2026届高三数学一轮复习练习试题（提高版）第六章培优点6新情境、新定义下的数列问题（Word版附答案）

这是一份2026届高三数学一轮复习练习试题（提高版）第六章培优点6新情境、新定义下的数列问题（Word版附答案），共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.在一个数列中，如果∀n∈N*，都有an·an＋1·an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积.已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12等于( )
A.28B.20C.24D.10
2.定义np1＋p2＋…＋pn为n个正数p1，p2，…，pn的“均倒数”，若已知数列{an}的前n项的“均倒数”为13n＋2，又bn＝an＋16，则1b1b2＋1b2b3＋…＋1b19b20等于( )
A.19B.911C.920D.1920
3.(2025·南充模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，bn＝Snn，则称数列{bn}是数列{an}的“均值数列”.已知数列{bn}是数列{an}的“均值数列”，且bn＝n，设数列1anan＋1的前n项和为Tn，则以下说法正确的是( )
A.an＝nB.an＝n＋1
C.Tn＝1n＋1D.Tn＝n2n＋1
4.向量数列{an}满足an＋1＝an＋d，且|a1|＝3，a1·d＝－32，令Sn＝a1·(a1＋a2＋a3＋…＋an)，则当4Snn＋1取最大值时，n为( )
A.2B.3C.4D.6
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.若数列{an}满足：对∀i，j∈N*，若i0，求数列{an}的通项公式；(5分)
(3)对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{an}为“λ－3”数列，且an≥0？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由.(7分)
答案精析
1.A [由题知an·an+1·an+2=8，an+1·an+2·an+3=8，
所以an=an+3，故数列{an}是周期为3的周期数列，
又a1a2a3=8，a1=1，a2=2，
所以a3=4，
所以a1+a2+a3+…+a12
=4(a1+a2+a3)=28.]
2.D [根据“均倒数”的定义，有na1+a2+…+an=13n+2，
故a1+a2+…+an=n(3n+2)=3n2+2n，
故当n≥2时，a1+a2+…+an-1=3(n-1)2+2(n-1)，两式相减得an=6n-1，
当n=1时，a1=3+2=5也符合上式，
故an=6n-1.
所以bn=an+16=n，
注意到1n(n+1)=1n-1n+1，
故1b1b2+1b2b3+…+1b19b20=1-12+12-13+…+119-120=1920.]
3.D [由题可知bn=Snn=n，所以Sn=n2，
当n=1时，a1=S1=1，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1，
当n=1时，也满足，
所以an=2n-1，n∈N*.
所以1anan+1=1(2n-1)(2n+1)
=1212n-1-12n+1，
因为数列1anan+1的前n项和为Tn，
所以Tn=
121-13+13-15+…+12n-1-12n+1
=121-12n+1=n2n+1.]
4.B [Sn=a1·(a1+a2+a3+…+an)=a1·na1+n(n-1)2d=9n+n(n-1)2×-32=-34n2+394n，
∴4Snn+1=-3n2+39nn+1
=-3(n+1)2+45(n+1)-42n+1
=45-3(n+1)+42n+1，
若要4Snn+1取最大值，
则要3(n+1)+42n+1最小，
而3(n+1)+42n+1
≥23(n+1)·42n+1=614，
当且仅当n+1=14∈(3，4)时等号成立，
而n∈N*，上述等号不能成立，
故当n=2或n=3时取最小值，
当n=2时，3(n+1)+42n+1=23，
当n=3时，3(n+1)+42n+1=452，
故当n=3时，4Snn+1取最大值.]
5.BD [对于A，不妨取i=1