安徽省安庆市部分重点中学2024-2025学年高三下学期4月联考数学试卷（含答案解析）

这是一份安徽省安庆市部分重点中学2024-2025学年高三下学期4月联考数学试卷（含答案解析），共42页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 若复数z满足（为虚数单位），则的最大值为（ ）
2. 已知可导函数的定义域为，是的导函数，且为偶函数为奇函数，则（ ）
3. 已知，则（ ）
4. 已知向量、满足：，，向量与向量的夹角为，则的最大值为（ ）
5. 设函数，若恒成立，则的最小值为（ ）
6. 已知正方体的棱长为1，点P在正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则的最小值为（ ）
7. 已知为圆锥的底面直径，为底面圆心，正三角形内接于，若，圆锥的侧面积为，则与所成角的余弦值为（ ）
8. 已知点，，是与轴的交点．点满足：以为直径的圆与相切，则面积的最大值为（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
10. 已知点Q在圆上，，动点满足：在中，．则（ ）
11. 已知函数的定义域为，且，，则（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
12. 已知函数，若实数满足，则的最大值为____________．
13. 已知，则_________．
14. 如图，在的方格中放入棋子，每个格子内至多放一枚棋子，若每行都放置两枚棋子，则恰好每列都有两枚棋子的概率为____________．

四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．
(1)求证：；
(2)若是锐角三角形，且角A的平分线交BC边于D，且，求边b的取值范围．
16. 如图，三棱柱的所有棱长都为2，,是的中点，．
(1)证明：平面平面；
(2)求与平面所成角的正弦值．
17. 已知椭圆的右焦点与双曲线的右焦点重合，且椭圆过．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)当过的动直线与椭圆相交于不同的两点时，在线段上取一点，满足，证明：在某定直线上．
18. 洛必达法则对导数的研究产生了深远的影响.洛必达法则：给定两个函数，当时，.已知函数，.
(1)证明：在区间上单调递减；
(2)对于恒成立，求实数的取值范围；
(3)，证明：（附：）.
19. 当前，以大语言模型为代表的人工智能技术正蓬勃发展，而数学理论和方法在这些模型的研发中，发挥着重要作用．例如，当新闻中分别出现“7点钟，一场大火在郊区燃起”和“7点钟，太阳从东方升起”这两个事件的描述时，它们提供的“信息量”是不一样的，前者比后者要大，会吸引人们更多关注．假设通常情况下，它们发生的概率分别是和，用这个量来刻画“信息量”的大小，计算可得前者约为9，后者接近于0．现在假设离散型随机变量的分布列为，，．则称为的信息熵，用来刻画随机变量蕴含的信息量的大小．
(1)若的分布列为，，，求的最大值；
(2)证明：；
(3)若，且为定值，设，证明：．
安徽省安庆市部分重点中学2024-2025学年高三下学期4月联考数学试卷
整体难度：适中
考试范围：复数、平面解析几何、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量、空间向量与立体几何、等式与不等式、计数原理与概率统计
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．1
B．2
C．3
D．4
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．2
C．
D．4
A．
B．
C．
D．1
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．8
C．12
D．16
A．与的图象关于直线对称
B．与的图象关于点对称
C．当时，
D．当时，与的图象恰有4个交点
A．记的轨迹方程为轨迹：
B．的最大值为
C．的最小值是
D．（点O为坐标原点）的最小值为7
A．
B．，
C．的图象关于点对称
D．为偶函数
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
适中
11
较难
8
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.65
求复数的模；与复数模相关的轨迹（图形）问题；定点到圆上点的最值（范围）
2
0.4
由函数的周期性求函数值；由函数对称性求函数值或参数；函数奇偶性的应用；简单复合函数的导数
3
0.65
三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系；二倍角的正弦公式；诱导公式二、三、四；逆用和、差角的正弦公式化简、求值
4
0.4
数量积的运算律；已知数量积求模；正弦定理求外接圆半径；向量夹角的计算
5
0.4
由导数求函数的最值（不含参）；利用导数研究不等式恒成立问题
6
0.4
多面体与球体内切外接问题；立体几何中的轨迹问题；证明面面平行；点到平面距离的向量求法
7
0.65
圆锥表面积的有关计算；求异面直线所成的角
8
0.65
由圆的位置关系确定参数或范围；利用椭圆定义求方程；求椭圆中的最值问题
二、多选题
9
0.65
函数对称性的应用；求图象变化前（后）的解析式；正弦函数图象的应用；求正弦（型）函数的对称轴及对称中心
10
0.65
求平面轨迹方程；抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值；基本不等式求和的最小值；定点到圆上点的最值（范围）
11
0.4
求函数值；判断或证明函数的对称性；函数奇偶性的定义与判断；判断证明抽象函数的周期性
三、填空题
12
0.65
函数对称性的应用；求二次函数的值域或最值；用导数判断或证明已知函数的单调性
13
0.65
已知弦（切）求切（弦）；用和、差角的正弦公式化简、求值
14
0.65
分步乘法计数原理及简单应用；计算条件概率；计算古典概型问题的概率
四、解答题
15
0.65
三角函数综合；正弦定理及辨析；正弦定理解三角形
16
0.65
证明面面垂直；线面角的向量求法；线面垂直证明线线垂直
17
0.4
根据椭圆过的点求标准方程；椭圆中的定直线
18
0.4
利用导数证明不等式；利用导数研究不等式恒成立问题；用导数判断或证明已知函数的单调性；由导数求函数的最值（不含参）
19
0.4
由导数求函数的最值（不含参）；二项展开式的应用；利用随机变量分布列的性质解题；建立二项分布模型解决实际问题
序号
知识点
对应题号
1
复数
1
2
平面解析几何
1,6,8,10,17
3
函数与导数
2,5,9,11,12,18,19
4
三角函数与解三角形
3,4,9,13,15
5
平面向量
4
6
空间向量与立体几何
6,7,16
7
等式与不等式
10
8
计数原理与概率统计
14,19