北京市海淀区2024-2025学年高三下学期期中练习（一模）数学试题（含答案解析）

这是一份北京市海淀区2024-2025学年高三下学期期中练习（一模）数学试题（含答案解析），共42页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分)
1. 已知集合，，则（ ）
2. 在复平面内，复数对应的点的坐标为（ ）
3. 函数的图象一定经过点（ ）
4. 已知直线经过圆的圆心，则的最小值为（ ）
5. 已知四个数，，，，其中最小的是（ ）
6. 已知抛物线的焦点为，点在上，，则（ ）
7. 已知纸的长宽比约为．现将一张纸卷成一个圆柱的侧面（无重叠部分）．当该圆柱的高等于纸的长时，设其体积为，轴截面的面积为；当该圆柱的高等于纸的宽时，设其体积为，轴截面的面积为，则（ ）
8. 已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列．若，则“是递增数列”是“”的（ ）
9. 已知函数的部分图象如图所示．若，，，四点在同一个圆上，则（ ）
10. 对于无穷数列和正整数，若存在满足且，则称数列具有性质．下列选项中错误的是（ ）
二、填空题(本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分)
11. 已知，则________．
12. 已知双曲线的一条渐近线的方程为，则该双曲线的离心率为________．
13. 已知向量，，则的最大值为________；与的夹角的取值范围是________．
14. 已知函数（且）．若的值域为，则的一个取值为________；若的值域为，则的取值范围是________．
15. 如图所示，某游乐场有一款游乐设施，该设施由转轮和转轮组成，的圆心固定在转轮上的点处，某个座椅固定在转轮上的点处．的半径为10米，的半径为5米，的圆心距离地面竖直高度为20米．游乐设施运行过程中，与分别绕各自的圆心逆时针方向匀速旋转，旋转一周用时分钟，旋转一周用时分钟．当在正下方且在正下方时，开始计时，设在第分钟距离地面的竖直高度为米．给出下列四个结论：
①；
②最大值是35；
③在竖直方向上的速度大小低于40米/分钟；
④存在，使得时到的距离等于15米．
其中所有正确结论的序号为________．
三、解答题(本大题共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分)
16. 如图，五面体中，四边形是正方形．
(1)求证：；
(2)若平面平面，，，求直线与平面所成角的大小．
17. 在中，已知，．
(1)求的值；
(2)若为锐角，再从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的面积．
条件①：；
条件②：；
条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
18. 某工厂有一组型号相同的设备，在日常维护中发现部分设备有发热的情况，经过查阅历史数据，发现设备是否发热与设备状态（完好或损坏）有较强的相关性．从发热和未发热情况的数据中各自随机抽取1000条数据，整理如下图所示：
日常维护时，对单台设备有三种可能的操作：保留观察、停机更换或检查维修．对单台设备的不同状态，这三种操作给工厂带来的经济损失如下（单位：千元）：
假设用频率估计概率，且各设备之间的状态相互独立．
(1)已知某设备未出现发热情况，试估计该设备损坏的概率；
(2)该工厂现有2台设备出现发热情况，准备对这2台设备都进行检查维修．记检查维修这2台设备给工厂带来的总经济损失为千元，求的分布列和数学期望；
(3)该工厂的某车间现有2台设备，维护时发现其中一台出现发热情况，另一台未出现发热情况．下面有三种维护这2台设备的操作方案：
直接写出使得工厂总经济损失的期望最小的方案的编号．
19. 已知椭圆，，分别是的左、右顶点，是的上顶点，的面积为2，且．
(1)求椭圆的方程及长轴长；
(2)已知点，点在直线上，设直线与轴交于点，直线与直线交于点，判断点是否在椭圆上，并说明理由．
20. 已知函数．
(1)若曲线在点处的切线为，求的值；
(2)若为上的单调函数，求的取值范围；
(3)若函数，求证：可以取无数个值，使得每一个的取值都恰有三个不同的零点．
21. 设正整数，对于数列，定义变换，将数列变换成数列：．已知数列满足．记．
(1)若：，写出数列，；
(2)若为奇数且不是常数列，求证：对任意正整数，都不是常数列；
(3)求证：当且仅当时，对任意，都存在正整数，使得为常数列．
北京市海淀区2024-2025学年高三下学期期中练习（一模）数学试题
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、不等式选讲、复数、函数与导数、平面解析几何、等式与不等式、空间向量与立体几何、数列、三角函数与解三角形、计数原理与概率统计、平面向量
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
第21题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．0
D．1
A．
B．
C．
D．
A．1
B．
C．
D．2
A．，
B．，
C．，
D．，
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
A．1
B．
C．
D．
A．若，则数列不具有性质
B．若，则数列具有性质
C．存在数列和，使得和均不具有性质，且具有性质
D．若数列和均具有性质，则具有性质
操作
经济损失
设备状态
保留观察
停机更换
检查维修
完好
0
10
5
损坏
12
5
7
发热情况
操作方案
编号
发热
未发热
①
检查维修
保留观察
②
停机更换
检查维修
③
停机更换
保留观察
题型
数量
单选题
10
填空题
5
解答题
6
难度
题数
容易
1
较易
8
适中
8
较难
3
困难
1
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
补集的概念及运算；公式法解绝对值不等式
2
0.85
复数的坐标表示；复数的乘方
3
0.85
指数型函数图象过定点问题
4
0.85
求二次函数的值域或最值；圆的一般方程与标准方程之间的互化
5
0.65
基本不等式求和的最小值；比较对数式的大小
6
0.85
抛物线的焦半径公式
7
0.85
柱体体积的有关计算；圆柱轴截面的有关计算
8
0.65
判断命题的充分不必要条件；判断数列的增减性
9
0.85
由图象确定正（余）弦型函数解析式
10
0.65
数列新定义
二、填空题
11
0.94
求指定项的系数
12
0.85
求双曲线的离心率或离心率的取值范围；已知方程求双曲线的渐近线
13
0.4
向量夹角的坐标表示；向量模的坐标表示
14
0.65
求指数型复合函数的值域；根据对数函数的值域求参数值或范围；分段函数的值域或最值
15
0.4
三角函数在生活中的应用；求含csx的二次式的最值
三、解答题
16
0.65
线面角的向量求法；线面平行的性质
17
0.65
正弦定理解三角形；三角形面积公式及其应用
18
0.65
写出简单离散型随机变量分布列；求离散型随机变量的均值；用频率估计概率
19
0.65
根据a、b、c求椭圆标准方程；点和椭圆的位置关系
20
0.4
利用导数研究函数的零点；已知切线（斜率）求参数；由函数在区间上的单调性求参数
21
0.15
数列新定义
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1,8
2
不等式选讲
1
3
复数
2
4
函数与导数
3,4,5,14,20
5
平面解析几何
4,6,12,19
6
等式与不等式
5
7
空间向量与立体几何
7,16
8
数列
8,10,21
9
三角函数与解三角形
9,15,17
10
计数原理与概率统计
11,18
11
平面向量
13