2026年中考数学考点一网尽-专题23图形的相似与位似【十四大题型训练】（学生版+名师详解版）

这是一份2026年中考数学考点一网尽-专题23图形的相似与位似【十四大题型训练】（学生版+名师详解版），共74页。
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\l "_Tc13958" 【题型1 利用比例的性质求值】 PAGEREF _Tc13958 \h 1
\l "_Tc5429" 【题型2 黄金分割】 PAGEREF _Tc5429 \h 3
\l "_Tc8290" 【题型3 由平行线分线段成比例判断式子正误】 PAGEREF _Tc8290 \h 4
\l "_Tc1564" 【题型4 平行线分线段成比例（A型）】 PAGEREF _Tc1564 \h 5
\l "_Tc2141" 【题型5 平行线分线段成比例（X型）】 PAGEREF _Tc2141 \h 7
\l "_Tc19392" 【题型6 平行线分线段成比例与三角形中位线综合】 PAGEREF _Tc19392 \h 8
\l "_Tc13783" 【题型7 平行线分线段成比例的常用辅助线之平行线】 PAGEREF _Tc13783 \h 9
\l "_Tc25277" 【题型8 平行线分线段成比例的常用辅助线之垂线】 PAGEREF _Tc25277 \h 10
\l "_Tc17078" 【题型9 相似多边形的性质】 PAGEREF _Tc17078 \h 11
\l "_Tc13882" 【题型10 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形】 PAGEREF _Tc13882 \h 13
\l "_Tc2834" 【题型11 求位似图形的坐标】 PAGEREF _Tc2834 \h 15
\l "_Tc336" 【题型12 求位似图形的线段长度】 PAGEREF _Tc336 \h 16
\l "_Tc30586" 【题型13 求位似图形的周长】 PAGEREF _Tc30586 \h 17
\l "_Tc9407" 【题型14 求位似图形的面积】 PAGEREF _Tc9407 \h 18
【知识点 图形的相似与位似】
1.比例线段的相关概念
如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别为m，n，那么就说这两条线段的比是，或写成a：b=m：n
在两条线段的比a：b中，a叫做比的前项，b叫做比的后项。
在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段
若四条a，b，c，d满足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项，线段的d叫做a，b，c的第四比例项。
如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a，c的比例中项。
2.比例的性质
（1）基本性质
①a：b=c：dad=bc
②a：b=b：c
（2）更比性质（交换比例的内项或外项）
（交换内项）
（交换外项）
（同时交换内项和外项）
（3）反比性质（交换比的前项.后项）：
（4）合比性质：
（5）等比性质：
3.黄金分割
把线段AB分成两条线段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=AB0.618AB
4.平行线分线段成比例定理
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
推论：
（1）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
5.相似多边形
定义1：形状相同的图形叫做相似图形。
定义2：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比。
性质相似多边形的对应角相等，对应边成比例。
【题型1 利用比例的性质求值】
【例1】（2025·浙江·统考中考真题）小慧同学在学习了九年级上册“4.1比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．图中横线处应填
【答案】2
【变式1-1】（2025·四川甘孜·统考中考真题）若xy=2，则x−yy= ．
【变式1-2】（2025·湖南岳阳·校考一模）已知x2=y3=z5，且3x+4z−2y=40，则x的值为 ．
【变式1-3】（2025·浙江·模拟预测）用“▲”，“●”，“◆”分别表示三种物体的重量，若▲●=●−◆▲=◆●+▲，则▲，●，◆这三种物体的重量比为（ ）
A．2:3:4B．2:4:3C．3:4:5D．3:5:4
【题型2 黄金分割】
【例2】（2025·广东云浮·统考一模）如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，以点B为圆心任意长为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点O，连接BO，并延长交AC于点D，若AB=2，则CD的长为（ ）
A．5−1B．3−5C．5+1D．3+5
【变式2-1】（2025·上海杨浦·统考一模）已知P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，那么下列等式能成立的是（ ）
A．ABAP=APBPB．ABBP=BPAP
C．APBP=5−12D．ABAP=5−12
【变式2-2】（2025·四川达州·统考中考真题）如图，乐器上的一根弦AB=80cm，两个端点A,B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，C,D之间的距离为 ．
【变式2-3】（2025·安徽·统考模拟预测）如图，AB为半圆O的直径，点O为圆心，点C是弧上的一点，沿CB为折痕折叠BC交AB于点M，连接CM，若点M为AB的黄金分割点（BM>AM），则sin∠BCM的值为（ ）

A．5−12B．5+12C．5−14D．12
【题型3 由平行线分线段成比例判断式子正误】
【例3】（2025·青海西宁·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线PQ交AB，AC于点D，E，连接CD．下列说法错误的是（ ）

A．直线PQ是AC的垂直平分线B．CD=12AB
C．DE=12BCD．S△ADE:S四边形DBCE=1:4
【变式3-1】（2025·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边的中点，连接DE，点F为BC边上一点，BF=2FC，连接AF交DE于点N，则下列结论中错误的是（ ）

A．ANAF=12B．DNDE=23C．ADAC=12D．NEFC=12
【变式3-2】（2025·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）如图，△ABC中，D是AB边上一点，DE∥BC交AC于点E，连接BE，DF∥BE交AC于点F，则下列结论错误的是（ ）.

A．ADBD=AEECB．AFAE=DFBEC．AEEC=AFFED．DEBC=AFFE
【变式3-3】（2025·黑龙江哈尔滨·哈尔滨德强学校校考模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、CD边上的点，连接BE、AF，它们相交于点G，延长BE交CD的延长线于点H，下列结论错误的是（ ）
A．AEED=BEEHB．EHEB=DHCDC．EGBG=AEBCD．AGFG=BGGH
【题型4 平行线分线段成比例（A型）】
【例4】（2025·湖北恩施·统考中考真题）如图，在△ABC中，DE∥BC分别交AC，AB于点D，E，EF∥AC交BC于点F，AEBE=25，BF=8，则DE的长为（ ）

A．165B．167C．2D．3
【变式4-1】（2025·辽宁沈阳·校考一模）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，连接DE，DE∥BC，AE=4，AD=3，CE=2，则BD的长为（ ）

A．1.5B．2C．3D．2
【变式4-2】（2025·湖北武汉·校联考模拟预测）如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角∠DPC=30°，已知窗户的高度AF=2m，窗外水平遮阳篷的宽AD=0.8m，则洒在地面上光线EP的宽度为 m（参考数据3=1.732，结果精确到0.1）．

【变式4-3】（2025·全国·一模）剪纸是中国的传统文化之一．如图1，将长为12cm，宽为5cm的矩形纸片剪成4张小纸片、分别记为“①，②，③，④”．若这四张小纸片恰好能拼成如图2所示的矩形，则在“小纸片①”中，较长直角边= cm．

【题型5 平行线分线段成比例（X型）】
【例5】（2025·广西贵港·统考一模）如图，F是矩形ABCD的边CD上一点，射线BF交AD的延长线于点E，已知DE=2BC=4，CD=6，求BP的长（ ）
A．22B．3C．13D．5
【变式5-1】（2025·北京·统考中考真题）如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD.若AO=2，OF=1，FD=2.则BEEC的值为 ．

【变式5-2】（2025·安徽滁州·统考二模）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC的反向延长线上，且DE∥BC．若AE=2,AC=4，AB=5，则AD的长为 ．
【变式5-3】（2025·重庆渝中·统考一模）已知▱ABCD，点E是BA延长线上一点，CE与AD，BD分别相交于点G，F．求证：CF2=EF⋅GF．

【题型6 平行线分线段成比例与三角形中位线综合】
【例6】（2025·安徽滁州·统考二模）如图，G为△ABC的重心，AG=12，则AD= ．
【变式6-1】（2025·湖南湘潭·模拟预测）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE∥AB交AD于点E．若OA=2，△AOE周长为10，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A．16B．32C．36D．40
【变式6-2】（2025·宁夏银川·校考一模）如图，在▱ ABCD中，AB=5，BC=8.E是边BC的中点，F是▱ ABCD内一点，且∠BFC=90°. 连接AF并延长，交CD于点G.若，则DG的长为（ ）
A．52B．32C．3D．2
【变式6-3】（2025·山东聊城·统考二模）如图，在正方形ABCD中，按如下步骤作图：①连接AC，BD相交于A点O；②分别以点B，C为圆心、大于12BC的长为半径画弧，两弧相交于点E；③连接OE交BC于点F；④连接AF交BO于点G．若AD=42，则OG的长度为（ ）

A．1B．2C．43D．2
【题型7 平行线分线段成比例的常用辅助线之平行线】
【例7】（2025·湖北武汉·校考模拟预测）△ABC中，∠BAC=90°，D、E分别是AB、AC上的点，CE=2，CA=5，AD=4，BD=52，则sin∠DOB的值是 ．

【变式7-1】（2025·广东深圳·统考模拟预测）如图，在△ABC中，D为BC边的中点，点E在线段AD上，BE的延长线交AC边于点F，若AE：ED＝1：3，AF＝2，则线段FC的长为 ．

【变式7-2】（2025·安徽宿州·校考一模）如图，在△ABC中，CG平分∠ACB，过点A作AH⊥CG交BC于点H，且H是BC的中点．若AH=4，CG=6，则AB的长为 ．

【变式7-3】（2025·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六十九中学校校考三模）如图，在△ABC中，AB=9，∠B=2∠C，AD⊥BC，AE是BC边上中线，则线段DE= ．

【题型8 平行线分线段成比例的常用辅助线之垂线】
【例8】（2025·浙江·一模）如图，菱形ABCD中，点E是CD的中点，EF垂直AB交AB延长线于点F，若BGCG=13，EF=25，则菱形ABCD的边长是（ ）

A．35B．1455C．5D．6
【变式8-1】（2025·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四十九中学校校考一模）在△ABC中，∠ABC=45°，AK⊥BC于点K，点M在AK上，CK=KM，tan∠KAC=34，N为BM的中点，G为AC的中点，若BC=14，则线段NG的长为 ．
【变式8-2】（2025·河南商丘·校考二模）如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AC=5，AB=12，将△ABC绕点C逆时针旋转α°0°CD，
∵AB=2，AB=AC，
∴AD=5−12AC=5−1，
∴CD=AC−AD=3−5．
故选：B．
【点睛】本题考查了黄金分割、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
【变式2-1】（2025·上海杨浦·统考一模）已知P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，那么下列等式能成立的是（ ）
A．ABAP=APBPB．ABBP=BPAP
C．APBP=5−12D．ABAP=5−12
【答案】A
【分析】本题考查黄金分割点，根据黄金分割点的定义得出线段比例关系，选出正确选项，解题的关键是掌握黄金分割点的性质．
【详解】解：如图，
∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，
∴APAB=PBAP=5−12，
故选：A．
【变式2-2】（2025·四川达州·统考中考真题）如图，乐器上的一根弦AB=80cm，两个端点A,B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，C,D之间的距离为 ．
【答案】(805−160)cm
【分析】黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比．其比值是一个无理数，用分数表示为5−12，由此即可求解．
【详解】解：弦AB=80cm，点C是靠近点B的黄金分割点，设BC=x，则AC=80−x，
∴80−x80=5−12，解方程得，x=120−405，
点D是靠近点A的黄金分割点，设AD=y，则BD=80−y，
∴80−y80=5−12，解方程得，y=120−405，
∴C,D之间的距离为80−x−y=80−120+405−120+405=805−160，
故答案为：(805−160)cm．
【点睛】本题主要考查线段成比例，掌握线段成比例，黄金分割点的定义是解题的关键．
【变式2-3】（2025·安徽·统考模拟预测）如图，AB为半圆O的直径，点O为圆心，点C是弧上的一点，沿CB为折痕折叠BC交AB于点M，连接CM，若点M为AB的黄金分割点（BM>AM），则sin∠BCM的值为（ ）

A．5−12B．5+12C．5−14D．12
【答案】A
【分析】过点M作MD⊥CB，垂足为D，延长MD交半⊙O于点M′，连接CM′，BM′，根据折叠的性质可得：∠CMB=∠CM′B，BC⊥MM′，从而可得∠BDM=90°，再根据黄金分割的定义可得BMAB=5−12，然后利用直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°，从而证明A字模型相似三角形△DBM∽△CBA，进而利用相似三角形的性质可得DMAC=BMAB=5−12，最后根据圆内接四边形对角互补以及平角定义定义可得：∠A=∠AMC，从而可得CA=CM，再在Rt△CDM中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
【详解】解：过点M作MD⊥CB，垂足为D，延长MD交半⊙O于点M′，连接CM′，BM′，

由折叠得：∠CMB=∠CM′B，BC⊥MM′，
∴∠BDM=90°，
∵点M为AB的黄金分割点（BM>AM），
∴BMAB=5−12，
∵AB为半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠MDB，
∵∠DBM=∠CBA，
∴△DBM∽△CBA，
∴DMAC=BMAB=5−12，
∵四边形ACM′B是半⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠CM′B＝180°，
∵∠AMC+∠CMB＝180°，∠CMB=∠CM′B，
∴∠A=∠AMC，
∴CA=CM，
在Rt△CDM中，sin∠BCM=DMCM=DMAC=5−12．
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，黄金分割，解直角三角形，翻折变换（折叠问题），圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【题型3 由平行线分线段成比例判断式子正误】
【例3】（2025·青海西宁·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线PQ交AB，AC于点D，E，连接CD．下列说法错误的是（ ）

A．直线PQ是AC的垂直平分线B．CD=12AB
C．DE=12BCD．S△ADE:S四边形DBCE=1:4
【答案】D
【分析】根据直线PQ是AC的垂直平分线、平行线分线段成比例、三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质等知识，分别进行判断即可．
【详解】解：A．由作图过程可知，直线PQ是AC的垂直平分线，故选项正确，不符合题意；
B．由作图过程可知，直线PQ是AC的垂直平分线，
∴点E是AC的中点，AD=CD，
在△ABC中，∠ACB=90°，
∴DE∥BC，
∴ADBD=AECE=1，
即点D是AB的中点，
∴CD=12AB，
故选项正确，不符合题意；
C．∵点D是AB的中点，点E是AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=12BC，
故选项正确，不符合题意；
D．∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=DEBC2=122=14，
∴S△ADE:S四边形DBCE=1:3，
故选项错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、垂直平分线的性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理是解题的关键．
【变式3-1】（2025·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边的中点，连接DE，点F为BC边上一点，BF=2FC，连接AF交DE于点N，则下列结论中错误的是（ ）

A．ANAF=12B．DNDE=23C．ADAC=12D．NEFC=12
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例定理，可推出AN=NF,根据中位线定理分析求解．
【详解】解：∵D、E分别为AB、AC边的中点，
∴DE∥BC.
∴ADDB=ANNF=1
∴ANAF=12,NE=12CF,DN=12BF .
∴NEFC=12.
∵BF=2FC，
∴DN=2NE.
∴DNDE=23.
所以，A,B,D正确，C错误；
故选：C
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，中位线定理；由平行线的位置关系得到线段间数量关系是解题的关键．
【变式3-2】（2025·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）如图，△ABC中，D是AB边上一点，DE∥BC交AC于点E，连接BE，DF∥BE交AC于点F，则下列结论错误的是（ ）.

A．ADBD=AEECB．AFAE=DFBEC．AEEC=AFFED．DEBC=AFFE
【答案】D
【分析】由平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质即可得出结论．
【详解】解：∵DE∥BC，DF∥BE，
∴ADBD=AEEC，△ADE∽△ABC，△ADF∽△ABE，AFFE=ADBD，
∴DEBC=ADAB，AFAE=DFBE=ADAB，
∴AEEC=AFFE，DEBC=AFAE，
∴选项A、B、C正确，选项D错误；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
【变式3-3】（2025·黑龙江哈尔滨·哈尔滨德强学校校考模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、CD边上的点，连接BE、AF，它们相交于点G，延长BE交CD的延长线于点H，下列结论错误的是（ ）
A．AEED=BEEHB．EHEB=DHCDC．EGBG=AEBCD．AGFG=BGGH
【答案】C
【分析】由平行四边形的性质得出AB∥CD，AD∥BC，证出△ABE∽△DHE，△ABG∽△FHG，EHEB=DHCD，得出对应边成比例AEED=BEEH，AGFG=BGGH，即可得出结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴△ABE∽△DHE，△ABG∽△FHG，EHEB=DHCD，
∴ AEED=BEEH，AGFG=BGGH，
∴选项A、B、D正确，C错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．
【题型4 平行线分线段成比例（A型）】
【例4】（2025·湖北恩施·统考中考真题）如图，在△ABC中，DE∥BC分别交AC，AB于点D，E，EF∥AC交BC于点F，AEBE=25，BF=8，则DE的长为（ ）

A．165B．167C．2D．3
【答案】A
【分析】先证得四边形DEFC是平行四边形，得到DE=FC，再利用平行线截线段成比例列式求出FC即可．
【详解】∵DE∥BC，EF∥AC，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴DE=FC，
∵EF∥AC，
∴FCBF=AEBE=25，
∵BF=8，
∴FC=165，
∴DE=165，
故选：A．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质，平行线截线段成比例，正确理解平行线截线段成比例是解题的关键．
【变式4-1】（2025·辽宁沈阳·校考一模）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，连接DE，DE∥BC，AE=4，AD=3，CE=2，则BD的长为（ ）

A．1.5B．2C．3D．2
【答案】A
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【详解】解：∵DE∥BC，
∴ADDB=AEEC，
∵AE=4，AD=3，CE=2，
∴3DB=42，
解得：BD=1.5，
故选：A．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
【变式4-2】（2025·湖北武汉·校联考模拟预测）如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角∠DPC=30°，已知窗户的高度AF=2m，窗外水平遮阳篷的宽AD=0.8m，则洒在地面上光线EP的宽度为 m（参考数据3=1.732，结果精确到0.1）．

【答案】2.7
【分析】设AC,DP交于点Q，解Rt△ADQ，求得AQ，然后求得QF，根据平行线分线段成比例，即可求解．
【详解】解：如图所示，

设AC,DP交于点Q，
依题意，AD∥PC
∴∠ADQ=∠DPC=30°
∴AQ=AD×tan∠ADQ=33AD=33×0.8(m)，
∴QF=AF−AQ=(2−0.8×33)m
∵DP∥EF
∴∠FEC=∠DPC=30°，
∴CFCE=tan∠CEF=33
∵DP∥EF
∴QFEP=FCEC=33
∴EP=3QF=23−0.8=2×1.732−0.8≈2.7(m)
故答案为：2.7．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
【变式4-3】（2025·全国·一模）剪纸是中国的传统文化之一．如图1，将长为12cm，宽为5cm的矩形纸片剪成4张小纸片、分别记为“①，②，③，④”．若这四张小纸片恰好能拼成如图2所示的矩形，则在“小纸片①”中，较长直角边= cm．

【答案】607/847
【分析】如图，设CD=xcm,DE=ycm，则BD=12−xcm，利用平行线分线段成比例得到y与x之间的关系，构建方程求解即可．
【详解】如图，设CD=xcm,DE=ycm则BD=12−xcm，
∵DE∥AB，
∴DEAB=CDCB，
∴y5=x12，
∴y=512x,
又∵x=y+5，
∴x=512x+5，
∴x=607，
∴较长直角边为607cm
故答案为：607．

【点睛】本题考查图形的拼剪，正方形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程组解决问题．
【题型5 平行线分线段成比例（X型）】
【例5】（2025·广西贵港·统考一模）如图，F是矩形ABCD的边CD上一点，射线BF交AD的延长线于点E，已知DE=2BC=4，CD=6，求BP的长（ ）
A．22B．3C．13D．5
【答案】A
【分析】根据平行线分线段成比例结合已知条件可知CP=2=BC，在根据勾股定理求出BC即可；
【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD//BC，
∴DPCP=DEBC
又∵DE=2BC=4；
∴DP=2PC；
又∵CD=6；
∴CP=2；
在Rt△BCP中，∠C=90°，由勾股定理得：
BP=BC2+CP2=22+22=22，
故选：A
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例及勾股定理，利用平行线分线段成比例求得CF=2是解题的关键．
【变式5-1】（2025·北京·统考中考真题）如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD.若AO=2，OF=1，FD=2.则BEEC的值为 ．

【答案】32
【分析】由平行线分线段成比例可得，BOOE=AOOF=21，OEEC=OFFD=12，得出BO=2OE，EC=2OE，从而BEEC=2OE+OE2OE=32.
【详解】∵AB∥EF∥CD， AO=2，OF=1，
∴BOOE=AOOF=21，
∴BO=2OE，
∵OEEC=OFFD=12，
∴EC=2OE，
∴BEEC=2OE+OE2OE=32；
故答案为：32.
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的知识点，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解决本题的关键.
【变式5-2】（2025·安徽滁州·统考二模）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC的反向延长线上，且DE∥BC．若AE=2,AC=4，AB=5，则AD的长为 ．
【答案】52/2.5
【分析】根据平行线分线段成比例定理列比例式ADAB=AEAC进行求解即可．
【详解】解：∵DE∥BC，
∴ADAB=AEAC，
∵AE=2,AC=4，AB=5，
∴AD5=24，
∴AD=52，
故答案为：52．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，会利用平行线分线段成比例定理正确列出比例式是解答的关键．
【变式5-3】（2025·重庆渝中·统考一模）已知▱ABCD，点E是BA延长线上一点，CE与AD，BD分别相交于点G，F．求证：CF2=EF⋅GF．

【答案】见解析
【分析】根据平行四边形的性质得AD∥BC，AB∥CD，再根据平行线分线段成比例定理得到CFEF=DFBF，DFBF=GFCF，等量代换得CFEF=GFCF，然后根据比例的性质即可得到结论．
【详解】∵▱ABCD，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴CFEF=DFBF，DFBF=GFCF，
∴CFEF=GFCF，
即CF2=EF⋅GF．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．也考查了平行四边形的性质．
【题型6 平行线分线段成比例与三角形中位线综合】
【例6】（2025·安徽滁州·统考二模）如图，G为△ABC的重心，AG=12，则AD= ．
【答案】18
【分析】连接CG并延长交AB于点E，连接DE，根据题意，可以得到DE时△ABC的中位线，从而可以得到DE∥AC且DE=12AC，然后即可得到△DEG∽△ACG，由相似三角形的性质得到DG和AG的比值，求出然后DG，即可得到结果．
【详解】解：如图，连接CG并延长交AB于点E，连接DE，
∵点G是△ABC的重心，
∴点E和点D分别是AB和BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC且DE=12AC，
∴△DEG∽△ACG，
∴DEAC=DGAG=12，
∵AG=12，
∴DG=6，
∴AD=AG+GD=18．
故答案为：18．
【点睛】本题考查三角形的重心、三角形的中位线、三角形相似，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【变式6-1】（2025·湖南湘潭·模拟预测）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE∥AB交AD于点E．若OA=2，△AOE周长为10，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A．16B．32C．36D．40
【答案】B
【分析】由平行四边形的性质得AB=CD，AD=BC，OB=OD，证OE是△ABD的中位线，则AB=2OE，AD=2AE，求出AE+OE=8，则AB+AD=2AE+2OE=16，即可得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，OD=OB，
∵OE∥AB，
∴DEAE=ODOB=1，
∴AE=DE，
∴OE是△ABD的中位线，
∴AB=2OE，AD=2AE，
∵△AOE的周长等于10，
∴OA+AE+OE=10，
∴AE+OE=10−OA=10−4=8，
∴AB+AD=2AE+2OE=16，
∴▱ABCD的周长=2×AB+AD=2×16=32；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例、三角形中位线定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线定理，求出AB+AD=16是解题的关键．
【变式6-2】（2025·宁夏银川·校考一模）如图，在▱ ABCD中，AB=5，BC=8.E是边BC的中点，F是▱ ABCD内一点，且∠BFC=90°. 连接AF并延长，交CD于点G.若，则DG的长为（ ）
A．52B．32C．3D．2
【答案】D
【分析】依据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到EF的长，再得到CG的长，进而得出DG的长．
【详解】解：∵E是边BC的中点，且∠BFC=90°，
∴Rt△BCF中，EF=12BC=4，
∵EF∥AB，AB∥CG，E是边BC的中点，
∴F是AG的中点，
可得EF=12AB+CG，
∴CG=2EF−AB=3，
又∵CD=AB=5，
∴DG=5−3=2，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、梯形的中位线定理、直角三角形斜边上中线的性质等知识，熟练掌握相关定理是解题的关键．
【变式6-3】（2025·山东聊城·统考二模）如图，在正方形ABCD中，按如下步骤作图：①连接AC，BD相交于A点O；②分别以点B，C为圆心、大于12BC的长为半径画弧，两弧相交于点E；③连接OE交BC于点F；④连接AF交BO于点G．若AD=42，则OG的长度为（ ）

A．1B．2C．43D．2
【答案】C
【分析】证明OF∥AB，OF=12AB，求出OB，然后根据三角形的中位线和平行线分线段成比例可得结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD=42，∠BAD=90°，OA=OC=OB=OD，
∴BD=AD2+AB2=(42)2+(42)2=8，
∴OB=OD=4，
由作图可知OE垂直平分线段BC，
∴BF=CF，又OC=OA，
∴OF∥AB，FO=12AB，
∴OGGB=OFAB=12，∴OG=13OB=43．
故选：C．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的判定与性质、正方形的性质，三角形中位线定理，平行线分线段成比例，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【题型7 平行线分线段成比例的常用辅助线之平行线】
【例7】（2025·湖北武汉·校考模拟预测）△ABC中，∠BAC=90°，D、E分别是AB、AC上的点，CE=2，CA=5，AD=4，BD=52，则sin∠DOB的值是 ．

【答案】55
【分析】过B作DC的平行线交AC的延长线于点M，过E作EN⊥BM，由平行线分线段成比例可得ADDB=ACCM，进而求得CM=258，由勾股定理可得BM=AB2+AM2=13418，再证△MNE∽△MAB，得MEMB=NEAB，求得NE=412，由勾股定理可得BE=AB2+AEB=2052，由sin∠DOB=sin∠EBN=ENBE即可求解．
【详解】解：过B作DC的平行线交AC的延长线于点M，过E作EN⊥BM，

∵DC∥BM，
∴ADDB=ACCM，∠DOB=∠EBN，
∵CE=2，CA=5，AD=4，BD=52，
∴AC=5，AB=132，
∴CM=AC⋅DBAD=5×524=258，
∴ME=418，
在Rt△ABM中，BM=AB2+AM2=1323+6582=13418，
∵∠EMN=∠BMA，∠ENM=∠BAM，
∴△MNE∽△MAB，
∴MEMB=NEAB，
∴NE=ME·ABMB=418×13213418=412，
在Rt△ABE中，BE=AB2+AEB=1322+32=2052，
∴sin∠DOB=sin∠EBN=ENBE=41220525=55，
故答案为：55．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，解直角三角形以及三角形相似，关键是构造直角三角形并能将更多的已知线段集中．
【变式7-1】（2025·广东深圳·统考模拟预测）如图，在△ABC中，D为BC边的中点，点E在线段AD上，BE的延长线交AC边于点F，若AE：ED＝1：3，AF＝2，则线段FC的长为 ．

【答案】12
【分析】过点D作DG∥BF于点G,由平行线分线段成比例定理得AEED=AFFG，求得FG=6，再结合中点进一步可得GF=GC=12FC，从而得到答案．
【详解】解：如图，过点D作DG∥BF于点G；
则AEED=AFFG；
而AEED=13，AF=2，
∴FG=6；
∵D为BC边的中点，
∴GF=GC=12FC，
∴CF=2FG=12，
故答案为：12．

【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，正确构造平行线是解决此题的关键．
【变式7-2】（2025·安徽宿州·校考一模）如图，在△ABC中，CG平分∠ACB，过点A作AH⊥CG交BC于点H，且H是BC的中点．若AH=4，CG=6，则AB的长为 ．

【答案】152
【分析】作HK∥CG交AB于点K，由平行线分线段成比例定理可证AG=KG=BG，根据勾股定理求出AK的长，进而可求出AB的长．
【详解】解：作HK∥CG交AB于点K，

∴ BKKG=BHCH，AGKG=ANNH．
∵H是BC的中点，
∴BH=CH，
∴BK=KG，
∴ HK=12CG=3．
∵AH⊥CG，
∴∠ANC=∠HNC=∠ANG=90°．
∵CG平分∠ACB，
∴∠ACN=∠HCN．
∵CN=CN，
在△ACN与△HCN中，
∠ACN=∠HCNCN=CN∠ANC=∠HNC，
∴△ACN≌△HCN(ASA)，
∴AN=HN，
∴AG=KG，
∴AG=KG=BG，
∵ HK∥CG，
∴∠KHA=∠ANG=90°，
∴ AK=AH2+HK2=5，
∴ AG=52，
∴ AB=152．
故答案为：152．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形的中位线，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，证明AG=KG=BG是解答本题的关键．
【变式7-3】（2025·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六十九中学校校考三模）如图，在△ABC中，AB=9，∠B=2∠C，AD⊥BC，AE是BC边上中线，则线段DE= ．

【答案】4.5
【分析】首先过E点作ME∥AD，交AC于M，连接BM，易证得△MAB∽△BAC，又由ME∥AD，根据比例线段的性质，即可求得AB=2DE，继而求得答案．
【详解】解：过E点作ME∥AD，交AC于M，连接BM，

∴AD⊥BC，
∴ME⊥BC，
∵AE是BC边上中线，
∴BM=CM，
∴∠C=∠CBM，
又∵∠B=2∠C，
∴∠MBA=∠C，
又∵∠CAB=∠CAB，
∴△MAB∽△BAC，
∴ ABAM=BCBM=BCCM．
∵ME∥AD，
∴ CECM=DEAM，
∵CE=12CB，
∴ BCCM=2DEAM，
∴ ABAM=2DEAM，
∴AB=2DE，
∵AB=9，
∴DE=4.5．
故答案为：4.5．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质以及平行线分线段成比例定理．注意正确的作出辅助线是解题的关键．
【题型8 平行线分线段成比例的常用辅助线之垂线】
【例8】（2025·浙江·一模）如图，菱形ABCD中，点E是CD的中点，EF垂直AB交AB延长线于点F，若BGCG=13，EF=25，则菱形ABCD的边长是（ ）

A．35B．1455C．5D．6
【答案】D
【分析】过C作CM⊥AB延长线于M，根据BGCG=13，设BG=x,CG=3x，由菱形的性质表示出DC=BC=4x，由平行线分线段成比例表示出BM=BF+FM=23x+3x=83x，根据勾股定理列方程计算即可．
【详解】解：过C作CM⊥AB延长线于M，

∵BGCG=13，
∴设BG=x,CG=3x，
∴DC=BC=4x，
∵点E是边CD的中点，
∴CE=12CD=2x，
∵菱形ABCD，
∴CE∥AB，
∵EF⊥AB，CM⊥AB，
∴EF∥CM，
∴四边形EFMC是矩形，
∴CM=EF=25，MF=CE=2x，
∵GF∥CM，
∴BFFM=BGGC，即BF2x=13，
∴BF=23x，
∴BM=BF+FM=23x+3x=83x，
在Rt△BCM中，BM2+CM2=BC2，
∴83x2+252=4x2，解得x=32或x=−32（舍去），
∴CD=4x=4×32=6．
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理，关键在于熟悉各个知识点在本题的灵活运用．属于拔高题．
【变式8-1】（2025·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四十九中学校校考一模）在△ABC中，∠ABC=45°，AK⊥BC于点K，点M在AK上，CK=KM，tan∠KAC=34，N为BM的中点，G为AC的中点，若BC=14，则线段NG的长为 ．
【答案】52
【分析】如图：过N作ND⊥BC，过G作GE⊥BC，过N作NF⊥GE，则四边形DEFN是矩形；再说明△ABK是等腰三角形可得AK=BK；然后再证ΔBKM≅ΔAKC(SAS)可得BM=AC；再根据正切的定义结合BC=14可得CK=KM=6,AK=BK=8；根据平行线分线段成比例定理可得DN、EG是△BKM和△ACK的中位线，再根据三角形中位线定理可得DN=12KM=3、EG=12AK=4、DK=12BK=4,EK=12CK=3，进而可得NF=DE=DK+EK=7,FG=EG−EF=1，最后运用勾股定理即可解答．
【详解】解：如图：过N作ND⊥BC，过G作GE⊥BC，过N作NF⊥GE，
∴四边形DEFN是矩形，
∵∠ABC=45°，AK⊥BC，
∴△ABK是等腰三角形，
∴AK=BK，
在△BKM和△AKC中，
BK=AK∠BFM=∠AKC=90°KM=CK
∴ΔBKM≅ΔAKC(SAS)
∴BM=AC
∵tan∠KAC=34，
∴设CK=3x，则BK=AK=4x，
∴BC=3x+4x=14，解得：x=2
∴CK=KM=6,AK=BK=8,
∵ND⊥BC，NF⊥GE
∴DN∥AK∥EG，
∴BDDK=BNMN，CEEK=AGCG，
∵N为BM的中点，G为AC的中点，
∴BD=DK，CE=EK，
∴DN,EG为△BKM,△ACK的中位线
∴DN=12KM=3,EG=12AK=4,DK=12BK=4,EK=12CK=3,
∴EF=DN=3
∴NF=DE=DK+EK=7,FG=EG−EF=1
∴NG=NF2+FG2=72+12=52．
故答案为52．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理、正切的定义等知识点，正切作出辅助线、构造三角形中位线是解答本题的关键．
【变式8-2】（2025·河南商丘·校考二模）如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AC=5，AB=12，将△ABC绕点C逆时针旋转α°0°