河北省秦皇岛市山海关区2025届高三下摸底联考数学试题（含答案解析）

这是一份河北省秦皇岛市山海关区2025届高三下摸底联考数学试题（含答案解析），共42页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
2. 已知命题，，命题，，则（ ）
3. 已知向量,，若，则（ ）
4. 已知公比为的等比数列的前项和为，则满足对任意，恒成立的一个充分不必要条件是（ ）
5. 平面几何中有一个著名的定理：的三条高线的垂足、三边中点及三个顶点与垂心连线段的中点共圆，该圆称为的九点圆或欧拉圆，若、，的垂心为，则的九点圆的标准方程为（ ）
6. 若定义域为的奇函数满足，则在上的零点个数至少为（ ）
7. 已知函数，则的值域为（ ）
8. 已知抛物线的焦点到准线的距离为，、是上关于直线对称的两个点，若直线与轴交于点，则的取值范围是（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 从中任取3个不同的数，则所取的3个数（ ）
10. 设函数，则（ ）
11. 已知直线与椭圆交于两点，椭圆的左、右顶点分别为，直线与直线，及轴分别交于点，则（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
12. 某流浪动物救助团体新捕捉流浪猫6只，现有5个不同的空置猫笼，6只流浪猫分别为狸花猫1只、三毛猫4只（可和谐相处）、橘猫1只．该救助团体计划将1只狸花猫放在一个猫笼里，4只三毛猫每2只放在一个猫笼里，橘猫单独放在一个猫笼里，则不同的安排方法有________种．
13. 已知正四棱锥的所有棱长均为4，点为中点，点在上，，点为中点，则平面截正四棱锥所得的截面周长为______．

14. 已知中，角、、所对的边分别为、、，，点、在边上，，与共线，且，，则________．
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
15. 已知三棱台的上、下底面都是等腰直角三角形，平面，，，．

(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值．
16. 随着中国证券市场的不断成熟及投资者数量的持续增多，中国证券APP用户规模增长迅速．某传媒公司对中国券商自营类APP用户投资区间进行调查，统计其中104名用户的投资区间，其中100名用户的投资不超过40万元，对这100名用户的投资区间按照，，，，，，，（单位：万元）分组，得到如图所示的频率分布直方图

(1)用样本估计总体，试估计中国券商自营类APP投资不超过40万元的用户投资资金的中位数；
(2)若中国券商自营类APP投资不超过40万元的用户投资资金近似服从正态分布（其中为所有样本用户投资资金的平均数），试估计在中国券商自营类APP投资不超过40万元的所有用户中的值；
(3)若把104名样本用户按照投资资金是否低于20万元分为2组，然后采用按比例分配的分层随机抽样从中抽取13人，再从这13人中随机抽取3人，记抽到的不低于20万元的人数与低于20万元的人数之积为，求的分布列与期望．
参考数据：若，则．
17. 已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若且函数在上没有零点，求实数a的取值范围．
18. 已知双曲线的离心率为，经过点、．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线相交于、两点，已知点、分别位于第二、四象限，求四边形面积的最小值．
19. 若数列满足：①；②对任意，与至少有一个是数列中的项，则称数列为友好数列．
(1)若数列既是等差数列又是友好数列，求证：；
(2)数列满足对任意，，且，数列，，为友好数列，求的值；
(3)若友好数列至少有5项，，且，求的前项和．
河北省秦皇岛市山海关区2025届高三摸底联考数学试题
整体难度：适中
考试范围：复数、集合与常用逻辑用语、平面向量、数列、平面解析几何、函数与导数、三角函数与解三角形、计数原理与概率统计、空间向量与立体几何
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
A．和都是真命题
B．和都是真命题
C．和都是真命题
D．和都是真命题
A．
B．
C．
D．
A．，
B．，
C．，
D．
A．
B．
C．
D．
A．5
B．6
C．7
D．8
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．和为偶数与和大于20是互斥事件
B．不全是奇数的概率为
C．有3或4的概率为
D．在至少有1个是奇数的条件下，和为奇数的概率为
A．是的极大值点
B．当时，
C．当时，
D．当时，
A．的周长为
B．直线，，，的斜率之积为定值
C．当时，线段的中点到直线的距离为
D．若，则的取值范围是
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
2
较易
3
适中
11
较难
2
困难
1
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.94
判断复数对应的点所在的象限；复数的乘方；复数的除法运算
2
0.85
判断全称命题的真假；判断特称（存在性）命题的真假
3
0.85
垂直关系的向量表示；坐标计算向量的模
4
0.65
判断命题的充分不必要条件；等比数列通项公式的基本量计算
5
0.65
圆的一般方程与标准方程之间的互化；求圆的一般方程
6
0.65
函数奇偶性的应用；函数周期性的应用；求函数零点或方程根的个数
7
0.65
三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系；求含sinx(型)函数的值域和最值；二倍角的正弦公式
8
0.65
抛物线中的参数范围问题；抛物线的中点弦
二、多选题
9
0.65
实际问题中的组合计数问题；计算古典概型问题的概率；判断所给事件是否是互斥关系；利用对立事件的概率公式求概率
10
0.65
用导数判断或证明已知函数的单调性；求已知函数的极值点
11
0.4
椭圆中的定值问题；根据韦达定理求参数；求点到直线的距离；椭圆中向量共线比例问题
三、填空题
12
0.85
分步乘法计数原理及简单应用；分组分配问题
13
0.65
余弦定理解三角形；由平面的基本性质作截面图形
14
0.65
余弦定理解三角形；数量积的运算律；用和、差角的正弦公式化简、求值；用基底表示向量
四、解答题
15
0.65
证明线面垂直；面面角的向量求法
16
0.94
写出简单离散型随机变量分布列；指定区间的概率；由频率分布直方图估计中位数；由频率分布直方图估计平均数
17
0.65
根据函数零点的个数求参数范围；利用导数研究函数的零点；求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；用导数判断或证明已知函数的单调性
18
0.4
求双曲线中三角形（四边形）的面积问题；求双曲线中的最值问题；根据双曲线过的点求标准方程；根据离心率求双曲线的标准方程
19
0.15
求等差数列前n项和；数列新定义；等差中项的应用
序号
知识点
对应题号
1
复数
1
2
集合与常用逻辑用语
2,4
3
平面向量
3,14
4
数列
4,19
5
平面解析几何
5,8,11,18
6
函数与导数
6,10,17
7
三角函数与解三角形
7,13,14
8
计数原理与概率统计
9,12,16
9
空间向量与立体几何
13,15