2026届高三数学一轮复习讲义（标准版）第四章4.3两角和与差的正弦、余弦和正切公式（Word版附答案）

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1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α-β)：cs(α-β)= .
(2)公式C(α+β)：cs(α+β)= .
(3)公式S(α-β)：sin(α-β)= .
(4)公式S(α+β)：sin(α+β)= .
(5)公式T(α-β)：tan(α-β)= .
(6)公式T(α+β)：tan(α+β)= .
2.辅助角公式
asin α+bcs α= ，其中sin φ=ba2+b2，cs φ=aa2+b2.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.( )
(2)存在实数α，β，使等式sin(α+β)=sin α+sin β成立.( )
(3)公式tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ对任意角α，β都成立.( )
(4)公式asin x+bcs x=a2+b2sin(x+φ)中φ的取值与a，b的值无关.( )
2.sinπ12-3csπ12的值为( )
A.0B.-2C.2D.2
3.若2cs α-sin α=0，则tanα-π4等于( )
A.-13B.13C.-3D.3
4.若tan α=13，tan(α+β)=12，则tan β= .
1.熟记两角和与差的公式的常用变形
(1)sin αsin β+cs(α+β)=cs αcs β.
(2)cs αsin β+sin(α-β)=sin αcs β.
(3)tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β).
(4)tan αtan β=1-tanα+tanβtan(α+β)=tanα-tanβtan(α-β)-1.
2.谨防两个易误点
(1)运用公式时要注意公式成立的条件；
(2)在求角的三角函数值时，往往要估计角的范围后再求值.特别是在(0，π)内，正弦值对应的角不唯一.

题型一 两角和与差的三角函数公式
例1 (1)若csπ4+αcsπ4-α=3，则tanα+π4等于( )
A.-3B.-13C.13D.3
(2)(2024·厦门模拟)若cs(140°-α)+sin(110°+α)=sin(130°-α)，则tan α等于( )
A.33B.-33C.3D.-3
思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.
(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.
跟踪训练1 (1)已知sin(α-β)=13，cs αsin β=16，则sin(α+β)等于( )
A.23B.223C.-23D.-223
(2)(2024·新课标全国Ⅰ)已知cs(α+β)=m，tan αtan β=2，则cs(α-β)等于( )
A.-3mB.-m3C.m3D.3m
题型二 两角和与差的三角函数公式的逆用与辅助角公式
例2 (1)(2024·南充模拟)已知函数f(x)=3sin x+4cs x.若x=θ时，f(x)取得最大值，则csθ+π4等于( )
A.7210B.-7210C.210D.-210
(2)tan 10°+tan 20°+tan 30°+tan 10°·tan 20°·tan 30°= .
思维升华 (1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式.
(2)tan αtan β，tan α+tan β(或tan α-tan β)，tan(α+β)(或tan(α-β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用.
(3)对asin x+bcs x化简时，要清楚如何求辅助角φ的值.
跟踪训练2 (1)若sin α+3cs α=1，且α∈(0，π)，则α= .
(2)若α+β=-3π4，则(1+tan α)(1+tan β)= .
题型三 角的变换问题
例3 (1)已知sinα+π4=45，α∈π4，π2，则cs α等于( )
A.210B.3210C.22D.7210
(2)(2024·杭州模拟)已知α∈π2，π，β∈0，π2，若sin(α+β)=13，cs β=33，则sin α等于( )
A.13B.33C.539D.39
思维升华 (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.
(2)当“已知角”有一个时，“所求角”一般表示为“已知角”与特殊角的和或差的形式，或者应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
(3)常见的角的变换：2α=(α+β)+(α-β)，α=α+β2+α-β2，π3+α=π2-π6-α，α=(α+β)-β=(α-β)+β，π4+α+π4-α=π2等.
跟踪训练3 (1)已知α，β∈π3，5π6，若sinα+π6=45，csβ-5π6=513，则sin(α-β)的值为( )
A.1665B.3365C.5665D.6365
(2)已知θ∈π4，π2，且sinθ+π4=45，则tan θ等于( )
A.7B.43C.17D.125
答案精析
落实主干知识
1.(1)cs αcs β+sin αsin β
(2)cs αcs β-sin αsin β
(3)sin αcs β-cs αsin β
(4)sin αcs β+cs αsin β
(5)tanα-tanβ1+tanαtanβ
(6)tanα+tanβ1-tanαtanβ
2.a2+b2sin(α+φ)
自主诊断
1.(1)√ (2)√ (3)× (4)×
2.B 3.B 4.17
探究核心题型
例1 (1)C [由题意，
得22(csα-sinα)22(csα+sinα)=1-tanα1+tanα=3，
所以tan α=-12，
则tanα+π4=tanα+11-tanα
=-12+11--12=13.]
(2)D [因为cs(140°-α)+sin(110°+α)=sin(130°-α)，
所以-sin(50°-α)+cs(20°+α)=sin(50°+α)，
即-sin 50°cs α+cs 50°sin α+cs(20°+α)=sin 50°cs α+cs 50°sin α，
所以cs 20°cs α-sin 20°sin α
=2sin 50°cs α，
即(cs 20°-2sin 50°)cs α
=sin 20°sin α，
所以tan α=cs20°-2sin50°sin20°
=cs20°-2sin(30°+20°)sin20°
=cs20°-2×12cs20°-2×32sin20°sin20°
=-3.]
跟踪训练1 (1)A [因为sin(α-β)=sin αcs β-cs αsin β=13，
而cs αsin β=16，
因此sin αcs β=12，
则sin(α+β)=sin αcs β+cs αsin β=23.]
(2)A [由cs(α+β)=m得cs αcs β-sin αsin β=m.①
由tan αtan β=2得sinαsinβcsαcsβ=2，②
由①②得csαcsβ=-m，sinαsinβ=-2m，
所以cs(α-β)=cs αcs β+sin αsin β
=-3m.]
例2 (1)C [f(x)=3sin x+4cs x=5sin(x+φ)，其中tan φ=43，sin φ=45，cs φ=35，
∵当x=θ时，f(x)取得最大值，
∴θ+φ=π2+2kπ，k∈Z，
即θ=π2+2kπ-φ，k∈Z，
∴csθ+π4=csπ2+2kπ-φ+π4
=cs3π4-φ
=cs 3π4cs φ+sin 3π4sin φ
=-22×35+22×45=210.]
(2)233
解析 因为tan 30°=tan(10°+20°)=tan10°+tan20°1-tan10°tan20°，
故tan 10°+tan 20°
=tan 30°-tan 30°tan 10°tan 20°，
所以tan 10°+tan 20°+tan 30°+tan 10°tan 20°tan 30°
=tan 30°-tan 30°tan 10°tan 20°+tan 30°+tan 10°tan 20°tan 30°
=2tan 30°=233.
跟踪训练2 (1)π2
解析 因为sin α+3cs α
=2sinα+π3=1，
所以sinα+π3=12，
又α∈(0，π)，
所以α+π3∈π3，4π3，
所以α+π3=5π6，所以α=π2.
(2)2
解析 tan-3π4=tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=1，
所以1-tan αtan β=tan α+tan β，
则1+tan α+tan β+tan αtan β=2，
即(1+tan α)(1+tan β)=2.
例3 (1)A [由α∈π4，π2，
得α+π4∈π2，3π4，
则csα+π4
=-1-sin2α+π4=-35，
cs α=csα+π4-π4=
csα+π4cs π4+sinα+π4sin π4
=-35×22+45×22=210.]
(2)C [因为α∈π2，π，β∈0，π2，sin(α+β)=13>0，cs β=33，
所以α+β∈π2，π，
则sin β=1-cs2β=63，
cs(α+β)=-1-sin2(α+β)
=-223，
所以sin α=sin[(α+β)-β]
=sin(α+β)cs β-cs(α+β)sin β
=13×33--223×63=539.]
跟踪训练3 (1)A [由题意可得α+π6∈π2，π，
β-5π6∈-π2，0，
所以csα+π6=-35，
sinβ-5π6=-1213，
所以sin(α-β)
=-sinα+π6-β-5π6
=-45×513+-35×-1213
=1665.]
(2)A [因为θ∈π4，π2，
所以θ+π4∈π2，3π4，
又sinθ+π4=45，
所以csθ+π4=-35，
则tanθ+π4=-43，
所以tan θ=tanθ+π4-π4
=tanθ+π4-tan π41+tanθ+π4tan π4=-43-11-43=7.]