中职数学高教版（2021）拓展模块二 下册等差数列的概念教案及反思

这是一份中职数学高教版（2021）拓展模块二 下册等差数列的概念教案及反思，共8页。教案主要包含了教学内容解析，教学目标设置，教学重难点设置，学生学情分析，教学过程设计，教学反思等内容，欢迎下载使用。
本节内容是中职数学高教版拓展模块一下册的7.2.1节，主要介绍了等差数列的概念及相关性质。首先通过生活中的实例引入数列的概念，然后通过观察实例中的数列，引导学生发现等差数列的规律，从而引出等差数列的定义及公差的概念。接着通过推导等差数列的通项公式，使学生能够根据首项和公差求出数列的任意一项，最后通过例题的讲解，使学生能够熟练应用等差数列的通项公式解决实际问题，如求等差数列的某一项或判断某数是否为等差数列的项等。
二、教学目标设置
知识与技能目标：使学生理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并能根据首项和公差求出等差数列的任意一项；理解等差中项的概念，会求两个数的等差中项.
过程与方法目标：通过观察实例中的数列，培养学生发现规律、归纳总结的能力；通过推导等差数列的通项公式，培养学生的逻辑推理能力；通过例题的讲解与练习，培养学生的分析问题和解决问题的能力.
情感态度与价值观目标：使学生认识到数学知识来源于生活，又服务于生活，激发学生学习数学的兴趣；通过小组合作学习，培养学生的合作意识和团队精神.
三、教学重难点设置
重点：等差数列的概念及通项公式的推导与应用.
难点：等差数列通项公式的推导过程及应用等差数列的通项公式解决实际问题.
四、学生学情分析
学生在上一节课已经学习了数列的初步知识，对数列的概念有一定的了解，但对等差数列的概念及性质还比较陌生，需要通过实例引导和讲解来加深理解.中职学生的学习能力参差不齐，部分学生对数学学习存在一定的困难，如逻辑推理能力较弱，对抽象概念的理解不够深入，因此在教学过程中需要多举实例，注重启发式教学，帮助学生逐步建立等差数列的概念.部分学生对数学学习缺乏兴趣和动力，认为数学与实际生活联系不大，因此在教学过程中需要结合生活实例，使学生认识到等差数列在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣.
五、教学过程设计
六、教学反思
导入环节通过生活实例引入，成功激发了学生的学习兴趣，使学生对等差数列有了初步的认识.
在新课讲解环节，通过引导学生观察和思考，使学生理解了等差数列的定义及公差的概念，为后续的学习奠定了基础.
例题讲解环节的例题设计合理，讲解清晰，使学生熟练掌握了等差数列的通项公式的应用，提高了学生的解题能力.
教学环节
解学内容
师生互动
设计意图
第一环节：导入环节
回顾
数列的概念：一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列. 数列中的每一个数都叫做数列的项.
数列的一般形式是：a1，a2，…，an，…，简记为{an}.
数列的通项公式：如果数列的第n项an与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
情境：北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，第一圈为9块，第二圈为18块，周围各圈直至底层，共9圈，均以9的倍数递增，从内到外各圈的石板数依次为9，18，27，36，45，54，63，72，81.S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是：38，40，42，44，46，48
汽修一班前10个学生的学号：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10
某剧院前排座位号分：56，54，52，50，48，46，44，42
教师活动：展示北京天坛圜丘坛的图片，介绍其地面由石板铺成的结构，从中间的天心石向外依次为9圈石板，每圈的石板数依次为9，18，27，36，45，54，63，72，81.
学生活动：观察图片，思考石板数的排列规律.
通过生活中的实例引入，激发学生的学习兴趣，为后续等差数列概念的引入做好铺垫.
第二环节：新课讲解环节
你能发现以上数列的规律吗？
① 9，18，27，36，45，54，63，72，81.
② 38，40，42，44，46，48.
③ 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10.
④ 56，54，52，50，48，46，44，42.
对于①，我们发现 18-9=9，27-18=
如果用{an}表示数列①，
那么有 a2-a1=9，a3-a2=9，……，a9-a8=9.
从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数
等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数时，就称这个数列为等差数列，这个常数称为等差数列的公差，通常用字母d来表示．
举例说明：如数列①的公差d=9，数列②的公差d=2，数列③的公差d=1，数列④的公差d=-2.
思考1 ：等差数列的定义中为什么是从第2项起，而不是从第1项、第3项或第n项起？
从第2项起是因为首项没有前一项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合.
思考 2：等差数列定义中的“同一个”三个字可以去掉吗？
不可以.
定义中的“同一个常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，如果差是常数，而这些常数不相等，则这个数列不能称为等差数列.
如果数列{an}是一个公差为 d 的等差数列， 那么该数列从第二项起每一项都等于它的前一项与公差的和，即
a₂=a₁+d,
a₃=a₂+d=(a₁+d)+d=a₁+2d,
a₄=a₃+d=(a₁+2d)+d=a₁+3d,
a₅=a₄+d=(a₁+3d)+d=a₁+4d,
……
因此， 首项为a₁、公差为 d 的等差数列{an}的通项公式为
an=a₁+(n-1)d.
其它推导方法：累加法
a₂-a₁=d,
a₃-a₂=d,
a₄-a₃=d,
...
an -an-1 =d,将这(n−1)个式子两边分别相加，得an -a₁=(n-1)d,
得an =a₁+(n-1)d.
等差中列
a，A，b组成等差数列
A=a+b2
这时，A叫做a与b的等差中项.
教师活动：提出问题：你能发现以上数列的规律吗？引导学生观察数列中相邻两项的差.
归纳总结等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数时，就称这个数列为等差数列，这个常数称为等差数列的公差，通常用字母d来表示.
举例说明：如数列①的公差d=9，数列②的公差d=2，数列③的公差d=1，数列④的公差d=-2.
学生活动：思考并回答问题，发现数列中相邻两项的差为常数.
记录等差数列的定义及公差的概念.
通过引导学生观察和思考，使学生理解等差数列的定义及公差的概念，为后续的学习奠定基础.
第三环节：例题讲解环节
例1 已知等差数列2, 5, 8, 11, …
(1) 求这个数列的通项公式；
(2) 求出这个数列的第6项；
(3) 这个数列的第几项是35?
解 (1)设这个等差数列通项公式为{an}， 则 an=a₁+(n-1)d,则a₁=2, a₂=5,可得d=5-2=3.
由 an=a₁+(n-1)d得， 该数列通项公式为
an=2+(n-1)×3=3n-1.
即 an=3n-1.
(2) 由 an=3n-1,可知a₆=3×6-1=17.
(3)设35是这个数列的第n项，即( an=35,
则由通项公式 an=3n-1,
可得 35=3n-1,
解得 n=12.
因此， 35 是这个数列的第12 项.
例2 在等差数列 {an} 中, a₂=25, a₇=10,求a₁, d, a₁₀.
解 由等差数列的通项公式 an=a₁+(n-1)d ,可得
28=a+d,
解方程组， 得
a₂=28-3
于是， 该等差数列的通项公式为
an=28+(n-1)×(-3)=-3n+31.
由此可得，a₁₀=(-3)×10+31=1.
所以，a₁=28, d=-3, a₁₀=1.
例3 小明、小明的爸爸和小明的爷爷的年龄恰好构成等差数列， 他们三个人的年龄之和为99， 爷爷的年龄是小明的年龄的10倍，求他们祖孙三人的年龄.
分析 对于构成等差数列的三个数， 可以将它们设为 a₁, a₁+d, a₁+2d, 也可以将它们设为a-d, a, a+d, 其中d为公差.若已知这三个数的和, 则将它们设为a-d , a, a+d更有利于计算.
解 设小明、小明的爸爸和小明的爷爷的年龄分别为a-d, a, a+d, 则
(a−d)+a+(a+d)=99,a+d=10(a−d)
解方程组得
a=33d=27
于是, a-d=6, a+d=60.
即小明、小明的爸爸和小明的爷爷的年龄分别是6岁、33岁和60岁.
教师活动：讲解例题，已知等差数列的首项和公差，求其通项公式.
引导学生根据已知条件，利用通项公式求解.
学生活动：跟随教师的讲解，理解例题的解题思路.
尝试自己求解例题中的问题，巩固通项公式的应用.
第四环节：课堂练习环节
1.判断下列数列是否为等差数列(是打“√”, 否打“×”).若是, 指出其公差.
(1)1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8; ( )
(2)1, 12, 1, 12, 1, 12, …; ( )
(3)3, 3, 3, 3,…; (√) d=0
(4) 1,1,2,3,4,5,…; ( )
(5) 4,1,-2,5,…; (√) d=-3
2.根据已知条件填空.
(1) 38 是等差数列3, 8, 13, 18, …的第________项；
解：an=5n−2=38
解得n=8
(2) 在等差数列{an}中, a₁=10, a₈=3,则d=_________;
解：a8=a1+7d
3=10+7d
解得d=1
(3) 在等差数列{an}中, d=-2, a₂₀=-18,则a₁=______.
解：a20=a1+19d
-18=a1+19×(-2)
解得a1=20
3.在等差数列{an}中, a5=11, a₁₄=38, 求a₁, d, a20.
解：11=a1+4d38=a1+13d
解得a1=−1d=3
a20=a1+19d=-1+19×3=56
4.已知三个数成等差数列， 它们的和等于12， 它们平方和等于56， 求这三个数.
解：a−d +a+a+d=3a=12(a−d)2+a2+(a+d)2=3a2+2d2=56
解得a1=448+2d2=56
解得d=2或−2
如果 d=2，这三个数为4−2，4和4+2，即 2，4和 6。
d=−2，这三个数为 4−(−2)，4和4+(−2)，即 6，4和 2。
5.求下列各组数的等差中项：
(1) 12与4; (2) - 10与6.
解：(1)12+42=8;(2)−10+62=−2
教师活动：出示练习题，巡视指导，帮助学生解决练习过程中遇到的问题.
学生活动：独立完成练习题，应用等差数列的通项公式求解.
与同桌交流解题思路和结果.
通过课堂练习，巩固学生对等差数列通项公式的理解和应用，检验学生的学习效果.
第五环节：课堂小结环节
等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数时，就称这个数列为等差数列，这个常数称为等差数列的公差，通常用字母d来表示．
首项为a₁、公差为 d 的等差数列{an}的通项公式为
an=a₁+(n-1)d.
等差中列
a，A，b组成等差数列
A=a+b2
这时，A叫做a与b的等差中项.
教师活动：总结本节课的主要内容：等差数列的概念、通项公式及其应用.
学生活动：回顾本节课所学知识，总结学习收获.
记录课堂小结内容，加深对等差数列的理解.
通过课堂小结，帮助学生梳理知识结构，巩固所学知识，提高学生的总结能力.
第六环节：作业布置环节
1.基础作业：记忆公式与完成《学习指导与练习》；
2.中等作业：复习等差数列通项公式的推导过程;
3.拓展作业：预习7.2.2内容，探究等差数列前n项和的概念.
教师活动：布置作业：完成《学习指导与练习》中的相关练习题.
提出拓展作业要求：预习7.2.2内容，探究等差数列前n项和的概念.
学生活动：记录作业内容，明确作业要求.
安排课后时间完成作业，预习下一节内容.
通过作业的布置，巩固学生在课堂上学到的知识，培养学生的自主学习能力，为下一节课的学习做好准备.