高中万有引力理论的成就导学案

这是一份高中万有引力理论的成就导学案，共11页。
知识点一 “称量”地球的质量
如图是我们测量物体质量的常用工具，地球这么大，我们如何“称量”地球的质量呢？卡文迪什在实验室测出了引力常量G的值，他被称为“可以称量地球质量的人”。他“称量”的依据是什么？



1.思路：若不考虑地球自转的影响，地面上质量为m的物体所受的重力mg等于___________________________________________________________________。
2.关系式：mg＝Geq \f(mm地,R2)。
3.地球的质量：m地＝________，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量。
【思考】
1.若知道某星球表面的重力加速度和星球半径，能否用“称量”地球的方法“称量”该星球的质量。


2.这种“称量”星体质量的方法忽略了哪种因素的影响？


例1 (2021·全国卷)卡文迪什用扭秤实验测定了引力常量，以实验验证了万有引力定律的正确性。应用引力常量还可以计算出地球的质量，卡文迪什也因此被称为“能称出地球质量的人”。已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/ kg2，地面上的重力加速度g＝9.8 m/s2，地球半径R＝6.4×106 m，则地球质量约为( )
A.6×1018 kg B.6×1020 kg
C.6×1022 kg D.6×1024 kg
只要知道某星球表面的重力加速度g和星球半径R，就可以估算出星球的质量。
知识点二 计算天体的质量和密度
太阳是一个火热的球体，如果不知道太阳表面的重力加速度，那么如何计算太阳的质量？




1.太阳质量的计算
(1)依据：设m太是太阳的质量，m是某个行星的质量，r是行星与太阳之间的距离，行星做匀速圆周运动的向心力由他们之间的万有引力提供，即Geq \f(mm太,r2)＝________。
(2)结论：m太＝________，测出行星的公转周期T和它与太阳间的距离r，就可以算出太阳的质量。
2.行星质量的计算：如果已知卫星绕行星运动的周期和卫星与行星之间的距离，可计算行星的质量。
【思考】 如果知道地球绕太阳的公转周期T和它与太阳间的距离r。
(1)写出太阳质量的表达式，并根据结果进一步理解开普勒第三定律。
(2)若要求太阳的密度，还需要哪些量？






角度1 重力加速度法
例2 宇航员在距某一星球表面h高度处，以某一速度沿水平方向抛出一个小球，经过时间t后小球落到星球表面。已知该星球的半径为R，引力常量为G，不计一切阻力，则该星球的质量为( )
A.eq \f(2hR2,Gt2) B.eq \f(2hR2,Gt)
C.eq \f(2hR,Gt2) D.eq \f(Gt2,2hR2)
听课笔记


角度2 环绕法
例3 一月球探测器绕月球做周期为T的圆周运动，轨道距月球表面的高度为H。已知月球半径为R，引力常量为G，则月球的平均密度为( )
A.eq \f(3π,GT2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(H,R)))eq \s\up12(3) B.eq \f(π2,2GT2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(H,R)))eq \s\up12(3)
C.eq \f(3,2GT2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(H,R)))eq \s\up12(3) D.eq \f(3π,4GT2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(H,R)))eq \s\up12(3)
听课笔记


天体质量和密度的计算方法(天体质量为M)
知识点三 发现未知天体 预言哈雷彗星回归
1.海王星的发现：英国剑桥大学的学生__________和法国年轻的天文学家________根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星轨道外“新”行星的轨道。1846年9月23日，德国的________在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——________。
2.其他天体的发现：近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了________、阋神星等几个较大的天体。
3.哈雷彗星回归
英国天文学家哈雷计算出在1531年、1607年和1682年出现的三颗彗星的轨道如出一辙，并预言这三次出现的彗星是同一颗星，周期约为________年，还预言它将于1758年底或1759年初再次回归。1759年3月这颗彗星如期通过了近日点，它最近一次回归是1986年，它的下次回归将在________年左右。
4.海王星的发现和____________的“按时回归”确立了万有引力定律的地位。
例4 十八世纪，人们已经知道太阳系有七颗行星，但是第七颗行星天王星的运动轨道有些“古怪”：它的轨道与根据万有引力定律计算出来的轨道存在一些偏差，这个偏差产生的原因是( )
A.天文观测数据不准确
B.万有引力定律的准确性有问题
C.离天王星较近的土星对天王星的影响
D.天王星轨道外面还有一颗未发现的行星
听课笔记


1.发现过程
(1)由最外侧天体轨道的“古怪”现象提出猜想。
(2)根据轨道的“古怪”情况和万有引力定律计算“新”天体的可能轨道。
(3)根据计算出的轨道预测可能出现的时刻和位置。
(4)进行实地观察验证。
2.海王星与冥王星发现的重要意义并不仅仅在于发现了新天体，更重要的是确立了万有引力定律的地位。
知识点四 天体运动的分析与计算
1.基本思路
一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提供。
2.常用关系
(1)Geq \f(Mm,r2)＝ma＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝meq \f(4π2,T2)r。
(2)忽略天体自转时，mg＝Geq \f(Mm,R2)(物体在天体表面受到的万有引力等于物体重力)，整理可得gR2＝GM，该公式通常被称为“黄金代换式”，R为天体半径，g为天体表面的重力加速度。
3.四个重要结论
设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动。
规律：“一定四定”(即r定了，v、ω、T、a都定了)，“越远越慢”(即r越大，v、ω、a越小，T越大)。
例5 (2022·上海卷)木卫一和木卫二都绕木星做匀速圆周运动。它们的周期分别为42 h、46 min和85 h、22 min，它们的轨道半径分别为R1和R2，线速度分别为v1和v2，则( )
A.R1＜R2，v1＜v2 B.R1＞R2，v1＜v2
C.R1＞R2，v1＞v2 D.R1＜R2，v1＞v2
听课笔记




例6 (多选)三颗人造地球卫星A、B、C绕地球做匀速圆周运动，如图所示，已知mA＝mBvB＝vC
B.运行角速度关系为ωA>ωB＝ωC
C.向心力大小关系为FA＝FBvB＝vC，选项A正确；由Geq \f(Mm,r2)＝mω2r得ω＝eq \r(\f(GM,r3))，所以ωA>ωB＝ωC，选项B正确；由Geq \f(Mm,r2)＝man得an＝Geq \f(M,r2)，所以aA>aB＝aC，又mA＝mBFB，FB