2026届高三数学一轮复习练习试题（提高版）第八章培优点9等角定理与蝴蝶定理（Word版附答案）

这是一份2026届高三数学一轮复习练习试题（提高版）第八章培优点9等角定理与蝴蝶定理（Word版附答案），共4页。试卷主要包含了已知椭圆T等内容，欢迎下载使用。
1.(17分)已知点P(t，0)(t≠0)，直线AB过点Ea2t，0，且与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)交于不同的两点A，B，求证：直线PA，PB与x轴所成的较小的角相等.
2.(17分)已知椭圆T：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，四点P1(1，1)，P2(0，1)，P3-1，32，P41，32中恰有三点在椭圆T上.
(1)求椭圆T的方程；(5分)
(2)蝴蝶定理：如图1，AB为圆O的一条弦，M是弦AB的中点，过M作圆O的两条弦CD，EF.若CF，ED分别与直线AB交于点P，Q，则|MP|＝|MQ|.
该结论可推广到椭圆.如图2所示，假定在椭圆T中，弦AB的中点M的坐标为0，12，且两条弦CD，EF所在直线斜率存在，证明：|MP|＝|MQ|.(12分)
答案精析
1.证明 由题意，t≠±a，当直线AB斜率不存在时，易知直线PA，PB与x轴所成的较小角相等；
当直线AB斜率存在时，如图，设点A和点B的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2).
因为直线AB过点Ea2t，0，
所以设直线AB的方程为
y=kx-a2t，
代入椭圆方程可得
(b2+a2k2)x2-2a4k2tx+a6k2t2-a2b2=0，
所以x1+x2=2a4k2tb2+a2k2，
x1x2=a6k2t2-a2b2b2+a2k2.
因为kPA+kPB=y1x1-t+y2x2-t
=y1(x2-t)+y2(x1-t)(x1-t)(x2-t)=
kx1-a2t(x2-t)+kx2-a2t(x1-t)(x1-t)(x2-t)
=k2x1x2-t+a2t(x1+x2)+2a2(x1-t)(x2-t)
=k2a6k2t2-a2b2b2+a2k2-t+a2t2a4k2tb2+a2k2+2a2(x1-t)(x2-t)
=k2a6k2t2-2a2b2-2a6k2t2-2a4k2+2a2b2+2a4k2(x1-t)(x2-t)(b2+a2k2)
=0，
所以直线PA，PB的斜率互为相反数，倾斜角互补.
所以直线PA，PB与x轴所成的较小的角相等.
综上，直线PA，PB与x轴所成的较小的角相等.
2.(1)解 由于P3，P4两点关于y轴对称，
故由题设知T经过P3，P4两点，
又由1a2+1b2>1a2+34b2知，T不过点P1，
所以点P2在T上，
因此1b2=1,1a2+34b2=1,
解得a2=4,b2=1,
故椭圆T的方程为x24+y2=1.
(2)证明 因为点M的坐标0，12在y轴上，且M为AB的中点，
所以直线AB平行于x轴，
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，E(x3，y3)，F(x4，y4)，
设直线CD的方程为y=k1x+12，
代入椭圆T：x24+y2=1，
得k12+14x2+k1x-34=0，
根据根与系数的关系得
x1+x2=-4k14k12+1，x1x2=-34k12+1，①
同理，设直线EF的方程为
y=k2x+12，
代入椭圆T：x24+y2=1，
得k22+14x2+k2x-34=0，根据根与系数的关系得x3+x4=-4k24k22+1，x3x4=-34k22+1，②
由于C，P，F三点共线，
得y4-12x4-xP=y1-12x1-xP，
即x1-xPx4-xP=y1-12y4-12=k1x1k2x4，
xP=(k1-k2)x1x4k1x1-k2x4，
同理，由于E，Q，D三点共线，
得xQ=(k1-k2)x2x3k1x2-k2x3，
结合①和②可得xP+xQ
=(k1-k2)x1x4k1x1-k2x4+(k1-k2)x2x3k1x2-k2x3=
(k1-k2)x1x4(k1x2-k2x3)+(k1-k2)x2x3(k1x1-k2x4)(k1x1-k2x4)(k1x2-k2x3)
=(k1-k2)(k1x1x2x4-k2x1x3x4+k1x1x2x3-k2x2x3x4)(k1x1-k2x4)(k1x2-k2x3)
=(k1-k2)[k1x1x2(x3+x4)-k2x3x4(x1+x2)](k1x1-k2x4)(k1x2-k2x3)
=(k1-k2)-3k14k12+1·-4k24k22+1--3k24k22+1·-4k14k12+1(k1x1-k2x4)(k1x2-k2x3)
=(k1-k2)12k1k2(4k12+1)(4k22+1)-12k1k2(4k12+1)(4k22+1)(k1x1-k2x4)(k1x2-k2x3)
=0，
即xP=-xQ，所以|xP|=|xQ|，
即|MP|=|MQ|.