2026年中考数学考点一网尽-专题24相似三角形及其应用【二十个题型训练】（学生版+名师详解版）

这是一份2026年中考数学考点一网尽-专题24相似三角形及其应用【二十个题型训练】（学生版+名师详解版），共191页。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc27085" 【题型1 选择或添加条件使两个三角形相似】 PAGEREF _Tc27085 \h 4
\l "_Tc24701" 【题型2 利用相似的性质求值】 PAGEREF _Tc24701 \h 5
\l "_Tc22563" 【题型3 利用相似的性质求点的坐标】 PAGEREF _Tc22563 \h 6
\l "_Tc30531" 【题型4 相似三角形在网格中的运用】 PAGEREF _Tc30531 \h 7
\l "_Tc31773" 【题型5 与相似三角形有关的证明】 PAGEREF _Tc31773 \h 9
\l "_Tc10643" 【题型6 利用相似三角形的性质求解决折叠问题】 PAGEREF _Tc10643 \h 12
\l "_Tc1297" 【题型7 利用相似三角形的性质判断函数图象】 PAGEREF _Tc1297 \h 13
\l "_Tc16166" 【题型8 尺规作图与相似三角形综合应用】 PAGEREF _Tc16166 \h 15
\l "_Tc683" 【题型9 三角板与相似三角形综合应用】 PAGEREF _Tc683 \h 16
\l "_Tc7298" 【题型10 平移与相似三角形综合应用】 PAGEREF _Tc7298 \h 18
\l "_Tc13493" 【题型11 利用相似三角形的性质与判定求线段比值】 PAGEREF _Tc13493 \h 19
\l "_Tc16933" 【题型12 利用相似三角形的性质与判定求最值】 PAGEREF _Tc16933 \h 20
\l "_Tc16942" 【题型13 利用相似三角形的性质与判定解决动点问题】 PAGEREF _Tc16942 \h 22
\l "_Tc2488" 【题型14 利用相似三角形的性质与判定解决存在性问题】 PAGEREF _Tc2488 \h 23
\l "_Tc23064" 【题型15 相似三角形的常见模型之（双）A字模型】 PAGEREF _Tc23064 \h 25
\l "_Tc14899" 【题型16 相似三角形的常见模型之（双）8字模型】 PAGEREF _Tc14899 \h 26
\l "_Tc5020" 【题型17 相似三角形的常见模型之K字模型】 PAGEREF _Tc5020 \h 28
\l "_Tc4578" 【题型18 相似三角形的常见模型之母子型】 PAGEREF _Tc4578 \h 30
\l "_Tc20605" 【题型19 相似三角形的常见模型之旋转相似模型】 PAGEREF _Tc20605 \h 32
\l "_Tc7577" 【题型20 相似三角形的实际应用】 PAGEREF _Tc7577 \h 33
【知识点 相似三角形及其应用】
1.相似三角形的判定
定义：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似。
定理：平行线分线段成比例定理 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。
判定1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
判定2：三边成比例的两个三角形相似。
判定3：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
判定4：两角分别相等的两个三角形相似。
2.相似三角形的性质
相似三角形的对应角相等，对应边成比例；
相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；
相似三角形对应线段的比等于相似比；
相似三角形周长的比等于相似比；
相似三角形面积的比等于相似比的平方。
3.位似图形
定义：如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。这时的相似比又叫位似比。
性质：每一组对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比都等于位似比。
由一个图形得到它的位似图形的变换叫做位似变换。利用位似变换可以把一个图形放大或缩小。
【题型1 选择或 \l "_Tc156510559" 添加条件使两个三角形相似】
【例1】（2025·吉林长春·统考模拟预测）在△ABC中，∠ACB=90°，用直尺和圆规在AB上确定点D，使△ACD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-1】（2025·陕西宝鸡·统考二模）如图，已知△ABC与△ADE中，∠C=∠AED=90°，点E在AB上，那么添加下列一个条件后，仍然不能判定△ABC与△ADE相似的是（ ）
A．∠CAB=∠DB．ACBC=DEAEC．AD∥BCD．BCAC=ADAE
【变式1-2】（2025·福建龙岩·统考一模）如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE＝3，DE＝5，BE＝4，要使△BDE∽△ACE，且点B，D的对应点为A，C，那么线段CE的长应等于 ．
【变式1-3】（2025·山东潍坊·校考一模）如图所示，AB是⊙O的直径，D、E是半圆上任意两点，连接AD、DE,AE与BD相交于点C，若添加一个条件使△ADC与△ABD相似，则可添加下列条件中的（ ）
A．DE=BEB．AD=DEC．AB//DED．AD2=BC⋅CD
【题型2 \l "_Tc156510563" 利用相似的性质求值】
【例2】（2025·河北石家庄·统考一模）如图，在△ABC中，AB=4,BC=6,AC=5，点D，E分别在边BC,AC上，且BD=4．若以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则AE的长度为（ ）
A．103B．135C．135或103D．125或53
【变式2-1】（2025·重庆大渡口·统考一模）如图，△ABC∽△ACP，若∠A=75°，∠APC=65°，则∠B的大小为 ．
【变式2-2】（2025·四川泸州·统考一模）如图，△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，若AD=2，A′D′=3，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（ ）

A．4：9B．9：4C．2：3D．3：2
【变式2-3】（2025·广东深圳·深圳市高级中学校考二模）如图，平行四边形ABCD中，AB=5，BC=7，tan∠BAD=43，点O为对角线AC，BD交点，点E为CD延长线上一动点，连接OE交AD于点F，当△AOD∽△OFD时，求DE的长度为（ ）

A．4033B．3340C．3044D．4430
【题型3 \l "_Tc156510564" 利用相似的性质求点的坐标】
【例3】（2025·江西九江·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，已如A1,0，B2,0，C0,1，在坐标轴上有一点P，它与A,C两点形成的三角形与△ABC相似，则P点的坐标是 ．

【变式3-1】（2024·浙江宁波·中考真题）如图，等腰直角三角形ABC顶点A在x轴上，∠BCA=90°，AC=BC=22，反比例函数y=3x（x＞0）的图象分别与AB，BC交于点D，E．连接DE，当△BDE∽△BCA时，点E的坐标为 ．
【变式3-2】（2025·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四十七中学校考一模）如图，直径为13的⊙E，经过原点O，并且与x轴、y轴分别交于A、B两点，线段OA、OB(OA＞OB)的长分别是方程x2+kx+60＝0的两根．
(1)OA：OB＝ ；
(2)若点C在劣弧OA上，连结BC交OA于D，当△BOC∽△BDA时，点D的坐标为 ．
【变式3-3】（2025·浙江绍兴·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边OB，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点A的坐标为8，6，点P在矩形ABOC的内部，点E在BO边上，且满足△PBE∽△CBO，当△APC是等腰三角形时，点P的坐标为 ．
【题型4 \l "_Tc156510565" 相似三角形在网格中的运用】
【例4】（2025·上海杨浦·统考三模）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．如图，已知△ABC是6×6的网格图中的格点三角形，那么该网格中所有与△ABC相似且有一个公共角的格点三角形的个数是（ ）

A．1B．2C．3D．4
【变式4-1】（2025·贵州遵义·统考一模）如图，正方形网格中每个小正方形的边长均为1，其中，B、C、D、E四点都在网格的格点上，则△ABC的面积为（ ）
A．7.5B．8C．253D．8.5
【变式4-2】（2025·福建福州·福建省福州第十九中学校考二模）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，E为BD与正方形网格线的交点，下列结论正确的是（ ）
A．CE≠12BDB．△ABC≌△CBDC．AC=CDD．∠ABC=∠CBD
【变式4-3】（2025·湖北武汉·统考中考真题）如图是由小正方形组成的8×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，正方形ABCD四个顶点都是格点，E是AD上的格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．

(1)在图（1）中，先将线段BE绕点B顺时针旋转90°，画对应线段BF，再在CD上画点G，并连接BG，使∠GBE=45°；
(2)在图（2）中，M是BE与网格线的交点，先画点M关于BD的对称点N，再在BD上画点H，并连接MH，使∠BHM=∠MBD．
【题型5 \l "_Tc156510566" 与相似三角形有关的证明】
【例5】（2025·山西·统考中考真题）问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为△ABC和△DFE，其中∠ACB=∠DEF=90°,∠A=∠D．将△ABC和△DFE按图2所示方式摆放，其中点B与点F重合（标记为点B）．当∠ABE=∠A时，延长DE交AC于点G．试判断四边形BCGE的形状，并说明理由．

(1)数学思考：谈你解答老师提出的问题；
(2)深入探究：老师将图2中的△DBE绕点B逆时针方向旋转，使点E落在△ABC内部，并让同学们提出新的问题．

①“善思小组”提出问题：如图3，当∠ABE=∠BAC时，过点A作AM⊥BE交BE的延长线于点M,BM与AC交于点N．试猜想线段AM和BE的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；

②“智慧小组”提出问题：如图4，当∠CBE=∠BAC时，过点A作AH⊥DE于点H，若BC=9,AC=12，求AH的长．请你思考此问题，直接写出结果．

【变式5-1】（2025·山西运城·校联考模拟预测）“黄金三角形”是几何历史上的瑰宝，它有两种类型，其中一种是顶角为36°的等腰三角形，如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC．

(1)实践与操作：利用尺规作∠B的平分线，交边AC于点D（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；
(2)猜想与证明：请你利用所学知识，证明点D是边AC的黄金分割点．
【变式5-2】（2025·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，将线段CA绕点C逆时针旋转α角得到线段CD，连接AD，过点C作CE⊥AD于点E，连接BD，分别交CA、CE于点F、G．

(1)当α=60°时，求∠CBD的大小；
(2)当α≠60°时，试写出线段BG与CE满足的数量关系，并证明；
(3)若F为线段CA的中点，求DG的长．
【变式5-3】（2025·贵州遵义·校考一模）（1）【问题发现】如图1所示，△ABC和△ADE均为正三角形，B、D、E三点共线．猜想线段BD、CE之间的数量关系为______；∠BEC=______°；

（2）【类比探究】
如图2所示，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠AED=90°，AC=BC，AE=DE，B、D、E三点共线，线段BE、AC交于点F．此时，线段BD、CE之间的数量关系是什么？请写出证明过程并求出∠BEC的度数；

（3）【拓展延伸】
如图3所示，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，BC=8，DE为△ABC的中位线，将△ADE绕点A顺时针方向旋转，当DE所在直线经过点B时，请直接写出CE的长．

【题型6 \l "_Tc156510567" 利用相似三角形的性质求解决折叠问题】
【例6】（2025·浙江杭州·临安市锦城第四初级中学校考三模）如图，将矩形纸片ABCD折叠，折痕为MN，点M，N分别在边AD，BC上，点C，D的对应点分别为点E，F，且点F在矩形内部，MF的延长线交边BC于点G，EF交边BC于点H．EN=2，AB=4，，当GH=2HN时，MD的长为 ．
【变式6-1】（2025·广东茂名·统考二模）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在边AC上，AD=BD，将△DBC沿BD折叠，BC的对应边BC′交AC于点P，连接AC′．若AP=4，AC=9，则AC′的长为 ．
【变式6-2】（2025·浙江杭州·校考三模）如图，在菱形ABCD中，点E为BC中点，连接AE，DE，将△ABE沿直线AE折叠，使点B落在DE上的点B′处，连接AB′并延长交CD于点F，则CFFD的值为 ．

【变式6-3】（2025·吉林松原·校联考三模）小英用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，点D在斜边AB上，连接CD，将△ADC沿CD折叠，点A的对应点A′落在BC边上，则折叠后纸片重叠阴影部分的面积为 ．

【题型7 \l "_Tc156510568" 利用相似三角形的性质判断函数图象】
【例7】（2025·新疆乌鲁木齐·统考模拟预测）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P与点B,C都不重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点F处；过点P作∠BPF的角平分线交AB于点E．设BP=x，BE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
B．
C． D．
【变式7-1】（2025·广东潮州·校考一模）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC（为定值），点P为AB的中点．点D沿AB从点A运动到点B，过点D作DE⊥AB交AC于E，设A，D两点间的距离为x，DE+DP=y，则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【变式7-2】（2025·河北沧州·统考模拟预测）在平行四边形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，已知AE=2，且∠CBF=∠EAF，设EF=x，BF=y，假设x、y能组成函数，则y与x的函数的图象为（ ）

A． B． C． D．
【变式7-3】（2025·辽宁葫芦岛·统考二模）如图，△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，AF∥BC，点D在线段AC上运动，DE⊥AC交射线AF于点E，连接BD，CE，设线段BD的长为x，线段CE的长为y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的图象是（ ）

B．
C． D．
【题型8 \l "_Tc156510569" 尺规作图与相似三角形综合应用】
【例8】（2025·河北沧州·校考模拟预测）如图，在△ABC中，用尺规按①到③的步骤作图：
①以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于F、E两点；
②分别以F、E为圆心，大于12FE为半径画弧，两弧相交于点G；
③作射线AG，交BC于点D；
结论Ⅰ：线段AD上必有一点M，使得S△ABM+S△ACM>S△BCM；
结论Ⅱ：ABAC=BDCD；
对于结论Ⅰ和结论Ⅱ，下列判断正确的是( )

A．结论Ⅰ和结论Ⅱ都对B．结论Ⅰ和结论Ⅱ都不对
C．结论Ⅰ对，结论Ⅱ不对D．结论Ⅰ不对，结论Ⅱ对
【变式8-1】（2025·湖南邵阳·校联考三模）已知△ABC中，∠BAC=90°，用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形，其作法不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式8-2】（2025·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AC为对角线，∠BAC=∠BCD=90°，请用尺规在AC边上找一点E，使得△CDE∽△BCA．（保留作图痕迹，不写作法）
【变式8-3】（2025·广东广州·统考一模）如图：△ABC中，∠C=45°，点D在AC上，且∠ADB=60°，AB为△BCD外接圆的切线．
（1）用尺规作出△BCD的外接圆（保留作图痕迹，可不写作法）；
（2）求∠A的度数；
（3）求ADDC的值．
【题型9 \l "_Tc156510570" 三角板与相似三角形综合应用】
【例9】（2025·浙江丽水·统考中考真题）一副三角板按图1放置，O是边BC(DF)的中点，BC=12cm．如图2，将△ABC绕点O顺时针旋转60°，AC与EF相交于点G，则FG的长是 cm．
【变式9-1】（2025·江苏无锡·无锡市江南中学校考二模）如图，将两块三角板OAB（∠OAB=45°）和三角板OCD（∠OCD=30°）放置在矩形BCEF中，直角顶点O重合，点A、D在EF边上，AB=6．
（1）若点O到BC的距离为6，则点O到EF的距离为 ；
（2）若BC=3AD，则△OCD外接圆的半径为 ．
【变式9-2】（2025·辽宁抚顺·统考三模）如图，将一块直角三角板的直角顶点E放在正方形ABCD的对角线AC上（不与点A，C重合，其中的一条直角边经过点D，另一条直角边与射线BC相交于点F．

(1)试猜想线段DE、EF之间的数量关系为__________；
(2)试猜想图中此时线段CE、CD、CF之间的数量关系，并说明理由；
(3)作射线DF交直线AC于点G，若AB=4，CF=1，请直接写出EG的长．
【变式9-3】（2025·陕西咸阳·统考二模）【计算与推理】
（1）如图1，AB∥CF，AC与DF交于点E，E为DF的中点，AB=10，CF=6，则BD的长为 ___________；
（2）数学课上张老师拿了两块相似比为2:1的大三角板ABC和小三角板EDC，按如图2所示位置放置，使60°角的顶点C重合．试判断BD:AE的值是否变化？并加以证明；
【操作与探究】
（3）现有一块足够大的木板，为参加学校科技节比赛，小明想在这块木板上裁出一个等边三角形（△CEF）部件做模型，他的操作如下：
第一步：用两块大小不一的含60°角的直角三角板ABC和ADE按如图3所示位置放置，使60°角的顶点A重合，分别延长DE、BC交于点P，连接BD，得到△BDP；
第二步：取BD的中点F，分别连接EF、CF，CE，得到△CEF．
请问，按上述操作，裁得的△CEF部件是否符合要求？请说明理由．

【题型10 \l "_Tc156510571" 平移与相似三角形综合应用】
【例10】（2025·海南海口·统考一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（－2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式10-1】（2025·浙江温州·校联考三模）如图在矩形ABCD中，AB=27，AD=8，E是AD上一点，连结BE，过C作CF⊥BE于点F．将△ABE向右下方向平移到△IHC的位置，I在BC上，四边形CDEF向左下方向平移到四边形HIBG的位置．若重新组成的矩形CFGH与矩形ABCD全等，则DE的长为 ．△ABE内有一点O，平移后对应点为点O′，若O′是矩形CFGH的中心，则点O到AD的距离为 ．

【变式10-2】（2025·山西晋城·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD是BC边上的中线．将△ABC沿AD方向平移得到△A′B′C′．A′C′与BC相交于点E，连接BA′并延长，与边AC相交于点F．当点E为A′C′的中点时，A′F的长为 ．

【变式10-3】（2025·河南驻马店·统考三模）如图，在等边三角形ABC中，AC=4，E为AB的中点，在CB延长线上截取BD=BE，将△DEB沿BC向右平移，点B的对应点为G，当平移后的△DEG和△ABC重叠部分的面积是△DEG面积的14时，△DEB平移的距离为 ．

【题型11 \l "_Tc156510572" 利用相似三角形的性质与判定求线段比值】
【例11】（2025·广东深圳·校考一模）如图①，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为BC边上的一点，连接AD，过点C作CE⊥AD于点F，交AB于点E，连接DE．
(1)若AE=2BE，求证：AF=2CF；
(2)如图②，若AB=2，DE⊥BC，求BEAE的值．
【变式11-1】（2025·河北唐山·统考一模）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE∶EC＝2∶3，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，则DF∶BF等于（ ）
A．2∶5B．2∶3C．3∶5D．3∶2
【变式11-2】（2025·江苏连云港·统考一模）如图，点E、F分别在平行四边形的边BC、AD上，BE=DF，点P在线段AB上，AP:PB=2:3，过点P作BC的平行线交边CD于点M，将△ABE分成S1和S2两部分，将△CDF分成S3和S4两部分，则S1+S3S2+S4= ．
【变式11-3】（2025·吉林四平·校联考三模）在△ABC中，D，E分别为AB，AC上一点，BE，CD交于点F．

(1)设△ABE的面积为S1，△ACD的面积为S2，且S1=S2．
①如图①，连接DE．若∠A=90°，求证：DE∥BC；
②如图②，若∠FBC=45°，∠FCB=30°，求EFDF的值．
(2)如图③，若∠A=90°，CE=kAB，BD=kAE，DC=2BE，直接写出k的值．
【题型12 \l "_Tc156510573" 利用相似三角形的性质与判定求最值】
【例12】（2025·广东深圳·校考模拟预测）已知矩形ABCD中，AB=6,AD=8,P为CD边上动点，连接AP，过P作PM⊥AP，在AP上截取PM=34PN，过P作PH⊥MN于H，连接DH，则DH的最小值为 ．
【变式12-1】（2025·湖北黄石·统考中考真题）如图，抛物线y=−23x2+23x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．
(1)A，B，C三点的坐标为____________，____________，____________；
(2)连接AP，交线段BC于点D，
①当CP与x轴平行时，求PDDA的值；
②当CP与x轴不平行时，求PDDA的最大值；
(3)连接CP，是否存在点P，使得∠BCO+2∠PCB=90°，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由．
【变式12-2】（2025·四川泸州·统考中考真题）如图，E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线AC上的动点，当PE+PF取得最小值时，APPC的值是 ．

【变式12-3】（2025·江苏徐州·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，点P在边AB上，D、E分别为BC、PC的中点，连接DE．过点E作BC的垂线，与BC、AC分别交于F、G两点．连接DG，交PC于点H．

(1)∠EDC的度数为 ；
(2)连接PG，求△APG 的面积的最大值；
(3)PE与DG存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由；
(4)求CHCE的最大值．
【题型13 \l "_Tc156510574" 利用相似三角形的性质与判定解决动点问题】
【例13】（2025·江苏宿迁·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点M、N分别是边AD、BC的中点，某一时刻，动点E从点M出发，沿MA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动；同时，动点F从点N出发，沿NC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接EF，过点B作EF的垂线，垂足为H．在这一运动过程中，点H所经过的路径长是 ．
【变式13-1】（2025·四川达州·统考二模）如图，正方形ABCD中，AB=6，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=5，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF．

(1)求证：AE=CF；
(2)若A，E，O三点共线，如图2，连接OF，求线段OF的长．
(3)求线段OF长的最小值．
【变式13-2】（2025·重庆·校联考模拟预测）如图，面积为15的菱形ABCD，AB=5，点E从点B出发沿折线B−C−D向终点D运动，过点E作点E所在的边（BC或CD）的垂线，交菱形其它的边于点F，在EF的右侧作矩形EFGH．
(1)如图1，点G在AC上，求证：FA=FG；
(2)若EF=FG，当EF过AC中点时，求AG的长；
(3)已知FG=4，设点E的运动路程为S，当S满足什么条件时，以G、C、H为顶点的三角形与△BEF相似（不包括全等）？请直接写出答案．
【变式13-3】（2025·吉林长春·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，点D为边AC的中点．动点P从点A出发，沿折线AB—BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P不与点A、C重合时，连结PD．作点A关于直线PD的对称点A′，连结A′D、A′A．设点P的运动时间为t秒．
（1）线段AD的长为 ．
（2）用含t的代数式表示线段BP的长．
（3）当点A′在△ABC内部时，求t的取值范围．
（4）当∠AA′D与∠B相等时，直接写出t的值．
【题型14 \l "_Tc156510575" 利用相似三角形的性质与判定解决存在性问题】
【例14】（2025·湖北十堰·统考中考真题）已知抛物线y=ax2+bx+8过点B4,8和点C8,4，与y轴交于点A．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接AB,BC，点D在线段AB上（与点A,B不重合），点F是OA的中点，连接FD，过点D作DE⊥FD交BC于点E，连接EF，当△DEF面积是△ADF面积的3倍时，求点D的坐标；
(3)如图2，点P是抛物线上对称轴右侧的点，Hm,0是x轴正半轴上的动点，若线段OB上存在点G（与点O,B不重合），使得∠GBP=∠HGP=∠BOH，求m的取值范围．
【变式14-1】（2025·山东青岛·校考模拟预测）附加题：
如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BD⊥AC于点D，且BD=8cm．点M从点A出发，沿AC的方向匀速运动，速度为2 cms；同时直线PQ由点B出发，沿BA的方向匀速运动，速度为1 cms，运动过程中始终保持PQ∥AC，直线PQ交AB于点P、交BC于点Q、交BD于点F．连接PM，设运动时间为ts (00，D为AB上一点，过D作DE∥BC交AC于点E，连接CD．设S△DCE=S2,S△ABC=S1，求S2S1的取值范围．
【变式15-3】（2025·福建泉州·一模）如图，正方形ABCD边长为3，点E是AD上一点，且AE=1，连接BE，过C作CF⊥BE，垂足为F，CF交对角线BD于G，将△BCG沿CG翻折得到△HCG，CH交对角线BD于M，则S△HGM= ．
【题型16 相似三角形的常见模型之（双）8字模型】
【例16】（2025·辽宁鞍山·二模）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝AC，∠ADC＝α，点E为射线BA上一动点，且AE＜AB，连接DE，将线段DE所在直线绕点D顺时针旋转α交BA延长线于点H，DE所在直线与射线CA交于点G．
（1）如图1，当α＝60°时，求证：△ADH≌△CDG；
（2）当α≠60°时，
①如图2，连接HG，求证：△ADC∽△HDG；
②若AB＝9，BC＝12，AE＝3，请直接写出EG的长．
【变式16-1】（2025·上海奉贤·模拟预测）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD．
（1）求证：△BND∽△CNM；
（2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN．
【变式16-2】（2025上·河南郑州·二模）如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求AN:NC的值．
【变式16-3】（2025·湖南常德·一模）如图1，ΔABC中，AB=AC，点D在BA的延长线上，点E在BC上，DE=DC，点F是DE与AC的交点．
（1）求证：∠BDE=∠ACD；
（2）若DE=2DF，过点E作EG//AC交AB于点G，求证：AB=2AG；
（3）将“点D在BA的延长线上，点E在BC上”改为“点D在AB上，点E在CB的延长线上”，“点F是DE与AC的交点”改为“点F是ED的延长线与AC的交点”，其它条件不变，如图2．
①求证：AB·BE=AD·BC；
②若DE=4DF，请直接写出SΔABC:SΔDEC的值．
【题型17 \l "_Tc156510579" 相似三角形的常见模型之K字模型】
【例17】（2025·陕西西安·一模）（1）如图1，∠ABC=90°，分别过A，C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为E、F，AE=4，BE=2，BF=3，求CF的长度为 ．
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，点E、F、M分别在AB、BC、AD上，∠EMF=90°，AM=2，当BE+BF=9时，求四边形MEBF的面积．
（3）如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=15，BC=20，点E、F分别在边AB、BC上，∠CEF=α且tanα=34，若BF=8，求BE的长度．
【变式17-1】（2025·江苏苏州·三模）如图，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连接PB，过点P作PE⊥PB，交DC于点E，已知AD=3，AC=5．设AP的长为x．
(1)AB=___________；当x=1时，求PEPB的值；
(2)试探究：PEPB是否是定值?若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；
(3)当△PCE是等腰三角形时，请求出x的值．
【变式17-2】（2025·河南开封·一模）某数学兴趣小组在学习了尺规作图、等腰三角形和相似三角形的有关知识后，在等腰△ABC中，其中AB=AC，如图1，进行了如下操作：
第一步，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA的延长线和AC于点E，F，如图2；
第二步，分别以点E，F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧相交于点D，作射线AD；
第三步，以D为圆心，DA的长为半径画弧，交射线AE于点G；
(1)填空；写出∠CAD与∠GAD的大小关系为___；
(2)①请判断AD与BC的位置关系，并说明理由．
②当AB=AC=6,BC=2时，连接DG，请直接写出ADAG=___；
(3)如图3，根据以上条件，点P为AB的中点，点M为射线AD上的一个动点，连接PM，PC，当∠CPM=∠B时，求AM的长．
【变式17-3】（2025·辽宁·统考一模）已知△ABC和△DCE中，AB＝AC，DC＝DE，BF＝EF，点B，C，E都在同一直线上，且△ABC和△DCE在该直线同侧．
（1）如图①，若∠BAC＝∠CDE＝90°，请猜想线段AF与DF之间的数量关系和位置关系，并证明你的猜想；
（2）如图②，若∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，请直接写出线段AF与DF之间的数量关系和位置关系；
（3）如图③，若∠BAC＝α，∠CDE＝180°﹣α，且BC＞CE，请直接写出线段AF与DF之间的数量关系和位置关系（用含α的式子表示）．
【题型18 \l "_Tc156510580" 相似三角形的常见模型之母子型】
【例18】（2025·山东淄博·一模）如图，在△ABC中，AB=AC=5，∠BAC=120°，以CA为边在∠ACB的另一侧作∠ACM=∠ACB，点D为边BC（不含端点）上的任意一点，在射线CM上截取CE=BD，连接AD，DE，AE． 设AC与DE交于点F，则线段CF的最大值为 ．
【变式18-1】（2025·山东滨州·一模）如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，直线OB交⊙O于点E、D，连接EC、CD．
（1）试判断直线AB与⊙O的位置关系，并加以证明；
（2）求证：BC2=BD⋅BE；
（3）若tanE=12，⊙O的半径为3，求OA的长．
【变式18-2】（2025·福建三明·二模）如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与AC相交于点H，连接DG．以下四个结论：
①∠EAB＝∠BFE＝∠DAG；
②△ACF∽△ADG；
③AH⋅AC＝2AE2；
④DG⊥AC．
其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
【变式18-3】（2025·江苏苏州·模拟预测）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足∠1=∠2，则称点P为这个三角形的“理想点”．
(1)如图①，若点D是△ABC的边AB的中点，AC=22，AB=4，试判断点D是不是△ABC的“理想点”，并说明理由；
(2)如图②，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，若点D是△ABC的“理想点”，求CD的长．
【题型19 \l "_Tc156510581" 相似三角形的常见模型之旋转相似模型】
【例19】（2025·河南周口·模拟预测）观察猜想
(1)如图1，在等边△ABC中，点M是边BC上任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等边△AMN，连接CN，则∠ABC与∠ACN的数量关系是______．
(2)类比探究
如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上任意一点（不含端点C），（1）中其它条件不变，（1）中结论还成立吗？请说明理由．
(3)拓展延伸
如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是边BC上任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连按CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．
【变式19-1】（2025·四川成都·二模）如图，正方形ABCD的边长为8，线段CE绕着点C逆时针方向旋转，且CE=3，连接BE，以BE为边作正方形BEFG，M为AB边的中点，当线段FM的长最小时，tan∠ECB= ．
【变式19-2】（2025·河南周口·二模）在△ABC中，CA=CB，∠ACB=α，点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP.
(1)观察猜想
如图①，当α=60°时，BDCP的值是_______，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是________．
(2)类比探究
如图②，当α=90°时，请写出BDCP的值及直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数，并就图②的情形说明理由．
【变式19-3】（2025·河南郑州·统考一模）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，点D，E分别为AC，BC的中点．△CDE绕点C顺时针旋转，设旋转角为α（0°≤α≤360°），记直线AD与直线BE的交点为点P．
(1)如图1，当α＝0°时，AD与BE的数量关系为______，AD与BE的位置关系为______；
(2)当0°＜α≤360°时，上述结论是否成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由；
(3)△CDE绕点C顺时针旋转一周，请直接写出运动过程中P点运动轨迹的长度和P点到直线BC距离的最大值．
【题型20 相似三角形的实际应用】
【例20】（2025·浙江温州·统考三模）根据以下素材，探索完成任务．
【变式20-1】（2025·山东潍坊·统考中考真题）在《数书九章》（宋·秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，AB表示塔的高度，CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB、CD、EF在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知AC=20米，CE=10米，CD=7米，EF=1.4米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为 米．

【变式20-2】（2025·四川绵阳·统考中考真题）为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理，她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，标记好脚掌中心位置为B，测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50cm，镜面中心C距离旗杆底部D的距离为4m，如图所示．已知小丽同学的身高是1.54m，眼睛位置A距离小丽头顶的距离是4cm，则旗杆DE的高度等于（ ）

A．10m B．12m C．12.4m D．12.32m
【变式20-3】（2025·上海·统考中考真题）我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB的长．
(1)如图1所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处，测角仪高为b米，从C点测得A点的仰角为α，求灯杆AB的高度．（用含a，b，ａ的代数式表示）
(2)我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义图2所示，现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度
专题24 相似三角形及其应用【二十个题型】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc27085" 【题型1 选择或添加条件使两个三角形相似】 PAGEREF _Tc27085 \h 1
\l "_Tc24701" 【题型2 利用相似的性质求值】 PAGEREF _Tc24701 \h 5
\l "_Tc22563" 【题型3 利用相似的性质求点的坐标】 PAGEREF _Tc22563 \h 9
\l "_Tc30531" 【题型4 相似三角形在网格中的运用】 PAGEREF _Tc30531 \h 15
\l "_Tc31773" 【题型5 与相似三角形有关的证明】 PAGEREF _Tc31773 \h 21
\l "_Tc10643" 【题型6 利用相似三角形的性质求解决折叠问题】 PAGEREF _Tc10643 \h 32
\l "_Tc1297" 【题型7 利用相似三角形的性质判断函数图象】 PAGEREF _Tc1297 \h 38
\l "_Tc16166" 【题型8 尺规作图与相似三角形综合应用】 PAGEREF _Tc16166 \h 42
\l "_Tc683" 【题型9 三角板与相似三角形综合应用】 PAGEREF _Tc683 \h 47
\l "_Tc7298" 【题型10 平移与相似三角形综合应用】 PAGEREF _Tc7298 \h 59
\l "_Tc13493" 【题型11 利用相似三角形的性质与判定求线段比值】 PAGEREF _Tc13493 \h 64
\l "_Tc16933" 【题型12 利用相似三角形的性质与判定求最值】 PAGEREF _Tc16933 \h 71
\l "_Tc16942" 【题型13 利用相似三角形的性质与判定解决动点问题】 PAGEREF _Tc16942 \h 80
\l "_Tc2488" 【题型14 利用相似三角形的性质与判定解决存在性问题】 PAGEREF _Tc2488 \h 93
\l "_Tc23064" 【题型15 相似三角形的常见模型之（双）A字模型】 PAGEREF _Tc23064 \h 105
\l "_Tc14899" 【题型16 相似三角形的常见模型之（双）8字模型】 PAGEREF _Tc14899 \h 111
\l "_Tc5020" 【题型17 相似三角形的常见模型之K字模型】 PAGEREF _Tc5020 \h 124
\l "_Tc4578" 【题型18 相似三角形的常见模型之母子型】 PAGEREF _Tc4578 \h 134
\l "_Tc20605" 【题型19 相似三角形的常见模型之旋转相似模型】 PAGEREF _Tc20605 \h 142
\l "_Tc7577" 【题型20 相似三角形的实际应用】 PAGEREF _Tc7577 \h 150
【知识点 相似三角形及其应用】
1.相似三角形的判定
定义：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似。
定理：平行线分线段成比例定理 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。
判定1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
判定2：三边成比例的两个三角形相似。
判定3：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
判定4：两角分别相等的两个三角形相似。
2.相似三角形的性质
相似三角形的对应角相等，对应边成比例；
相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；
相似三角形对应线段的比等于相似比；
相似三角形周长的比等于相似比；
相似三角形面积的比等于相似比的平方。
3.位似图形
定义：如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。这时的相似比又叫位似比。
性质：每一组对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比都等于位似比。
由一个图形得到它的位似图形的变换叫做位似变换。利用位似变换可以把一个图形放大或缩小。
【题型1 选择或 \l "_Tc156510559" 添加条件使两个三角形相似】
【例1】（2025·吉林长春·统考模拟预测）在△ABC中，∠ACB=90°，用直尺和圆规在AB上确定点D，使△ACD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】要使△ACD∽△CBD，则∠ADC=∠CDB，即可推出∠ADC=∠CDB=90°，则CD是AB边的垂线即可，由此求解即可．
【详解】解：当CD是AB的垂线时，△ACD∽△CBD．
∵CD⊥AB，
∴∠CDA=∠BDC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠ACD=∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴△ACD∽△CBD．
根据作图痕迹可知，
A选项中，CD是∠ACB的角平分线，不符合题意；
B选项中，CD不与AB垂直，不符合题意；
C选项中，CD是AB的垂线，符合题意；
D选项中，CD不与AB垂直，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，作垂线，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的判定条件．
【变式1-1】（2025·陕西宝鸡·统考二模）如图，已知△ABC与△ADE中，∠C=∠AED=90°，点E在AB上，那么添加下列一个条件后，仍然不能判定△ABC与△ADE相似的是（ ）
A．∠CAB=∠DB．ACBC=DEAEC．AD∥BCD．BCAC=ADAE
【答案】D
【分析】】根据相似三角形的判定方法逐项判断即可．
【详解】解：A．由∠C=∠AED=90°，∠CAB=∠D，可知△ACB∽△DEA，本选项不符合题意；
B．设ACBC=DEAE，即ACDE=BCAE，
又∵∠C=∠AED=90°，
∴△ACB∽△DEA，本选项不符合题意；
C．由BC∥AD，可得∠B=∠DAE，由∠C=∠AED=90°，可得△ACB∽△DEA，本选项不符合题意；
D．由BCAC=ADAE，无法判断三角形相似，本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定，属于中考常考题型．
【变式1-2】（2025·福建龙岩·统考一模）如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE＝3，DE＝5，BE＝4，要使△BDE∽△ACE，且点B，D的对应点为A，C，那么线段CE的长应等于 ．
【答案】154.
【分析】根据对顶角相等得到∠AEC=∠BED，则根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当BEAE=DECE时，△BDE∽△ACE，然后利用比例性质计算CE的长．
【详解】解：∵∠AEC＝∠BED，
∴当BEAE=DECE时，△BDE∽△ACE，
即43=5CE
∴CE＝154
故答案为154．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，此判定方法要合理使用公共角或对顶角．
【变式1-3】（2025·山东潍坊·校考一模）如图所示，AB是⊙O的直径，D、E是半圆上任意两点，连接AD、DE,AE与BD相交于点C，若添加一个条件使△ADC与△ABD相似，则可添加下列条件中的（ ）
A．DE=BEB．AD=DEC．AB//DED．AD2=BC⋅CD
【答案】B
【分析】根据三角形相似的判定，结合圆的性质综合判断即可．
【详解】∵△ADC∽△BDA，
∴AD：BD=CD：AD，
∴AD2=BD⋅CD，
∴D选项不可以；
∵△ADC∽△BDA，
∴∠DAC=∠DBA，
∴AD=DE，
∴B选项可以；
如图，连接BE，∵DE=BE，
∴∠EDB=∠EBD，
∵∠EDB=∠EAB，∠EDB=∠DAC，
∴∠EAB=∠DAC，
不是△ADC和△BDA的对应角，无法判定两个三角形相似，
∴A选项不可以；
∵AB//DE，
∴∠EDB=∠DBA，∠EAB=∠DEA，
都无法证明△ADC∽△BDA，
∴C选项不可以；
故选B
【点睛】本题考查了圆的基本性质，三角形相似的判定，熟练掌握圆的基本性质，灵活选择方法判定两个三角形相似是解题的关键．
【题型2 \l "_Tc156510563" 利用相似的性质求值】
【例2】（2025·河北石家庄·统考一模）如图，在△ABC中，AB=4,BC=6,AC=5，点D，E分别在边BC,AC上，且BD=4．若以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则AE的长度为（ ）
A．103B．135C．135或103D．125或53
【答案】C
【分析】分两种情况讨论：当△CDE∽△CBA时，可得CDBC=CEAC，当△CDE∽△CAB时，可得CDCA=CECB，再求解即可．
【详解】解：如图，AB=4,BC=6,AC=5，BD=4，
∴CD=BC−BD=2，
当△CDE∽△CBA时，
∴CDBC=CEAC，即26=CE5，
∴CE=53，AE=AC−CE=5−53=103，
当△CDE∽△CAB时，如图，
∴CDCA=CECB，即25=CE6，
∴CE=125，
∴AE=AC−CE=5−125=135，
综上：AE的长为：103或135．
故选C
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，清晰的分类讨论是解本题的关键．
【变式2-1】（2025·重庆大渡口·统考一模）如图，△ABC∽△ACP，若∠A=75°，∠APC=65°，则∠B的大小为 ．
【答案】40°/40度
【分析】本题考查了三角形内角和定理，相似三角形的性质，由三角形内角和定理得到∠ACP=40°，由相似三角形的性质即可得到∠B=∠ACP=40°，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵∠A=75°，∠APC=65°，
∴∠ACP=180°−∠A−∠APC=180°−75°−65°=40°，
∵△ABC∽△ACP，
∴∠B=∠ACP=40°，
故答案为：40°．
【变式2-2】（2025·四川泸州·统考一模）如图，△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，若AD=2，A′D′=3，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（ ）

A．4：9B．9：4C．2：3D．3：2
【答案】A
【分析】根据相似三角形的性质可直接得出结论．
【详解】解：∵AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，若AD=2，A′D′=3，
∴其相似比为2：3，
∴△ABC与△A′B′C′的面积的比为4：9；
故选：A．
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形（多边形）的高的比等于相似比是解答此题的关键．
【变式2-3】（2025·广东深圳·深圳市高级中学校考二模）如图，平行四边形ABCD中，AB=5，BC=7，tan∠BAD=43，点O为对角线AC，BD交点，点E为CD延长线上一动点，连接OE交AD于点F，当△AOD∽△OFD时，求DE的长度为（ ）

A．4033B．3340C．3044D．4430
【答案】A
【分析】作BH⊥AD于H，延长FO交BC于M，∠AHB=∠BHD=90°，由tan∠BAD=BHAH=43，令BH=4x，AH=3x，勾股定理得AB=5，则x=1，得到BH=4x=4，AH=3x=3，由四边形ABCD是平行四边形得到AB=CD=5，AD=BC=7，BC∥AD，则DH=4，得到△BHD是等腰直角三角形，则BD=42，可得OD=OB=12BD=22，由△AOD∽△OFD得到OD:FD=AD:OD，求得FD=87，证明BOM≌△DOFASA，则BM=DF=87，得到CM=417，由△EDF∽△ECM得到ED:EC=FD:CM，即可得到DE的长度．
【详解】解：作BH⊥AD于H，延长FO交BC于M，∠AHB=∠BHD=90°，

∵tan∠BAD=BHAH=43，
∴令BH=4x，AH=3x，
∴AB=BH2+DH=5x=5，
∴x=1，
∴BH=4x=4，AH=3x=3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=5，AD=BC=7，BC∥AD，
∴DH=AD−AH=7−3=4，
∴△BHD是等腰直角三角形，
∴BD=2BH=42，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD=OB=12BD=22，
∵△AOD∽△OFD，
∴OD:FD=AD:OD，
∴22:FD=7:22，
∴FD=87，
∵BC∥AD，
∴∠MBO=∠FDO，
∵OB=OD，∠BOM=∠DOF，
∴BOM≌△DOFASA，
∴BM=DF=87，
∴CM=BC−MB=417，
∵FD∥CM，
∴△EDF∽△ECM，
∴ED:EC=FD:CM，
∴DE:ED+5=87:417，
∴DE=4033．
故选：A．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数、平行四边形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的性质、全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【题型3 \l "_Tc156510564" 利用相似的性质求点的坐标】
【例3】（2025·江西九江·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，已如A1,0，B2,0，C0,1，在坐标轴上有一点P，它与A,C两点形成的三角形与△ABC相似，则P点的坐标是 ．

【答案】3,0或0,2或0,3
【分析】分两种情形：当点P在x轴上时，△PAC∼△CAB时，当点P′在y轴上时，△P′CA∽△BAC或△P″AC∼△BCA，分别求解即可．
【详解】解：如图，

∵A(1,0),B(2,0),C(0,1)，
∴OA=OC=1,OB=2,AB=OB−OA=1，
∴AC=2，
当点P在x轴上时，△PAC∼△CAB时，
∴ACAB=APAC，
∴21=PA2，
∴PA=2，
∴OP=3，
∴P(3,0)，
当点P′在y轴上时，△P′CA∽△BAC，
∵AC=CA，
∴AB=CP′=1，
∴OP′=2，
∴P′(0,2)．
当△P″AC∼△BCA时，有ABAC=ACCP″，
∴CP″=AC2AB=2,
∴OP″=1+2=3,
∴P″0,3,
综上所述，满足条件的点P的坐标为3,0或0,2或0,3．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会与分类讨论的射线思考问题．
【变式3-1】（2024·浙江宁波·中考真题）如图，等腰直角三角形ABC顶点A在x轴上，∠BCA=90°，AC=BC=22，反比例函数y=3x（x＞0）的图象分别与AB，BC交于点D，E．连接DE，当△BDE∽△BCA时，点E的坐标为 ．
【答案】(322，2)．
【详解】如图，∵∠BCA=90°，AC=BC=22，反比例函数y=3x（x＞0）的图象分别与AB，BC交于点D，E，
∴∠BAC=∠ABC=45°，且可设E（a，3a），D（b，3b）．
∴C（a，0），B（a，22），A（a－2，0），
设直线AB的解析式为y=kx+m，
∴{(a−22)k+m=0ak+m=22，解得{k=1m=22−a．
∴线AB的解析式为y=x+22−a．
又∵△BDE∽△BCA，
∴∠BDE=∠BCA=90°．
∴直线AB与直线DE垂直．
过点D作x轴的垂线，过点R作y轴的垂线，两线交于点H ，
则△DEH为等腰直角三角形，
∴HE=HD，即b−a=3a−3b．
∴b=3a．
又∵点D在直线AB上，∴3b=b+22−a，即a=3a+22−a．
∴2a2−22a−3=0，
解得a1=322，a2=−122（舍去）．
∴点E的坐标是(322，2)．
【变式3-2】（2025·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四十七中学校考一模）如图，直径为13的⊙E，经过原点O，并且与x轴、y轴分别交于A、B两点，线段OA、OB(OA＞OB)的长分别是方程x2+kx+60＝0的两根．
(1)OA：OB＝ ；
(2)若点C在劣弧OA上，连结BC交OA于D，当△BOC∽△BDA时，点D的坐标为 ．
【答案】（1）12：5；（2）（103，0）．
【详解】试题解析：连接AB，
∵∠AOB=90°，
∴AB是⊙E的直径，AB=13，
∴OA2+OB2=AB2=169．
根据根与系数的关系可得：
OA+OB=-k＞0，OA×OB=60，
∴OA2+OB2=（OA+OB）2-2OA•OB=k2-120=169，
∴k=-17，
原方程为x2-17x+60=0，
解得x1=5，x2=12，
∴OA=12，OB=5，
∴OA：OB=12：5．
（2）过点D作DH⊥AB于H，如图．
∵△BOC∽△BDA，
∴∠OBC=∠DBA，
在△BOD和△BHD中，
{∠OBD=∠HBD∠BOD=∠BHDBD=BD，
∴△BOD≌△BHD，
∴BH=BO=5，DH=OD．
设OD=x，则DH=x，DA=12-x．
在Rt△DHA中，根据勾股定理可得，
x2+（13-5）2=（12-x）2，
解得x=103，
∴点D的坐标为（103，0）．
【变式3-3】（2025·浙江绍兴·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边OB，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点A的坐标为8，6，点P在矩形ABOC的内部，点E在BO边上，且满足△PBE∽△CBO，当△APC是等腰三角形时，点P的坐标为 ．
【答案】4，3或325，65
【分析】由题意知，PE∥OC，点P在线段BC上，分两种情况：当AP=CP时，点P是线段AC的垂直平分线与BC的交点，即点P是OA的中点；当CA=CP时，利用相似三角形的性质即可求得点P的坐标．
【详解】解：∵△PBE∽△CBO，
∴∠BEP=∠BOC=90°，∠PBE=∠CBO，
∴PE∥OC，点P在线段BC上．
∵A点的坐标为8，6，
∴OB=8，OC=6，由勾股定理得：BC=10；
如图1所示，当AP=CP时，点P是线段AC的垂直平分线与BC的交点，即点P是BC的中点，
∴点P是OA的中点，
∴点P的坐标为4，3；
如图2所示，当CA=CP时，
∵四边形ABOC是矩形，
∴AC=OB=8，
∴CP=8，BP=2，
∵△PBE∽△CBO，
∴PEOC=BEOB=BPBC=15，
∴PE=15OC=65，BE=15OB=85，
∴OE=OB−BE=8−85=325，
∴点P的坐标为325，65；
综上所述，4，3或325，65．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，等腰三角形的性质，坐标与图形，勾股定理，矩形的性质等知识，注意分类讨论思想的运用．
【题型4 \l "_Tc156510565" 相似三角形在网格中的运用】
【例4】（2025·上海杨浦·统考三模）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．如图，已知△ABC是6×6的网格图中的格点三角形，那么该网格中所有与△ABC相似且有一个公共角的格点三角形的个数是（ ）

A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】取AB,BC,AC的中点D,F,E，再取网格点M、N，连接格点DE,DF,EF,MN，结合中位线的性质可证明△ADE∽△ABC，△BDF∽△BAC，△CEF∽△CAB，再根据BN=32，BM=4，BA=42，BC=6，可得BNBM=BCBA，结合∠ABC=∠MBN，有△ABC∽△MBN，即可获得答案．
【详解】解：如图，取AB,BC,AC的中点D,F,E，再取网格点M、N，连接格点DE,DF,EF,MN，

则DE∥BC，且DE=12BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC．
同理可证：△BDF∽△BAC，△CEF∽△CAB．
∵BN=32，BM=4，BA=42，BC=6，
∴BNBM=324=32×24×2=BCBA，
∴BNBM=BCBA，∠ABC=∠MBN，
∴△ABC∽△MBN，
综上，满足条件的三角形有4个，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了中位线的性质、相似三角形的判定等知识，熟练掌握相似三角形的判定条件是解答本题的关键．
【变式4-1】（2025·贵州遵义·统考一模）如图，正方形网格中每个小正方形的边长均为1，其中，B、C、D、E四点都在网格的格点上，则△ABC的面积为（ ）
A．7.5B．8C．253D．8.5
【答案】C
【分析】连接DE，过点A作AF⊥BC，垂足为F，证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质可知AGAF=DEBC=25，结合AG=AF−GF，即可求出△ABC的高AF的长度，再求出面积即可．
【详解】解：连接DE，过点A作AF⊥BC，垂足为F，
由网格图的性质可知：AG⊥DE，DE∥BC，DE=2，BC=5，GF=2，
∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，
∴△ADE∽△ABC，
∴AGAF=DEBC=25，
∴AGAF=AF−GFAF=25，
∴AF−2AF=25，
∴AF=103，
∵S△ABC=12×BC×AF，
∴S△ABC=12×5×103=506=253，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质，熟知相似三角形的对应高的比等于相似比是解答本题的关键．
【变式4-2】（2025·福建福州·福建省福州第十九中学校考二模）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，E为BD与正方形网格线的交点，下列结论正确的是（ ）
A．CE≠12BDB．△ABC≌△CBDC．AC=CDD．∠ABC=∠CBD
【答案】D
【分析】由题意易得CE∥AB，然后根据相似三角形的性质与判定、直角三角形斜边中线定理及全等三角形的判定可排除选项．
【详解】解：∵每个小正方形的边长都为1，
∴AB=4,AC=2,BC=25,CD=5,BD=5，
∴BC2+CD2=25=BD2，AC≠CD，故C错误；
∴△BCD是直角三角形，
∴∠BCD=∠BAC=90°，
∵ABBC=ACCD=255，
∴△ABC∽△CBD，故B错误；
∴∠ABC=∠CBD，故D正确；
∵E为BD与正方形网格线的交点，
∴CE∥AB，
∴∠ABC=∠BCE=∠CBD，
∴∠DBC+∠BDC=∠BCE+∠ECD=90°，
∴∠BDC=∠ECD，
∴BE=CE=ED=12BD，故A错误；
故选D．
【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理、相似三角形的性质与判定及直角三角形斜边中线定理，熟练掌握勾股定理的逆定理、相似三角形的性质与判定及直角三角形斜边中线定理是解题的关键．
【变式4-3】（2025·湖北武汉·统考中考真题）如图是由小正方形组成的8×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，正方形ABCD四个顶点都是格点，E是AD上的格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．

(1)在图（1）中，先将线段BE绕点B顺时针旋转90°，画对应线段BF，再在CD上画点G，并连接BG，使∠GBE=45°；
(2)在图（2）中，M是BE与网格线的交点，先画点M关于BD的对称点N，再在BD上画点H，并连接MH，使∠BHM=∠MBD．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）取格点F，连接BF，连接EF，再取格点P，连接CP交EF于Q，连接BQ，延长交CD于G即可．
（2）取格点F，连接BF、EF，交格线于N，再取格点P，Q，连接PQ交EF于O，连接MO并延长交BD于H即可．
【详解】（1）解：如图（1）所示，线段BF和点G即为所作；

∵BC=BA，CF=AE，∠BCF=∠BAE=90°，
∴△BCF≌△BAESAS
∴∠CBF=∠ABE
∴∠FBE=∠CBF+∠CBE=∠ABE+∠CBE=∠CBA=90°
∴线段BE绕点B顺时针旋转90°得BF；
∵PE∥FC，
∴∠PEQ=∠CFQ，∠EPQ=∠FCQ，
∵PE=FC，
∴△PEQ≌△CFQASA，
∴EQ=FQ
由旋转性质得BE=BF，∠EBF=90°，
∴∠GBE=12∠EBF=45°．
（2）解：如图（2）所示，点N与点H即为所作．

∵BC=BA，∠BCF=∠BAE=90°，CF=AE，
∴△BCF≌△BAESAS，
∴BF=BE
∵DF=DE
∴BF与BE关于BD对称，
∵BN=BM
∴M、N关于BD对称；
∵PE∥FC，
∴△POE∽△QOF，
∴EOOF=PEFQ=12
∵MG∥AE
∴EMMB=AGGB=24=12，
∴EMEB=EOEF=13
∵∠MEO=∠BEF
∴△MEO∽△BEF
∴∠EMO=∠EBF
∴OM∥BF
∴∠MHB=∠FBH
由轴对称可得∠FBH=∠EBH
∴∠BHM=∠MBD．
【点睛】本题考查利用网格作图，轴对称性质，相似三角形的判定和性质，平行线的判定与性质．取恰当的格点是解题的关键．
【题型5 \l "_Tc156510566" 与相似三角形有关的证明】
【例5】（2025·山西·统考中考真题）问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为△ABC和△DFE，其中∠ACB=∠DEF=90°,∠A=∠D．将△ABC和△DFE按图2所示方式摆放，其中点B与点F重合（标记为点B）．当∠ABE=∠A时，延长DE交AC于点G．试判断四边形BCGE的形状，并说明理由．

(1)数学思考：谈你解答老师提出的问题；
(2)深入探究：老师将图2中的△DBE绕点B逆时针方向旋转，使点E落在△ABC内部，并让同学们提出新的问题．

①“善思小组”提出问题：如图3，当∠ABE=∠BAC时，过点A作AM⊥BE交BE的延长线于点M,BM与AC交于点N．试猜想线段AM和BE的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；

②“智慧小组”提出问题：如图4，当∠CBE=∠BAC时，过点A作AH⊥DE于点H，若BC=9,AC=12，求AH的长．请你思考此问题，直接写出结果．

【答案】(1)正方形，见解析
(2)①AM=BE，见解析；②275
【分析】（1）先证明四边形BCGE是矩形，再由△ACB≅△DEB可得BC=BE，从而得四边形BCGE是正方形；
（2）①由已知∠ABE=∠BAC可得AN=BN，再由等积方法S△ABN=12AN⋅BC=12BN⋅AM，再结合已知即可证明结论；②设AB,DE的交点为M，过M作MG⊥BD于G，则易得MD=MB，点G是BD的中点；利用三角函数知识可求得DM的长，进而求得AM的长，利用相似三角形的性质即可求得结果．
【详解】（1）解：四边形BCGE为正方形．理由如下：
∵∠BED=90°，
∴∠BEG=180°−∠BED=90°．
∵∠ABE=∠A，
∴AC∥BE．
∴∠CGE=∠BED=90°．
∵∠C=90°，
∴四边形BCGE为矩形．
∵△ACB≅△DEB，
∴BC=BE．
∴矩形BCGE为正方形．
（2）：①AM=BE．
证明：∵∠ABE=∠BAC，
∴AN=BN．
∵∠C=90°，
∴BC⊥AN．
∵AM⊥BE，即AM⊥BN，
∴S△ABN=12AN⋅BC=12BN⋅AM．
∵AN=BN，
∴BC=AM．
由（1）得BE=BC，
∴AM=BE．
②解：如图：设AB,DE的交点为M，过M作MG⊥BD于G，
∵△ACB≅△DEB，
∴BE=BC=9,DE=AC=12，∠A=∠D，∠ABC=∠DBE，
∴∠CBE=∠DBM；
∵∠CBE=∠BAC，
∴∠D=∠BAC，
∴MD=MB，
∵MG⊥BD，
∴点G是BD的中点；
由勾股定理得AB=AC2+BC2=15，
∴DG=12BD=152；
∵cs∠D=DGDM=DEBD，
∴DM=DG⋅BDDE=152×1512=758，即BM=DM=758；
∴AM=AB−BM=15−758=458；
∵AH⊥DE,BE⊥DE，∠AMH=∠BME，
∴△AMH∼△BME，
∴AHBE=AMBM=35，
∴AH=35BE=35×9=275，即AH的长为275．

【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识点，适当添加的辅助线、构造相似三角形是解题的关键．
【变式5-1】（2025·山西运城·校联考模拟预测）“黄金三角形”是几何历史上的瑰宝，它有两种类型，其中一种是顶角为36°的等腰三角形，如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC．

(1)实践与操作：利用尺规作∠B的平分线，交边AC于点D（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；
(2)猜想与证明：请你利用所学知识，证明点D是边AC的黄金分割点．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）作∠ABC的角平分线，交AC于点D；
（2）根据等腰三角形的性质和角平分线的定义可知AD=BC，再证△BCD∽△ACB，根据相似三角形的性质即可得证．
【详解】（1）解：如图所示，BD即为所求；

（2）∵在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=36°，
∴AD=BD，∠BDC=72°，
∴BD=BC，
∴AD=BC，
∵∠BCD=∠ACB，∠CBD=∠CAB，
∴△BCD∽△ACB，
∴BC：AC=CD：BC，
∴AD：AC=CD：AD，
∴AD2=CD⋅CA，
∴点D是边AC的黄金分割点．
【点睛】本题考查了黄金分割，等腰三角形、相似三角形的判定和性质，以及尺规作图等知识；熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键．
【变式5-2】（2025·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，将线段CA绕点C逆时针旋转α角得到线段CD，连接AD，过点C作CE⊥AD于点E，连接BD，分别交CA、CE于点F、G．

(1)当α=60°时，求∠CBD的大小；
(2)当α≠60°时，试写出线段BG与CE满足的数量关系，并证明；
(3)若F为线段CA的中点，求DG的长．
【答案】(1)15°
(2)BGCE=2，证明见解析
(3)455
【分析】（1）根据题意作图，根据等腰三角形的性质和角的和差即可求解；
（2）根据等腰三角形的性质和角的和差即可求出∠GDE=45°；再根据等腰直角三角形的判定和性质得出AG=2DE，连接AG，可证明∠AGB是直角，进而证明△BGA∽△CED，根据相似三角形的性质求解即可；
（3）过点F作FN⊥AB，通过证明△BNF∽△BGA，再利用相似三角形的性质和等腰三角形的性质进行求解即可．
【详解】（1）解：∵∠ACB=90°，
当α=60°时，∠DCB=∠ACB+α=150°，
∵CD=AC=AB，
∴∠CBD=180°−150°2=15°；
（2）BG=2CE，证明如下：
连接AG，

∵∠ACD=α，DC=AC，CE⊥AD，
∴∠ADC=12(180°−∠ACD)=90°−12α，∠DCE=12∠ACD=12α=∠DAC，∠CED=90°，AE=DE，
∴AG=DG，
∵∠BCA=90°，
∴∠BCD=∠ABC+∠ACD=90°+α，
∵BC=CD，
∴ ∠CDB=∠CBD=45°−12α，
∴∠GDE=∠ADC−∠CDB=45°=∠GAE，
∴∠CAG=∠CDG，∠AGD=90°=∠AGB，△DEG是等腰直角三角形，
∴AG=2DE，
∵AC=BC，
∴∠CAB=45°，
∴∠BAG=∠BAC+∠CAG=90°−12α，
∴∠CDE=∠BAG，
∵∠CED=∠BGA，
∴△BGA∽△CED，
∴ BGCE=AGDE=2，
∴BG=2CE；
（3）过点F作FN⊥AB，则∠BNF=90°=∠BGA=∠ANF，

∵∠BNF=∠AGB，
∴△BNF∽△BGA，
∴ BFAB=NFAG，
∵F为AC的中点，AC=BC=4，∠ACB=90°，
∴CF=12AC=2=AF，AB=AC2+BC2=42，∠BAC=45°，
∴BF=BC2+CF2=25，NF=2，
∴ 2542=2AG，
∴AG=455，
∵△AEG是等腰直角三角形，
∴AE=22AG=2105，
∴AD=4105．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点，准确作出辅助线是解题的关键．
【变式5-3】（2025·贵州遵义·校考一模）（1）【问题发现】如图1所示，△ABC和△ADE均为正三角形，B、D、E三点共线．猜想线段BD、CE之间的数量关系为______；∠BEC=______°；

（2）【类比探究】
如图2所示，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠AED=90°，AC=BC，AE=DE，B、D、E三点共线，线段BE、AC交于点F．此时，线段BD、CE之间的数量关系是什么？请写出证明过程并求出∠BEC的度数；

（3）【拓展延伸】
如图3所示，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，BC=8，DE为△ABC的中位线，将△ADE绕点A顺时针方向旋转，当DE所在直线经过点B时，请直接写出CE的长．

【答案】（1）BD=CE，60
（2）BD、CE之间的数量关系是BD=2CE，∠BEC的度数为45°
（3）CE的长为15−3或3+15
【分析】（1）证△ABD≌△ACE，得BD=CE，∠BDA=∠CEA，进而判断出∠BEC的度数为60°即可；
（2）证△ABD∽△ACE，得∠ADB=∠AEC=135°，BDCE=ABAC=ADAE，则∠BEC=∠AEC−∠AED=45°，再求出BDCE=ABAC=2，即可得出结论；
（3）分两种情况，根据相似三角形的判定与性质结合勾股定理分别求出BE的长即可．
【详解】解：（1）∵△ACB和△ADE均为等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∠ADE=∠AED=60°，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE，∠BDA=∠CEA，
∵点B，D，E在同一直线上，
∴∠ADB=180°−60°=120°，
∴∠AEC=120°，
∴∠BEC=∠AEC−∠AED=120°−60°=60°，
综上所述，∠BEC的度数为60°，线段BD与CE之间的数量关系是BD=CE，
故答案为：BD=CE，60；
（2）结论：BD=2CE，∠BEC=45°，
理由如下：
∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠ABC=∠ADE=∠DAE=45°，∠ACB=∠AED=90°，
∴∠BAD=∠CAE，∠ADB=135°，
在Rt△ABC中，sin∠ABC=ACAB，
在Rt△ADE中，sin∠ADE=AEDE，
∵sin45°=22，
∴ ACAB=AEAD=22，
∴ ABAD=ACAE，
又∵∠BAD=∠CAE，
∴△ABD∽△ACE，
∴∠ADB=∠AEC=135°，BDCE=ABAC=ADAE，
∴∠BEC=∠AEC−∠AED=45°，
∵ ACAB=AEAD=22，
∴ ABAC=2，
∴ BDCE=ABAC=2，
∴BD=2CE；
（3）如图所示：

∵∠BAC=90°，∠ABC=30°，BC=8，
∴AC=12BC=4，
∴AB=BC2−CA2=82−42=43，
∵DE为△ABC的中位线，
∴DE=12BC=4，DE∥BC，AE=12AC，AD=12AB，
∴∠ADE=∠ABC=30°，ADAB=AEAC=12，
根据题意，将△ADE绕点A顺时针方向旋转，当DE所在直线经过点B时，分两种情况讨论如下：
①如图4所示：

由旋转的性质得∠BAD=∠CAE，
∵ ADAB=AEAC=12，
∴△BAD∽△CAE，
∴ BDCE=ABAC=3，∠ADB=∠AEC=180°−∠ADE=150°，
∵∠AED=90°−∠CDE=60°，
∴∠CEB=∠AEC−∠AED=150°−60°=90°，
设CE=x，则BD=3x，BE=BD+DE=3x+4，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：x2+3x+42=82，解得x=15−3或x=−15−3（舍去）
∴CE=15−3；
②如图5所示：

由旋转的性质得∠BAD=∠CAE，
∵ ADAB=AEAC=12，
∴ △AEC∽△ADB，
∴ BDCE=ADAE=3，∠CEB=90°，
设CE=y，则BD=3y，BE=BD−DE=3y−4，
在Rt△BCE中，由勾股定理得y2+3y−42=82，解得y=15+3或y=−15−3（舍去），
∴CE=15+3；
综上所述，CE的长为15−3或15+3．
【点睛】本题考查几何变换综合题，考查了旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
【题型6 \l "_Tc156510567" 利用相似三角形的性质求解决折叠问题】
【例6】（2025·浙江杭州·临安市锦城第四初级中学校考三模）如图，将矩形纸片ABCD折叠，折痕为MN，点M，N分别在边AD，BC上，点C，D的对应点分别为点E，F，且点F在矩形内部，MF的延长线交边BC于点G，EF交边BC于点H．EN=2，AB=4，，当GH=2HN时，MD的长为 ．
【答案】213−4
【分析】根据折叠的性质和平行线的性质证明∠GMN=∠MNG，得到MG=NG，证明△FGH∽△ENH，求出FG的长，过点G作GP⊥AD于点P，则PG=AB=4，设MD=MF=x，根据勾股定理列方程求出x即可．
【详解】解：∵将矩形纸片ABCD折叠，折痕为MN，
∴MF=MD，CN=EN，∠E=∠C=∠D=∠MFE=90°，∠DMN=∠GMN，AD∥BC，
∴∠GFH=90°，∠DMN=∠MNG，
∴∠GMN=∠MNG，
∴MG=NG，
∵∠GFH=∠E=90°，∠FHG=∠EHN，
∴△FGH∽△ENH，
∴FGEN=GHHN=2，
∴FG=2EN=4，
过点G作GP⊥AD于点P，则PG=AB=4，PD=CG

设MD=MF=x，
则MG=GN=x+4，
∴CG=GN+CN=x+6=MD+PM，
∴PM=6，
∵GP2+PM2=MG2，
∴42+62=x+42，
解得：x=213−4或x=−213−4（舍去，不符合题意），
∴MD=213−4．
故答案为：213−4．
【点睛】本题考查了折叠问题，矩形的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定及性质，勾股定理，根据勾股定理列方程求解是解题的关键．
【变式6-1】（2025·广东茂名·统考二模）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在边AC上，AD=BD，将△DBC沿BD折叠，BC的对应边BC′交AC于点P，连接AC′．若AP=4，AC=9，则AC′的长为 ．
【答案】33
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理等知识点，过点A作AM⊥DC′于点M，先证明△ABD是等边三角形，再证△APB∽△ABC，得出AB=6，PD=2，CD=C′D=AC−AD=3，由折叠的性质可得∠ADC′=60°，利用三角函数求得DM的长，进而得点C′与点M重合，从而求得AC′的长，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，是解此题的关键．
【详解】解：过点A作AM⊥DC′于点M，
，
∵将△DBC沿BD折叠，BC的对应边BC′交AC于点P，
∴∠PBD=∠DBC，∠BDC=∠BDC′，
∵∠BAC=60°，AD=BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=∠ADB=60°，
∵∠ADB=∠DBC+∠C，
∴∠ABP+∠PBD=∠C+∠DBC，
∴∠C=∠ABP，
∵∠PAB=∠BAC，
∴△APB∽△ABC，
∴APAB=ABAC，
∴AB2=AP⋅AC=4×9=36，
∴AB=AD=6，
∴PD=2，CD=C′D=AC−AD=3，
∵∠BDC=∠BDC′，∠ADB=60°，∠BDC+∠ADB=180°，
∴∠BDC′=120°，
∴∠ADC′=60°，
∵AM⊥DC′，
∴cs∠ADC′=cs60°=12=DMAD，
∴DM=3，
∵C′D=3，
∴点C′与点M重合，
∴AC′=AD2−DC′2=33，
故答案为：33．
【变式6-2】（2025·浙江杭州·校考三模）如图，在菱形ABCD中，点E为BC中点，连接AE，DE，将△ABE沿直线AE折叠，使点B落在DE上的点B′处，连接AB′并延长交CD于点F，则CFFD的值为 ．

【答案】12/0.5
【分析】如图，延长AF、BC，交于H，由折叠的性质可得，∠AEB′=∠AEB，BE=B′E，由E为BC中点，可得BE=CE=B′E=12BC，由菱形的性质可得，AD=BC，AD∥BC，则∠AEB′=∠DAE，DE=AD=BC，DB′=DE−B′E=12BC=B′E，证明△ADB′≌△HEB′ASA，则EH=AD，CH=EH−EC=12BC，证明△HCF∽△ADF，则CFFD=CHAD=12BCBC，计算求解即可．
【详解】解：如图，延长AF、BC，交于H，

由折叠的性质可得，∠AEB′=∠AEB，BE=B′E，
∵E为BC中点，
∴BE=CE=B′E=12BC，
由菱形的性质可得，AD=BC，AD∥BC，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠AEB′=∠DAE，
∴DE=AD=BC，
∴DB′=DE−B′E=12BC=B′E，
∵AD∥BC，
∴∠ADB′=∠HEB′，
∵∠ADB′=∠HEB′，DB′=B′E，∠AB′D=∠EB′H，
∴△ADB′≌△HEB′ASA，
∴EH=AD，
∴CH=EH−EC=12BC，
∵AD∥BC，
∴∠HCF=∠ADF，
又∵∠HFC=∠AFD，
∴△HCF∽△ADF，
∴CFFD=CHAD=12BCBC=12，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，等角对等边，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
【变式6-3】（2025·吉林松原·校联考三模）小英用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，点D在斜边AB上，连接CD，将△ADC沿CD折叠，点A的对应点A′落在BC边上，则折叠后纸片重叠阴影部分的面积为 ．

【答案】245
【分析】过点D作DE⊥BC于点E，由折叠的性质可得DE=CE，再根据相似三角形的性质可求出DE，再由三角形面积公式即可得出答案．
【详解】解：如图，过点D作DE⊥BC于点E，

由折叠可知∠ACD=∠A′CD=12∠ACB=45°，A′C=AC=4，
∴∠CDE=∠A′CD=45°，
∴DE=CE，
设DE=x，则BE=6−x，
∵DE⊥BC，
∴∠BED=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BED=∠ACB，
∴DE∥AC，
∴△ABC∽△DBE，
∴DEAC=BEBC，即x4=6−x6，
解得x=125，
即DE=125，
∴S阴影部分=12A′C⋅DE=12×4×125=245，
故答案为：245．
【点睛】本题考查直角三角形折叠问题，相似三角形判定与性质，等腰直角三角形，掌握翻折的性质以及相似三角形的性质是正确解答的前提．
【题型7 \l "_Tc156510568" 利用相似三角形的性质判断函数图象】
【例7】（2025·新疆乌鲁木齐·统考模拟预测）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P与点B,C都不重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点F处；过点P作∠BPF的角平分线交AB于点E．设BP=x，BE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是矩形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的图象，熟练的建立二次函数的解析式是解本题的关键，先证明△BPE∽△CDP，再利用相似三角形的性质建立二次函数，从而可得答案．
【详解】解：∵矩形ABCD，AB=3，BC=5，
∴∠B=∠C=90°，AB=CD=3，
∵将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点F处；过点P作∠BPF的角平分线交AB于点E，
∴∠CPD=∠FPD，∠BPE=∠FPE，
又∵∠CPD+∠FPD+∠BPE+∠FPE=180°，
∴∠CPD+∠BPE=90°，
又∵∠BPE+∠BEP=90°，
∴∠BEP=∠CPD，
又∵∠B=∠C=90°，
∴△BPE∽△CDP，
∴BPCD=BECP，即x3=y5−x，
则y=−13x2+53x0BC，则S△ABM+S△ACM>S△BCM，即可判断结论Ⅰ正确；过点C作CH∥AB，交AG于点H，证明 △CDH∽△BDA，得出ABAC=BDCD，即可判断结论Ⅱ正确．
【详解】解：由题意得：AG为∠BAC的平分线，
∵三角形的内心是三个内角平分线的交点，
∴△ABC的内心在AG上，
取△ABC的内心M，连接BM，CM，过点M作MH⊥AB，MK⊥BC，MN⊥AC，垂足分别为H，K，N，如图，

则MH=MK=MN，
设MH=MK=MN=r，
∴ S△ABM=12AB⋅MH=12rAB，S△ACM=12AC⋅MN=12rAC，S△BCM=12BC⋅MK=12rBC，
∴S△ABM+S△ACM=12rAB+AC，
∵AB+AC>BC，
∴S△ABM+S△ACM>S△BCM，
∴线段AD上必有一点M，使得S△ABM+S△ACM>S△BCM．
∴结论Ⅰ正确；
过点C作CH∥AB，交AG于点H，如图，
∴∠CHA=∠BAD，
∵AG为∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠CHA=∠CAD，
∴CH=AC．
∵CH∥AB，
∴△CDH∽△BDA，
∴ BDCD=ABCH，
∴ ABAC=BDCD．
∴结论Ⅱ正确．
综上，结论Ⅰ和结论Ⅱ都对．
故选：A．

【点睛】本题主要考查了三角形内心的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等，角平分线上的点到两边的距离相等，相似三角形对应边成比例．
【变式8-1】（2025·湖南邵阳·校联考三模）已知△ABC中，∠BAC=90°，用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形，其作法不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】分析：根据过直线外一点作这条直线的垂线，及线段中垂线的做法，圆周角定理，分别作出直角三角形斜边上的垂线，根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的；即可作出判断.
详解：A、在角∠BAC内作作∠CAD=∠B,交BC于点D,根据余角的定义及等量代换得出∠B＋∠BAD=90°,进而得出AD⊥BC,根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的；A不符合题意；
B、以点A为圆心，略小于AB的长为半径，画弧，交线段BC两点，再分别以这两点为圆心，大于12两交点间的距离为半径画弧，两弧相交于一点，过这一点与A点作直线，该直线是BC的垂线；根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形是彼此相似的；B不符合题意；
C、以AB为直径作圆，该圆交BC于点D，根据圆周角定理，过AD两点作直线该直线垂直于BC，根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的；C不符合题意；
D、以点B为圆心BA的长为半径画弧，交BC于点E，再以E点为圆心，AB的长为半径画弧，在BC的另一侧交前弧于一点，过这一点及A点作直线，该直线不一定是BE的垂线；从而就不能保证两个小三角形相似；D符合题意;
故选D.
点睛：此题主要考查了相似变换以及相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
【变式8-2】（2025·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AC为对角线，∠BAC=∠BCD=90°，请用尺规在AC边上找一点E，使得△CDE∽△BCA．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】过点D作DE⊥AC交AC于E，点E即为所求作．
【详解】解：如图，点E即为所求作．
由作图知，∠CED=90°，
∵∠BCD=∠BAC=90°，
∴∠DCE+∠ACB=∠B+∠ACB=90°，
∴∠DCE=∠B，
∴△CDE∽△BCA．
【点睛】本题考查作图-相似变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【变式8-3】（2025·广东广州·统考一模）如图：△ABC中，∠C=45°，点D在AC上，且∠ADB=60°，AB为△BCD外接圆的切线．
（1）用尺规作出△BCD的外接圆（保留作图痕迹，可不写作法）；
（2）求∠A的度数；
（3）求ADDC的值．
【答案】（1）作图见解析；（2）∠A=75°；（3）ADCD=2．
【详解】试题分析：（1）利用三角形外接圆的圆心是各边垂直平分线的交点即可画出图形．
（2）只要证明△BOD是等腰直角三角形即可推出∠ABD=∠DBO=45°，利用三角形内角和定理即可解决问题．
（3）过点B作BE⊥AC，垂足为点E，设DE=x，则BD=2x，BE=BD2−DE2 =3x，用x的代数式表示AD、DC即可解决问题．
试题解析：（1）作BC的垂直平分线MN，作BD的垂直平分线HF，MN与FH的交点为O，以点O为圆心OB为作⊙O即可．如图所示：
；
（2）连结OB、OD，
由切线性质，知∠ABO=90°．
∵∠ACB=45°，∴∠BOD=90°（同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）．
∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB=45°，
由∠ABO=90°，得∠ABD=45°，∴∠A=180°﹣∠ABD﹣∠ADB=180°﹣45°﹣60°=75°；
（3）过点B作BE⊥AC，垂足为点E，
在Rt△BCE中，∵∠ACB=45°，∴∠EBC=45°，∴BE=CE．
在Rt△BDE中，∵∠DBE=90°﹣∠EDB=30°，∴BD=2DE，
设DE=x，则BD=2x，BE=BD2−DE2=3xDC=CE﹣DE=BE﹣DE=（3﹣1）x．
AE=AD﹣DE=AD﹣x．
在△ABC和△ADB中，∵∠ABD=∠ACB=45°，∠A为公共角，∴△ABC∽△ADB，
∴ABAC=ADAB ，即AB2=AC•AD，即
AB2=（AD+DC）•AD=AD2+AD•（3﹣1）x ①．
在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB2=AE2+BE2=（AD﹣x）2+（3x）2 ②．
由①、②，得AD2+AD•（3﹣1）x=（AD﹣x）2+（3x）2，
化简整理，解得AD=2（3﹣1）x．
∴ADDC=23−1x3−1x =2，
∴ADCD=2．
【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了尺规作图，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等，解题的关键是根据题意作出图形，能够从复杂的图形中找到基本图形，选取适合的知识点进行解答.
【题型9 \l "_Tc156510570" 三角板与相似三角形综合应用】
【例9】（2025·浙江丽水·统考中考真题）一副三角板按图1放置，O是边BC(DF)的中点，BC=12cm．如图2，将△ABC绕点O顺时针旋转60°，AC与EF相交于点G，则FG的长是 cm．
【答案】33−3
【分析】BC交EF于点N，由题意得，∠EDF=∠BAC=90°，∠DEF=60°，∠DFE=30°，∠ABC=∠ACB=45°，BC=DF=12，根据锐角三角函数即可得DE，FE，根据旋转的性质得△ONF是直角三角形，根据直角三角形的性质得ON=3，即NC=3，根据角之间的关系得△CNG是等腰直角三角形，即NG=NC=3cm，根据∠FNO=∠FDE=90°，∠NFO=∠DFE=30°得△FON∽△FED，即ONDE=FNDF，解得FN=33，即可得．
【详解】解：如图所示，BC交EF于点N，
由题意得，∠EDF=∠BAC=90°，∠DEF=60°，∠DFE=30°，∠ABC=∠ACB=45°，BC=DF=12，
在Rt△EDF中，DE=DFtan∠EDF=12tan60°=43，
EF=DFsin∠EDF=12sin60°=83，
∵△ABC绕点O顺时针旋转60°，
∴∠BOD=∠NOF=60°，
∴∠NOF+∠F=90°，
∴∠FNO=180°−∠NOF−∠F=90°，
∴△ONF是直角三角形，
∴ON=12OF=3（cm），
∴NC=OC−ON=3（cm），
∵∠FNO=90°，
∴∠GNC=180°−∠FNO=90°，
∴△NGC是直角三角形，
∴∠NGC=180−∠GNC−∠ACB=45°，
∴△CNG是等腰直角三角形，
∴NG=NC=3cm，
∵∠FNO=∠FDE=90°，∠NFO=∠DFE=30°，
∴△FON∽△FED，
即ONDE=FNDF，
343=FN12，
FN=33，
∴FG=FN−NG=33−3（cm），
故答案为：33−3．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，解题的关键是掌握这些知识点．
【变式9-1】（2025·江苏无锡·无锡市江南中学校考二模）如图，将两块三角板OAB（∠OAB=45°）和三角板OCD（∠OCD=30°）放置在矩形BCEF中，直角顶点O重合，点A、D在EF边上，AB=6．
（1）若点O到BC的距离为6，则点O到EF的距离为 ；
（2）若BC=3AD，则△OCD外接圆的半径为 ．
【答案】 23 6
【分析】（1）根据题意可得∠AOB=∠DOC=90°，AO=BO，CD=2DO，过点O作OG⊥BC于点G，延长GO交EF于点H，证明△OAH≌△BOG（AAS），可得OH=BG，AH=OG=6，然后根据勾股定理即可解决问题；
（2）根据题意证明△HOD∽△GCO，可得HOGC=HDOG=ODOC，由tan∠OCD=tan30°=ODOC=33，设BG=OH=x，可得CG=3x，设HD=k，可得OG=3k，根据BC=3AD可得，k=13x，然后利用勾股定理可得DO=6，进而可以解决问题．
【详解】解：（1）∵两块三角板OAB（∠OAB=45°）和三角板OCD（∠OCD=30°）放置在矩形BCEF中，
∴∠AOB=∠DOC=90°，AO=BO，CD=2DO，
如图，过点O作OG⊥BC于点G，延长GO交EF于点H，
∵四边形BCEF是矩形，
∴BC∥EF，
∴OH⊥EF，
∴∠OHA=∠AOB=90°，
∴∠AOH+∠OAH=∠AOH+∠BOG=90°，
∴∠OAH=∠BOG，
在△OAH和△BOG中，
∠AHO=∠GOB=90°∠OAH=∠BOGAO=BO，
∴△OAH≌△BOG（AAS），
∴OH=BG，AH=OG=6，
∵AB=6．
∴AO=BO=22AB=32，
∴BG=(32)2−(6)2=23，
∴OH=23，
则点O到EF的距离为23，
故答案为：23；
（2）∵∠OGC=∠DHO=∠DOC=90°，
∴∠HOD+∠COG=∠GCO+∠COG=90°，
∴∠HOD=∠GCO，
∴△HOD∽△GCO，
∴HOGC=HDOG=ODOC，
∵∠OCD=30°，
∴tan∠OCD=tan30°=ODOC=33，
∴HOGC=HDOG=33，
由（1）知：OH=BG，AH=OG，
设BG=OH=x，
∴CG=3x，
设HD=k，
∴OG=3k，
∴AH=OG=3k，
∴AD=AH+DH=（3+1）k，
∵BC=3AD，BC=BG+CG=OH+CG=（3+1）x，
∴（3+1）x=3（3+1）k，
∴k=13x，
∴AH=OG=3k=33x，
在Rt△AHO中，根据勾股定理得：
OH2+AH2=AO2，
∴x2+（33x）2=（32）2，
解得x=33，
∴HD=k=13x=3，BG=OH=x=33，
在Rt△DHO中，根据勾股定理得：
DH2+OH2=DO2，
∴（3）2+（33）2=DO2，
∴DO=6，
∴△OCD外接圆的半径为6．
故答案为：6．
【点睛】本题属于几何综合题，考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，三角形外接圆与外心，矩形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
【变式9-2】（2025·辽宁抚顺·统考三模）如图，将一块直角三角板的直角顶点E放在正方形ABCD的对角线AC上（不与点A，C重合，其中的一条直角边经过点D，另一条直角边与射线BC相交于点F．

(1)试猜想线段DE、EF之间的数量关系为__________；
(2)试猜想图中此时线段CE、CD、CF之间的数量关系，并说明理由；
(3)作射线DF交直线AC于点G，若AB=4，CF=1，请直接写出EG的长．
【答案】(1)EF=DE
(2)CD−CF=2CE，证明见解析
(3)1726或17210
【分析】（1）过点E作MN⊥BC于点N，交AD于点M，证明△DEM≌△EFNASA，即可得出DE=EF；
（2）过点E作EH⊥EC交CD于点H，证明△ECH为等腰直角三角形，得出EC=EH，CH=2CE，证明△CEF≌△HEDSAS，得出CF=HD，即可证明CD−CF=CD−DH=2CE；
（3）分两种情况：当点F在BC的延长线上时，当点F在边BC上时，分别作出图形，求出CG的长即可．
【详解】（1）解：过点E作MN⊥BC于点N，交AD于点M，如图所示：

则∠MNC=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD=∠CDM=90°，∠ACB=12∠BCD=45°，
∵∠BCD=∠CDM=∠MNC=90°，
∴四边形CDMN为矩形，
∴∠DME=∠ENC=90°，DM=CN，
∵∠ENC=90°，∠ECN=45°，
∴∠NEC=90°−45°=45°，
∴∠CEN=∠ECN，
∴EN=CN，
∴EN=DM，
∵∠DEF=90°，
∴∠FEN+∠DEM=90°，
∵∠DEM+∠EDM=90°，
∴∠EDM=∠FEN，
∴△DEM≌△EFNASA，
∴DE=EF．
故答案为：DE=EF．
（2）解：CD−CF=2CE；理由如下：
如图，过点E作EH⊥EC交CD于点H，

则∠CEH=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ACD=12∠BCD=45°，
∴△ECH为等腰直角三角形，
∴EC=EH，CH=2CE，
∵∠CEF+∠FEH=∠FEH+∠DEH=90°，
∴∠CEF=∠DEH，
∵DE=EF，
∴△CEF≌△HEDSAS，
∴CF=HD，
∴CD−CF=CD−DH=2CE．
（3）解：∵四边形ABCD为正方形，
∴CD=AB=BC=AD=4，AD∥BC，
∴AC=2AB=42，
当点F在BC的延长线上时，如图所示：

∵CF∥AD，，
∴△GCF∽△GAD，
∴CGAG=CFAD=14，
∴CGCG+AC=CGCG+42=14，
解得：CG=432，
根据解析（2）可知，CD−CF=2CE，
∵CF=1，
∴CE=322，
∴EG=CE+CG=322+423=1726；
当点F在边BC上时，过点E作MN⊥BC于点N，交AD于点M，如图所示：

则∠MNC=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD=∠CDM=90°，∠ACB=12∠BCD=45°，
∵∠BCD=∠CDM=∠MNC=90°，
∴四边形CDMN为矩形，
∴∠DME=∠ENC=90°，DM=CN，MN=CD=4，
∵∠ENC=90°，∠ECN=45°，
∴∠NEC=90°−45°=45°，
∴∠CEN=∠ECN，
∴EN=CN，
∴EN=DM，
∵∠DEF=90°，
∴∠FEN+∠DEM=90°，
∵∠DEM+∠EDM=90°，
∴∠EDM=∠FEN，
∴△DEM≌△EFNASA，
∴EM=NF，
设EM=NF=x，则EN=NC=x+1，
∴x+1+x=4，
解得：x=32，
∴CN=EN=1+32=52，
∴CE=CN2+EN2=522，
∵CF∥AD，
∴△GCF∽△GAD，
∴CGAG=CFAD=14，
∴CGAC−CG=CG42−CG=14，
解得：CG=452，
∴EG=CE−CG=522−425=17210；
综上分析可知，CG的长为1726或17210．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握三角形全等的判定方法．
【变式9-3】（2025·陕西咸阳·统考二模）【计算与推理】
（1）如图1，AB∥CF，AC与DF交于点E，E为DF的中点，AB=10，CF=6，则BD的长为 ___________；
（2）数学课上张老师拿了两块相似比为2:1的大三角板ABC和小三角板EDC，按如图2所示位置放置，使60°角的顶点C重合．试判断BD:AE的值是否变化？并加以证明；
【操作与探究】
（3）现有一块足够大的木板，为参加学校科技节比赛，小明想在这块木板上裁出一个等边三角形（△CEF）部件做模型，他的操作如下：
第一步：用两块大小不一的含60°角的直角三角板ABC和ADE按如图3所示位置放置，使60°角的顶点A重合，分别延长DE、BC交于点P，连接BD，得到△BDP；
第二步：取BD的中点F，分别连接EF、CF，CE，得到△CEF．
请问，按上述操作，裁得的△CEF部件是否符合要求？请说明理由．

【答案】（1）4；（2）BD：AE的值不变，证明见解析；（3）符合要求，理由见解析
【分析】（1）证△ADE≅△CFEASA，得出AD=CF=6，即可得出BD的长；
（2）证△BCD∼△ACE，得BD:AE=BC:AC，再得出∠BAC=30°，根据特殊角三角函数得出结论即可；
（3）证△DEF≅△BGFSAS，得BG=DE，∠DEF=∠BGF，证△BCG∼△ACE，得CGCE=BCAC=3，根据∠CEG=60°，CF=EF，得出△CEF是等边三角形即可．
【详解】解：（1）∵AB∥CF，
∴∠ADE=∠F，
∵点E是DF的中点，
∴DE=FE，
在△ADE和△CFE中，
∠AED=∠CEFDE=FE∠ADE=∠F，
∴△ADE≅△CFEASA，
∴AD=CF=6，
即BD=AB−D=10−6=4，
故答案为：4；
（2）BD:AE的值不变，证明如下：
∵大三角板ABC和小三角板EDC的相似比为2:1，
∴CBCD=CACE=2，即CBCA=CDCE，
∵∠DCE=∠BCA=60°，
∴∠BCA−∠DCA=∠DCE−∠DCA，即∠BCD=∠ACE，
∴△BCD∼△ACE，
∴BD:AE=BC:AC，
∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°−∠ACB=30°，
∴sin∠BAC=BCAC=12，
∴BD:AE=1:2，值不变；
（3）符合要求，理由如下：
如图，延长EF至G，使FG=EF，

∵∠DFE=∠BFG，点F是BD的中点，
∴DF=BF，
∴△DEF≅△BGFSAS，
∴BG=DE，∠DEF=∠BGF，
∴BG∥DP，
∴∠P+∠CBG=180°，
在四边形ACPE中，∠AEP=∠ACP=90°，
根据四边形的内角和得，∠CAE+∠P=180°，
∴∠CAE=∠CBG，
∵∠DAE=∠BAC=60°，
∴BCAC=DEAE=3，
∴BCAC=BGAE，
∴△BCG∼△ACE，
∴∠BCG=∠ACE，
∴∠ECG=∠ACE+∠ACG=∠BCG+∠ACG=90°，
在Rt△CEG中，EF=GF，
∴CF=EF=12EG，
∵△BCG∼△ACE，
∴CGCE=BCAC=3，
在Rt△CEG中，tan∠CEG=CGCE=3，
∴∠CEG=60°，
∵CF=EF，
∴△CEF是等边三角形．
【点睛】本题主要考查相似形综合题，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识是解题的关键．
【题型10 \l "_Tc156510571" 平移与相似三角形综合应用】
【例10】（2025·海南海口·统考一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（－2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】根据已知条件得到AC=6，OC=2，OB=7，求得BC=9，根据正方形的性质得到DE=OC=OE=2，求得O′E′=O′C′=2，根据相似三角形的性质得到BO′=3，于是得到结论．
【详解】解：如图，设正方形D′C′O′E′是正方形OCDE沿x轴向右平移后的正方形，
∵顶点A，B的坐标分别为（-2，6）和（7，0），
∴AC=6，OC=2，OB=7，
∴BC=9，
∵四边形OCDE是正方形，
∴DE=OC=OE=2，
∴O′E′=O′C′=2，
∵E′O′⊥BC，
∴∠BO′E′=∠BCA=90°，
∴E′O′∥AC，
∴△BO′E′∽△BCA，
∴E′O′AC=BO′BC，
∴26=BO′9，
∴BO′=3，
∴OO′=7-3=4，
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
【变式10-1】（2025·浙江温州·校联考三模）如图在矩形ABCD中，AB=27，AD=8，E是AD上一点，连结BE，过C作CF⊥BE于点F．将△ABE向右下方向平移到△IHC的位置，I在BC上，四边形CDEF向左下方向平移到四边形HIBG的位置．若重新组成的矩形CFGH与矩形ABCD全等，则DE的长为 ．△ABE内有一点O，平移后对应点为点O′，若O′是矩形CFGH的中心，则点O到AD的距离为 ．

【答案】2 74
【分析】根据题意可得BE=CH=AD=8，∠A=90°，则AE=BE2−AB2=6，再由DE=AD−AE即可得到答案；连接CG，作OM⊥BC交BC于M，作GN⊥BC，交BC延长线于N，连接BH，由题意可得BI=ED=2，HI=GH，∠BGH=∠BIH=∠A=90°，O′为CG的中点，通过证明Rt△BGH≌Rt△BIHHL，可得BG=2，通过证明△BNG∽△EAB可得NG=72，再根据三角形中位线定理可得O′M=12NG=74，从而即可得到答案．
【详解】解：根据题意可得：BE=CH=AD=8，∠A=90°，
∴AE=BE2−AB2=82−272=6，
∴DE=AD−AE=8−6=2；
如图所示，连接CG，作O′M⊥BC交BC于M，作GN⊥BC，交BC延长线于N，连接BH，
，
由题意可得BI=ED=2，HI=GH，∠BGH=∠BIH=∠A=90°，O′为CG的中点，点O到AD的距离为O′到BC的距离，
在Rt△BGH和Rt△BIH中，
GH=IHBH=BH，
∴Rt△BGH≌Rt△BIHHL，
∴BG=BI=2，
∵∠GNB=∠ABC=90°，
∴GN∥AB，
∴∠NGB=∠ABE，
∵∠N=∠A=90°，
∴△BNG∽△EAB，
∴BGBE=NGAB，即28=NG27，
∴NG=72，
∵ OM⊥BC，GN⊥BC，O′为CG的中点，
∴O′M为△CNG的中位线，
∴O′M=12NG=74，
∴点O到AD的距离为74，
故答案为：2；74．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平移的性质、相似三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平移的性质、相似三角形的判定与性质、三角形的中位线定理，添加适当的辅助线，是解题的关键．
【变式10-2】（2025·山西晋城·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD是BC边上的中线．将△ABC沿AD方向平移得到△A′B′C′．A′C′与BC相交于点E，连接BA′并延长，与边AC相交于点F．当点E为A′C′的中点时，A′F的长为 ．

【答案】9712/11297
【分析】则E为A′C′的中点，得A′为AD的中点，证明△BEA′∽△BCF，推出BE:BC=A′E:FC=BA′:BF=3:4，在Rt△ABF中，利用勾股定理求得BF，再根据相似比即可求解．
【详解】解：∵由平移的性质得A′C′∥AC，A′C′=AC，
∴E为A′C′的中点，DEEC=DA′AA′，
∴A′E=12AC，
∴A′为AD的中点，
∵D是BC边上的中点，
∴△BEA′∽△BCF，
∴BE:BC=A′E:FC=BA′:BF=3:4，
∵AC=4，
∴A′E=2，
∴2FC=34，FC=83，
∴AF=4−83=43，
在Rt△ABF中，BF=AB2+AF2=9+169=973，
∵BA′:BF=3:4，
∴A′F=14BF=14×973=9712，
故答案为：9712．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平移的性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
【变式10-3】（2025·河南驻马店·统考三模）如图，在等边三角形ABC中，AC=4，E为AB的中点，在CB延长线上截取BD=BE，将△DEB沿BC向右平移，点B的对应点为G，当平移后的△DEG和△ABC重叠部分的面积是△DEG面积的14时，△DEB平移的距离为 ．

【答案】2−3或6−2
【分析】分DE与AB相交，DE与AC相交，两种情况讨论求解即可．
【详解】解：①如解图1所示，当DE与AB交于点F时，重叠部分为四边形BFEG．

∵重叠部分的面积是△DEG面积的14，S△DBF=34S△DEG．
由平移的性质，可知BF∥GE，
∴△DBF∽△DGE．
∵S△DBFS△DGE=34，
∴DBDG=32．
∵GE=12×4=2，
∴DG=GE=2．
∴DB=3．
∴BG=2−3，即△DEB平移的距离为2−3．
②如图2所示，当DE交AC于点H时，S△CDH=14S△DEG，过点G作GM⊥DE于点M，

则S△DGM=12S△DEG．
∴S△CDH=12S△DGM．
∵∠ACB=60°，∠GDE=30°，
∴∠CHD=90°，即CH⊥DE．
∴CH∥GM，
∴△DCH∽△DGM．
∵S△DCHS△DGM=12，
∴DCDG=12．
∵DG=2，
∴DC=2．
∴CG=2−2．
∴BG=4+2−2=6−2，即△DEB平移的距离为6−2．
综上所述，△DEB平移的距离为2−3或6−2．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，平移的性质，相似三角形的判定与性质．熟练掌握相关性质，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
【题型11 \l "_Tc156510572" 利用相似三角形的性质与判定求线段比值】
【例11】（2025·广东深圳·校考一模）如图①，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为BC边上的一点，连接AD，过点C作CE⊥AD于点F，交AB于点E，连接DE．
(1)若AE=2BE，求证：AF=2CF；
(2)如图②，若AB=2，DE⊥BC，求BEAE的值．
【答案】(1)答案见详解
(2)5−12
【分析】（1）要证AE=2BE，过点B作BH⊥CE，交CE的延长线于H，证得△AFE∽△BHF，得出AF与BH的数量关系，再证得△AFC≌△CHB，得出CF=BH根据线段间关系，即可求证；
（2）要求BEAE的值，根据角度间的转化，得出△CAD∽△DCE，即可求出BDCD的值，根据DE∥AC，推出BEAE=BDCD，即可得到最后结果．
【详解】（1）证明：如图，过点B作BH⊥CE，交CE的延长线于H，
∵AD⊥CE，
∴AF∥BH，
∴ △AFE∽△BHE，
∴AFBH=AEBE，
∵CE⊥AD，
∴∠CFD=90°，
∵∠ACB=90°，∠ADC=∠CDF，
∴△ACD∽△CFD，
∴∠CAF=∠BCH，
∵∠AFC=∠CHB=90°,AC=BC，
∴△AFC≌△CHB AAS，
∴CF=BH，
∴AF=2BH=2CF．
（2）解：∵DE⊥BC，∠ACB=90°，
∴DE∥AC，
∴∠ACE=∠CED，
由（1）可知△ACD∽△CFD，
∴∠CAF=∠DCF，
∵∠AFC=∠CFD，
∴△AFC∽△CFD，
∴∠ACE=∠CDA，
∴∠CDA=∠CED，
∵∠ACD=∠CDE=90°，
∴△CAD∽△DCE，
∴ACCD=CDDE，
∵AB=BC，AB=2，
∴∠B=∠CAB=45°，AC=BC=1，
设CD=x，则BD=BC−CD=1−x，
∵DE⊥BC，∠B=45°,
∴DE=BD=1−x，
∴1x=x1−x
解得x1=−1−52