2026届高三数学一轮复习讲义（标准版）第四章4.6函数y=Asin（ωxφ）（Word版附答案）

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1.简谐运动的有关概念
已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)，x≥0
2.用“五点法”画y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特殊点
3.函数y=sin x的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为-A.( )
(2)将函数y=3sin 2x的图象向左平移π4个单位长度后所得图象的解析式是y=3sin2x+π4.( )
(3)把y=sinx-π6的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，所得图象的函数解析式为y=sin2x-π12.( )
(4)如果y=Acs(ωx+φ)的最小正周期为T，那么函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为T2.( )
2.y=2sin12x-π3的振幅、频率和初相分别为( )
A.2，4π，π3B.2，14π，π3
C.2，14π，-π3D.2，4π，-π3
3.将函数f(x)=3sin2x+π4的图象向右平移π3个单位长度后得到函数g(x)的图象，则g(x)= .
4.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则点(ω，A)的坐标是 .
1.熟记下列常用结论
(1)“五点法”作图中，相邻两点的横向距离均为T4.
(2)若直线x=a为正(余)弦型曲线的对称轴，则该函数一定在x=a处取得最值.
(3)函数y=Asin(ωx+φ)+k(A>0，ω>0)图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.
2.谨防两个易误点
(1)分清“先平移后伸缩”还是“先伸缩后平移”，注意先伸缩后平移时平移距离为φω个单位长度.
(2)不要混淆横向、纵向的缩小、扩大与系数的关系.
题型一 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
例1 (1)(多选)为了得到函数f(x)=sin2x-2π3的图象，只需把正弦曲线上所有的点( )
A.先向右平移2π3个单位长度，再将横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变
B.先向右平移π3个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C.先将横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再向右平移π3个单位长度
D.先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移π3个单位长度
(2)(2025·西安模拟)将函数f(x)=2sin2x-π3的图象向左平移m(m>0)个单位长度，所得图象关于原点对称，则m的值可以是( )
A.π3B.πC.4π3D.5π3
思维升华 函数图象的平移变换解题策略
(1)解题时首先分清原函数与变换后的函数.
(2)异名三角函数图象变换要利用诱导公式sin α=csα-π2，cs α=sinα+π2将不同名函数转换成同名函数.
(3)无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位长度，都是自变量x变为x±|φ|，而不是ωx变为ωx±|φ|.
跟踪训练1 (1)(多选)要得到y=sin x的图象，可以将函数y=sin2x-π5的图象上所有的点( )
A.向右平移π5个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12
B.向左平移π10个单位长度，再把所得各点的横坐标扩大到原来的2倍
C.横坐标缩短到原来的12，再把所得各点向右平移π10个单位长度
D.横坐标扩大到原来的2倍，再把所得各点向左平移π5个单位长度
(2)(2024·延边州模拟)将函数f(x)=sinωx+π3(ω>0)的图象向左平移π2个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是( )
A.16B.14C.13D.12
题型二 由图象确定y=Asin(ωx+φ)的解析式
例2 (1)函数f(x)=Asin(ωx+φ)+bA>0，ω>0，|φ|0，ω>0)的步骤和方法
(1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A=M-m2，b=M+m2.
(2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω=2πT.
(3)求φ.常用方法如下：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.
跟踪训练2 (1)(2025·长沙模拟)如图是函数y=Asin(ωx+φ)A>0，ω>0，φ0，ω>0，|φ|0)个单位长度，得到函数y=2sin2x+2m-π3的图象，因为所得图象关于原点对称，所以2m-π3=kπ，k∈Z，解得m=π6+kπ2，k∈Z，当k=3时，m=π6+3π2=5π3.]
跟踪训练1 (1)BD [要想得到y=sin x的图象，y=sin2x-π5的图象上所有点的横坐标需扩大到原来的2倍，故排除A，C；将y=sin2x-π5的图象上所有点先向左平移π10个单位长度，得到y=sin2x+π10-π5=sin 2x的图象，再把所得各点的横坐标扩大到原来的2倍，得到y=sin x的图象，B正确；将y=sin2x-π5的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到y=sinx-π5的图象，再把所得各点向左平移π5个单位长度，得到y=sin x的图象，D正确.]
(2)C [记曲线C的函数解析式为g(x)，则g(x)=sinωx+π2+π3=sinωx+π2ω+π3.因为函数g(x)的图象关于y轴对称，所以π2ω+π3=kπ+π2(k∈Z)，得ω=2k+13(k∈Z).因为ω>0，所以ωmin=13.]
例2 (1)D [根据题中图象知A+b=4，b-A=0，
所以A=2，b=2，
T=4×5π12-π6=π，
所以ω=2ππ=2，
又函数图象经过最高点π6，4，
代入函数f(x)=2sin(2x+φ)+2得sin2×π6+φ=1，
因为|φ|