1重合．
因为2024÷4＝506，
所以数轴上的数2024将与圆周上的数字1重合．
故答案为：1．
16．（2分）我们知道数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值，如图，点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为AB＝|a﹣b|，则|x+1|﹣|x﹣2|的最小值为 ﹣3 ．
【分析】求|x+1|﹣|x﹣2|的最小值，分类讨论，可知当x≥2时，|x﹣2|﹣|x+1|有最小值，再根据绝对值的性质即可求出最小值；
【解答】解：根据题意，可分三种情况：
①当x＜﹣1时，可得x﹣2＜0，x+1＜0，
所以|x﹣2|﹣|x+1|＝﹣（x﹣2）+（x+1）＝﹣x+2+x+1＝3；
②当﹣1≤x＜2时，可得x﹣2＜0，x+1≥0，
所以|x﹣2|﹣|x+1|＝﹣（x﹣2）﹣x﹣1＝﹣x+2﹣x﹣1＝﹣2x+1＞﹣3；
③当x≥2时，可得x﹣2≥0，x+1＞0，
所以|x﹣2|﹣|x+1|＝x﹣2﹣x﹣1＝﹣3．
∵﹣3＜3，
∴当x≥2，|x﹣2|﹣|x+1|的最小值是﹣3，
故答案为：﹣3．
三、解答题（共68分）
17．（8分）计算
（1）（﹣2）﹣（﹣3.6）+（﹣1）﹣3.6
（2）(+23)×(−19)+(−57)×19+26×19
（3）−22+(−3)2×(−23)−42+|−4|
（4）(−991617)×51
【分析】（1）根据有理数加减混合运算法则计算，即可解题；
（2）利用乘法分配律的逆用进行计算，即可解题；
（3）利用绝对值意义和有理数的混合运算法则进行计算，即可解题；
（4）将−991617化为−100+117再结合乘法分配律进行计算，即可解题．
【解答】解：（1）（﹣2）﹣（﹣3.6）+（﹣1）﹣3.6
＝（﹣2）+3.6﹣1﹣3.6
＝（﹣2）﹣1+3.6﹣3.6
＝﹣3；
（2）原式=(−23)×19+(−57)×19+26×19
=(−23−57+26)×19
=(−54)×19
＝﹣6；
（3）原式=−4+9×(−23)−16+4
＝﹣4﹣6﹣16+4
＝﹣22；
（4）原式=(−100+117)×51
=−100×51+117×51
＝﹣5100+3
＝﹣5097．
18．（6分）化简
（1）3m2﹣5m﹣2m2+3m﹣1
（2）2a2b+13ab2−8a2b−32ab2
【分析】（1）（2）直接合并同类项即可．
【解答】（1）解：原式＝（3m2﹣2m2）+（﹣5m+3m）﹣1
＝（3﹣2）m2+（﹣5+3）m﹣1
＝m2﹣2m﹣1；
（2）原式＝（2a2b﹣8a2b）+（13ab2−32ab2）
＝﹣6a2b−76ab2．
19．（4分）已知x=−12，求代数式4（x2﹣2x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣1）的值．
【分析】将代数式变形为3（x2﹣2x﹣1），再将x=−12代入式子求解，即可解题．
【解答】解：4（x2﹣2x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣1）
＝4x2﹣8x﹣4﹣x2+2x+1
＝3x2﹣6x﹣3
＝3（x2﹣2x﹣1），
将x=−12代入上式，
∴3（x2﹣2x﹣1）=3×[(−12)2−2×(−12)−1]
=3×(14+1−1)
=34．
20．（6分）若有理数x，y满足|y|＝2，x2＝64，且|x﹣y|＝x﹣y，求x+y的值．
∵|y|＝2，∴y＝ ±2 ．
∵x2＝64，∴x＝ ±8 ．
又∵|x﹣y|＝x﹣y，∴x﹣y ≥ 0．
∴当 x＝8，y＝2 时，x+y＝ 10 ；
当 x＝8，y＝﹣2 时，x+y＝ 6 ．
【分析】根据绝对值的意义，有理数乘方求出相应x、y的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵|y|＝2，
∴y＝2或y＝﹣2，
即y＝±2；
∵x2＝64，
∴x＝8或x＝﹣8，
即x＝±8；
又∵|x﹣y|＝x﹣y，
∴x﹣y≥0．
即x＞y，
∴当x＝8，y＝2时，x+y＝8+2＝10；
当x＝8，y＝﹣2时，x+y＝8﹣2＝6．
故答案为：±2；±8；≥；x＝8，y＝2；10；x＝8，y＝﹣2；6．
21．（4分）用两种不同方法比较下列数的大小，并说明理由．−25 ＞ ﹣0.5
【分析】分数与小数比较，可以都化成分数进行比较，也可以都化成小数进行比较．
【解答】解：方法一：−25=−0.4，
∵|0.4|＜|0.5|，∴﹣0.4＞﹣0.5，
∴−25＞−0.5．
方法二：−25=−410，﹣0.5=−12=−510，
∵410＜510，∴−410＞−510，
∴−25＞−0.5．
故答案为：＞．
22．（6分）有理数x、y在数轴上对应点如图所示：
（1）比较大小：x+y ＞ 0，2x ＜ 2y；
（2）利用圆规在数轴上分别画出表示﹣y和y﹣x的点．（保留作图痕迹）
【分析】（1）根据数轴可得x＜0＜y，|y|＞|x|，据此求解即可；
（2）先以原点为圆心，以数y到原点的距离为圆心画弧，其与数轴负半轴的交点即为表示﹣y的点，再以表示数y的点为圆心，以数x到原点的距离为圆心画弧，其与数轴坐标轴的交点即为表示y﹣x的点．
【解答】解：（1）观察数轴可知，x＜0＜y，且|y|＞|x|，
∴x+y＞0，2x＜0＜2y，
故答案为：＞；＜；
（2）如图所示，
23．（6分）砀山酥梨是一种驰名中外的特色水果，它是梨的一种，因为出产于砀山县而得名．现有20筐砀山酥梨，以每筐25千克的质量为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下：
（1）这20筐砀山酥梨中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？
（2）若砀山酥梨每千克售价4元，则这20筐砀山酥梨可卖多少元？
【分析】（1）利用超出最多的重量减去不足最多的重量，即可解题；
（2）用总质量成单价即可．
【解答】解：（1）由题知，2.5﹣（﹣3）＝5.5（千克），
答：最重的一筐比最轻的一筐重5.5千克；
（2）由题知，
总质量为：
20×25+（﹣3）+4×（﹣2）+2×（﹣1.5）+0×3+2×1+8×2.5
＝500﹣3﹣8﹣3+0+2+20
＝500+8
＝508（千克），
508×4＝2032（元），
答：这20筐砀山酥梨可卖2032元．
24．（8分）为了加强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节约用水的目的．该市自来水收费价格如表：
某用户1月用水10m3，缴纳水费30元．
（1）求a的值；
（2）若该用户2月份用水25m3，求2月份应缴水费；
（3）若该用户3月份用水x m3，求3月份应缴水费（用含x的代数式表示）．
【分析】（1）由总价除以用水量即可得到a的值；
（2）由20乘以单价，再加上超过部分的数量乘以超过部分的单价可得答案；
（3）分三种情况讨论：当x≤20时，当20＜x≤30时，当x＞30时，再列式即可．
【解答】解：（1）a＝30÷10＝3（元/m3）；
（2）20×3+（25﹣20）×（3+1）＝80（元）．
（3）当x≤20时，应缴3x元；
当20＜x≤30时，20×3+（x﹣20）×（3+1）＝（4x﹣20）元；
当x＞30时，20×3+10×（3+1）+（x﹣30）•（3+4）＝（7x﹣110）元．
25．（10分）已知数轴上有A，B，C三点，分别表示数﹣24，﹣10，10．甲、乙两人分别从A，C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒，乙的速度为6个单位/秒．
（1）问甲、乙在数轴上表示有理数 ﹣10.4 的点相遇；
（2） 2或5 秒后甲到A，B，C三点的距离之和为40个单位．
（3）若甲、乙两人（用P表示甲、Q表示乙）分别从A，C两点同时相向而行，甲的速度变为原来的3倍，乙的速度不变，直接写出多少时间后，原点O、P与Q三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点．
【分析】（1）先求出点A和点C的距离，再求出运动时间，进而求出相遇的点表示的数即可；
（2）设y秒后甲到A，B，C三点的距离之和为40个单位，根据题意分析出甲应在AB或BC之间，再分别表示出甲到三点的距离，进而建立方程求解即可；
（3）先求出甲的新速度变为12个单位/秒，设运动时间为x秒，再分①当原点O是P与Q两点的中点时，②当Q是甲P与原点O两点的中点时，③当P是Q与原点O两点的中点时，三种情况根据数轴上两点中点计算公式列出方程求解即可．
【解答】解：（1）[10﹣（﹣24）]÷（4+6）＝34÷10＝3.4秒，
﹣24+3.4×4＝﹣10.4，
∴甲、乙在数轴上表示有理数﹣10.4的点相遇，
故答案为：﹣10.4；
（2）设y秒后甲到A，B，C三点的距离之和为40个单位，
∵B点距A，C两点的距离为﹣10﹣（﹣24）+10﹣（﹣10）＝34＜40，
A点距B、C两点的距离为10﹣（﹣24）+（﹣10）﹣（﹣24）＝48＞40，
C点距A、B的距离为10﹣（﹣24）+10﹣（﹣10）＝54＞40，
∴甲应在AB或BC之间；
①当甲在AB之间时，则4y+[﹣10﹣（﹣24）﹣4y]+[10﹣（﹣24）﹣4y]＝40，
解得y＝2；
②当甲在BC之间时，4y+4y﹣[﹣10﹣（﹣14）]+[10﹣（﹣24）﹣4y]＝40，
解得y＝5；
故答案为：2或5；
（3）根据题意得甲的新速度变为12个单位/秒，
设运动时间为x秒，
①当原点O是P与Q两点的中点时，
则−24+12x+10−6x2=0，
解得x=73，
②当Q是P与原点O两点的中点时，
则−24+12x+02=10−6x，
解得x=116；
③当P是Q与原点O两点的中点时，
则0+10−6x2=−24+12x，
解得x=2915，
当73秒或116秒或2915秒后，原点O、P与Q三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点．
26．（10分）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法．
问题提出：计算12+122+123+⋯+12n．（其中n都通正整数，n≥1）．
探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来．
第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为12；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为12+122；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，……；
……
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为12+122+123+⋯+12n，最后空白部分的面积是12n．
根据第n次分割图可得等式：12+122+123+⋯+12n= 1−12n ．
类比探究：计算13+132+133+⋯+13n．（仿照上述方法，画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程）
拓展思考：计算m−1m+m−1m2+m−1m3+⋯+m−1mn= 1−1mn ．
【分析】探究问题：根据正方形的面积为1减去最后空白部分的面积12n即可得出答案．
类比探究：根据题意得出探究过程，进而计算即可．
拓展思考：仿照以上例子代入计算即可．
【解答】解：探究问题：根据第n次分割图可得等式：12+122+123+⋯+12n=1−12n
类比探究：
第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为23；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为23+232；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，……；
……
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为23+232+233+⋯+23n，最后空白部分的面积是13n．
根据第n次分割图可得等式：23+232+233+⋯+23n=1−13n，
两边同除以2，得13+132+133+⋯+13n=12−12×3n．
拓展思考：原式＝（m﹣1）（1m+1m2+⋯⋯+1mn）＝（m﹣1）（1−1mn）
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后m等分，所有阴影部分的面积之和为m−1m+m−1m2+m−1m3+⋯+m−1mn，最后空白部分的面积是1mn．
∴m−1m+m−1m2+m−1m3+⋯+m−1mn=1−1mn．与标准质量的差值（单位：千克）
﹣3
﹣2
﹣1.5
0
1
2.5
筐数
1
4
2
3
2
8
水费收费标准一览表
档次
每月用水量
水价
第一档
不超出20m3
a元/m3
第二档
超出20m3不超出30m3的部分
（a+1）元/m3
第三档
超出30m3的部分
（a+4）元/m3
题号
1
2
3
4
5
6
答案
D
C
B
B
D
B
与标准质量的差值（单位：千克）
﹣3
﹣2
﹣1.5
0
1
2.5
筐数
1
4
2
3
2
8
水费收费标准一览表
档次
每月用水量
水价
第一档
不超出20m3
a元/m3
第二档
超出20m3不超出30m3的部分
（a+1）元/m3
第三档
超出30m3的部分
（a+4）元/m3