浙教版（2024）八年级上册（2024）2.7 探索勾股定理精品课时训练

这是一份浙教版（2024）八年级上册（2024）2.7 探索勾股定理精品课时训练，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，一个梯子AB长2米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C的距离为1.2米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD的长为0.4米，则梯子顶端A下滑了 ( )
A. 0.4米B. 0.5米C. 0.6米D. 0.7米
2.下列结论中，正确的有( )
①在Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5；
②△ABC的三边长分别为AB，BC，AC，若BC2+AC2=AB2，则∠A=90°；
③在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：5：6，则△ABC是直角三角形；
④若三角形的三边长之比为3：4：5，则该三角形是直角三角形．
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
3.如图所示，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△的三个顶点A，B，C都在格点上，CD是边AB上的中线，则CD的长为( )
A. 5
B. 6
C. 52
D. 135
4.如图，在▵ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，点M，N为垂足，若BD=32，DE=2，EC=52，则AC的长为( )
A. 3 22B. 3 32C. 3 52D. 3 102
5.我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，则这块沙田的面积为( )
A. 65平方里B. 60平方里C. 325平方里D. 30平方里
6.如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为( )
A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°
7.如图，在3×3的网格中，每一个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D都在格点上，连接AC，BD相交于P.那么∠APB的大小是( )
A. 80°B. 60°C. 45°D. 30°
8.如图，正方形ABCD的边长为5，AG=CH=4，BG=DH=3，连接GH，则线段GH的长为( )
A. 2B. 145C. 2 2D. 10−5 2
9.如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边(x>y)，下列四个选项：①x2+y2=49；②x−y=2；③x+y=9；④2xy+4=49；其中正确的是( )
A. ①②B. ①②③C. ①②④D. ①②③④
10.如图，一束光线从点A2,0出发，经过y轴上的点B反射后经过点C4,8，则光线从A点到C点经过的路线长是( )
A. 9B. 10C. 11D. 12
11.如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB交于点D.若AD=CD=4，OD=3，则BD的长为( )
A. 2.5
B. 2
C. 1.5
D. 1
12.如图，C是AB的中点，弦AB=8，CD⊥AB，且CD=2，则AB所在圆的半径为
A. 4B. 5C. 6D. 10
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.已知a，b，c为▵ABC的三边，且满足a2c2−b2c2=a4−b4，则▵ABC为 三角形．
14.把两个同样大小含45°的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A，且另外三个锐角顶点B，C，D在同一直线上.若AB=2，则CD= ．
15.如图，在△ABC中，AC和BC的垂直平分线l1和l2分别交AB于点D，E.若AD=3，DE=4，EB=5，则△ABC的面积等于 ．
16.如图，在Rt▵ABC中，∠ACB=90∘，AC=6，BC=8，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E，F，则线段CE的长为 ，线段BF的长等于 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
一个屋架的形状如图．已知AC=10m，BC=12m，AC⊥BC，CD⊥AB于点D.求立柱CD的长和点D的位置(结果精确到0.1m)．
18.(本小题8分)
如图，在▵ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求▵ABC的面积。
19.(本小题8分)
如图，等边▵ABC内有一点P，分别连结AP，BP，CP.若AP=6，BP=8，CP=10．
(1)∠APB的度数．
(2)求S▵ABP+S▵BPC．
20.(本小题8分)
如图，在▵ABC中，E点为AC的中点，其中BD=1，DC=3，BC= 10，AD= 7，求DE的长．
21.(本小题8分)
如图，已知∠ADC=90∘，AD=8，CD=6，AB=26，BC=24．
(1)求证：▵ABC是直角三角形．
(2)求图中阴影部分的面积．
22.(本小题8分)
如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，▵ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
(1)画线段AD/​/BC且使AD=BC，连结CD．
(2)线段AC的长为 ，CD的长为 ，AD的长为 ．
(3)▵ACD为 三角形．
23.(本小题8分)
如图，一张直角三角形的纸片ABC，两直角边AC=6cm，BC=8cm.现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且AC与AE重合，求CD的长．
24.(本小题8分)
如图，在等腰直角▵ABC中，∠ABC=90∘，点P在AC上，将▵ABP绕顶点B顺时针旋转90∘后得到▵CBQ．
(1)求∠PCQ的度数．
(2)当AB= 8，AP:PC=1:3时，求PQ的长．
(3)当点P在线段AC上运动时(点P不与点A重合)，请直接写出PA2，PC2，PB2之间的数量关系．
25.(本小题8分)
如图，▵ACB与▵ECD均为等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90∘，D为AB边上的一点.若AD=1，BD=2.求DE的长．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】略
2.【答案】C
【解析】解：①Rt△ABC中，已知两边分别为3和4，则第三条边长为 42+32= 25=5或 42−32= 7，
故结论①错误，不符合题意；
②△ABC的三边长分别为AB，BC，AC，若BC2+AC2=AB2，则∠C=90°，
故结论②错误，不符合题意；
③△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：5：6，此时∠C=61+5+6×180°=90°，则这个三角形是一个直角三角形，
故结论③正确，符合题意；
④若三角形的三边比为3：4：5，则设三边为3r，4r，5r，
∵(3r)2+(4r)2=25r2=(5r)2，
∴该三角形是直角三角形，
故结论④正确，符合题意；
综上所述，结论正确的有③④，共2个，
故选：C．
根据勾股定理可得①中第三条边长为5或 7，根据勾股定理逆定理可得②中应该是∠C=90°，根据三角形内角和定理计算出∠C=90°，可得③正确，再根据勾股定理逆定理可得④正确．
本题考查了三角形内角和性质，勾股定理以及勾股定理逆定理，解答本题的关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
3.【答案】C
【解析】解：根据网格特点，由勾股定理得：AC2=12+22=5，BC2=22+42=20，AB2=32+42=25，即AB=5，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，
∵CD是边AB上的中线，
∴CD=12AB=52，
故选：C．
先利用勾股定理及其逆定理判断△ABC是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可．
本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，判断△ABC是直角三角形解答的关键．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理和勾股定理的逆定理，解题关键是是添加辅助线构造直角三角形．
根据线段垂直平分线的性质得出AD，AE当长，利用勾股定理逆定理得出△ADE是直角三角形，进而利用勾股定理解答即可．
【解答】
解：连接AD，AE，
∵AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，
∴AD=BD=32，AE=EC=52，
∵DE=2，
又∵AD2+DE2=94+4=254=AE2，
∴△ADE是直角三角形，∠ADE=90°，
由勾股定理可得：AC= AD2+DC2= (32)2+(2+52)2=3 102．
5.【答案】D
【解析】解：∵52+122=169，132=169，
∴根据勾股定理，52+122=132，
∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，
∴这块沙田面积为：12×5×12=30(平方里)．
综上所述，只有选项D正确，符合题意，
故选：D．
直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案．
此题主要考查了勾股定理逆定理，勾股定理，关键是勾股定理的熟练掌握．
6.【答案】C
【解析】根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，进行判断即可．
【详解】解：连接AC，如图：
根据勾股定理可以得到：AC=BC= 5，AB= 10．
∵( 5)2+( 5)2=( 10)2．
∴AC2+BC2=AB2．
∴△ABC是等腰直角三角形．
∴∠ABC=45°．
故选C．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，等腰直角三角形，平行线的性质等知识点，能构造直角三角形是是解此题的关键．
如图，过B作BM/​/AC，连接DM，根据勾股定理求出DM、BM、BD的平方，再根据勾股定理的逆定理和等腰三角形的判定得出△DMB是等腰直角三角形，求出∠DBM=45°，再根据平行线的性质得出即可．
【解答】
解：如图，过B作BM/​/AC，连接DM，
由勾股定理得：DM2=12+22=5，BM2=5，BD2=32+12=10，
∴DM=BM，DM2+BM2=BD2，
∴△DMB是等腰直角三角形，
∴∠DBM=45°，
∵AC/​/BM，
∴∠APB=∠DBM=45°，
故选：C．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的综合运用，通过证三角形全等得出△GEH为等腰直角三角形是解题的关键．延长BG交CH于点E，根据正方形的性质证明△ABG≌△CDH，进而证明△ABG≌△BCE，可得GE=BE−BG=1，HE=CH−CE=1，∠HEG=90°，由勾股定理可得GH的长．
【解答】
解：如图，延长BG交CH于点E，
在△ABG和△CDH中，
AB=CDAG=CHBG=DH,
∴△ABG≌△CDH(SSS)，
∵AG2+BG2=25=AB2，
∴∠1=∠5，∠2=∠6，∠AGB=∠CHD=90°，
∴∠1+∠2=90°，∠5+∠6=90°，
又∵∠2+∠3=90°，∠4+∠5=90°，
∴∠1=∠3=∠5，∠2=∠4=∠6，
在△ABG和△BCE中，
∠1=∠3AB=BC∠2=∠4，
∴△ABG≌△BCE(ASA)，
∴BE=AG=4，CE=BG=3，∠BEC=∠AGB=90°，
∴GE=BE−BG=4−3=1，
同理可得HE=CH−CE=1，
所以△GEH为等腰直角三角形，
在Rt△GEH中，GH= GE2+EH2= 12+12= 2，
故选：A．
9.【答案】C
【解析】解：①∵△ABC为直角三角形，
∴根据勾股定理：x2+y2=AB2=49，
故本选项正确；
②由图可知，x−y=CE= 4=2，
故本选项正确；
④由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，
列出等式为4×12xy+4=49，
即2xy+4=49；故选项④正确．
③由2xy+4=49可得2xy=45(1)，
又∵x2+y2=49(2)，
∴(1)+(2)得，x2+2xy+y2=49+45，
整理得，(x+y)2=94，
x+y= 94≠9，故选项③错误；
∴正确结论有①②④．
故选：C．
根据两个正方形的面积，分别表示出图中各条线段的长度，再利用勾股定理和完全平方公式等知识点综合进行解答即可．
本题考查了勾股定理和完全平方公式，正确表示出图中各条线段的长度是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】本题考查了点的坐标，全等三角形的判定与性质，勾股定理，延长CB交x轴于点E，过点C作CF垂直x轴于点F，根据已知条件得到：∠EFC=∠BOE=∠AOB=90 ∘，∠1=∠2，然后根据对顶角的性质得到∠2=∠3，再根据全等三角形的判定定理证明▵ABO≌▵EBO，从而得到BE=AB，OA=OE，再根据点的坐标求出CF=8,OA=OE=2,OF=4，从而求出EF，然后根据勾股定理求出CE，从而求出答案即可．
【详解】解：如图所示：延长CB交x轴于点E，过点C作CF垂直x轴于点F．
由题意可知：∠EFC=∠BOE=∠AOB=90 ∘,∠1=∠2，
∵∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
在▵ABO和▵EBO中，
∠2=∠3OB=OB∠AOB=∠EOB,
∴▵ABO≌▵EBOASA，
∴AB=BE,OA=OE．
∵点A(2,0),C(4,8),O(0,0)，
∴CF=8,OA=OE=2,OF=4，
∴EF=OE+OF=2+4=6．
在▵ECF中，由勾股定理，得CE2=EF2+CF2=62+82=100，即CE=10，
∴光线从A点到C点经过的路线长是AB+BC=BE+BC=CE=10．
故选：B．
11.【答案】B
【解析】解：∵OB是⊙O的半径，AC，OB交于点D，AD=CD=4，
∴BO⊥AC，
在Rt△OAD中，由勾股定理可得OA= AD2+OD2= 42+32=5，
∴BD=OB−OD=5−3=2．
故选：B．
根据垂径定理的推论得OB⊥AC，再根据勾股定理得OA=5，即可求出答案．
本题考查了垂径定理和勾股定理，由垂径定理得OB⊥AC是解题的关键．
12.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了垂径定理，勾股定理等内容，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．设弧AB所在圆的圆心为O，联结OB，设半径OB=OC=R，OD=OC−CD=R−2，在Rt△OBD中，利用勾股定理构建方程求解即可．
【解答】
解：∵C是AB的中点，DC⊥AB，
∴AC=BC，DC经过圆心，
设弧AB所在圆的圆心为O，
∵AB=8，
∴AD=BD=4，
联结OB，设半径OB=OC=R，OD=OC−CD=R−2，
∵OD⊥AB，
∴∠BDO=90°，
在Rt△OBD中，∵OB2=BD2+OD2，
∴R2=42+(R−2)2，
解之得R=5．
则AB所在圆的半径为5．
13.【答案】等腰或直角
【解析】略
14.【答案】 6− 2
【解析】略
15.【答案】18
【解析】略
16.【答案】4.8
1.6

【解析】在Rt▵ABC中，AB= AC2+BC2=10.由题意知CE⊥AB，因为S▵ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CE，所以CE=6×810=245=4.8.在▵AEC中，依据勾股定理得AE= AC2−CE2= 62−2452=185.由翻折的性质可知∠ECD=12∠ACD，∠DCF=12∠DCB，且∠ACB=90∘，所以∠ECF=45∘.因为CE⊥AD，所以CE=EF=245，所以BF=AB−AE−EF=10−185−245=85=1.6．
17.【答案】解：因为AC=10m，BC=12m，AC⊥BC，CD⊥AB，
所以AB= AC2+BC2= 102+122= 244(m)．
所以CD=AC⋅BCAB=10×12 244≈7.7(m)．
所以AD= AC2−CD2≈6.4m．
答：立柱CD的长约为7.7m，点D在距点A约6.4m处．

【解析】见答案
18.【答案】84
【解析】略
19.【答案】【小题1】
解：如图，以BP为边作∠PBP′=60∘，
且BP=BP′，连结P′P，CP′，∴▵BPP′是等边三角形．
∵▵ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABC=60∘．
又∵∠PBP′=60∘，∴∠ABC−∠PBC=∠PBP′−∠PBC.即∠ABP=∠CBP′．
∴▵ABP≌▵CBP′SAS．∴AP=CP′=6，∠APB=∠CP′B．
∵PP′=BP=8，P′C=6，PC=10，∴PP′2+P′C2=PC2，
∴∠PP′C=90∘，∠CP′B=60∘+90∘=150∘，∴∠APB=150∘．
【小题2】
作PH⊥BP′于点H，∵▵BPP′是等边三角形，∴BH=12BP′=4，
∴PH= BP2−BH2= 82−42=4 3，∴S▵BPP′=16 3，
∵PP′=8，P′C=6，∴S▵PP′C=24，∴S▵ABP+S▵BPC=S▵BPP′+S▵PP′C=16 3+24．

【解析】1. 略
2. 略
20.【答案】解：∵BD=1，DC=3，BC= 10，
∴BD2+CD2=BC2，
∴▵BCD是直角三角形且∠BDC=90∘，
∴∠ADC=90∘，∴AC= AD2+DC2=4，
又∵E点为AC的中点，∴DE=AC2=2．

【解析】略
21.【答案】【小题1】
证明：∵在Rt▵ADC中，∠ADC=90∘，AD=8，CD=6，
∴AC2=AD2+CD2=82+62=100，∴AC=10(取正值)．
在▵ABC中，∵AC2+BC2=102+242=676，AB2=262=676，
∴AC2+BC2=AB2，∴▵ABC为直角三角形．
【小题2】
解：S阴影=SRt▵ABC−SRt▵ACD=12×10×24−12×8×6=96．

【解析】1. 略
2. 略
22.【答案】【小题1】
解：如图所示，线段AD即为所求；
【小题2】
20
5
5
【小题3】
直角

【解析】1. 略
2. 略
3. 略
23.【答案】解：在Rt▵ABC中，AC=6cm，BC=8cm，
∴AB= AC2+BC2= 62+82=10cm．
∵▵AED是▵ACD翻折而成，∴∠AED=90∘，AE=AC=6cm．
设DE=CD=xcm，∴BE=AB−AE=10−6=4cm，
在Rt▵BDE中，BD2=DE2+BE2，即8−x2=42+x2，解得x=3．∴CD的长为3cm．

【解析】略
24.【答案】【小题1】
解：易得▵ABP≌▵CBQ，∴∠A=∠ACB=∠BCQ=45∘，
∴∠PCQ=∠ACB+∠BCQ=90∘．
【小题2】
∵▵ABP≌▵CBQ，∴AP=CQ．
∵AB=BC，∠ABC=90∘，∴AC= AB2+BC2=4．
∵AP:PC=1:3，∴AP=1，PC=3，∴CQ=AP=1，
∴在Rt▵PCQ中，PQ= PC2+CQ2= 10．
【小题3】
2PB2=PA2+PC2．

【解析】1. 略
2. 略
3. 略
25.【答案】解：∵▵ACB与▵ECD均为等腰直角三角形，
∴CD=CE，CB=CA，∠B=∠CAB=45∘．
∵∠ACB=∠ECD=90∘，即∠ACD+∠BCD=∠ACE+∠ACD，
∴∠ACE=∠BCD，∴▵ACE≌▵BCDSAS，∴∠EAC=∠B=45∘，AE=BD=2，
∴∠EAD=∠EAC+∠CAB=90∘，∴DE= AE2+AD2= 22+12= 5．

【解析】略