华东师大版（2024）八年级上册（2024）第10章 数的开方10.2 实数优秀同步测试题

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知识点01 无理数
1．定义 无限不循环小数叫做无理数．
判断标准：小数位数无限，小数形式为不循环。
2．三种常见形式
（1）开方开不尽的数，如 ；
（2）含有 的一类数，如 ；
（3）以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如 （每相邻两个 1 之间依次多一个 0 ）．
3.无理数与有理数的区别
(1)有限小数和无限循环小数是有理数，而无理数是无限不循环小数;
(2)所有的有理数都可以写成分数的形式(整数可以看成分母为1 的分数)，而无理数不能写成分数的形式，
注意：
无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数．例如： 0.3 是无限小数，但不是无理数．
2．某些数的平方根或立方根是无理数，但带根号的数不一定都是无理数．例如 就不是无理数．
知识点02 实数
1.定义 有理数和无理数统称为实数特别解读:(1)在实数范围内，一个数不是有理数那么它一定是无理数，反之亦成立(2)引入无理数后，数的范围由原来的有理数扩充到实数，今后我们研究计算问题时，若没有特殊说明，就应在实数范围内进行
2.分类
(1)按定义分类:
（2）按性质分类:
注意：
1.实数的分类有不同的方法，但不论用哪一种分类方法都要按同一标准，做到不重复不遗漏
2.0既不是正实数也不是负实数
3.对实数进行分类时，某些数应先进行计算或化简，然后根据最后结果进行分类，不能看到带根号的数，就认为是无理数，也不能看到有分数线的数，就认为是有理数
知识点03 实数与数轴
1.实数与数轴上的点的对应关系
实数与数轴上的点是一一对应的
（1）“一一对应”包含着两层含义:
①每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示②数轴上的每一个点都表示一个实数,
（2）数轴上两点间的距离可用两点所表示的实数来表示，即点 、点 在数轴上表示的数分别为 ，则 ．
2．利用数轴比较实数的大小 对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大．
注意：
1.在数轴上表示无理数时，一般只能通过估算标出其大致位置
2.借助数轴上的点可以把实数直观地表示出来，数轴上的任意一点表示的数，不是有理数就是无理数
知识点04 实数的性质
1．相关概念
（1）相反数：实数 的相反数为 ，若a, b互为相反数，则 ；
（2）倒数：非零实数 的倒数为 ，若a, b互为倒数，则;
绝对值：
2.比较实数的大小
(1)定义法:正数大于0，0大于一切负数。(2)性质法:两个正数，绝对值大的数大;两个负数
绝对值大的数反而小
注意：
1.在有理数范围内的一些基本概念(如相反数、倒数、绝对值)在实数范围内依然适用.
2.对实数的有关概念进行辨析时，错误的说法只需举一个反例即可
知识点05 实数的运算
1.在实数范围内，进行加、减、乘、除、乘方和开方运算时，有理数的运算法则和运算律仍然适用;实数混合运算的运算顺序与有理数混合运算的运算顺序一样，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，同级运算按照自左向右的顺序进行，有括号的先算括号里面的
2．实数的运算律
加法交换律： ；
加法结合律： ；
乘法交换律： ；
乘法结合律： ；
乘法分配律： 。
3.运算种类
注意：
有理数的运算律在实数范围内仍然适用，在进行实数运算的过程中，要做到:
一“看”--看算式的结构特点能否运用运算律或公式:
二“用”--运用运算律或公式;
三“查”--检查过程和结果是否正确
典型案例探究
知识点01 无理数
例1.（24-25八年级上·四川成都·期中）在实数，，（每两个1之间依次增加一个0），，中，无理数有（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】本题考查了无理数的概念，含根号的实数要判断是否能开得尽方是本题的关键．根据无理数的概念，即无限不循环小数，依次判断即可得出答案．
【详解】解：是分数，是有理数；是无理数；（每两个之间依次多一个）是无理数；是有理数，是无理数；
故有个无理数；
故选：D
【变式1】（24-25八年级上·甘肃天水·期中）在实数中，无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】本题考查无理数，无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可．
【详解】解： 是分数，不是无理数；
是整数，不是无理数；
是无限循环小数，不是无理数；
是整数，不是无理数；
是无限不循环小数，它是无理数，
所以，无理数有1个，
故选：A．
【变式2】（23-24八年级上·广东梅州·期中）下列四个数中，属于无理数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据无理数的定义，判断各选项是否为无限不循环小数或不能表示为整数之比．
【详解】解：由无理数的定义可得，四个数中只有是无理数，
故选：D．
【变式3】（24-25八年级上·四川成都·期中）下列实数中，属于无理数的是（ ）
A．B．0C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的定义，判断各选项是否为无限不循环小数或无法表示为整数比的数．
【详解】A、，是整数，属于有理数．
B、 是整数，属于有理数．
C、，是整数，属于有理数．
D、因为7不是完全平方数，属于无限不循环小数，故为无理数．
故选：D
知识点02 实数的分类
例1．下列说法：①在实数范围内，一个数如果不是有理数，则一定是无理数；②无限小数都是无理数；③无理数都是无限小数；④最小的实数是0；⑤带根号的数都是无理数．其中错误的共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】本题主要考查实数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键．
根据无理数和实数的定义来判断正误即可．
【详解】解：①在实数范围内，一个数如果不是有理数，则一定是无理数，该选项说法正确，不符合题意；
②无限不循环小数是无理数，该选项说法错误，符合题意；
③无理数都是无限小数，该选项说法正确，不符合题意；
④没有最小的实数，该选项说法错误，符合题意；
⑤带根号的数不一定是无理数，比如，该选项说法错误，符合题意；
错误选项有：②④⑤，
故选：C．
【变式1】把下列各数填入相应的集合内：，，，，，，．
有理数集合：{ }
无理数集合：{ }
整数集合：{ }
分数集合：{ }
【答案】，，，；，，；；，，
【分析】本题主要考查了实数的分类，先计算绝对值和算术平方根，再根据有理数，无理数，整数和分数的定义求解即可．
【详解】解：，，
是无理数，
是无理数，
是有理数，是整数，
是无理数，
是有理数，是分数，
是有理数，是分数，
是有理数，是分数，
∴有理数集合：{，，，}，
无理数集合：{，，}，
整数集合：{}，
分数集合：{，，}．
【变式2】下面是王老师在数学课堂上给同学们出的一道数学题，要求对以下实数进行分类填空：，0，0.3（3无限循环），，18，，，1.21（21无限循环），3.14159，1.21，，，0.8080080008…，
（1）有理数集合：_____；
（2）无理数集合：_____；
（3）非负整数集合：_____；
王老师评讲的时候说，每一个无限循环的小数都属于有理数，而且都可以化为分数．
比如：0.3（3无限循环）=，那么将1.21（21无限循环）化为分数，则1.21（21无限循环）=_____（填分数）
【答案】（1）0，0.3（3无限循环），，18，，1.21（21无限循环），3.14159，1.21，；（2），，，0.8080080008…，；（3）0，18，；
【分析】本题主要考查了实数，解决本题的关键是熟记实数的分类；
（1）根据有理数的定义，即可解答；
（2）根据无理数的定义，即可解答；
（3）非负整数集合包括0和正整数，即可解答．
【详解】解：有理数集合：，无限循环，，，，无限循环，，，；
无理数集合：，，，，；
非负整数集合：，，；
设（21无限循环），则（21无限循环），
（21无限循环）（21无限循环），
，
S；
故1.21（21无限循环）
知识点03 实数与数轴
例1.如图，数轴上表示2，的点分别为点C，点B，点C是线段的中点，则点A表示的数（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了实数与数轴，以及两点之间的距离公式．数轴上的点与实数一一对应，根据C是线段的中点，可得，用C点表示的数减去的距离，可得A点表示的数．
【详解】解：∵点C是线段的中点，
∴，
∴点A表示的数是：，
故选：D．
【变式1】如图，数轴上表示实数的点可能是（ ）
A．点B．点C．点D．点
【答案】A
【分析】本题考查的是实数与数轴，先判断出的取值范围，进而可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴点符合题意．
故选：A．
【变式2】如图，点B，C在数轴上表示的数分别是4，，若，则数轴上点A表示的数是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了实数与数轴．根据题意得出，即可得出答案．
【详解】解：∵点B，C在数轴上表示的数分别是4，，
∴，
∴点A对应的数是：，
故答案为：．
【变式3】直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点，那么点所对应的数是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，解题需注意：确定点的符号后，点所表示的数是距离原点的距离．直径为 1 个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，说明之间的距离为圆的周长，由此即可确定点对应的数．
【详解】解：因为圆的周长为，
所以圆从原点沿数轴向右滚动一周，．
故答案为：．
【变式4】如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬行2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为．
(1)的值为 ．
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了实数与数轴，差的绝对值是大数减小数，注意数轴上的点向右移动加，向左移动减．
（1）根据数轴上的点向右移动加，可得答案；
（2）根据差的绝对值是大数减小数，可得答案．
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：根据题意可知，
．
知识点04 实数的性质
例1．实数的倒数是（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了学生对“求倒数的方法”知识点的掌握情况，解答本题的关键是熟练掌握倒数的概念，然后通过求整数的倒数的方法得到答案，
【详解】解：的倒数是
故选：D.
【变式1】化简的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了实数的性质，化简绝对值；先判断与1的大小，再化简绝对值，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴
故选：B．
【变式2】下列说法错误的是（ ）
A．9的平方根是 B．1的立方根是1C．的相反数是D．π的绝对值是π
【答案】A
【分析】本题主要考查了平方根与立方根，一个数的立方根只有一个，一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
根据平方根以及立方根的概念进行判断即可．
【详解】解：A、9的平方根是，该选项说法错误；
B、1的立方根是1，该选项说法正确；
C．的相反数是，该选项说法正确；
D、π的绝对值是π，该选项说法正确；
故选：A．
【变式3】已知，且，求的值．
【答案】2或
【分析】本题主要考查了根据算术平方根求原数，实数的性质，根据题意可得或，据此分情况讨论求解即可．
【详解】解：∵，且，
∴或，
当时，；
当时，．
综上所述，的值为2或．
知识点05 实数的运算
例1．化简： ．
【答案】11
【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据算术平方根定义，立方根定义，进行计算即可．
【详解】解：
．
故答案为：11．
【变式1】已知，则 ．
【答案】4
【分析】本题考查二次根式的运算，非负数的性质．根据非负性先分别求出，，再将a，b的值代入化简二次根式即可得出答案．
【详解】解：，
，，
，，
，
故答案为：4．
【变式2】1）计算：；
（2）解方程：；
（3）已知，且与互为相反数，求的平方根．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】本题考查了非负数的性质，实数的运算等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据算术平方根的定义，立方根的定义，绝对值的意义等计算即可；
（2）根据平方根的定义解方程即可；
（3）根据非负数的性质可求出x、y的值，根据相反数的定义和立方根的性质可求z的值，然后根据平方根的定义求解即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）∵，
∴，
∴，
∴
（3）∵，
∴，，
∴，，
∵与互为相反数，
∴，
∴，
∴，
∵9的平方根是，
∴的平方根是．
【变式3】如图，小正方形的边长为1个单位长度，以数轴的原点为圆心，正方形的对角线的长为半径画圆，交数轴于两点．
(1)写出点表示的数；
(2)将点沿数轴向右移动两个单位长度得到点，求的长；
(3)在（2）的情况下，若点是线段的中点，求点表示的数以及线段的长．
【答案】(1)点表示的数为和
(2)
(3)点表示的数为，线段的长为
【分析】本题考查了实数的运算，实数与数轴，平方根的概念理解，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）先求出，再由表示出点表示的数；
（2）先求出点表示的数，再由数轴上两点距离公式求解；
（3）根据点是线段的中点，得到，则，即可求出，再由数轴上两点距离公式求解．
【详解】（1）解：如图，，那么4个一样的等腰直角三角形拼成一个面积为的正方形，如图：
∴，
∴（舍负），
∴，
∴点表示的数为和；
（2）解：由题意得点表示的数为，
∴；
（3）解：设点表示的数为
∵点是线段的中点，
∴，
∴，
解得，
∴．
∴点表示的数为，线段的长为．
课后作业
A
一、单选题
1．在实数中，最小的数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查实数大小比较的概念，正数大于，大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小；根据这个规则来找出给定实数中的最小值．
【详解】解：∵，，，
又∵，即，
∴，
∵负数小于 ，
∴ ，
∴在实数中，最小的数是，
故选：B．
2．数学著作《九章算术》中用“面”来表示开方开不尽的数，这是中国传统数学对无理数的最早记载．下列四个数中，为无理数的是（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【分析】本题考查了实数，根据有理数、无理数的定义分别判断即可．
【详解】解：，，2是有理数，无理数是，
故选：C．
3．下列实数：，，，，，0，，，…（每相邻两个1之间0的个数依次增加1），其中无理数有（ ）个
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】本题考查了乘方运算，算术平方根，无理数的定义，根据无限不循环小数即为无理数进行分析，即可作答．
【详解】解：，，
则，，…（每相邻两个1之间0的个数依次增加1）都是无限不循环小数，
故无理数有3个,
故选：A
4．相传，古希腊有一个叫希帕索斯的门徒发现：边长为1的正方形的对角线长的平方等于2，这个对角线的长度是以前从来没有见到过的数，它既不循环，又无穷尽，这个数就是今天我们所说的无理数．下列各数中是无理数的是（ ）
A．B．0C．D．
【答案】A
【分析】根据无理数和有理数的定义，判断每个选项属于有理数还是无理数．本题主要考查了无理数的定义，熟练掌握无限不循环小数是无理数，整数和分数是有理数是解题的关键．
【详解】解：是无限不循环小数，属于无理数；
是整数，属于有理数；
是分数，属于有理数；
是整数，属于有理数．
故选：A．
二、填空题
5．比较大小： 2．(填“”“”或“