2026年中考数学考点一网尽-专题04二次根式【八大题型训练】（学生版+名师详解版）

这是一份2026年中考数学考点一网尽-专题04二次根式【八大题型训练】（学生版+名师详解版），共24页。
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\l "_Tc29856" 【题型1 二次根式有意义的条件】 PAGEREF _Tc29856 \h 1
\l "_Tc32224" 【题型2 二次根式的乘除及化简】 PAGEREF _Tc32224 \h 2
\l "_Tc29945" 【题型3 应用乘法公式计算二次根式的值】 PAGEREF _Tc29945 \h 2
\l "_Tc30221" 【题型4 二次根式的混合运算】 PAGEREF _Tc30221 \h 3
\l "_Tc8933" 【题型5 二次根式的估值】 PAGEREF _Tc8933 \h 4
\l "_Tc8854" 【题型6 二次根式中的开放性试题】 PAGEREF _Tc8854 \h 4
\l "_Tc3468" 【题型7 二次根式中的规律探究】 PAGEREF _Tc3468 \h 4
\l "_Tc22652" 【题型8 与二次根式有关的新定义问题】 PAGEREF _Tc22652 \h 5
【知识点 二次根式】
1.二次根式的定义
一般地，形如(a≥0)的式子叫做二次根式。
2.二次根式的基本性质
① (a≥0)； ② (a≥0)； ③ (a取全体实数)。
3.二次根式的乘除
(1)二次根式的乘法：①； ② (a≥0， b≥0)。
(2)二次根式的除法：①； ② (a≥0， b＞0)。
4.最简二次根式
最简二次根式满足的条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
5.二次根式的加减
二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
【题型1 二次根式有意义的条件】
【规律方法】
此类问题的解决方法：先根据被开方数（式）大于等于零，列出关于字母的不等式（组），然后求出不等式（组）的解集，即字母的取值范围，若分母中有字母，还要考虑分母不能为零。
【例1】（2025·湖南·统考中考真题）使代数式−x2+2x−1有意义的x的取值范围是 ．
【变式1-1】（2025·辽宁·统考中考真题）若1x−3有意义，则实数x的取值范围是
【变式1-2】（2025·黑龙江绥化·统考二模）在函数y=1x+3+x−30中，自变量x的取值范围是( )
A．x≥−3B．x>−3C．x≠3D．x>−3且x≠3
【变式1-3】（2025·广东茂名·校考一模）式子2x+tan45°x−tan45°有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≥−12且x≠1B．x≠1C．x≥−12D．x>−12且x≠1
【题型2 二次根式的乘除及化简】
【例2】（2025·湖南常德·统考模拟预测）计算18÷34×43结果为（ ）．
A．32B．43C．42D．62
【变式2-1】（2025·辽宁·统考中考真题）若a=2，b=7，则14a2b2= ．
【变式2-2】（2025下·江苏·八年级专题练习）计算ab÷ab⋅1ab（a＞0，b＞0）的结果是（ ）
A．1ab2abB．1ababC．1babD．bab
【变式2-3】（2025·山东潍坊·统考中考真题）从−2、3，6中任意选择两个数，分别填在算式□+○2÷2里面的“□”与“○”中，计算该算式的结果是 ．（只需写出一种结果）
【题型3 应用乘法公式计算二次根式的值】
【例3】（2025·吉林·统考中考真题）下面是小文同学进行二次根式混合运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务：
任务：
(1)上述解答过程中，第1步依据的乘法公式为 （用字母表示）；
(2)上述解答过程，从第 步开始出错，具体的错误是 ；
(3)计算的正确结果为 ．
【变式3-1】（2025·天津·统考中考真题）计算7+67−6的结果为 ．
【变式3-2】（2025·天津河北·统考一模）计算2+322−32的结果等于 ．
【变式3-3】（2025·四川·统考中考真题）我们知道：乘法公式：a2+2ab+b2=a±b2，则有a2±2ab+b2=a±b，那么我们如何把双重二次根式a±2ba>0，b>0，a±2b>0化简呢？如果能找到两个数m，nm>0，n>0使得m2+n2=a即m+n=a，m⋅n=b即mn=b，那么a±2b=|m±n|，从而使双重二次根式得以化简．
例如：化简3+22．
∵3=1+2，2=1×2，
∴3+22=12+21×2+22=1+22，
∴3+22=|1+2|=1+2，由此对于任意一个双重二次根式，只要可以化成a±2b的形式且能找到两个数m，nm>0，n>0使得m2+n2=a即m+n=a，m⋅n=b即mn=b，那么这个双重二次根式就一定可以化为一个二次根式．请完成下列问题：
(1)填空：5+26=________；12−235= ________；
(2)化简：16−415；
(3)计算：3−5+1214+410．
【题型4 二次根式的混合运算】
【例4】（2025·甘肃武威·统考中考真题）计算：27÷32×22−62．
【变式4-1】（2025·山东聊城·统考中考真题）计算：48−313÷3= ．
【变式4-2】（2025·上海·统考中考真题）计算：38+12+5−13−2+5−3
【变式4-3】（2025·陕西西安·西安市第六中学校考模拟预测）计算：
(1)6+215×3−92×38
(2)|−3−23|−214−3−12000
(3)218+62−1−30
(4)24−1218+6+212×34÷52
【题型5 二次根式的估值】
【例5】（2025·山东临沂·统考中考真题）设m=515−45，则实数m所在的范围是（ ）
A．m−3x≠3
即自变量x的取值范围是x>−3且x≠3
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的被开方数的非负性、分式的分母不能为0、零指数幂的定义，掌握各性质和定义是解题关键．
【变式1-3】（2025·广东茂名·校考一模）式子2x+tan45°x−tan45°有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≥−12且x≠1B．x≠1C．x≥−12D．x>−12且x≠1
【答案】A
【分析】先将tan45°化简，再根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，即可进行解答．
【详解】解：∵tan45°=1，
∴2x+tan45°x−tan45°=2x+1x−1，
∵式子2x+tan45°x−tan45°有意义，
∴2x+1≥0x−1≠0，
解得：x≥−12且x≠1，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了特殊角度的三角函数值，分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握tan45°=1，分式分母不等于0，二次根式被开方数为非负数．
【题型2 二次根式的乘除及化简】
【例2】（2025·湖南常德·统考模拟预测）计算18÷34×43结果为（ ）．
A．32B．43C．42D．62
【答案】C
【分析】根据二次根式的乘除法则计算即可．
【详解】解：原式=18×43×43=32=42，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【变式2-1】（2025·辽宁·统考中考真题）若a=2，b=7，则14a2b2= ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式运算等知识，首先根据题意可得a=2>0，b=7>0，然后根据二次根式的性质和运算法则求解即可，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
【详解】解：∵a=2>0，b=7>0，
∴14a2b2=14a2b2=14ab=14×27=2×2=2．
故答案为：2．
【变式2-2】（2025下·江苏·八年级专题练习）计算ab÷ab⋅1ab（a＞0，b＞0）的结果是（ ）
A．1ab2abB．1ababC．1babD．bab
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质进行化简，正确化简二次根式是解题关键．
直接利用二次根式的混合运算法则，计算化简即可．
【详解】解：ab÷ab⋅1ab
=ab×1ab×1ab
=1ab3
=1ab2ab，
故选：A．
【变式2-3】（2025·山东潍坊·统考中考真题）从−2、3，6中任意选择两个数，分别填在算式□+○2÷2里面的“□”与“○”中，计算该算式的结果是 ．（只需写出一种结果）
【答案】522−23（或42−26或922+6，写出一种结果即可）
【分析】先利用完全平方公式计算二次根式的乘法，再计算二次根式的除法即可得．
【详解】解：①选择−2和3，
则−2+32÷2=2−26+3÷2
=5−26÷2
=5÷2−26÷2
=522−23．
②选择−2和6，
则−2+62÷2=2−212+6÷2
=8−212÷2
=8÷2−212÷2
=42−26．
③选择3和6，
则3+62÷2=3+218+6÷2
=9+62÷2
=9÷2+62÷2
=922+6．
故答案为：522−23（或42−26或922+6，写出一种结果即可）．
【题型3 应用乘法公式计算二次根式的值】
【例3】（2025·吉林·统考中考真题）下面是小文同学进行二次根式混合运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务：
任务：
(1)上述解答过程中，第1步依据的乘法公式为 （用字母表示）；
(2)上述解答过程，从第 步开始出错，具体的错误是 ；
(3)计算的正确结果为 ．
【答案】(1)a±b2=a2±2ab+b2
(2)3，262计算错误
(3)1
【分析】（1）根据完全平方公式即可解答；
（2）根据二次根式混合运算的运算顺序和运算法则，逐步进行计算，即可解答；
（3）根据二次根式混合运算的运算顺序和运算法则，逐步进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：第1步依据的乘法公式为a±b2=a2±2ab+b2，
故答案为：a±b2=a2±2ab+b2；
（2）解：3−22×5+26
=3−26+2×5+26
=5−26×5+26
=25−24，
∴第3步计算错误， 262=24≠12，262计算错误，
故答案为：3，262计算错误；
（3）解：解：3−22×5+26
=3−26+2×5+26
=5−26×5+26
=25−24
=1．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算的运算顺序和运算法则，以及完全平方公式a±b2=a2±2ab+b2和平方差公式a+ba−b=a2−b2．
【变式3-1】（2025·天津·统考中考真题）计算7+67−6的结果为 ．
【答案】1
【分析】根据平方差公式，二次根式的性质及运算法则处理．
【详解】解：7+67−6=(7)2−(6)2=7−6=1
故答案为：1
【点睛】本题考查平方差公式、二次根式性质及运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
【变式3-2】（2025·天津河北·统考一模）计算2+322−32的结果等于 ．
【答案】−14
【分析】根据平方差公式进行计算即可求解．
【详解】解：2+322−32
=4−18
=−14．
故答案为：−14．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
【变式3-3】（2025·四川·统考中考真题）我们知道：乘法公式：a2+2ab+b2=a±b2，则有a2±2ab+b2=a±b，那么我们如何把双重二次根式a±2ba>0，b>0，a±2b>0化简呢？如果能找到两个数m，nm>0，n>0使得m2+n2=a即m+n=a，m⋅n=b即mn=b，那么a±2b=|m±n|，从而使双重二次根式得以化简．
例如：化简3+22．
∵3=1+2，2=1×2，
∴3+22=12+21×2+22=1+22，
∴3+22=|1+2|=1+2，由此对于任意一个双重二次根式，只要可以化成a±2b的形式且能找到两个数m，nm>0，n>0使得m2+n2=a即m+n=a，m⋅n=b即mn=b，那么这个双重二次根式就一定可以化为一个二次根式．请完成下列问题：
(1)填空：5+26=________；12−235= ________；
(2)化简：16−415；
(3)计算：3−5+1214+410．
【答案】(1)3+2；7−5
(2)10−6
(3)35+2−222
【分析】（1）将被开方数利用完全平方公式变形成完全平方式，利用二次根式化简，即可求得答案；
（2）将原式转成16−260，再将16−260转化成完全平方式，化简即可求得答案；
（3）将原式化简成6−252+127+2102，再转成完全平方式，化简即可求得答案．
【详解】（1）解：5+26=32+2×3×2+22=3+22=3+2；
12−235=72−2×7×5+52=7−52=7−5；
故答案为：3+2；7−5；
（2）解：16−415=16−260
=102−2×10×6+62
=10−62
=10−6；
（3）解：3−5+2+3=6−252+127+2102
=5−12+12⋅5+22
=25−222+5+222
=35+2−222．
【点睛】本题考查二次根式的计算，考查二次根式的化简，考查计算能力，属于中档题．
【题型4 二次根式的混合运算】
【例4】（2025·甘肃武威·统考中考真题）计算：27÷32×22−62．
【答案】62
【分析】利用二次根式的混合运算法则计算即可．
【详解】解：27÷32×22−62
=33×23×22−62
=122−62
=62．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解答本题的关键．
【变式4-1】（2025·山东聊城·统考中考真题）计算：48−313÷3= ．
【答案】3
【分析】先利用二次根式的性质化简，再计算括号内的减法，然后计算二次根式的除法即可．
【详解】解：48−313÷3
=43−3×33÷3
=43−3÷3
=33÷3
=3
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．
【变式4-2】（2025·上海·统考中考真题）计算：38+12+5−13−2+5−3
【答案】−6
【分析】根据立方根、负整数指数幂及二次根式的运算可进行求解．
【详解】解：原式=2+5−2−9+3−5
=−6．
【点睛】本题主要考查立方根、负整数指数幂及二次根式的运算，熟练掌握立方根、负整数指数幂及二次根式的运算是解题的关键．
【变式4-3】（2025·陕西西安·西安市第六中学校考模拟预测）计算：
(1)6+215×3−92×38
(2)|−3−23|−214−3−12000
(3)218+62−1−30
(4)24−1218+6+212×34÷52
【答案】(1)65
(2)−12
(3)5+3
(4)474+3210
【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则求解即可；
（2）首先计算立方根和算术平方根，然后计算加减；
（3）根据二次根式的混合运算法则和零指数幂运算法则求解即可；
（4）根据二次根式的混合运算法则求解即可．
【详解】（1）6+215×3−92×38
=32+65−92×2
=32+65−32
=65；
（2）|−3−23|−214−3−12000
=2−32−1
=−12；
（3）218+62−1−30
=6+3−1
=5+3；
（4）24−1218+6+212×34÷52
=3+12−14−3+3÷52
=3+12−14−3+3210
=474+3210．
【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，零指数幂运算，解题的关键是熟练掌握以上运算法则．
【题型5 二次根式的估值】
【例5】（2025·山东临沂·统考中考真题）设m=515−45，则实数m所在的范围是（ ）
A．m