2026届高三数学一轮复习练习试题（提高版）第八章培优点8阿基米德三角形（Word版附答案）

这是一份2026届高三数学一轮复习练习试题（提高版）第八章培优点8阿基米德三角形（Word版附答案），共5页。试卷主要包含了如图，抛物线C1，已知抛物线C等内容，欢迎下载使用。
1.(17分)如图，抛物线C1：x2＝4y，C2：x2＝－2py(p>0).点M(x0，y0)在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B(M为原点O时，A，B重合于O).当x0＝1－2时，切线MA的斜率为－12.
(1)求p的值；(7分)
(2)当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程(A，B重合于O时，中点为O).(10分)
2.(17分)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，且F与圆M：x2＋(y＋4)2＝1上点的距离的最小值为4.
(1)求p；(3分)
(2)若点P在圆M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值.(14分)
答案精析
1.解 (1)因为抛物线C1：x2=4y上任意一点(x，y)的切线斜率为y'=x2，
且当x0=1-2时，切线MA的斜率为-12，
所以A点坐标为-1，14，
故切线MA的方程为y=-12(x+1)+14.
因为点M(1-2，y0)在切线MA及抛物线C2上，所以y0=-12(2-2)+14=-3-224，①
y0=-(1-2)22p=-3-222p.②
由①②得p=2.
(2)设N(x，y)，Ax1，x124，
Bx2，x224，x1≠x2，
由N为线段AB中点，
知x=x1+x22，③
y=x12+x228.④
切线MA，MB的方程为
y=x12(x-x1)+x124，⑤
y=x22(x-x2)+x224，⑥
由⑤⑥得MA，MB的交点M(x0，y0)，
即x0=x1+x22，y0=x1x24.
因为点M(x0，y0)在C2上，
即x02=-4y0，
所以x1x2=-x12+x226，⑦
由③④⑦得x2=43y，x≠0.
当x1=x2时，A，B重合于原点O，AB的中点N(0，0)满足x2=43y，
因此AB中点N的轨迹方程为
x2=43y.
2.解 (1)由题意知M(0，-4)，F0，p2，
圆M的半径r=1，所以|MF|-r=4，
即p2+4-1=4，解得p=2.
(2)方法一 抛物线C的方程为x2=4y，
即y=x24，求导得y'=x2，
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，
直线PA的方程为y-y1=x12(x-x1)，
即x1x-2y1-2y=0，
同理可知，直线PB的方程为
x2x-2y2-2y=0，
由于点P为这两条直线的公共点，
则x1x0-2y1-2y0=0,x2x0-2y2-2y0=0,
所以点A，B的坐标满足方程
x0x-2y-2y0=0，
又两点确定一条直线，
所以直线AB的方程为
x0x-2y-2y0=0，
联立x0x-2y-2y0=0,y=x24,
可得x2-2x0x+4y0=0，
Δ=4(x02-4y0)>0，
则x1+x2=2x0，x1x2=4y0，
所以|AB|
=1+x022·(x1+x2)2-4x1x2
=(x02+4)(x02-4y0)，
点P到直线AB的距离为
d=|x02-4y0|x02+4，
所以S△PAB=12|AB|·d
=12(x02+4)(x02-4y0)·|x02-4y0|x02+4
=12(x02-4y0)32，
又x02-4y0=1-(y0+4)2-4y0
=-y02-12y0-15=-(y0+6)2+21，
由已知得-5≤y0≤-3，
所以当y0=-5时，△PAB的面积取得最大值为12×2032=205.
方法二 由(1)知，抛物线方程为x2=4y，
由题意可知直线AB的斜率存在，设Ax1，x124，Bx2，x224，直线AB的方程为y=kx+b，
联立y=kx+b,x2=4y,
消去y得x2-4kx-4b=0，
则Δ=16k2+16b>0，(※)
x1+x2=4k，x1x2=-4b，
所以|AB|=1+k2|x1-x2|
=1+k2·(x1+x2)2-4x1x2
=41+k2·k2+b.
因为x2=4y，即y=x24，
所以y'=x2，
则抛物线在点A处的切线的斜率为x12，在点A处的切线方程为
y-x124=x12(x-x1)，
即y=x12x-x124，
同理得抛物线在点B处的切线方程为y=x22x-x224，
联立y=x12x-x124,y=x22x-x224,
则x=x1+x22=2k,y=x1x24=-b,
即P(2k，-b).
因为点P在圆M上，
所以4k2+(4-b)2=1，①
且-1≤2k≤1，-5≤-b≤-3，
即-12≤k≤12，3≤b≤5，满足(※).
设点P到直线AB的距离为d，
则d=|2k2+2b1+k2，
所以S△PAB=12|AB|·d
=4(k2+b)3.
由①得，
k2=1-(4-b)24=-b2+8b-154，
令t=k2+b，则t=-b2+12b-154，且3≤b≤5.
因为t=-b2+12b-154在[3，5]上单调递增，所以当b=5时，t取得最大值，tmax=5，此时k=0，所以△PAB面积的最大值为205.