数学人教版（2024）数学广角—数与形精品课堂检测

这是一份数学人教版（2024）数学广角—数与形精品课堂检测，共17页。试卷主要包含了自学下面这段材料，然后回答问题，小明用小棒搭房子，用小棒按下图摆六边形，有一列数，如图所示，用同样的小棒摆三角形，用小棒摆三角形如图等内容，欢迎下载使用。
一．解决问题
1．自学下面这段材料，然后回答问题。
我们知道，在整数中“两个数的和等于这两个数的积”的情形并不多，
例如：。但是在分数中，这种现象却很普遍。
请观察下面的几个例子：
因为：，，所以。
因为：，，所以。
根据以上结果，我们发现了这样的一个规律：两个分数，如果它们的 相同，并且 ，那么这两个分数的和等于它们的积。
例如： 。
2．工人叔叔要堆放木材，如果最上面一层放1根，第二层放2根，第三层放3根，按这样的规律，这堆木材一共有20层，一共有多少根木材？
3．小明用小棒搭房子．搭2间用9根，搭3间用13根．照这样计算，如果搭10间房子，需要用多少根小棒？
4．在计算一个数与15相乘时，有一种简便的算法 “加半添0”法．例如，计算，先用24的一半（即与24相加，得36；再在36的末尾添一个0，得360．你能用这种方法计算下面各题吗？
5．一张桌子坐6人，两张桌子并起来坐10人，三张桌子并起来坐14人照这样并下去，13张桌子并一排可以坐多少人？如果一共有42人，需要并多少张桌子才能坐下？
6．（如图所示）用小棒按下图摆六边形：摆1个六边形需要根小棒，摆2个六边形需要根小棒，摆3个六边形需要根小棒，
①像这样摆下去，摆个六边形一共需要多少根小棒？（请用含有字母的式子表示）
②当时，用第①题的式子计算摆10个六边形一共需要多少根小棒？
7．佳佳摆小棒（如图），照这样摆下去，第5个图形有多少根小棒？第8个呢？
8．有一列数：，，，，，，，它的前2015个数的和是多少？
9．如图所示，用同样的小棒摆三角形。
①像这样摆下去，摆个三角形，需要 根小棒。
②当时，用第1题的式子计算摆100个三角形需要的小棒数。
10．用小棒摆三角形如图：
摆1个三角形要用3根小棒，摆2个三角形要用5根小棒，摆3个三角形要用7根小棒，摆4个三角形要用9根小棒。
（1）照这样，摆5个三角形要用 根小棒，摆6个三角形要用 根小棒。
（2）照这样摆下去，摆20个三角形要用 根小棒。摆个三角形要用 根小棒（用含有的算式表示）
11．如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按这样的规律摆下去，第6个图形需要黑色棋子多少个？则第是大于0的整数）个图形需要黑色棋子多少个？
12．明明用围棋子摆出了下面三个图案。
如果像这样摆下去，第6个图案一共要用多少枚围棋子？
13．如图摆放餐桌和椅子：
（1）一张餐桌可坐6人，两张餐桌可以坐10人，四张餐桌可坐多少人？
（2）按照这个规律摆放，张餐桌可以坐多少人？
（3）按照这个规律摆放餐桌，要坐42人，需要多少张餐桌？
14．观察如图图形，第七个图形中，共有多少个三角形？
15．1、4、7、10、13、这个数列中，有6个连续数字的和是159，那么这6个数中最小的是几？
16．小华把一些珠子放在桌子上的15个盒子中，已知盒子中的珠子数按盒子从左往右的顺序成一个等差数列，任一盒子中不止两颗珠子，并且从左数第8个盒子中有24颗珠子．请问：这15个盒子中一共有多少颗珠子？
17．仔细观察如图与算式的规律，并填空。
（1）
（2）利用发现的规律计算：
18．小明用面积为的正方形卡纸拼摆图形．
（1）像这样拼下去，第（5）个图形要用多少张小正方形卡纸？
（2）如果要在第个图形的外围用铁丝镶上一圈边框，至少需要多少厘米铁丝？
19．表中一共有50个奇数，实线框出的5个数之和是115，仔细观察后回答问题．
（1）你能发现每次框出的5个数的和与中间数有什么关系？
（2）如果框出的5个数的和是255，应该怎样框？（用彩笔在图中框一框）
（3）能框出和是200的5个数吗？为什么？
（4）一共可以框出多少个大小不同的和？
20．根据如图箭头所示的方向和图中的数字写出88与98之间的数字是多少？
参考答案
一．解决问题
1．【答案】分子；两个分母的和等于分子；；；；。
【分析】（1）根据所给例子，我们发现了这样一个规律，两个分数，分子相同，并且两个分数的分母的和等于分子，两个分数的和等于它们的积。
（2）根据找出的规律，写出符合规律的算式即可。
【解答】解：（1）根据以上结果，我们发现了这样一个规律，两个分数，如果分子相同，并且两个分母的和等于分子，那么这两个分数的和等于它们的积。
（2）根据规律写出算式为：。
故答案为：分子；两个分母的和等于分子；；；；。
【点评】解决本题的关键是根据所给例子，我们发现了这样一个规律，两个分数，分子相同，并且两个分数的分母的和等于分子，两个数的和等于它们的积，再利用规律写算式即可。
2．【答案】210根
【分析】因为每一层都比上一层多1根，这堆木材形似梯形，上底为1，下底为20，高为20，利用梯形面积（上底下底）高可求出这堆木材的根数。
【解答】解：
（根
答：一共有210根木材。
【点评】此题重点考查利用梯形面积公式求等差数列的和。
3．【分析】根据搭成的房子间数，和所用小棒的根数，发现规律：搭间房需要：根小棒．
【解答】解：根据图示，
2间房：（根
3间房：（根
10间房：（根
答：搭10间房子，需要用41根小棒．
【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力．
4．【分析】根据巧算的方法：“加半添0”法解答即可．
【解答】解：
所以
所以
所以
所以
【点评】解答此题的关键是找出算式之间数与数的关系，得出规律，再根据规律解决问题．
5．【答案】54人；10张。
【分析】1张桌子坐6人，；2张桌子坐10人，；3张桌子坐14人，；；所以张桌子并起来坐人；据此解答即可。
【解答】解：1张桌子坐6人：
2张桌子坐10人：
3张桌子坐14人：
所以张桌子并起来坐人
（人
答：13张桌子并一排可以坐54人；如果一共有42人，需要并10张桌子才能坐下。
【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。
6．【答案】①根；
②51根。
【分析】①摆1个六边形需要根小棒，摆2个六边形需要根小棒，摆3个六边形需要根小棒，，摆个六边形需要小棒：根。
②把时，代入①中的公式，计算即可。
【解答】解：①摆1个六边形需要根小棒
摆2个六边形需要根小棒
摆3个六边形需要根小棒
摆个六边形需要小棒：根
答：摆个六边形一共需要根小棒。
②当时，
（根
答：摆10个六边形一共需要51根小棒。
【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。
7．【答案】20；32。
【分析】根据图示可知，摆一个独立的图形长方体需要4根小棒，第几个图形就摆几个长方形，据此利用乘法计算小棒的根数即可。
【解答】解：（根
（根
答：第5个图形有20根小棒；第8个图形有32根小棒。
【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。
8．【分析】此题属典型的高斯求和问题，先找出这一串数字的变化规律，再利用高斯求和的知识求得答案．
【解答】解：以1为分母的数有1个，相加和，
以2为分母的数有2个，相加和，
以3为分母的数有3个，相加和，
以为分母的数有个，相加和，
求前2015个数的和，先确定第2015个数分母是什么，即求满足的最小整数，易得，，
分母为63的数有个，即、、、、，
则前2015个数的和是：
答：它的前2015个数的和是1007.5．
【点评】考查了数列中的规律，此题关键是总结出，据此即可求得结果．
9．【答案】①；②201根。
【分析】①由图可以看出摆一个三角形用3根小棒，摆两个三角形用5根小棒，摆三个三角形用7根小棒，摆四个三角形用9根小棒，所以摆个三角形用根小棒。
②把代入，即可求出摆100个三角形需要的小棒数。
【解答】解：①一个三角用（根
二个三角形用（根
三个三角形用（根
四个三角形用（根
个三角形用根
答：摆个三角形需根小棒
②当时
（根
答：摆100个三角形需要201根小棒。
故答案为：。
【点评】此题主要是初步渗透不完全归纳思想和代数思想，培养符号化意识，提高抽象和概括能力，关键是找规律，找到规律，代入数值计算比较简单。
10．【答案】11，13；41，。
【分析】摆1个三角形要3根小棒，即；
摆2个三角形要5根小棒，即；
摆个三角形需要的小棒数为：。
【解答】解：（1）
（根
（根
（2）
（根
摆个三角形要用根小棒。
故答案为：11，13；41，。
【点评】本题主要考查数与形结合的规律，发现每多1个三角形就多2根小棒是解本题的关键。
11．【分析】根据图示，第一个图形可以摆：个棋子；第二个图形可以摆棋子个数：（个；第三个图形可以摆棋子个数：（个；第个图形可以摆棋子个数：个，据此解答．
【解答】解：第一个图形可以摆棋子数：个
第二个图形可以摆棋子数：（个
第三个图形可以摆棋子数：（个
第6个图形可以摆棋子数：
（个
第个图形可以摆棋子数：个
答：第6个图形需要黑色棋子48个；则第是大于0的整数）个图形需要黑色棋子个．
【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力．
12．【答案】25枚。
【分析】根据图案得出规律，每个图案中间是一枚黑色围棋子，第1个图案外围每边各有1枚，共有（枚；第2个图案，外围每边各有2枚，共有（枚，第3个图案外围每边各有3枚，共有（枚，以此类推即可。
【解答】解：根据分析可知，第1个图案共有（枚；
第2个图案共有（枚；
第3个图案共有（枚；
；
第个图案共有（枚；
所以第6个图案共有（枚。
故答案为：25枚。
【点评】本题是图形与数字类的变化规律的综合问题，首先要探寻规律，认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题；本题不仅要从图形中看规律，还要从数字变化看规律，两方面结合得出结论。
13．【答案】（1）18人；（2）人；（3）10张。
【分析】一张餐桌可摆放把椅子，可以坐6人；
两张餐桌可摆放把椅子，可以坐10人；
三张餐桌可摆放把椅子，可以坐14人；
所以张餐桌可摆放把椅子，可以坐人；根据此解答即可。
【解答】解：（1）（人
答：四张餐桌可坐18人。
（2）按照这个规律摆放，张餐桌可以坐人。
（3），可得：（张
答：需要10张餐桌。
故答案为：（1）18人；（2）人；（3）10张。
【点评】本题考查了数与形结合的规律，关键是能根据求出的结果或观察图形得出规律。
14．
【分析】根据图示，发现这组图形的规律：第一个图形三角形个数：4个，第二个图形三角形个数：（个；第三个图形三角形个数：（个；第个图形三角形的个数：个．据此解题．
【解答】解：第一个图形三角形个数：4个
第二个图形三角形个数：（个
第三个图形三角形个数：（个
第个图形三角形的个数：个
所以第七个图形三角形的个数：
（个
答：第七个图形三角形共有28个．
【点评】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据所给图形，发现其规律，并运用规律做题．
15．【分析】据题意可知，这个数列是公差为3的等差数列，由此可设这6个数中最小的数为，则后边5个数与第一个数的差分别为3，6，，又因为有6个连续数的和是159，据此可得等量关系式：，解此方程即得这6个数中最小的是多少．
【解答】解：设这6个数中最小的数为，据题意可得方程：




答：这6个数中最小的是19．
【点评】根据数列的排列规律及已知条件列出等量关系式是完成本题的关键．
16．【分析】15个盒子中的珠子从左到右是一个项数为15的等差数列，其中第8个盒子中的珠子数为中间项，根据等差数列的意义，与中间项相邻的左、右两项之和等于中间项，与中间项相隔1项的左、右两项之和也等于中间项因此，这15项之和就是等于中间项乘中间项数．
【解答】解：（颗
答：这15个盒子中一共有360颗珠子．
【点评】解答此题的关键是明白：与中间项相邻的左、右两项之和等于中间项，与中间项相隔1项的左、右两项之和也等于中间项
17．【答案】；45。
【分析】根据仔细观察如图与算式的规律，可知；利用发现的规律，，然后结合规律解答即可。
【解答】解：（1）。
（2）利用发现的规律计算：
答：（1）。
（2）利用发现的规律计算：。
故答案为：；45。
【点评】本题考查了算式的规律，首先仔细观察如图与算式，找出规律，然后结合题意分析解答即可。
18．
【分析】（1）像这样拼下去，所用小正方形卡纸的张数是8、10、、、第5个图用的张数是，第个用的张数是．
（2）面积为的正方形边长为．在第个图形的外围用铁丝镶上一圈边框，也就求第个图形的周长．像这样拼下去，各图形的周长分别是12、14、、、第个图形的周长是．
【解答】解：（1）由分析可知，第（5）个图形要用多少张小正方形卡纸是：
（张
答：第（5）个图形要用16张小正方形卡纸．
（2）由分析可知，第个图形的周长是
因此，如果要在第个图形的外围用铁丝镶上一圈边框，至少需要厘米铁丝
答：至少需要厘米铁丝．
【点评】解答此题的关键是根据这些图形找出图形的序数与所用小正方形卡纸的张数、拼成图形的周长之间的关系，这也是本题的难点．
19．【分析】（1）根据题意，框出的5个数的和是115，，可得框出的5个数之和是中间的数的5倍，据此解答即可；
（2）根据（1）的规律，用，可得所框的5个数里中间数是51，即可得出框法；
（3）根据（1）的规律，用，因为40是偶数，奇数表中没有偶数，即可做出判断；
（4）根据所给框的例子，知道23、25、27、29、31、33、35、37、及它们对应的下两行的数，都可以被框为中间的数，由此即可得出答案．
【解答】解：（1）
所以每次框出的5个数的和都是中间数的5倍；
（2）
所框的5个数里中间数是51，其余4个数是31，49，53，71；
（3）不能，，
因为40是偶数，奇数表中没有偶数，
所以不能在奇数表中框出和是200的5个数；
（4）根据所给框的例子，知道23、25、27、29、31、33、35、37、及它们对应的下两行的数，都可以被框为中间的数，
所以，一共可以框出大小不同的和的个数：（个；
答：一共可以框出24个大小不同的和．
【点评】本题考查了数与形结合的规律，主要培养学生的观察能力和总结能力．
20．【答案】87。
【分析】本题考查的是数学中找规律问题将题中图旋转可以得到以下数字：86，？，88，89，90，91。由此可知每个数字依次增加1。据此解答。
【解答】解：
答：88与98之间的数字是87。
【点评】本题考查的是数学中找规律问题，能够想到图旋转是解本题的关键。