北京市东城区2024-2025学年高三下学期综合练习（一）数学试卷（含答案解析）

这是一份北京市东城区2024-2025学年高三下学期综合练习（一）数学试卷（含答案解析），共42页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分)
1. 已知集合，则（ ）
2. 下列函数中，定义域为的函数是（ ）
3. 在的展开式中，的系数为10，则的值为（ ）
4. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与水的温度有关.一杯的热红茶置于的房间里，茶水的温度（单位：）与时间（单位：）的函数的图象如图所示.下列说法正确的是（ ）

5. 在平面直角坐标系中，角以为始边，其终边落在第一象限，则下列三角函数值中一定大于零的是（ ）
6. 已知是各项均为正整数的无穷等差数列，其中的三项为，则的公差可以为（ ）
7. 长度为2的线段的两个端点分别在轴及轴上运动，则线段的中点到直线距离的最小值为（ ）
8. 已知，则“”是“”的（ ）
9. 祈年殿（图1）是北京市的标志性建筑之一､距今已有600多年历史.殿内部有垂直于地面的28根木柱，分三圈环形均匀排列.内圈有4根约为19米的龙井柱，寓意一年四季；中圈有12根约为13米的金柱，代表十二个月；外圈有12根约为6米的檐柱，象征十二个时辰.已知由一根龙井柱和两根金柱形成的几何体（图2）中，米，，则平面与平面所成角的正切值约为（ ）

10. 已知集合，，如果有且只有两个元素，则实数的取值范围为（ ）
二、填空题(本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分)
11. 若复数满足，则__________.
12. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则__________；__________.

13. 已知抛物线的焦点为，点为上任意一点，且总有，则的一个值可以为__________.
14. 已知函数，若的最小正周期为，则__________；若存在，使得，则的最小值为__________.
15. 已知数列满足，且.给出下列四个结论：
①若，当时，；
②若，当时，；
③若，对任意正数，存在正整数，当时，；
④若，对任意负数，存在正整数，当时，.
其中正确结论的序号是__________.
三、解答题(本大题共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分)
16. 在中.
(1)求的值及的面积；
(2)求证：.
17. 如图，在几何体中，四边形为平行四边形，平面平面.
(1)证明：平面；
(2)已知点到平面的距离为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的长.
条件①：；
条件②：.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
18. 据国家相关部门统计，2023年华东地区、东北地区主要省份的水稻、小麦的播种面积和产量数据见下表：
(1)从表1中的华东地区随机抽取1个省份，求该省水稻产量比小麦产量少的概率；
(2)从表1的9个省份中随机抽取2个，设为水稻播种面积排在前5名且属于东北地区省份的个数.求的分布列与数学期望；
(3)2023年华东地区、东北地区和华北地区主要粮食作物的播种面积及其采用新技术的播种面积占该作物总播种面积的比值（简称新技术占比率）数据见下表：
记华东地区和东北地区水稻播种总面积的新技术占比率、华东地区和华北地区小麦播种总面积的新技术占比率、东北地区和华北地区玉米播种总面积的新技术占比率分别为.依据表2中的数据比较的大小.（结论不要求证明）
19. 已知椭圆过点，离心率为，上的点关于轴的对称点为.设为原点，，过点与轴平行的直线交于点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若点在以为直径的圆上，求的值.
20. 设函数，曲线在处的切线方程为.
(1)求的值；
(2)求不等式的解集；
(3)已知，其中，直线的方程为.若，且，求证：.
21. 已知有限数列满足.对于给定的，若中存在项满足，则称有项递增子列；若中存在项满足，则称有项递减子列.当既有项递增子列又有项递减子列时，称具有性质.
(1)判断下列数列是否具有性质；
①；
②.
(2)若数列中有，证明：数列不具有性质；
(3)当数列具有性质时，若中任意连续的项中都包含项递增子列，求的最大值.
北京市东城区2024-2025学年高三下学期综合练习（一）数学试卷
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、等式与不等式、函数与导数、计数原理与概率统计、三角函数与解三角形、数列、平面解析几何、空间向量与立体几何、复数、平面向量
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
第21题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．1
C．
D．2
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．4
D．3
A．1
B．
C．2
D．3
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
水稻
小麦
播种面积（千公顷）
产量（万吨）
播种面积（千公顷）
产量（万吨）
华东
地区
江苏省
2221.0
2003.2
2389.5
1373.5
浙江省
649.0
485.3
152.6
66.4
安徽省
2500.7
1609.8
2862.7
1740.7
福建省
601.1
394.6
0.1
0.0
江西省
3383.9
2070.7
11.3
3.5
山东省
101.0
86.1
4008.9
2673.8
东北
地区
辽宁省
500.5
412.9
2.0
0.8
吉林省
828.8
682.1
5.0
1.7
黑龙江省
3268.5
2110.0
19.3
7.5
粮食
作物
播种面积
（千公顷）
新技术
占比率
粮食
作物
播种面积
（千公顷）
新技术
占比率
华东地区
水稻
9456.7
0.70
小麦
9425.1
0.60
东北地区
水稻
4597.8
0.55
玉米
13800.0
0.65
华北地区.
小麦
3184.5
0.65
玉米
9564.7
0.60
题型
数量
单选题
10
填空题
5
解答题
6
难度
题数
容易
3
较易
5
适中
8
较难
2
困难
3
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.94
补集的概念及运算；解不含参数的一元二次不等式
2
0.94
具体函数的定义域
3
0.85
由项的系数确定参数
4
0.65
根据图像判断函数单调性；比较函数值的大小关系
5
0.85
已知角或角的范围确定三角函数式的符号；二倍角的正弦公式；三角函数的化简、求值——诱导公式；二倍角的余弦公式
6
0.85
等差数列通项公式的基本量计算
7
0.65
圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）；轨迹问题——圆
8
0.65
充分条件；由基本不等式比较大小；由指数函数的单调性解不等式；由对数函数的单调性解不等式
9
0.65
求二面角；证明线面垂直
10
0.15
根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围
二、填空题
11
0.85
求复数的模；复数的除法运算
12
0.94
用定义求向量的数量积；数量积的运算律
13
0.85
抛物线上的点到定点的距离及最值
14
0.65
求含sinx(型)函数的值域和最值；求正弦（型）函数的最小正周期
15
0.15
由递推关系式求通项公式；判断数列的增减性；由递推数列研究数列的有关性质
三、解答题
16
0.65
三角形面积公式及其应用；证明三角形中的恒等式或不等式；二倍角的余弦公式；余弦定理解三角形
17
0.65
面面平行证明线面平行；点到平面距离的向量求法；证明面面平行
18
0.65
超几何分布的均值；超几何分布的分布列；用平均数的代表意义解决实际问题；计算古典概型问题的概率
19
0.4
根据离心率求椭圆的标准方程；椭圆中存在定点满足某条件问题；根据椭圆过的点求标准方程；求直线与椭圆的交点坐标
20
0.4
用导数判断或证明已知函数的单调性；利用导数证明不等式；已知切线（斜率）求参数；利用导数研究能成立问题
21
0.15
数列新定义
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1,8
2
等式与不等式
1,8
3
函数与导数
2,4,8,20
4
计数原理与概率统计
3,18
5
三角函数与解三角形
5,14,16
6
数列
6,15,21
7
平面解析几何
7,10,13,19
8
空间向量与立体几何
9,17
9
复数
11
10
平面向量
12