数学八年级上册（2024）2.8 直角三角形全等的判定精品一课一练

这是一份数学八年级上册（2024）2.8 直角三角形全等的判定精品一课一练，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，一把直尺压住射线OB，另一把完全一样的直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的平分线．”他这样做的依据是( )
A. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等
B. 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上
C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D. 以上均不正确
2.已知：如图，OC是∠AOB内部的一条射线，P是射线OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.有下列条件：①∠AOC=∠BOC；②PD=PE；③OD=OE；④∠DPO=∠EPO.其中能判定OC是∠AOB的平分线的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
3.[2024湖北武汉期中]如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，则∠CAD度数为 ( )
A. 35°B. 45°C. 55°D. 65°
4.如图，在△ABC中，∠A=100°，P是△ABC内一点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，若PD=PE=PF，则∠BPC的度数为( )
A. 110°B. 120°C. 130°D. 140°
5.如图，点P到AE，AD，BC的距离相等，则下列说法：①点P在∠BAC的平分线上；②点P在∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；④点P是∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点．其中正确的是( )
A. ①②③④B. ①②③C. ④D. ②③
6.如图，点E，F在线段AC上，AE=CF，AD⊥DF于点D，CB⊥BE于点B，要根据“HL”证明Rt△ADF≌Rt△CBE，则还需添加的一个条件是( )
A. AD=CB
B. ∠A=∠C
C. BE/​/DF
D. AD//BC
7.下列命题的逆命题是假命题的是( )
A. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
B. 等腰三角形的两底角相等
C. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
D. 若a=1，b=1，则ab=1
8.如图：△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6cm，则△DEB的周长是( )
A. 6cmB. 4cmC. 10cmD. 以上都不对
9.如图，在ΔABC中，DE⊥AC于点E，DF/​/AC交AB于点F，若DE=DB，则下列结论：①AB=AE；②AD平分∠BAC；③∠C+∠AFD=180 ∘；④▵BDF≌▵ECD.其中结论正确的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
10.如图，∠MON为锐角，下列说法：
①∠MOP=12∠MON；②∠MOP=∠NOP；③∠MON=∠MOP+∠NOP；④∠MON=2∠MOP=2∠NOP；其中，能说明射线OP为∠MON的平分线的条件有( )
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
11.下列命题是假命题的是( )
A. 两直线平行，同位角相等
B. 斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等
C. 如果ab=0，那么a=0，b=0
D. 一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等
12.如图，O为△ABC内任意一点，OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，若OD=OE=OF，连接OA，OB，OC，下列说法不一定正确的是( )
A. △BOD≌△BOFB. ∠OAD=∠OBF
C. ∠COE=∠COFD. AD=AE
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，在▵ABC中，AD⊥BC于点D，AD与BE相交于点H。若BH=AC=2，DH=DC=1，则AB= 。
14.如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1和2则正方形的边长是 ．
15.在△ABC中，P，Q分别是BC，AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，PR=PS，AQ=PQ.有下列三个结论：①AS=AR；②PQ//AR；③△BRP≌△CSP.其中正确的是 (填序号)．
16.如图，D是BC上的一点，DF⊥AB，DH⊥AC，垂足分别为F，H，且DF=DH，DE=DG.若▵ADG和▵AED的面积分别为10和6，则▵EDF的面积为 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
如图，在Rt▵ABC中，∠C=90∘，BD是Rt▵ABC的一条角平分线，点O，E，F分别在BD，BC，AC上，且四边形OECF是正方形．
(1)求证：点O在∠BAC的平分线上．
(2)若AC=5，BC=12，求OE的长．
18.(本小题8分)
已知点O到▵ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB=OC．
(1)如图1所示，若点O在BC上.求证：AB=AC．
(2)如图2所示，若点O在▵ABC的内部.求证：AB=AC．
19.(本小题8分)
在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E．
(1)若B，C在DE的同侧(如图1)，且AD=CE，求证：AB⊥AC．
(2)若B，C在DE的两侧(如图2)，且AD=CE，其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是，请给出证明；若不是，请说明理由．
20.(本小题8分)
用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知∠AOB的两边上分别取点M，N，使OM=ON，再过点M画OA的垂线，过点N画OB的垂线，两垂线交于点P.那么射线OP就是∠AOB的平分线，请你证明这一结论．
21.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，BC=DC，点E，F分别在AB，AD上，AE=AF.求证：CE=CF．
22.(本小题8分)
如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，垂足分别为C，D，连结CD交OE于点F，若∠AOB=60∘．
(1)求证：△OCD是等边三角形．
(2)若EF=5，求线段OE的长．
23.(本小题8分)
如图，公路上A、B两站相距25km，在公路AB附近有C、D两学校，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B.已知DA=15km，CB=10km，现要在公路上建设一个青少年活动中心E，要使得C、D两学校到E的距离相等，则E应建在距A多远处？
24.(本小题8分)
如图已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D.求证：
(1)∠ECD=∠EDC；(2)OE是CD的垂直平分线．
25.(本小题8分)
如图，已知∠BAC的平分线与BC的垂直平分线交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证：BE=CF．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】此题主要考查了角平分线的判定，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．
根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，可得OP平分∠AOB．
【详解】解：如图所示：过点P作PE⊥AO，PF⊥BO，
∵两把完全相同的长方形直尺的宽度相等，
∴PE=PF，
∴OP平分∠AOB(角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上)，
故选：B．
2.【答案】D
【解析】略
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了角平分线的性质，角平分线的判定，三角形的外角性质，解答本题的关键是掌握角平分线的性质定理与判定定理；过点D分别作DM⊥BA，DN⊥BC，DG⊥AC，垂足分别是点M，N，G，根据角平分线的性质得出DM=DN，DN=DG，进而得出DM=DG，再根据角平分线的判定定理得出AD平分∠CAM，利用三角形的外角性质求出∠CAM=∠ABC+∠ACB=110°，再根据AD平分∠CAM进行解答，即可求解．
【解答】
解：如图，过点D分别作DM⊥BA，DN⊥BC，DG⊥AC，垂足分别是点M，N，G．
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，DM⊥BA，DN⊥BC，DG⊥AC，
∴DM=DN，DN=DG，
∴DM=DG，
又∵DM⊥BA，DG⊥AC，
∴AD平分∠CAM，
∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，∠CAM是△ABC的外角，
∴∠CAM=∠ABC+∠ACB=50°+60°=110°，
∵AD平分∠CAM，
∴ ∠CAD=12∠CAM=55∘ ．
故选：C．
4.【答案】D
【解析】解：∵PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，PD=PE=PF，
∴PB平分∠ABC，PC平分∠ACB，
∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠ACB，
∴∠BPC=180°−∠PBC−∠PCB=180°−12∠ABC−12∠ACB=180°−12(∠ABC+∠ACB)，
∵∠ABC+∠ACB=180°−∠A，
∴∠BPC=180°−12(180°−∠A)=90°+12∠A，
∵∠A=100°，
∴∠BPC=90°+12×100°=140°．
故选：D．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查的知识点是角平分线的判定，掌握好角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键，本题将各说法根据角平分线的判定定理进行判断即可．
【解答】
解：∵点P到AE，AD的距离相等，
∴点P在∠BAC的平分线上，①正确；
∵点P到AE，BC的距离相等，
∴点P在∠CBE的平分线上，②正确；
∵点P到AD，BC的距离相等，
∴点P在∠BCD的平分线上，③正确；
∴点P是∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点，④正确，
故选A．
6.【答案】A
【解析】解：∵AD⊥DF，CB⊥BE，
∴∠D=∠B=90°，
∵AE=CF，
∴AE+EF=CE+EF，
即AF=CE，
添加AD=BC，
在Rt△ADF和Rt△CBE中，
AD=CBAF=CE，
∴Rt△ADF≌Rt△CBE(HL)，
故选：A．
已知AD⊥DF，CB⊥BE，得出∠D=∠B=90°，由AE=CF，得出AF=CE，再添加一组直角边对应相等即可证明Rt△ADF≌Rt△CBE，据此即可求解．
本题考查了直角三角形全等的判定，全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：A.“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”的逆命题为“两个全等直角三角形的斜边和直角边分别对应相等”，逆命题是真命题，故此选项不符合题意；
B.“等腰三角形的两底角相等”的逆命题为“有两个角相等的三角形是等腰三角形”，逆命题是真命题，故此选项不符合题意；
C.“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的逆命题为“到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，逆命题是真命题，故此选项不符合题意；
D.“若a=1，b=1，则ab=1”的逆命题为“若ab=1，则a=1，b=1”，逆命题是假命题，故此选项符合题意．
故选：D．
逆命题就是交换原命题的条件与结论所得到的新命题，写出各个命题的逆命题，再判断即可．
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握全等三角形的性质，等腰三角形的判定，垂直平分线的判定等知识．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，直角三角形全等的判定和性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CD=DE，利用“HL”证明△ACD和△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AC=AE，然后求出△DEB的周长=AB.
【解答】
解：∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，
∴CD=DE，
在△ACD和△AED中，
AD=ADCD=DE，
∴△ACD≌△AED(HL)，
∴AC=AE，
∴△DEB的周长=BD+DE+BE，
=BD+CD+BE，
=BC+BE，
=AC+BE，
=AE+BE，
=AB，
∵AB=6cm，
∴△DEB的周长为6cm．
故选A．
9.【答案】B
【解析】解：∵DE⊥AC，
∴∠DEA=∠DBA=90∘，
∵DE=DB，
∴AD平分∠BAC，故 ②正确;
∴∠BAD=∠EAD，
∴△BAD≌△EAD(AAS)，
∴AB=AE，故 ①正确;
∵DF/​/AC，
∴∠BAC+∠AFD=180∘，
根据现有条件无法证明∠C=∠A∴无法证明∠C+∠AFD=180∘，故 ③错误;
∵DF/​/AC，
∴∠C=∠BDF，
由于只有BD=DE，并不能得到BD=EC，
∴△BDF≌△ECD不成立，故 ④错误，
故选：B．
10.【答案】D
【解析】【分析】本题考查了角平分线的定义和性质，角的和差计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键，从一个角的顶点引出的把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的角平分线，根据定义逐一判断即可．
【详解】解：①当∠MOP在∠MON外部时，则不成立，故①错误；
②当OP在∠MON外部时，则不成立，故②错误；
③只要OP在∠MON内部时，∠MON=∠MOP+∠NOP，本身就满足这个等量关系，故不成立，故③错误；
④∠MON=2∠MOP=2∠NOP，则OP在∠MON内部，故成立，
∴正确的只有④，
故选：D．
11.【答案】C
【解析】解：A、两直线平行，同位角相等．是真命题，本选项不符合题意；
B、斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等．是真命题，本选项不符合题意；
C、如果ab=0，那么a=0，b=0.是假命题，本选项符合题意．
D、一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等．是真命题，本选项不符合题意；
故选：C．
利用平行线的性质，全等三角形的判定，有理数的乘法一一判断即可．
本题考查平行线的性质，全等三角形的判定，有理数的乘法，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
12.【答案】B
【解析】略
13.【答案】 6
【解析】略
14.【答案】 5
【解析】略
15.【答案】①②
【解析】略
16.【答案】2
【解析】略
17.【答案】【小题1】
证明：过点O作OM⊥AB于点M，∵正方形OECF，
∴OE=EC=CF=OF，
OE⊥BC于点E，OF⊥AC于点F，
∵BD平分∠ABC，OM⊥AB于点M，
∴OM=OE=OF，∴点O在∠BAC的平分线上．
【小题2】
解：∵Rt▵ABC中，∠C=90∘，AC=5，BC=12，∴AB=13．
由(1)易得BE=BM，AM=AF，
又∵BE=BC−CE，AF=AC−CF，CE=CF=OE，∴BE=12−OE，AF=5−OE．
∵BM+AM=AB，即BE+AF=13，12−OE+5−OE=13，∴OE=2．

【解析】1. 略
2. 略
18.【答案】【小题1】
证明：在Rt▵OEC和Rt▵OFB中，
∵OE=OF,OC=OB,∴Rt▵OEC≌Rt▵OFBHL,
∴∠B=∠C，∴AB=AC．
【小题2】
在Rt▵OEC和Rt▵OFB中，∵OE=OF,OC=OB,∴Rt▵OEC≌Rt▵OFBHL,
∴∠OBF=∠OCE.又∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，
∴∠FBO+∠OBC=∠OCE+∠OCB，即∠ABC=∠ACB，∴AB=AC．

【解析】1. 略
2. 略
19.【答案】【小题1】
解：证明：因为BD⊥DE，CE⊥DE， 所以∠ADB=∠AEC=90°. 在Rt△ABD和Rt△ACE中， 因为AB=AC,AD=CE, 所以Rt▵ABD≌Rt▵CAE(HL)， 所以∠DBA=∠EAC. 因为∠DAB+∠DBA=90°， 所以∠BAD+∠CAE=90°， ∠BAC=180°−(∠BAD+∠CAE)=90°， 所以AB⊥AC．
【小题2】
AB⊥AC.理由如下： 同(1)一样可证得Rt▵ABD≌Rt▵CAE， 所以∠DAB=∠ECA. 因为∠CAE+∠ECA=90°， 所以∠CAE+∠BAD=90°，即∠BAC=90°， 所以AB⊥AC．

【解析】1. 略
2. 略
20.【答案】因为∠OMP=∠ONP=90∘，在Rt▵OMP和Rt▵ONP中，OM=ON,OP=OP,所以Rt▵OMP≌Rt▵ONPHL，所以∠POM=∠PON，所以射线OP就是∠AOB的平分线．
【解析】略
21.【答案】证明：连结AC.因为∠B=∠D=90°，BC=DC，
所以点C在∠BAD的平分线上，即∠CAE=∠CAF．
在△CAE和△CAF中，因为AC=AC,∠CAE=∠CAF,AE=AF,
所以△CAE≌△CAF(SAS)，所以CE=CF．

【解析】略
22.【答案】【小题1】
证明：∵点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，垂足分别是C，D，
∴DE=CE，
在Rt△ODE与Rt△OCE中，
DE=CEOE=OE
∴Rt△ODE≌Rt△OCE(HL )，
∴OD=OC，
∵∠AOB=60∘，
∴△OCD是等边三角形;
【小题2】
20．

【解析】1. 略
2. 略
23.【答案】解：设AE=xkm，则BE=(25−x)km；
由勾股定理，得
AE2+AD2=DE2，BE2+BC2=CE2，
则x2+152=(25−x)2+102，
解得x=10，
∴E应建在距A 10km处．
【解析】设AE=xkm，则BE=(25−x)km.根据勾股定理列出关于x的方程，通过解方程求得x，即AE的长度即可．
本题考查了勾股定理的应用．根据勾股定理列出方程是此题的难点．
24.【答案】证明：(1)∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴EC=ED，
∴∠ECD=∠EDC；
(2)在Rt△DOE和Rt△COE中，
DE=CEOE=OE，
∴Rt△DOE≌Rt△COE，
∴OD=OC，又EC=ED，
∴OE是CD的垂直平分线．
【解析】本题考查的是直角三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的判定、角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
(1)根据角平分线的性质得到EC=ED，根据等腰三角形的性质证明；
(2)证明Rt△DOE≌Rt△COE，得到OD=OC，证明结论．
25.【答案】证明：如图，连结BD，CD，
根据垂直平分线的性质可得BD=CD．
∵D为∠BAC的平分线上的点，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF．
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∵DE=DF,BD=CD,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，
∴BE=CF．

【解析】见答案