2026年中考数学考点一网尽-专题03分式 （八大题型训练） （学生版+名师详解版）

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TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc4648" 【题型1 分式有、无意义的条件】 PAGEREF _Tc4648 \h 2
\l "_Tc23189" 【题型2 分式的值为0的条件】 PAGEREF _Tc23189 \h 2
\l "_Tc19062" 【题型3 分式的基本性质的运用】 PAGEREF _Tc19062 \h 3
\l "_Tc4172" 【题型4 分式的运算】 PAGEREF _Tc4172 \h 3
\l "_Tc27533" 【题型5 分式的化简求值】 PAGEREF _Tc27533 \h 4
\l "_Tc19441" 【题型6 分式运算的实际应用】 PAGEREF _Tc19441 \h 4
\l "_Tc11010" 【题型7 分式中的规律探究】 PAGEREF _Tc11010 \h 5
\l "_Tc18690" 【题型8 与分式运算有关的新定义问题探究】 PAGEREF _Tc18690 \h 6
【知识点 分式】
1.分式的定义
一般地，如果A.B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式。
注：A.B都是整式，B中含有字母，且B≠0。
2.分式的基本性质
分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。
；（C≠0）。
3.分式的约分和通分
定义1：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
定义2：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。
定义3：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
定义4：各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母。
4.分式的乘除
①乘法法则：。分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
②除法法则：。分式除以分式，把除式的分子.分母颠倒位置后，与被除式相乘。
③分式的乘方：。分式乘方要把分子.分母分别乘方。
④整数负指数幂：。
5.分式的加减
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。
①同分母分式的加减：；
②异分母分式的加法：。
注：不论是分式的哪种运算，都要先进行因式分解。
【题型1 分式有、无意义的条件】
【例1】（2025·吉林·统考中考真题）若代数式1x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≤2B．x>2C．x≥2D．x0且a≠1B．a≤0C．a≠0且a≠1D．a1)的正方形去掉一块边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“飘香2号”茉莉花实验种植基地是边长为a−1米的正方形，两块实验种植基地的茉莉花都收获了300千克．请说明哪种茉莉花的单位面积产量更高？
【变式6-2】（2025·江苏·统考中考真题）小王和小张的加油习惯不同，小王每次加油都说“师傅，给我加300元的油”（油箱未加满）．而小张则说：“师傅，帮我把油箱加满！”，现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，谁的两次加油平均单价低，谁的加油方式就省钱．设小王和小张第一次加油油价为x元/升，第二次加油油价为y元/升．
(1)用含 x，y的代数式表示分别表示小王和小张两次所加油的平均单价；
(2)小王和小张的两种加油方式中，谁的加油方式更省钱？用所学数学知识说明理由，
【变式6-3】（2025·浙江杭州·模拟预测）甲､乙两人同时从A地出发到B地，距离为100千米．
（1）若甲从A地出发，先以20千米/小时的速度到达中点，再以25千米/小时的速度到达B地，求走完全程所用的时间．
（2）若甲从A地出发，先以12V千米/小时的速度到达中点，再以2V千米/小时的速度到达B地．乙从A地出发到B地的速度始终保持V千米/小时不变，请问甲､乙谁先到达B地?
（3）若甲以a千米/时的速度行走x小时，乙以b千米/时的速度行走x小时，此时甲距离终点为100−ax千米，乙距离终点为100−bx千米．分式100−ax100−bx对一切有意义的x值都有相同的值，请探索a，b应满足的条件．
【题型7 分式中的规律探究】
【例7】（2025·安徽·中考真题）观察以下等式：
第1个等式：11+02+11×02=1，
第2个等式：12+13+12×13=1，
第3个等式：13+24+13×24=1，
第4个等式：14+35+14×35=1，
第5个等式：15+46+15×46=1，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式：__________；
（2）写出你猜想的第n个等式：___________(用含n的等式表示)，并证明．
【变式7-1】（2025·山东·中考真题）观察下列各式：a1=23,a2=35,a3=107,a4=159,a5=2611,⋯， 根据其中的规律可得an= （用含n的式子表示）．
【变式7-2】（2025·湖北恩施·统考一模）对于正数x，规定fx=x1+x，例如：f2=21+2=23，f3=31+3=34，f12=121+12=13，f13=131+13=14…利用以上的规律计算：f12023+f12022+f12021+⋯+f12+f1+f2+⋯+f2021+f2022+f2023= ．
【变式7-3】（2025·安徽合肥·合肥市第四十二中学校考模拟预测）观察下列各式：
①12+22+3212+22+2=2， ②22+32+5222+32+6=2，
③32+42+7232+42+12=2， ④42+52+9242+52+20=2，
…… ……；
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：________；
(2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明.
【题型8 与分式运算有关的新定义问题探究】
【例8】（2025·浙江杭州·模拟预测）规定一种新的运算“x→+∞JXAB”，其中A和B是关于x的多项式，当A的次数小于B的次数时．x→+∞JXAB=0；当A的次数等于B的次数时，x→+∞JXAB的值为A、B的最高次项的系数的商，当A的次数大于B的次数时，x→+∞JXAB不存在，例如：x→+∞JX2x−1=0，x→+∞JXx2+22x2+3x−1=12，若AB=2−3x−1÷4x2−10xx2−1，则x→+∞JXAB的值为 ．
【变式8-1】（2025·河北·统考二模）对于代数式a，b，c，d规定一种运算：abcd=ad−bc，按照此规定，x−1x+1x+1化简的结果为（ ）
A．x2B．x+1xC．x+1x−1D．1
【变式8-2】（2025·江苏盐城·统考一模）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“N⊕分式”．
例如.分式3x+1 与 3x1+x互为“三⊕分式”．
(1)分式 12+x3+2x 与_____互为“六⊕分式”；
(2)若分式aa+4b2 与2ba2+2b互为“一⊕分式”（其中a，b为正数），求ab的值；
(3)若正数x，y互为倒数，求证：分式5xx+y2 与 5xx2+y 互为“五⊕分式”．
【变式8-3】（2025·四川·统考中考真题）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：x+1x−1=x−1+2x−1=x−1x−1+2x−1=1+2x−1，2x−3x+1=2x+2−5x+1=2x+2x+1+−5x+1=2+−5x+1，则x+1x−1和2x−3x+1都是“和谐分式”．
(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：_____________（填序号）；
①x+1x ②2+x2 ③x+2x+1 ④y2+1y2
(2)将“和谐分式”a2−2a+3a−1化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：a2−2a+3a−1=_____________+________________；
(3)应用：先化简3x+6x+1−x−1x÷x2−1x2+2x，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
专题03 分式【八大题型】
【人教版】
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\l "_Tc4648" 【题型1 分式有、无意义的条件】 PAGEREF _Tc4648 \h 2
\l "_Tc23189" 【题型2 分式的值为0的条件】 PAGEREF _Tc23189 \h 4
\l "_Tc19062" 【题型3 分式的基本性质的运用】 PAGEREF _Tc19062 \h 5
\l "_Tc4172" 【题型4 分式的运算】 PAGEREF _Tc4172 \h 6
\l "_Tc27533" 【题型5 分式的化简求值】 PAGEREF _Tc27533 \h 8
\l "_Tc19441" 【题型6 分式运算的实际应用】 PAGEREF _Tc19441 \h 10
\l "_Tc11010" 【题型7 分式中的规律探究】 PAGEREF _Tc11010 \h 14
\l "_Tc18690" 【题型8 与分式运算有关的新定义问题探究】 PAGEREF _Tc18690 \h 17
【知识点 分式】
1.分式的定义
一般地，如果A.B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式。
注：A.B都是整式，B中含有字母，且B≠0。
2.分式的基本性质
分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。
；（C≠0）。
3.分式的约分和通分
定义1：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
定义2：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。
定义3：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
定义4：各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母。
4.分式的乘除
①乘法法则：。分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
②除法法则：。分式除以分式，把除式的分子.分母颠倒位置后，与被除式相乘。
③分式的乘方：。分式乘方要把分子.分母分别乘方。
④整数负指数幂：。
5.分式的加减
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。
①同分母分式的加减：；
②异分母分式的加法：。
注：不论是分式的哪种运算，都要先进行因式分解。
【题型1 分式有、无意义的条件】
【例1】（2025·吉林·统考中考真题）若代数式1x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≤2B．x>2C．x≥2D．x0，
解得：x>2，
故选：B．
【点睛】本题考查二次根式及分式有意义的条件，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
【变式1-1】（2025·湖北·统考中考真题）若x=−1使某个分式无意义，则这个分式可以是（ ）
A．x−12x+1B．2x+1x+1C．2x−1x−1D．x+12x+1
【答案】B
【分析】根据分式无意义分母为零即可判断．
【详解】A、当x＝−1时，分母2x＋1＝−1≠0，所以分式x−12x+1有意义；故本选项不符合题意；
B、当x＝−1时，分母x＋1＝0，所以分式2x+1x+1无意义；故本选项符合题意；
C、当x＝−1时，分母x-1=-2≠0，所以分式2x−1x−1有意义；故本选项不符合题意；
D、当x＝−1时，分母2x+1＝-1≠0，所以分式x+12x+1有意义；故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了分式有(无)意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
【变式1-2】（2025·黑龙江绥化·统考中考真题）若式子x+5x有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】x≥−5且x≠0/x≠0且x≥−5
【分析】根据分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，列出不等式计算即可．
【详解】∵式子x+5x有意义，
∴x+5≥0且x≠0，
∴x≥−5且x≠0，
故答案为：x≥−5且x≠0．
【点睛】本题考查了分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键．
【变式1-3】（2025·四川·统考中考真题）使式子1x+3+4−3x在实数范围内有意义的整数x有( )
A．5个B．3个C．4个D．2个
【答案】C
【详解】∵式子1x+3+4−3x在实数范围内有意义
∴x+3>0，4−3x≥0， 解得：−30且a≠1B．a≤0C．a≠0且a≠1D．aa>0，m>0，
∴mb−a>0，bm+b>0，
∴mb−abm+b>0，
∴m+am+b>ab．
【点睛】本题主要考查了列代数式，分式加减的应用，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．
【变式6-1】（2025·福建福州·校考模拟预测）福州的市花是茉莉花．“飘香1号”茉莉花实验种植基地是边长为a米(a>1)的正方形去掉一块边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“飘香2号”茉莉花实验种植基地是边长为a−1米的正方形，两块实验种植基地的茉莉花都收获了300千克．请说明哪种茉莉花的单位面积产量更高？
【答案】“飘香2号”茉莉花单位面积产量更高，见解析
【分析】先表示出两种茉莉花的单位面积产量，利用求差法比较大小即可．
．
【详解】根据题意，“飘香1号”茉莉花单位面积产量为300a2−12kg/m2，“飘香2号”茉莉花单位面积产量为300(a−1)2kg/m2．
∵300a2−12−300(a−1)2=300a−1−300a+1(a−1)2a+1=−600(a−1)2a+10，−x−y2≤0，
∴当x=y时，−x−y22x+y=0，即2xyx+y=x+y2，
两种加油方式的平均单价相同；
当x≠y时，
即−x−y22x+y