2026年中考数学考点一网尽-专题22直角三角形【十六大题型训练】（学生版+名师详解版）

这是一份2026年中考数学考点一网尽-专题22直角三角形【十六大题型训练】（学生版+名师详解版），共98页。
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\l "_Tc29568" 【题型1 由直角三角形的性质求解】 PAGEREF _Tc29568 \h 1
\l "_Tc28120" 【题型2 根据已知条件判定直角三角形】 PAGEREF _Tc28120 \h 3
\l "_Tc7513" 【题型3 利用勾股定理求解】 PAGEREF _Tc7513 \h 4
\l "_Tc6633" 【题型4 判断勾股数问题】 PAGEREF _Tc6633 \h 4
\l "_Tc3826" 【题型5 勾股定理与网格问题】 PAGEREF _Tc3826 \h 5
\l "_Tc3034" 【题型6 利用勾股定理解决折叠问题】 PAGEREF _Tc3034 \h 7
\l "_Tc27783" 【题型7 勾股定理与无理数】 PAGEREF _Tc27783 \h 8
\l "_Tc16899" 【题型8 利用勾股定理证明线段的平方关系】 PAGEREF _Tc16899 \h 9
\l "_Tc8689" 【题型9 勾股定理的证明方法】 PAGEREF _Tc8689 \h 11
\l "_Tc19508" 【题型10 以弦图为背景的计算】 PAGEREF _Tc19508 \h 12
\l "_Tc28085" 【题型11 利用勾股定理构造图形解决问题】 PAGEREF _Tc28085 \h 13
\l "_Tc27910" 【题型12 利用勾股定理解决实际问题】 PAGEREF _Tc27910 \h 14
\l "_Tc13705" 【题型13 在网格中判定直角三角形】 PAGEREF _Tc13705 \h 16
\l "_Tc29393" 【题型14 利用勾股定理逆定理求解】 PAGEREF _Tc29393 \h 17
\l "_Tc30706" 【题型15 图形上与已知两点构成直角三角形的点】 PAGEREF _Tc30706 \h 18
\l "_Tc27982" 【题型16 用勾股定理解决实际生活问题】 PAGEREF _Tc27982 \h 19
【知识点 直角三角形】
①在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
②在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
③勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a.b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。
④勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a.b.c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
【题型1 由直角三角形的性质求解】
【例1】（2025·内蒙古包头·包头市第三十五中学校考三模）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边CD,BC上，且DE=CF，连接AE,DF,DG平分∠ADF交AB于点G，若∠AED=70°，则∠AGD的度数为 ．

【变式1-1】（2025·北京平谷·统考一模）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则下列结论不一定成立的是（ ）

A．∠1+∠2=90°B．∠1=30°C．∠1=∠4D．∠2=∠3
【变式1-2】（2025·江苏镇江·统考二模）如图，分别以△ABC的边AC和AB向外作等腰Rt△ACE和等腰Rt△ABD，点M、N分别是BC、CE中点，若MN=23，则四边形BCED的面积为 ．

【变式1-3】（2025·河南信阳·二模）【阅读理解】如图1，小明把一副三角板直角顶点O重叠在一起．如图2固定三角板AOB，将三角板COD绕点O以每秒15°的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒，当OD边与OB边重合时停止转动．

【解决问题】
(1)在旋转过程中，请填出∠AOC、∠BOD之间的数量关系______；
(2)当运动时间为9秒时，图中有角平分线吗？找出并说明理由；
(3)当∠AOC、∠AOB、∠BOC中一个角的度数是另一个角的两倍时，则称射线OC是∠AOB的“优线”，请直接写出所有满足条件的t值．
【题型2 根据已知条件判定直角三角形】
【例2】（2025·福建漳州·统考一模）在下列条件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A:∠B:∠C=1:5:6，③∠A=90°−∠B，④∠A=∠B=∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式2-1】（2025·陕西西安·一模）如图，已知锐角三角形ABC，用尺规作图法在BC上作一点P，使得∠B+∠PAB=90°．（保留作图痕迹，不写作法）
【变式2-2】（2025·湖北武汉·校考模拟预测）如图，⊙O经过△ABC的顶点A，C及AB的中点D，且D是AC的中点．

(1)求证：△ABC是直角三角形；
(2)若⊙O的半径为1，求AB2:BC的值．
【变式2-3】（2025·湖南邵阳·统考一模）如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A1，1，且与直线y=x−2交于B，C两点．
(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；
(2)求证：△ABC是直角三角形；
(3)若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型3 利用勾股定理求解】
【例3】（2025·广东·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，O是矩形的对称中心，点E、F分别在边AD、BC上，连接OE、OF，若AE=BF=2，则OE+OF的值为（ ）
A．22B．52C．5D．25
【变式3-1】（2025·河北保定·统考二模）在平面直角坐标系中，点A1,2,B−3,b，当线段AB最短时，b的值为（ ）
A．2B．3C．4D．0
【变式3-2】（2025上·辽宁沈阳·八年级校联考阶段练习）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O．若AC⊥BD，AB=4，CD=5，则BC2+AD2= ．

【变式3-3】（2025·河南濮阳·统考三模）如图，在△ABD中，∠BAD=90°，AB=2，AD=23，将AB绕点A逆时针旋转α度(00，m，n是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（ ）
A．3，4，5B．5，12，13C．6，8，10D．7，24，25
【题型5 勾股定理与网格问题】
【例5】（2025·广东·统考中考真题）综合与实践
主题：制作无盖正方体形纸盒
素材：一张正方形纸板．
步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；
步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒．
猜想与证明：

(1)直接写出纸板上∠ABC与纸盒上∠A1B1C1的大小关系；
(2)证明（1）中你发现的结论．
【变式5-1】（2025·浙江温州·统考中考真题）如图，在2×4的方格纸ABCD中，每个小方格的边长为1．已知格点P，请按要求画格点三角形（顶点均在格点上）．

(1)在图中画一个等腰三角形PEF，使底边长为2，点E在BC上，点F在AD上，再画出该三角形绕矩形ABCD的中心旋转180°后的图形．
(2)在图中画一个Rt△PQR，使∠P=45°，点Q在BC上，点R在AD上，再画出该三角形向右平移1个单位后的图形．
【变式5-2】（2025·安徽·统考中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A,B,C,D均为格点（网格线的交点）．

(1)画出线段AB关于直线CD对称的线段A1B1；
(2)将线段AB向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段A2B2，画出线段A2B2；
(3)描出线段AB上的点M及直线CD上的点N，使得直线MN垂直平分AB．
【变式5-3】（2025·吉林长春·统考中考真题）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作△ABC，点C在格点上．

(1)在图①中，△ABC的面积为92；
(2)在图②中，△ABC的面积为5
(3)在图③中，△ABC是面积为52的钝角三角形．
【题型6 利用勾股定理解决折叠问题】
【例6】（2025·黑龙江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标中，矩形ABCD的边AD=5,OA:OD=1:4，将矩形ABCD沿直线OE折叠到如图所示的位置，线段OD1恰好经过点B，点C落在y轴的点C1位置，点E的坐标是（ ）

A．1,2B．−1,2C．5−1,2D．1−5,2
【变式6-1】（2025·江苏扬州·统考中考真题）如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E、F分别在边AD、BC上，将正方形沿着EF翻折，点B恰好落在CD边上的点B′处，如果四边形ABFE与四边形EFCD的面积比为3∶5，那么线段FC的长为 ．

【变式6-2】（2025·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，四边形ABCD是矩形，AB=6，BC=6．点E为边BC的中点，点F为边AD上一点，将四边形ABEF沿EF折叠，点A的对应点为点A′，点B的对应点为点B′，过点B′作B′H⊥BC于点H，若B′H=22，则FD的长是 ．

【变式6-3】（2025·河南周口·统考二模）如图，在长方形ABCD中，AB=10，AD=12，P是射线AD上一点，将△ABP沿BP折叠得到△A′BP，若点A′恰好落在BC的垂直平分线l上，则线段AP的长为 ．

【题型7 勾股定理与无理数】
【例7】（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，平面内某正方形内有一长为10宽为5的矩形，它可以在该正方形的内部及边界通过平移或旋转的方式，自由地从横放变换到竖放，则该正方形边长的最小整数n为（ ）

A．10B．11C．12D．13
【变式7-1】（2025·河北石家庄·统考三模）张华学习了“数轴上的点与实数是一一对应的关系”后，课下便尝试在数轴上找一个表示无理数的点．首先画一条数轴，原点为O，点A表示的数是2，然后过点A作AB⊥OA，使AB=3，连接OB，以O为圆心，OB长为半径作弧，交数轴负半轴于点C，则点C所表示的数介于（ ）

A．−1和−2之间B．−2和−3之间C．−3和−4之间D．−4和−5之间
【变式7-2】（2025·广东深圳·深圳市高级中学校考二模）数形结合是解决代数类问题的重要思想，在比较2+1与5的大小时，可以通过如图所示几何图形解决问题：若要比较2+3与17的大小，以下数形结合正确的是（ ）

A． B．
C． D．
【变式7-3】（2025·辽宁大连·统考中考真题）如图，在数轴上，OB=1，过O作直线l⊥OB于点O，在直线l上截取OA=2，且A在OC上方．连接AB，以点B为圆心，AB为半径作弧交直线OB于点C，则C点的横坐标为 ．
【题型8 利用勾股定理证明线段的平方关系】
【例8】（2025·广东佛山·校考一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC>AC，CD⊥AB于点D，点E是AB的中点，连接CE．
(1)若AC=3，BC=4，求CD的长；
(2)求证：BD2−AD2=2DE⋅AB；
(3)求证：CE= 12 AB．
【变式8-1】（2025·浙江杭州·校考三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于点E，若AD的长与⊙O的半径相等，则下列等式正确的是（ ）
A．2BC2=AB2+CD2B．3BC2=2AB2+2CD2
C．4BC2=3AB2+3CD2D．5BC2=4AB2+4CD2
【变式8-2】（2025·湖北武汉·统考模拟预测）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上．

(1)判断∠ACD与∠BCE间的数量关系，并说明理由；
(2)直接写出线段AD、AE、AC间满足的数量关系．
【变式8-3】（2025·北京平谷·统考一模）在△ABC中，BD⊥AC，E为AB边中点，连接CE，BD与CE相交于点F，过E作EM⊥EF，交BD于点M，连接CM．
(1)依题意补全图形；
(2)求证：∠EMF=∠ACF；
(3)判断BM、CM、AC的数量关系，并证明．
【题型9 勾股定理的证明方法】
【例9】（2025·河北·统考模拟预测）在证明勾股定理时，甲、乙两位同学分别设计了如下方案：
对于甲、乙分别设计的两种方案，下列判断正确的是（ ）
A．甲、乙均对B．甲对、乙不对C．甲不对，乙对D．甲、乙均不对
【变式9-1】（2025·辽宁盘锦·校联考二模）意大利著名画家达·芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设图1中空白部分的面积为S1，图2中空白部分的面积为S2，则下列对S1，S2所列等式不正确的是（ ）
A．S1=a2+b2+2abB．S2=c2+abC．S1=S2D．a2+b2=c2
【变式9-2】（2025·四川攀枝花·校联考二模）将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示式证明勾股定理．

【变式9-3】（2025·江苏盐城·校考三模）2000多年来，人们对勾股定理的证明频感兴趣，不但因为这个定理重要、基本还因为这个定理贴近人们的生活实际所以很多人都探讨、研究它的证明，新的证法不断出现，如图2是将图1中的直角三角形通过旋转、平移得到的正方形ABCD．
(1)请你利用图2证明勾股定理；
(2)如图3，以MN为直径画圆O，延长CF交DM于点E，判断直线CE与⊙O的位置关系，并说明理由；
(3)若b=3a，则图3中阴影部分的面积为____________（用含a的式子表示）
【题型10 以弦图为背景的计算】
【例10】（2025·江苏徐州·校考模拟预测）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．连接AC，若AH平分∠CAD，且正方形EFGH的面积为3，则正方形ABCD的面积为（ ）
A．6+32B．4+22C．6+23D．15
【变式10-1】（2025·陕西西安·西安市第六中学校考模拟预测）国际数学大会是全世界数学家的大聚会．如图是某次大会的会徽，选定的是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，充分肯定了我国在数学方面的成就，也弘扬了我国古代的数学文化．如图，弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形中较小的锐角为θ，那么csθ的值等于 ．

【变式10-2】（2025·浙江杭州·统考中考真题）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（△DAE,△ABF,△BCG,△CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF>∠BAF，连接BE．设∠BAF=α,∠BEF=β，若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1:n,tanα=tan2β，则n=（ ）

A．5B．4C．3D．2
【变式10-3】（2025·河南周口·校联考三模）任意一张正方形先对折再翻折然后加上废旧的草杆就能做成一个简易的纸风车，迎着风就会哗啦啦转动起来，小小的纸风车带来童年满满的回忆．如图是彤彤折叠的一个纸风车，风车由四个全等的直角三角形组成，其中∠DOG 为90°．延长直角三角形的斜边，恰好交于四个直角三角形的斜边中点，若IJ=2，那么这个风车的面积为（ ）

A．22B．42C．4−2D．2+1
【题型11 利用勾股定理构造图形解决问题】
【例11】（2025·河北保定·统考模拟预测）平面内，将长分别为2，4，3的三根木棒按如图方式连接成折线A−B−C−D，其中AB可以绕点B任意旋转，保持∠C=90°，将A，D两点用绷直的皮筋连接，设皮筋长度为d，则d不可能是（ ）

A．3B．5C．7D．8
【变式11-1】（2025·吉林·模拟预测）如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（ ）
A．15 dmB．17 dmC．20 dmD．25 dm
【变式11-2】（2025·江苏南京·统考一模）如图，用7个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点M到点N的所有路径中，最短路径的长是（ ）
A．5B．5+22C．25+1D．2+2+5
【变式11-3】（2025·北京海淀·中关村中学校考模拟预测）已知a，b均为正数，且a2+b2，a2+4b2，4a2+b2是一个三角形的三边的长，则这个三角形的面积是（ ）
A．32abB．abC．12abD．2ab
【题型12 利用勾股定理解决实际问题】
【例12】（2025·湖北十堰·统考一模）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有（ ）

A．5cmB．7cmC．8cmD．11cm
【变式12-1】（2025·浙江衢州·三模）某工程队负责挖掘一处通山隧道，为了保证山脚A，B两处出口能够直通，工程队在工程图上留下了一些测量数据（此为山体俯视图，图中测量线拐点处均为直角，数据单位：米）．据此可以求得该隧道预计全长 米．
【变式12-2】（2025·山东泰安·统考三模）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行302km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为 km．（结果保留根号）

【变式12-3】（2025·江西吉安·校考模拟预测）我校的八（1）班教室A位于工地B处的正西方向，且AB=160米，一辆大型货车从B处出发，以10米/秒的速度沿北偏西60度的方向行驶，如果大型货车的噪声污染半径为100米：
(1)教室A是否在大型货车的噪声污染范围内？请说明理由．
(2)若在，请求出教室A受污染的时间是多少？
【题型13 在网格中判定直角三角形】
【例13】（2025·吉林白山·校联考二模）图①、图②均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，所画图形的顶点均在格点上．

(1)在图①中，画等腰直角三角形ABD，使其面积为5；
(2)在图②中，画平行四边形ABEF，使其面积为9．
【变式13-1】（2025·陕西商洛·校考三模）如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tanA的值为（ ）

A．13B．12C．55D．33
【变式13-2】（2025·河北张家口·统考三模）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，A、B、C、D四点均在正方形网格的格点上，线段AB、CD相交于点E．

（1）AB与AC是否垂直？ （填“是”或“否”）；
（2）AE= ．
【变式13-3】（2025·广东·统考中考真题）综合与实践
主题：制作无盖正方体形纸盒
素材：一张正方形纸板．
步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；
步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒．
猜想与证明：

(1)直接写出纸板上∠ABC与纸盒上∠A1B1C1的大小关系；
(2)证明（1）中你发现的结论．
【题型14 利用勾股定理逆定理求解】
【例14】（2025·山东日照·校考二模）如图，在▱ABCD中，以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交AB，BC于点F，G，再分别以点F，G为圆心，大于12FG长为半径作弧，两弧交于点H，作射线BH交AD于点E，连接CE，若AE=5，DE=3，CE=4，则BE的长为（ ）

A．85B．45C．241D．402
【变式14-1】（2025·山东聊城·统考三模）已知△ABC的三边分别为a、b、c，且a−5+b−122+c−13=0，则△ABC的面积为（ ）
A．30B．60C．65D．无法计算
【变式14-2】（2025·四川自贡·统考一模）如图，点P是等边△ABC内的一点，PA＝6，PB＝8，PC＝10，若点P′是△ABC外的一点，且△P′AB≌△PAC，则∠APB的度数为 ．
【变式14-3】（2025·四川遂宁·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=10，BC=6，AC=8，点P为线段AB上的动点，以每秒1个单位长度的速度从点A向点B移动，到达点B时停止．过点P作PM⊥AC于点M、作PN⊥BC于点N，连接MN，线段MN的长度y与点P的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点E的坐标为（ ）

A．5，5B．6,245C．325,245D．325,5
【题型15 图形上与已知两点构成直角三角形的点】
【例15】（2025·福建·校联考一模）点 A（2，m），B（2，m-5）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．若△ABO是直角三角形，则m的值不可能是（ ）
A．4B．2C．1D．0
【变式15-1】（2025·辽宁沈阳·校联考一模）在平面直角坐标系中，已知点A−6,0，B2,0，若点C在一次函数y=−12x+2的图象上，且△ABC为直角三角形，则满足条件的C点的个数有 个．
【变式15-2】（2025·浙江温州·校考二模）在直角坐标系中，我们把横纵坐标都为整数的点叫作整点，顶点都是整点的三角形称为整点三角形．如图，已知整点A0,1，B4,0，请在所在的网格区域（含边界）画出符合要求的整点三角形．
(1)在图1中画一个Rt△ABC．
(2)在图2中画一个△ABQ，使点Q的横纵坐标相等，且△ABQ的面积等于3．
【变式15-3】（2025·河北石家庄·校联考一模）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(6,0)，点B坐标为(2,−2)，直线AB与y轴交于点C．
(1)求直线AB的函数表达式及线段AC的长；
(2)点B关于y轴的对称点为点D．
①请直接写出点D的坐标为______；
②在直线BD上找点E，使△ACE是直角三角形，请直接写出点E的横坐标为______．
【题型16 用勾股定理解决实际生活问题】
【例16】（2025·广西·校联考三模）已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距 ．
【变式16-1】（2025·北京·北京四中校考模拟预测）一块木板如图所示，已知AB=4，BC=3，DC=12，AD=13，∠B=90°，求此木板的面积 ．
【变式16-2】（2025·浙江温州·校考二模）如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距500米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为300米，与B地的距离为400米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C周围半径260米范围内不得进入．
(1)山地C距离公路的垂直距离为多少米？
(2)在进行爆破时， A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁？若需要封锁，请求出需要封锁的公路长．
【变式16-3】（2025·河南周口·周口市第一初级中学校考模拟预测）A、B、C、D四个小城镇，它们之间（除B、C外）都有笔直的公路相连接（如图），公共汽车行驶于城镇之间，其票价与路程成正比．已知各城镇间的公共汽车票价如下：A﹣B：10元，A﹣C：12.5元，A﹣D：8元，B﹣D：6元，C﹣D：4.5元，为了B、C之间交通方便，在B、C之间建成笔直的公路，请按上述标准计算出B、C之间公共汽车的票价为 元．
专题22 直角三角形【十六大题型】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc29596" 【题型1 由直角三角形的性质求解】 PAGEREF _Tc29596 \h 1
\l "_Tc4098" 【题型2 根据已知条件判定直角三角形】 PAGEREF _Tc4098 \h 7
\l "_Tc6925" 【题型3 利用勾股定理求解】 PAGEREF _Tc6925 \h 13
\l "_Tc20773" 【题型4 判断勾股数问题】 PAGEREF _Tc20773 \h 16
\l "_Tc358" 【题型5 勾股定理与网格问题】 PAGEREF _Tc358 \h 19
\l "_Tc12413" 【题型6 利用勾股定理解决折叠问题】 PAGEREF _Tc12413 \h 26
\l "_Tc32086" 【题型7 勾股定理与无理数】 PAGEREF _Tc32086 \h 33
\l "_Tc31579" 【题型8 利用勾股定理证明线段的平方关系】 PAGEREF _Tc31579 \h 36
\l "_Tc15051" 【题型9 勾股定理的证明方法】 PAGEREF _Tc15051 \h 43
\l "_Tc23148" 【题型10 以弦图为背景的计算】 PAGEREF _Tc23148 \h 48
\l "_Tc618" 【题型11 利用勾股定理构造图形解决问题】 PAGEREF _Tc618 \h 53
\l "_Tc21444" 【题型12 利用勾股定理解决实际问题】 PAGEREF _Tc21444 \h 56
\l "_Tc10729" 【题型13 在网格中判定直角三角形】 PAGEREF _Tc10729 \h 61
\l "_Tc5707" 【题型14 利用勾股定理逆定理求解】 PAGEREF _Tc5707 \h 66
\l "_Tc23646" 【题型15 图形上与已知两点构成直角三角形的点】 PAGEREF _Tc23646 \h 70
\l "_Tc8553" 【题型16 用勾股定理解决实际生活问题】 PAGEREF _Tc8553 \h 75
【知识点 直角三角形】
①在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
②在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
③勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a.b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。
④勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a.b.c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
【题型1 由直角三角形的性质求解】
【例1】（2025·内蒙古包头·包头市第三十五中学校考三模）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边CD,BC上，且DE=CF，连接AE,DF,DG平分∠ADF交AB于点G，若∠AED=70°，则∠AGD的度数为 ．

【答案】55°/55度
【分析】根据正方形的性质可得AD=DC，∠ADE=∠C=∠DAG=90°，AD∥BC，从而证明△ADE≅△DCFSAS，得∠AED=∠DFC=∠ADF=70°，再由角平分线的定义可得∠ADG=12∠ADF=35°，再根据直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADE=∠C=∠DAG=90°，AD∥BC，
∴∠ADF=∠DFC，
在△ADE和△DCF中，
AD=DC∠ADE=∠CDE=CF，
∴△ADE≅△DCFSAS，
∴∠AED=∠DFC=∠ADF=70°，
∵DG平分∠ADF，
∴∠ADG=12∠ADF=35°，
∴∠AGD=90°−∠ADG=55°，
故答案为：55°．
【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定证明△ADE≅△DCF是解题的关键．
【变式1-1】（2025·北京平谷·统考一模）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则下列结论不一定成立的是（ ）

A．∠1+∠2=90°B．∠1=30°C．∠1=∠4D．∠2=∠3
【答案】B
【分析】借助直角三角形两锐角互余，依次判断即可．
【详解】解：Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，
∴∠1+∠2=90°，故A正确；
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠3+∠4=90°
∴∠1=∠4，故C正确；
∵∠CDB=90°，
∴∠2+∠4=90°，
∵∠3+∠4=90°
∴∠2=∠3，故D正确；
∵∠1不一定是30°，故B符合题意
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，根据直角三角形两锐角互余这一性质来解题是关键．
【变式1-2】（2025·江苏镇江·统考二模）如图，分别以△ABC的边AC和AB向外作等腰Rt△ACE和等腰Rt△ABD，点M、N分别是BC、CE中点，若MN=23，则四边形BCED的面积为 ．

【答案】24
【分析】连接BE，CD交于点H，根据三角形中位线定理可得BE=2MN=43，然后证明△BAE≌△DAC(SAS)，可得BE⊥CD，再利用对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半即可解决问题．
【详解】解：如图，连接BE，CD交于点H，BE交AD于G，

∵点M、N分别是BC、CE中点，MN=23，
∴BE=2MN=43，
在等腰Rt△ACE和等腰Rt△ABD，AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE，
∴∠BAE=∠DAC，
在△BAE和△DAC中，
AB=AD∠BAE=∠DACAE=AC，
∴△BAE≌△DAC(SAS)，
∴BE=DC，∠ABE=∠ADC，
∵∠ABE+∠BGA=90°，
∴∠ADC+∠BGA=90°，
∵∠BGA=∠DGH，
∴∠ADC+∠DGH=90°，
∴∠DHG=90°，
∴BE⊥CD，
∵BE=DC=43，
∴四边形BCED的面积=12×BE⋅CD=12×4 3×43=24．
故答案为：24．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，对角线互相垂直的四边形面积，三角形中位线定理，解决本题的关键是得到△BAE≌△DAC．
【变式1-3】（2025·河南信阳·二模）【阅读理解】如图1，小明把一副三角板直角顶点O重叠在一起．如图2固定三角板AOB，将三角板COD绕点O以每秒15°的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒，当OD边与OB边重合时停止转动．

【解决问题】
(1)在旋转过程中，请填出∠AOC、∠BOD之间的数量关系______；
(2)当运动时间为9秒时，图中有角平分线吗？找出并说明理由；
(3)当∠AOC、∠AOB、∠BOC中一个角的度数是另一个角的两倍时，则称射线OC是∠AOB的“优线”，请直接写出所有满足条件的t值．
【答案】(1)∠AOC+∠BOD=180°
(2)有，OD平分∠AOB，OB平分∠COD，理由见解析
(3)t=2，3，4，9，12
【分析】（1）由题意，根据题目分析，然后画出图形可得结论；
（2）依据题意，画出图形，然后分别计算出角的度数可得解；
（3）依据题意，将所有可能情形梳理并分类讨论可得t的值．
【详解】（1）解：①如图，∠AOC+∠BOD=180°，理由如下：
由题意得，∠DOA=90°−∠AOC，∠COB=90°−∠AOC．
∴∠AOC+∠BOD=∠AOC+∠DOA+∠AOC+∠COB
=∠AOC+90°−∠AOC+∠AOC+90°−∠AOC
=180°，

②如图，∠AOC+∠BOD=180°，理由如下：
由题意得，∠DOA=90°−∠DOB，∠COB=90°−∠DOB．
∴∠AOC+∠BOD=∠DOA+∠DOB+∠COB+∠BOD
=90°−∠DOB+∠DOB+90°−∠DOB+∠BOD
=180°，

综上，∠AOC+∠BOD=180°．
故答案为：∠AOC+∠BOD=180°；
（2）解：有，OD平分∠AOB，OB平分∠COD．
如图所示，理由如下：
当运动时间为9秒时，∠AOC=15°×9=135°，
∴∠BOC=∠AOC−∠AOB=135°−90°=45°．
∵∠COD=90°，
∴∠BOD=∠COD−∠BOC=90°−45°=45°，
∴∠BOC=∠BOD=45°，
∴OB平分∠COD，
∵∠BOD=45°=12∠AOB，
∴OD平分∠AOB；

（3）解：由题意得，∠AOB=90°，∠AOC=(15t)°．
当∠BOC=2∠AOC时，∠AOC=30°，
∴15t=30，解得t=2；
当∠AOB=2∠AOC，OC在∠AOB内部时，∠AOC=45°，
∴15t=45，解得t=3；
当∠AOC=2∠BOC时，∠AOC=60°，
∴15t=60，解得t=4；
当∠AOB=2∠BOC时，∠AOC=135°，
∴15t=135，解得t=9；
当∠AOC=2∠AOB时，∠AOC=180°，
∴15t=180，解得t=12；
综上，t=2，3，4，9，12．
【点睛】本题主要考查角的计算，解题时需要全面考虑分析所有可能，学会分类讨论是解题的关键．
【题型2 根据已知条件判定直角三角形】
【例2】（2025·福建漳州·统考一模）在下列条件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A:∠B:∠C=1:5:6，③∠A=90°−∠B，④∠A=∠B=∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据三角形内角和定理，能证明有一个角是90度即可确定△ABC是直角三角形．
【详解】解：由三角形内角和定理得∠A+∠B+∠C=180°，
①当∠A+∠B=∠C时，2∠C=180°，∠C=90°，能确定△ABC是直角三角形；
②当∠A:∠B:∠C=1:5:6时，∠C=61+5+6×180°=90°，能确定△ABC是直角三角形；
③当∠A=90°−∠B时，∠A+∠B=∠C=90°，能确定△ABC是直角三角形；
④当∠A=∠B=∠C时，∠A+∠B=∠C=60°，不能确定△ABC是直角三角形；
综上可知，能确定△ABC是直角三角形的条件有3个，
故选C．
【点睛】本题考查直角三角形的判定，解题的关键是熟练运用三角形内角和定理．
【变式2-1】（2025·陕西西安·一模）如图，已知锐角三角形ABC，用尺规作图法在BC上作一点P，使得∠B+∠PAB=90°．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】过点A作AP⊥BC于点P，点P即为所求．
【详解】解：如图，点P即为所求．
理由：∵AP⊥BC，
∴∠APB=90°，
∴∠B+∠PAB=90°．
【点睛】本题考查作图−复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【变式2-2】（2025·湖北武汉·校考模拟预测）如图，⊙O经过△ABC的顶点A，C及AB的中点D，且D是AC的中点．

(1)求证：△ABC是直角三角形；
(2)若⊙O的半径为1，求AB2:BC的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)4
【分析】（1）连接CD，根据D是AC的中点，可得DA=DC，所以∠DAC=∠DCA，再根据点D是AB的中点，可推得DC=DB，所以∠B=∠DCB，然后利用三角形内角和定理即可解决问题；
（2）连接DO并延长交⊙O于点E，连接AE，证明△ADE∽△CBA，可得ADCB=DEBA，代入值即可解决问题．
【详解】（1）证明：如图，连接CD，
∵D是AC的中点，
∴DA=DC，
∴∠DAC=∠DCA，
∵点D是AB的中点，
∴DA=DB，
∴DC=DB，
∴∠B=∠DCB，
∵∠BAC+∠B+∠ACB=180°，
∴∠BAC+∠B+∠DCA+∠DCB=180°，
∴2∠BAC+2∠B=180°，
∴∠BAC+∠B=90°，
∴△ABC是直角三角形；

（2）解：如图，连接DO并延长交⊙O于点E，连接AE，
∴DE是⊙O的直径，
∴∠DAE=90°，
∵D是AC的中点，
∴AD=CD，
∴∠DEA=∠BAC，
∵∠DAE=∠BCA=90°，
∴△ADE∽△CBA，
∴ADCB=DEBA，
∵⊙O的半径为1，点D是AB的中点，
∴DE=2，AD=12AB，
∴12ABBC=2AB，
∴12AB2=2BC，
∴AB2=4BC，
∴AB2:BC=4．

【点睛】本题考查圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，三角形相似的判定和性质，直角三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
【变式2-3】（2025·湖南邵阳·统考一模）如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A1，1，且与直线y=x−2交于B，C两点．
(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；
(2)求证：△ABC是直角三角形；
(3)若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=−x2+2x；C−1，−3
(2)见解析
(3)存在，N点，其坐标为53，0或73,0或−1，0或5，0
【分析】（1）可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解析式，可求得C点坐标；
（2）分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于D、E两点，得出△BEC和△ADB为等腰直角三角形,进而可得出∠ABC=90°,即可得到答案；
（3）设出N点坐标，可表示出M点坐标，从而可表示出MN、ON的长度，当△MON和△ABC相似时，利用三角形相似的性质可得MNAB=ONBC或MNBC=ONAB，可求得N点的坐标．
【详解】（1）∵顶点A的坐标为(1,1)，
∴设抛物线的解析式为y=ax−12+1，
又∵抛物线过原点，
∴0=a0−12+1，
解得a=−1，
∴抛物线的解析式为y=−x−12+1，即y=−x2+2x，
联立抛物线和直线解析式可得y=−x2+2xy=x−2，
解得x=2y=0或x=−1y=−3，
∴B2,0，C−1,−3；
（2）如图，分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于D、E两点，
则AD=OD=BD=1，BE=OB+OE=2+1=3，EC=3，
∴△ADB和△BEC为等腰直角三角形，
∴∠ABO=∠CBO=45°，即∠ABC=90°，
∴△ABC是直角三角形；
（3）存在，点N的坐标为53,0或73,0或−1,0或(5,0)，理由如下：
假设存在满足条件的点N，
设Nx,0，则Mx,−x2+2x，
∴ON=x，MN=−x2+2x，
由（2）在Rt△ABD和Rt△CEB中，可分别求得AB=2，BC=32，
∵MN⊥x轴于点N，
∴∠ABC=∠MNO=90°，
∴当△MNO和△ABC相似时有MNAB=ONBC或MNBC=ONAB，
①当MNAB=ONBC时，则有−x2+2x2=x32，即x⋅−x+2=13x，
∵当x=0时，M、O、N不能构成三角形，
∴x≠0，
∴−x+2=13，即−x+2=±13，
解得x=53或x=73，此时N点坐标为53,0或73,0；
②当MNBC=ONAB时，则有−x2+2x32=x2，即x⋅−x+2=3x．
∴−x+2=3，
即−x+2=±3，解得x=−1或x=5，此时N点坐标为−1,0或(5,0)．
综上可知存在满足条件的N点，其坐标为53,0或73,0或−1,0或(5,0)．
【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、图象的交点问题、直角三角形的判定、勾股定理及逆定理、相似三角形的性质及分类讨论等．在（1）中注意顶点式的运用，在（3）中设出N、M的坐标，利用相似三角形的性质得到关于坐标的方程是解题的关键，注意相似三角形点的对应．本题考查知识点较多，综合性较强，难度稍大．
【题型3 利用勾股定理求解】
【例3】（2025·广东·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，O是矩形的对称中心，点E、F分别在边AD、BC上，连接OE、OF，若AE=BF=2，则OE+OF的值为（ ）
A．22B．52C．5D．25
【答案】D
【分析】连接AC，BD，过点O作OM⊥AD于点M，交BC于点N，利用勾股定理求得OE的长即可解题．
【详解】解：如图，连接AC，BD，过点O作OM⊥AD于点M，交BC于点N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OD=OB
∵OM⊥AD
∴AM=DM=3
∴OM=12AB=2
∵AE=2
∴EM=AM−AE=1
∴OE=EM2+OM2=12+22=5
同理可得OF=5
∴OE+OF=25
故选：D．
【点睛】本题考查中心对称、矩形的性质、勾股定理等知识，学会添加辅助线，构造直角三角形是解题关键．
【变式3-1】（2025·河北保定·统考二模）在平面直角坐标系中，点A1,2,B−3,b，当线段AB最短时，b的值为（ ）
A．2B．3C．4D．0
【答案】A
【分析】根据两点之间的距离公式即可求得b的值．
【详解】解：根据两点之间的距离公式得：
AB=(−3−1)2+(b−2)2=16+(b−2)2，
当b=2时，AB有最小值，最小值为4．
因此当b=2时，AB最短，
故选A．
【点睛】本题考查平面直角坐标系中动点问题、二次函数的最值，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键．
【变式3-2】（2025上·辽宁沈阳·八年级校联考阶段练习）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O．若AC⊥BD，AB=4，CD=5，则BC2+AD2= ．

【答案】21
【分析】根据勾股定理即可解答．
【详解】解：∵AC⊥BD，AB=4，CD=5，
∴在Rt△AOB中，OA2+OB2=AB2=42=16，
∴在Rt△COD中，OC2+OD2=CD2=52=5，
又∵在Rt△AOD中，OA2+OD2=AD2，
在Rt△BOC中，OB2+OC2=BC2，
∴BC2+AD2
=OB2+OC2+OA2+OD2
=OB2+OA2+OC2+OD2
=AB2+CD2
=16+5
=21．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，灵活应用勾股定理是解题关键．
【变式3-3】（2025·河南濮阳·统考三模）如图，在△ABD中，∠BAD=90°，AB=2，AD=23，将AB绕点A逆时针旋转α度(00，m，n是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（ ）
A．3，4，5B．5，12，13C．6，8，10D．7，24，25
【答案】C
【分析】首先证明出a2+b2=c2，得到a，b是直角三角形的直角边然后由m>n>0，m，n是互质的奇数逐项求解即可．
【详解】∵a=12m2−n2,b=mn,c=12m2+n2，
∴a2+b2=12m2−n22+(mn)2=14m2−n22+m2n2=14m4+12m2n2+14n4．
∵c2=12m2+n22=14m2+n22=14m4+12m2n2+14n4，
∴a2+b2=c2．
∴a，b是直角三角形的直角边，
∵m，n是互质的奇数，
∴A．3=1×3，
∴当m=3，n=1时，a=12m2−n2=4，b=mn=3，c=12m2+n2=5，
∴3，4，5能由该勾股数计算公式直接得出；
B．5=1×5，
∴当m=5，n=1时，a=12m2−n2=12，b=mn=5，c=12m2+n2=13，
∴5，12，13能由该勾股数计算公式直接得出；
C．6=2×3，8=2×4，
∵m，n是互质的奇数，
∴6，8，10不能由该勾股数计算公式直接得出；
D．7=1×7，
∴当m=7，n=1时，a=12m2−n2=24，b=mn=7，c=12m2+n2=25，
∴7，24，25能由该勾股数计算公式直接得出．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股数的应用，通过m>n>0，m，n是互质的奇数这两个条件去求得符合题意的t的值是解决本题的关键．
【题型5 勾股定理与网格问题】
【例5】（2025·广东·统考中考真题）综合与实践
主题：制作无盖正方体形纸盒
素材：一张正方形纸板．
步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；
步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒．
猜想与证明：

(1)直接写出纸板上∠ABC与纸盒上∠A1B1C1的大小关系；
(2)证明（1）中你发现的结论．
【答案】(1)∠ABC=∠A1B1C1
(2)证明见解析.
【分析】（1）△ABC和ΔA1B1C1均是等腰直角三角形，∠ABC=∠A1B1C1=45°；
（2）证明△ABC是等腰直角三角形即可.
【详解】（1）解：∠ABC=∠A1B1C1
（2）证明：连接AC，

设小正方形边长为1，则AC=BC=12+22=5，AB=12+32=10，
∵AC2+BC2=5+5=AB2，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∵A1C1=B1C1=1，A1C1⊥B1C1，
∴△A1B1C1为等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠A1B1C1=45°，
故∠ABC=∠A1B1C1
【点睛】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用和等腰三角形的性质，熟练掌握其性质是解答此题的关键．
【变式5-1】（2025·浙江温州·统考中考真题）如图，在2×4的方格纸ABCD中，每个小方格的边长为1．已知格点P，请按要求画格点三角形（顶点均在格点上）．

(1)在图中画一个等腰三角形PEF，使底边长为2，点E在BC上，点F在AD上，再画出该三角形绕矩形ABCD的中心旋转180°后的图形．
(2)在图中画一个Rt△PQR，使∠P=45°，点Q在BC上，点R在AD上，再画出该三角形向右平移1个单位后的图形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）底边长为2即底边为小方格的对角线，根据要求画出底边，再在其底边的垂直平分线找到在格点上的顶点即可得到等腰△PEF，然后根据中心旋转性质作出绕矩形ABCD的中心旋转180°后的图形．
（2）根据网格特点，按要求构造等腰直角三角形，然后按平移的规律作出平移后图形即可．
【详解】（1）（1）画法不唯一，如图1（ PF=2，PE=EF=5），或图2（PE=2 PF=EF=5）．

（2）画法不唯一，如图3或图4．

【点睛】本题主要考查了格点作图，解题关键是掌握网格的特点，灵活画出相等的线段和互相垂直或平行的线段．
【变式5-2】（2025·安徽·统考中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A,B,C,D均为格点（网格线的交点）．

(1)画出线段AB关于直线CD对称的线段A1B1；
(2)将线段AB向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段A2B2，画出线段A2B2；
(3)描出线段AB上的点M及直线CD上的点N，使得直线MN垂直平分AB．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据轴对称的性质找到A,B关于直线CD的对称点，A1,B1，连接A1,B1，则线段A1B1即为所求；
（2）根据平移的性质得到线段A2B2即为所求；
（3）勾股定理求得AM=BM=12+32=10，MN=12+32=10，则AM=MN证明△NPM≌△MQA得出∠NMP+∠AMQ=90°，则AM⊥MN，则点M,N即为所求．
【详解】（1）解：如图所示，线段A1B1即为所求；

（2）解：如图所示，线段A2B2即为所求；

（3）解：如图所示，点M,N即为所求

如图所示，

∵AM=BM=12+32=10，MN=12+32=10，
∴AM=MN，
又NP=MQ=1,MP=AQ=3，
∴△NPM≌△MQA，
∴∠NMP=∠MAQ，
又∠MAQ+∠AMQ=90°，
∴∠NMP+∠AMQ=90°
∴AM⊥MN，
∴MN垂直平分AB．
【点睛】本题考查了轴对称作图，平移作图，勾股定理与网格问题，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【变式5-3】（2025·吉林长春·统考中考真题）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作△ABC，点C在格点上．

(1)在图①中，△ABC的面积为92；
(2)在图②中，△ABC的面积为5
(3)在图③中，△ABC是面积为52的钝角三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）以AB=3为底，设AB边上的高为ℎ，依题意得S△ABC=12AB·ℎ=92，解得ℎ=3，即点C在AB上方且到AB距离为3个单位的线段上的格点即可；
（2）由网格可知，AB=32+12=10，以AB=10为底，设AB边上的高为ℎ，依题意得S△ABC=12AB·ℎ=5，解得ℎ=10，将AB绕A或B旋转90°，过线段的另一个端点作AB的平行线，与网格格点的交点即为点C；
（3）作BD=AB=5，过点D作CD∥AB，交于格点C，连接A、B、C即可．
【详解】（1）解：如图所示，
以AB=3为底，设AB边上的高为ℎ，
依题意得：S△ABC=12AB·ℎ=92
解得：ℎ=3
即点C在AB上方且到AB距离为3个单位的线段上的格点即可，
答案不唯一；
（2）由网格可知，
AB=32+12=10
以AB=10为底，设AB边上的高为ℎ，
依题意得：S△ABC=12AB·ℎ=5
解得：ℎ=10
将AB绕A或B旋转90°，过线段的另一个端点作AB的平行线，与网格格点的交点即为点C，
答案不唯一，
（3）如图所示，
作BD=AB=5，过点D作CD∥AB，交于格点C，

由网格可知，
BD=AB=22+12=5，AD=10，
∴△ABD是直角三角形，且AB⊥BD
∵CD∥AB
∴S△ABC=12AB·BD=52．
【点睛】本题考查了网格作图，勾股定理求线段长度，与三角形的高的有关计算；解题的关键是熟练利用网格作平行线或垂直．
【题型6 利用勾股定理解决折叠问题】
【例6】（2025·黑龙江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标中，矩形ABCD的边AD=5,OA:OD=1:4，将矩形ABCD沿直线OE折叠到如图所示的位置，线段OD1恰好经过点B，点C落在y轴的点C1位置，点E的坐标是（ ）

A．1,2B．−1,2C．5−1,2D．1−5,2
【答案】D
【分析】首先证明△AOB∼△D1C1O，求出AB=CD=2，连结OC，设BC与OC1交于点F，然后求出OC=OC1=25，可得C1F=25−2，再用含EF的式子表示出EC1，最后在Rt△EFC1中，利用勾股定理构建方程求出EF即可解决问题．
【详解】解：∵矩形ABCD的边AD=5，OA:OD=1:4，
∴OA=1，OD=4，BC=5，
由题意知AB∥OC1，
∴∠ABO=∠D1OC1，
又∵∠BAO=∠OD1C1=90°，
∴△AOB∼△D1C1O，
∴OAAB=D1C1OD1，
由折叠知OD1=OD=4，D1C1=DC=AB，
∴1AB=AB4，
∴AB=2，即CD=2，
连接OC，设BC与OC1交于点F，
∴OC=OD2+CD2=42+22=25，
∵∠FOA=∠OAB=∠ABF=90°，
∴四边形OABF是矩形，
∴AB=OF=2，∠BFO=90°=∠EFC1，OA=BF=1，
∴CF=5−1=4，
由折叠知OC1=OC=25，EC1=EC=CF−EF=4−EF，
∴C1F=OC1−OF=25−2，
∵在Rt△EFC1中，EF2+C1F2=EC12，
∴EF2+25−22=4−EF2，
解得：EF=5−1，
∴点E的坐标是1−5,2，
故选：D．

【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质以及勾股定理的应用等知识，通过证明三角形相似，利用相似三角形的性质求出AB的长是解题的关键．
【变式6-1】（2025·江苏扬州·统考中考真题）如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E、F分别在边AD、BC上，将正方形沿着EF翻折，点B恰好落在CD边上的点B′处，如果四边形ABFE与四边形EFCD的面积比为3∶5，那么线段FC的长为 ．

【答案】38
【分析】连接BB′，过点F作FH⊥AD于点H，设CF=x，则DH=x，则BF=1−x，根据已知条件，分别表示出AE,EH,HD，证明△EHF≌△B′CB ASA，得出EH=B′C=54−2x，在Rt△B′FC中，B′F2=B′C2+CF2，勾股定理建立方程，解方程即可求解．
【详解】解：如图所示，连接BB′，过点F作FH⊥AD于点H，

∵正方形ABCD的边长为1，四边形ABFE与四边形EFCD的面积比为3∶5，
∴S四边形ABFE=38×1=38，
设CF=x，则DH=x，则BF=1−x
∴S四边形ABFE=12AE+BF×AB=38
即12AE+1−x×1=38
∴AE=x−14
∴DE=1−AE=54−x，
∴EH=ED−HD=54−x−x=54−2x，
∵折叠，
∴BB′⊥EF，
∴∠1+∠2=∠BGF=90°，
∵∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
又FH=BC=1,∠EHF=∠C
∴△EHF≌△B′CB ASA，
∴EH=B′C=54−2x
在Rt△B′FC中，B′F2=B′C2+CF2
即1−x2=x2+54−2x2
解得：x=38，
故答案为：38．
【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【变式6-2】（2025·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，四边形ABCD是矩形，AB=6，BC=6．点E为边BC的中点，点F为边AD上一点，将四边形ABEF沿EF折叠，点A的对应点为点A′，点B的对应点为点B′，过点B′作B′H⊥BC于点H，若B′H=22，则FD的长是 ．

【答案】3+3或3−3
【分析】分两种情况：当点F在点E左侧时，设B′E交AD于点G，过点E作EM⊥AD于点M，则四边形ABEM为矩形AB=ME=6，AM=BE=3，由折叠可知BE=B′E=3，∠BEF=∠B′EF，由平行线的性质可得∠GFE=∠BEF，于是∠GFE=∠B′EF，FG=EG，利用勾股定理求得EH=1，证明△EMG∽△B′HE，利用相似三角形的性质求得EG=332=FG，MG=32，于是FM=FG−MG=3，AF=3−3，则FD=AD−AF，代入计算即可得到答案；当点F在点E右侧时，设B′F交BC于点P，过点F作FK⊥BC于点K，同理可得B′E=3，FP=EP，四边形KCDF为矩形，FK=AB=6，利用相似三角形的性质求得FP=332=EP，PK=32，进而去除EK=EP−PK=332−32=3，则DF=CK=CE−EK，代入计算即可求解．
【详解】解：当点F在点E左侧时，如图，设B′E交AD于点G，过点E作EM⊥AD于点M，
则∠AME=90°，
∵点E为边BC的中点，
∴BE=CE=12BC=3，
∵四边形ABCD为矩形，BC=6，
∴AD=BC=6，∠A=∠B=90°，AD∥BC，
∴∠AME=∠A=∠B=90°，
∴四边形ABEM为矩形，
∴AB=ME=6，AM=BE=3，
由折叠可知，BE=B′E=3，∠BEF=∠B′EF，
∵AD∥BC，
∴∠GFE=∠BEF，
∴∠GFE=∠B′EF，即∠GFE=∠GEF，
∴FG=EG，
∵B′H⊥BC，
∴∠B′HE=90°，
在Rt△B′HE中，EH=B′E2−B′H2=32−(22)2=1，
∵ME⊥BC，B′H⊥BC，
∴∠EMG=∠B′HE=90°，
∵AD∥BC，
∴∠EGM=∠B′EH，
∴△EMG∽△B′HE，
∴ EMB′H=EGB′E=MGHE，即EG3=MG1=622=32，
∴EG=332=FG，MG=32，
∴FM=FG−MG=332−32=3，
∴AF=AM−FM=3−3，
∴FD=AD−AF=6−(3−3)=3+3；
当点F在点E右侧时，如图，设B′F交BC于点P，过点F作FK⊥BC于点K，
同理可得：B′E=3，FP=EP，四边形KCDF为矩形，FK=AB=6，△B′EH∽△FPK，
在Rt△B′HE中，EH=B′E2−B′H2=32−(22)2=1，
∵ △B′EH∽△FPK，
∴ B′EFP=B′HFK=EHPK，即3FP=226=1PK，
∴FP=332=EP，PK=32，
∴EK=EP−PK=332−32=3，
∴DF=CK=CE−EK=3−3．
综上，FD的长是3+3或3−3．
故答案为：3+3或3−3．
【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，灵活运用相关知识解决问题是解题关键．
【变式6-3】（2025·河南周口·统考二模）如图，在长方形ABCD中，AB=10，AD=12，P是射线AD上一点，将△ABP沿BP折叠得到△A′BP，若点A′恰好落在BC的垂直平分线l上，则线段AP的长为 ．

【答案】103或30
【分析】本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．设直线l交AD于R，交BC于T.分两种情形：如图1中，当点P在线段AR上时，设AP=PA′=x.如图2中，当点P在线段DR上时，设AP=PA′=y.分别利用勾股定理求解即可．
【详解】解：设直线l交AD于R，交BC于T．
如图1中，当点P在线段AR上时，设AP=PA′=x．

在Rt△BTA′中，∵∠BTA′=90°，BT=6，BA′=10，
∴A′T=A′B2−BT2=102−62=8，
∵AB=RT=10，
∴RA′=10−8=2，
在Rt△PRA′中，则有x2=(6−x)2+22，
解得x=103．
如图2中，当点P在线段DR上时，设AP=PA′=y．

在Rt△BTA′中，∵∠BTA′=90°，BT=6， BA′=10，
∴A′T=A′B2−BT2=102−62=8，
∵AB=RT=10，
∴RA′=10+8=18，
在Rt△PRA′中，则有y2=(y−6)2+182，
解得y=30，
综上所述，满足条件的AP的值为103或30．
故答案为：103或30．
【题型7 勾股定理与无理数】
【例7】（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，平面内某正方形内有一长为10宽为5的矩形，它可以在该正方形的内部及边界通过平移或旋转的方式，自由地从横放变换到竖放，则该正方形边长的最小整数n为（ ）

A．10B．11C．12D．13
【答案】C
【分析】先求出矩形对角线的长度，再估算取值范围即可得出答案．
【详解】矩形的对角线长：52+102=55，
∵矩形可以在该正方形的内部以及便捷通过平移或旋转的方式，自由地从横放变换成竖放，
∴该正方形的边长不小于55，
∵11